CN111323016A - 一种基于自适应蚁群算法的移动机器人路径规划方法 - Google Patents

一种基于自适应蚁群算法的移动机器人路径规划方法 Download PDF

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CN111323016A CN201911173985.7A CN201911173985A CN111323016A CN 111323016 A CN111323016 A CN 111323016A CN 201911173985 A CN201911173985 A CN 201911173985A CN 111323016 A CN111323016 A CN 111323016A
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Abstract

为了解决现有技术中传统蚁群算法在求解路径时易出现算法停滞和陷入局部最优解的缺点，本发明公开了一种基于自适应蚁群算法的移动机器人路径规划方法，包括以下步骤：步骤一：栅格环境法建模；步骤二：初始信息素差异化分配：步骤三：转移概率的改进：步骤四：信息素更新规则的改进：当算法跌代次数达到设定的阀值时，重新调节信息素挥发系数和信息素浓度，避免步骤五：分段三阶Bezier曲线对最优路径进行平滑处理；本发明能够同时协调算法收敛速度和寻优能力，提升移动机器人路径规划的合理性，加快机器人的移动速度。

Description

一种基于自适应蚁群算法的移动机器人路径规划方法
技术领域
本发明涉及机器人路径规划的技术领域，特别涉及一种基于自适应蚁群算法的移动 机器人路径规划方法。
背景技术
移动机器人路径规划问题是机器人研究领域中的一个热点，也是机器人的控制基础， 要求机器人依据一定的标准(如时间最短、距离最远短、能耗最低等)，在所给定的工作环 境中搜索出一条最优或者接近最优的安全路径。目前，很多传统算法应用在移动机器人路径 规划中。随着研究的深入，一些仿生智能优化算法逐渐应用于路径规划研究中。仿生智能优 化算法相比传统算法在解决复杂环境中的路径规划问题更有优势。
蚁群算法(Ant Colony Optimization，ACO)是一种正反馈群智能优化算法，具有并 行性、强鲁棒性、适应性、易与其他算法相结合等特点。蚁群算法模拟了自然界中蚂蚁的觅 食行为，蚂蚁在寻找食物过程中会释放信息素，同时能够感知前面蚂蚁在路径上残留的信息 素浓度来引导自己运动，因而逐渐形成一种正反馈现象：路径越短，残留信息素浓度越高； 越多的蚂蚁经过该路径，该路径上的信息素浓度就越大，之后的蚂蚁选择这条路径的概率就 越大，蚂蚁就是通过这种交流方式来找到食物，蚁群算法中的两个关键部分就是路径选择概 率和信息素更新，决定了蚁群算法的求解速度和解的质量。
传统蚁群算法最初应用于解决TSP问题(旅行商问题，raveling SalesmanProblem)， 后来逐渐应用于车间调度和机器人路径规划问题中，但在求解路径时易出现算法停滞和陷入 局部最优解的缺点。
发明内容
为了解决现有技术中传统蚁群算法在求解路径时易出现算法停滞和陷入局部最优解 的缺点，本发明公开了一种基于自适应蚁群算法的移动机器人路径规划方法，该方法能够解 决传统的蚁群算法经常陷入局部最优的问题，同时能够同时协调算法收敛速度和寻优能力。
本发明为了解决上述技术体所采用的技术方案是：一种基于自适应蚁群算法的移动 机器人路径规划方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤一：栅格环境法建模；
步骤二：初始信息素差异化分配：在迭代初期获得一个较小的全局解，对初始信息素浓度根据起始点和目标点位置进行差异化分配；
步骤三：转移概率的改进：对状态转移概率、信息素更新策略进行自适应改进，在状态转移概率中引入转角启发信息并改进路径启发信息；
步骤四：信息素更新规则的改进：当算法跌代次数达到设定的阀值时，重新调节信息素挥发系数和信息素浓度，避免算法陷入局部最优；
步骤五：分段三阶Bezier曲线对最优路径进行平滑处理；
其中，在步骤四中，在所有蚂蚁完成一次迭代后，对搜索到路径的蚂蚁根据路径长度从小到大排序，选择排序在前面部分的蚂蚁进行信息素更新；设定在算法连续20次未出现新的最优解，引入迭代次数阈值R，当算法迭代次数达到R时，减小各条路径上信息素差异，增大信息素挥发系数。
步骤四的具体步骤为：设被选择更新的每只蚂蚁在每条路径上信息素增量
Figure BDA0002289485000000026
相同，对后面部分的蚂蚁不进行信息素更新，如下：
Figure BDA0002289485000000021
κ＝μ·M；
其中，lgbest表示当前全局最优解，lworst当前迭代产生的的局部最差值，lbest当前迭代产生的最优值，ε表示蚁群进化率，ε＝k/Kmax，n为当前迭代次数，Kmax为最大迭代次 数；rank为排序后的蚂蚁序号；其中，κ表示需要更新信息素的蚂蚁数量；μ表示要更新信 息素蚂蚁的比；
设定在算法连续20次未出现新的最优解，引入迭代次数阈值R，增大信息素挥发系数，具体为：
Figure BDA0002289485000000022
ρ′＝1.5ρ，if(N＝R)；
式中
Figure BDA0002289485000000023
表示当迭代次数为R时的信息素浓度，
Figure BDA0002289485000000024
表达初始信息素浓度；ρ表达信息素挥发系数；ρ′为增大后的信息素挥发系数。
所述的步骤一：栅格环境法建模；包括以下步骤：
空白栅格表示自由栅格，黑色栅格表示障碍物栅格，地图按从左到右，从上到下的顺序依次编号为1、2、3、…，每个栅格对应一个编号，坐标与栅格编号的关系如下：
Figure BDA0002289485000000025
其中，mod为取余运算，ceil表示向后取整数，Ni表示栅格编号，N表示每一列的栅格数量，所求坐标为每个栅格的中心点位置；xi、yi分别表示栅格坐标图中栅格(xi，yi) 的横纵坐标。
步骤二的具体步骤是：在t时刻，蚁群算法在选择下一点j时，根据点j到直线L 的距离以及地图尺寸和环境中障碍物占比，对该区域的初始信息素进行差异化增量，如下：
Figure BDA0002289485000000031
dm＝(ξ·l)/4；
其中，
Figure BDA0002289485000000032
表示t时刻点i到点j的初始信息素浓度，dist表示点j到起始点S和目标点E连线l的距离，dm表示实际地图环境综合评价值，λ是与地图尺寸有关的一个常数， 其值在0.1/ω±0.03的范围内，ω为地图尺寸中长或宽的最大值；
其中，ξ表示地图中障碍物占比，为障碍物栅格与栅格总数的比值；l表示地图中任意两点间的最长距离，矩形地图为对角线长度。
步骤三：转移概率的改进：包括以下步骤：
首先，在计算路径转移概率时引入转角启发信息，路径转移概率如下：
Figure BDA0002289485000000033
其中，中ωij(t)表示t时刻点i到点j的转角启发函数，σ表示转角启发信息因子，其值为正整数；ηij(t)为t时刻点i到点j的启发信息为j点到目标点E的欧氏距离。
步骤五的具体步骤如下：通过Bezier公式逼近栅格地图中得到的带有尖峰的路径折 线，得到一条与折线走势相同的平滑曲线，具体为；在空间n+1点的位置pi(i＝ 0，1，2，3，4，...，n)，则n次Bezier曲线描述为：
Figure BDA0002289485000000034
其中，Pi代表Bezier曲线的控制点，T表示Bezier曲线控制参数；
采用三阶Bezier曲线平滑路径，公式表示为：
B(T)＝P0(1-T)3+3P1T(1-T)2+3P2T2(1-T)+P3T3；
其中，P0表示pii＝0，以此类推；
其中，
Figure BDA0002289485000000035
参数T为Bezier曲线控制参数；
对路径折线分段采用贝塞尔曲线平滑处理，然后再拼接起来，任意点处的曲率为：
Figure BDA0002289485000000036
其中x′(T)即为x＝x(T)关于T的一阶导数，x″(T)为x＝x(T)关于T的二阶导数， x′2(T)则为x′(T)的平方；B′(T)为B＝B(T)关于T的一阶导数；B″(T)为B＝B(T) 关于T的二阶导数、B′2(T)为B′(T)的平方。
本发明的有益效果是：本发明公开一种基于自适应蚁群算法，应用于移动机器人的 路径规划问题当中，能够同时协调算法收敛速度和寻优能力，提升移动机器人路径规划的合 理性，加快机器人的移动速度。该算法具有以下几个技术特点和优势：
1)能够解决传统的蚁群算法经常陷入局部最优的问题，并且对最优路径采用分段三 阶贝塞尔曲线平滑处理，使得路径轨迹平滑。
2)在保证解的质量的同时收敛速度更快，搜索最优解的能力更强，能够保证快速收 敛的同时依然具有较强的全局搜索能力；
3)具有较好的适应性，鲁棒性和优越性。
附图说明
图1为栅格坐标与编号关系示意图。
图2为路径转折角度示意图。
图3为Bezier平滑曲线示意图。
图4为传统蚁群算法对20×20简单环境下的路径规划图。
图5为本发明对20×20简单环境下的路径规划图。
图6为传统蚁群算法对30×30复杂环境下的路径规划图。
图7为本发明对20×2030×30复杂环境下的路径规划图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明进行进一步的说明。
所述的一种基于自适应蚁群算法的移动机器人路径规划方法，通过以下步骤实现。
步骤一：栅格环境法建模。移动机器人的工作环境为二维静态环境，假设障碍物高度忽略不计且静止。由于栅格法简单有效，对障碍物的适应能力强，可大大减少环境建模的复杂性，因而本发明采用栅格法划分工作环境，无障碍物的栅格为自由栅格，在仿真程序中用0表示，有障碍物的栅格为不可行栅格，在仿真程序中用1表示，为了防止机器人与障碍物碰撞，将障碍物适当膨化，采用序号法和二维直角坐标相结合来对栅格进行标识。如图1所示，以10×10的栅格环境为例来说明。
如图1所示，空白栅格表示自由栅格，黑色栅格表示障碍物栅格，地图按从左到右，从上到下的顺序依次编号为1、2、3、…，每个栅格对应一个编号，坐标与栅格编号的关系 如式(1)：
Figure BDA0002289485000000041
式(1)中mod为取余运算，ceil表示向后取整数，Ni表示栅格编号，N表示每一列的栅 格数量，所求坐标为每个栅格的中心点位置。xi、yi分别表示栅格坐标图中栅格(xi，yi)的 横纵坐标。
通过栅格法对机器人运行环境的建模划分，路径规划问题变成了根据起始点S和目标点 E，利用算法在自由栅格集合中寻找有序的栅格子集，这些有序栅格中心连线即为算法规划 的路径。
步骤二：初始信息素差异化分配，对于传统蚁群算法初始信息素浓度均匀分配所导 致的算法迭代初期搜索盲目性强、收敛速度慢等问题，而之前的研究都是利用其它算法提前 进行路径规划得到一条粗略路径，在信息素初始化时，在此条路径与其他路径上的信息素进 行差异化分配。蚂蚁根据路径上信息素浓度的差异来寻找最优路径，提高了算法的收敛速度。 该方法具有强启发性，强启发性表示具有一条从起始点到终点的完整路径信息对蚂蚁进行引 导，由于该条路径的信息素启发信息不一定都是最优的，会对蚂蚁产生误导，使算法陷入局 部影响解的质量。
为了保证差异化的信息素在最优路径上，减少错误的启发信息对蚂蚁的误导，提高 蚂蚁寻优能力。本发明提出一种对蚂蚁具有弱启发性的初始信息素差异化规则，弱启发性表 示对部分路段进行信息素差异化，这部份路径是可确定为最优路径的一部分。由于最优路径 多集中在起始点S和目标点E的连线L附近区域，同时受环境中障碍物的影响。在t时刻， 蚁群算法在选择下一点j时，根据点j到直线L的距离以及地图尺寸和环境中障碍物占比， 对该区域的初始信息素进行差异化增量，使得初始信息素浓度的差异化更加符合实际求解问 题。以上表达用数学公式表示如下：
Figure BDA0002289485000000051
dm＝(ξ·l)/4 (3)
式(2)中
Figure BDA0002289485000000052
表示t时刻点i到点j的初始信息素浓度，dist表示点j到起始点S和目标点E连线l的距离，dm表示实际地图环境综合评价值，λ是与地图尺寸有关的一个常数，其值在0.1/ω±0.03的范围内，ω为地图尺寸中长或宽的最大值，式(3)中ξ表示地图中障碍物占比，为障碍物栅格与栅格总数的比值；l表示地图中任意两点间的最长距离，矩形地图为对角线长度。
步骤三：转移概率的改进，在机器人路径规划的过程中应该尽量避免不必要的路径 转折以提高运动的平稳性，在计算路径转移概率时引入转角启发信息，减少路径中大转角和 转角次数。改进后的路径转移概率如下：
Figure BDA0002289485000000061
式(4)中ωij(t)表示t时刻点i到点j的转角启发函数，σ表示转角启发信息因子，其值为正整数。如图2所示，蚂蚁在栅格中行走转角θ只能是0°、45°、90°、135°四种情况， 根据角度大小对机器人行走的影响程度设定对应的影响权值a，如式(5)，转角启发函数 ωij(t)与a成反比，如式(6)：
Figure BDA0002289485000000062
ωij(t)＝1/a (6)。
传统蚁群算法的启发函数启发性不够强，受A*算法的启发，本发明采用A*算法中的估计代价函数作为蚁群算法的启发函数，即t时刻点i到点j的启发信息为j点到目标点E的欧氏距离，如下式：
Figure BDA0002289485000000063
所述步骤四的信息素更新规则的改进，在传统蚁群算法中，对最差蚂蚁进行信息素 更新过后，会对下一代产生误导。为了协调收敛速度和算法全局搜索能力，解决解的多样性 和信息素更新之间的矛盾，本发明采用部分蚂蚁更新信息素的方法，即在所有蚂蚁完成一次 迭代后，对搜索到路径的蚂蚁根据路径长度从小到大排序。选择排序在前面部分的蚂蚁进行 信息素更新，被选择更新的每只蚂蚁在每条路径上信息素增量
Figure BDA0002289485000000064
相同，对后面 部分的蚂蚁不进行信息素更新，如式(8)：
Figure BDA0002289485000000065
κ＝μ·M (9)
式(12)中lgbest表示当前全局最优解，lworst当前迭代产生的的局部最差值，lbest当前迭代产生的最优值，ε表示蚁群进化率，ε＝k/Kmax，n为当前迭代次数，Kmax为最大迭 代次数；rank为排序后的蚂蚁序号，式(9)中κ表示需要更新信息素的蚂蚁数量。μ表示要 更新信息素蚂蚁的比例，μ∈(0，1)，M表示蚂蚁的总数。
随着路径上信息素的积累，蚂蚁倾向于选择信息素浓度最大的路径，此时算法不再 出现新解，为了增强算法在迭代后期的寻优能力，扩大解搜索空间，需要对算法进行扰动。 根据算法陷入局部最优的最大迭代次数设定迭代阀值R，本发明规定算法连续20次未出现 新的最优解表明算法陷入局部最优状态，算法陷入局部最优的迭代次数与问题的规模和环境 的复杂程度有关，为了保证该策略的通用性，R的取值应该尽量大一些。当算法迭代次数达 到R时，减小各条路径上信息素差异，增大信息素挥发系数具体见式10，使得算法在后期 依然具有较强的全局搜索能力。
Figure BDA0002289485000000071
式中
Figure BDA0002289485000000072
表示当迭代次数为R时的信息素浓度，
Figure BDA0002289485000000073
表达初始信息素浓度。
步骤五：分段三阶Bezier曲线，在栅格地图中路径规划的结果是由栅格中心坐标连 接而成的一条折线，折线在转弯处存在尖峰，不利于机器人的行走。这也是栅格法进行路径 规划的一个缺陷，为了弥补栅格法的不足，让算法得到的路径对实际机器人运动更有引导作 用，需要对尖峰进行平滑处理。
Bezier曲线是能够描述复杂情况的曲线，根据折线上的关键点，通过Bezier公式逼 近该折线，从而得到一条与折线走势相同的平滑曲线。如图3所示，其中折线上的点称为控 制点，连接的多边形称为控制多边形。
在空间n+1点的位置pi(i＝0，1，2，3，4，...，n)，则n次Bezier曲线描述为：
Figure BDA0002289485000000074
式(11)中Pi代表Bezier曲线的控制点，T表示Bezier曲线控制参数；Ti是参数T的 i次方；采用三阶Bezier曲线平滑路径，公式表示为：
B(T)＝P0(1-T)3+3P1T(1-T)2+3P2T2(1-T)+P3T3 (11)
由于在机器人路径中的折点数N＞4，因而需要对路径折线分段采用贝塞尔曲线平滑处理， 然后再拼接起来，拼接处应该满足连续性，前一点与后一点在拼接处的曲率相等。其中，
Figure BDA0002289485000000075
其中参数T为Bezier曲线控制参数；
对路径折线分段采用贝塞尔曲线平滑处理，然后再拼接起来，任意点处的曲率为：
Figure BDA0002289485000000076
其中x′(T)即为x＝x(T)关于T的一阶导数，x″(T)为x＝x(T)关于T的二阶导数， x′2(T)则为x′(T)的平方；B′(T)为B＝B(T)关于T的一阶导数；B″(T)为B＝B(T) 关于T的二阶导数、B′2(T)为B′(T)的平方。
验证过程：蚁群算法是一种随机搜索算法，判断算法的优越性和稳定性可以依据算 法运行一次得到最优解的可能性大小来说明。在本实验环节分别采用两种尺寸和障碍复杂程 度都不同的栅格环境进行实验，在每种地图环境中对传统蚁群算法和本发明公开的自适应蚁 群算法各运行20次进行分析。
首先在20×20简单环境下的进行实验，实验结果如图4、图5所示。由图4可知， 传统蚁群算法陷入了局部最优，主要原因是在路径搜索过程中，算法迭代初期信息素均匀分配，信息素的正反馈作用不强，路径启发信息ηij(t)为当前点到下一点的距离，路径选择倾向于选择ηij(t)值小的路段，启发信息方向性较弱，因而路径转折点较多、路径较长。随着算法的迭代，信息素在该路径上的积累，后代蚂蚁倾向于选择此路径，因而无法跳出局部最优。而自适应蚁群算法在迭代初期就有良好的正反馈，使得算法在初期就具有一个较小的初 值，提高了算法的收敛速度，同时能够获得算法最优解。
为了验证在复杂环境中改进算法的适应性和有效性，需要采用30×30复杂环境地图 进行实验，实验结果如图5图6所示。
由图6、图7可知，由于地图尺寸和环境复杂度的增加，两种算法的迭代次数都有所增加，但传统的蚁群算法依然陷入了局部最优。而自适应蚁群算法在迭代初期得到较小的 初始值，说明该算法的在路径搜索时具有良好的方向性，算法快速收敛，能够同时协调算法 收敛速度和寻优能力。
总之，本发明公开了一种自适应蚁群算法(Adaptive Ant Colony Optimization，AACO)的应用，本发明能够使蚂蚁快速找到最优解，同时协调算法收敛速度和寻优能力，在保证算法快速收敛的同时依然具有较强的搜索能力，该方法能够解决传统的蚁群算法经常陷 入局部最优的问题，同时能够同时协调算法收敛速度和寻优能力。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易变化或替换，都属于本发明 的保护范围之内。因此本发明的保护范围所述以权利要求的保护范围为准。

Claims (6)

1.一种基于自适应蚁群算法的移动机器人路径规划方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤一：栅格环境法建模；
步骤二：初始信息素差异化分配：在迭代初期获得一个较小的全局解，对初始信息素浓度根据起始点和目标点位置进行差异化分配；
步骤三：转移概率的改进：对状态转移概率、信息素更新策略进行自适应改进，在状态转移概率中引入转角启发信息并改进路径启发信息；
步骤四：信息素更新规则的改进：当算法跌代次数达到设定的阀值时，重新调节信息素挥发系数和信息素浓度，避免算法陷入局部最优；
步骤五：分段三阶Bezier曲线对最优路径进行平滑处理；
其中，在步骤四中，在所有蚂蚁完成一次迭代后，对搜索到路径的蚂蚁根据路径长度从小到大排序，选择排序在前面部分的蚂蚁进行信息素更新；设定在算法连续20次未出现新的最优解，引入迭代次数阈值R，当算法迭代次数达到R时，减小各条路径上信息素差异，增大信息素挥发系数。
2.根据权利要求1所述的一种基于自适应蚁群算法的移动机器人路径规划方法，其特征在于：步骤四的具体步骤为：设被选择更新的每只蚂蚁在每条路径上信息素增量
Figure FDA0002289484990000011
相同，对后面部分的蚂蚁不进行信息素更新，如下：
Figure FDA0002289484990000012
κ＝μ·M；
其中，lgbest表示当前全局最优解，lworst当前迭代产生的的局部最差值，lbest当前迭代产生的最优值，ε表示蚁群进化率，ε＝k/Kmax，n为当前迭代次数，Kmax为最大迭代次数；rank为排序后的蚂蚁序号；其中，κ表示需要更新信息素的蚂蚁数量；μ表示要更新信息素蚂蚁的比；
设定在算法连续20次未出现新的最优解，引入迭代次数阈值R，增大信息素挥发系数，具体为：
Figure FDA0002289484990000013
ρ′＝1.5ρ，if(N＝R)；
式中
Figure FDA0002289484990000014
表示当迭代次数为R时的信息素浓度，
Figure FDA0002289484990000015
表达初始信息素浓度；ρ表达信息素挥发系数；ρ′为增大后的信息素挥发系数。
3.根据权利要求1所述的一种基于自适应蚁群算法的移动机器人路径规划方法，其特征在于：所述的步骤一：栅格环境法建模；包括以下步骤：
空白栅格表示自由栅格，黑色栅格表示障碍物栅格，地图按从左到右，从上到下的顺序依次编号为1、2、3、…，每个栅格对应一个编号，坐标与栅格编号的关系如下：
Figure FDA0002289484990000021
其中，mod为取余运算，ceil表示向后取整数，Ni表示栅格编号，N表示每一列的栅格数量，所求坐标为每个栅格的中心点位置；其中，xi、yi分别表示栅格坐标图中栅格(xi,yi)的横纵坐标。
4.根据权利要求1所述的一种基于自适应蚁群算法的移动机器人路径规划方法，其特征在于：步骤二的具体步骤是：在t时刻，蚁群算法在选择下一点j时，根据点j到直线L的距离以及地图尺寸和环境中障碍物占比，对该区域的初始信息素进行差异化增量，如下：
Figure FDA0002289484990000022
dm＝(ξ·l)/4；
其中，
Figure FDA0002289484990000023
表示t时刻点i到点j的初始信息素浓度，dist表示点j到起始点S和目标点E连线l的距离，dm表示实际地图环境综合评价值，λ是与地图尺寸有关的一个常数，其值在0.1/ω±0.03的范围内，ω为地图尺寸中长或宽的最大值；
其中，ξ表示地图中障碍物占比，为障碍物栅格与栅格总数的比值；l表示地图中任意两点间的最长距离，矩形地图为对角线长度。
5.根据权利要求1所述的一种基于自适应蚁群算法的移动机器人路径规划方法，其特征在于：步骤三：转移概率的改进：包括以下步骤：
首先，在计算路径转移概率时引入转角启发信息，路径转移概率如下：
Figure FDA0002289484990000024
其中，中ωij(t)表示t时刻点i到点j的转角启发函数，σ表示转角启发信息因子，其值为正整数；ηij(t)为t时刻点i到点j的启发信息为j点到目标点E的欧氏距离。
6.根据权利要求1所述的一种基于自适应蚁群算法的移动机器人路径规划方法，其特征在于：步骤五的具体步骤如下：
通过Bezier公式逼近栅格地图中得到的带有尖峰的路径折线，得到一条与折线走势相同的平滑曲线，具体为；在空间n+1点的位置pi(i＝0,1,2,3,4,…,n)，则n次Bezier曲线描述为：
Figure FDA0002289484990000031
其中，Pi代表Bezier曲线的控制点，T表示Bezier曲线控制参数，Ti是参数T的i次方；
采用三阶Bezier曲线平滑路径，公式表示为：
B(T)＝P0(1-T)3+3P1T(1-T)2+3P2T2(1-T)+P3T3；
其中，P0表示pi i＝0，以此类推；
其中，
Figure FDA0002289484990000032
其中参数T为Bezier曲线控制参数；
对路径折线分段采用贝塞尔曲线平滑处理，然后再拼接起来，任意点处的曲率为：
Figure FDA0002289484990000033
其中x′(T)即为x＝x(T)关于T的一阶导数，x″(T)为x＝x(T)关于T的二阶导数，x′2(T)则为x′(T)的平方；B′(T)为B＝B(T)关于T的一阶导数；B″(T)为B＝B(T)关于T的二阶导数、B′2(T)为B′(T)的平方。
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