CN111259549A - 一种任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法。首先，板的任意广义位移和力的边界条件采用快速收敛的改进傅立叶级数表示；同时，基于考虑地基刚度、不同加载条件、任意边界条件下板屈曲的控制微分方程，引入改进傅立叶级数得到控制微分方程的准确通解；基于通解推导出解析的谱刚度矩阵，该矩阵准确映射广义位移与力边界条件的改进傅立叶系数；结合Wittrick‑Williams算法和二分法求解组合板的临界屈曲载荷和模态，解决了Wittrick‑Williams算法中的J₀问题。本发明求解精度高、速度快，适用于任意边界条件，工程应用范围广，能够显著提高结构的参数分析和优化设计效率。

Description

一种任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法

技术领域

本发明涉及结构力学屈曲分析领域，尤其是一种任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法。

背景技术

板结构因其轻质和力学性能良好能承受较大载荷的特点，在航空、船舶等机械工程领域有着广泛的应用，然而该结构在应用时由于受到的荷载形式复杂，如果处理不当可能导致结构发生失稳。而屈曲行为又是常见的重要失稳形式，可导致结构发生整体屈曲失稳和局部屈曲失稳。整体屈曲失稳会导致结构几何形状急剧改变从而丧失承载能力，而局部屈曲失稳会导致部分结构的有效截面变小并且部分构件退出工作从而加速结构整体失稳。板的屈曲行为一旦发生，结构随即丧失功能，远比强度破坏危险。而关于板屈曲失稳的原因，其所受的载荷形式、边界条件及支撑条件都对屈曲行为的发生有着至关重要的影响。因此，在工程领域中板组合结构在多种载荷组合下的结构设计时针对任意边界条件及支撑条件进行屈曲分析，从而避免工程中的失稳破坏是一项急需解决的重要问题。

关于板在不同边界条件下的屈曲分析研究，现有技术中提出了不同形式的数值方法和解析方法并且不断优化和发展。许多有效的数值方法通常能满足工程要求，误差在接受范围内，因而被众多技术人员研究，但是这些方法通常对于网格的划分要求较高，进行结构优化设计时需要重新划分网格，往往面临计算效率低，精度不达要求，不利于结构进行高精度行为预测和参数快速优化的问题，因此准确高效的解析解是必不可少的。虽然解析方法相比数值方法精度更高，然而应用于板屈曲分析中，针对不同的边界条件需要采用不同的解析表达式，不具有普适性，且往往面临数值稳定性问题。目前，仍然没有可满足任意边界条件的高效屈曲分析解析方法。

综上所述，在众多分析研究板结构屈曲行为的方法中，往往计算效率高且精度高的方法仅适用于特定边界条件，而满足任意边界条件的方法又往往面临计算精度及效率低、数值不稳定的问题。因此，现有技术中需要一种在工程领域中可对任意边界条件下的板屈曲进行准确而高效的分析的方法。

发明内容

本发明目的在于针对现有屈曲分析技术中对板组合结构施加任意边界条件进行结构分析和设计优化时效率低的技术问题，提出一种准确高效的任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法，以解决或改善背景技术中提出的问题。

一种任意边界条件下板组合结构的屈曲半解析分析方法，包括以下步骤：

S1)采用改进傅立叶级数(Modified Fourier series)表示板单元的广义位移和广义力的边界条件；

S2)采用改进傅立叶级数推导板单元的屈曲控制微分方程(GDE)的精确形函数；

S3)对精确形函数进行符号计算建立映射板的广义边界位移与力改进傅立叶系数的单元谱刚度矩阵；

S4)对得到的板单元谱刚度矩阵进行组合；

S5)将任意给定的力和位移边界条件表示成改进傅立叶系数的形式施加到总体谱刚度矩阵；

S6)采用Wittrick-Williams算法和二分法计算得到板组合结构的临界屈曲载荷和模态。

进一步的，所述步骤S1中板的广义位移和力的边界条件由改进傅立叶级数表示，具体包括先用变分原理导出如式组1所示的板的位移和力的边界条件：

其中，w表示位移，φ_x和φ_y表示转角，m_xx，m_yy表示弯矩，v_x，v_y表示剪切力，ν表示泊松比；

再引入改进傅立叶级数表示板的位移和力的边界条件，分别表示如式2与式3：

Τ_k(α_kmx),Τ_j(β_jny)分别为x方向和y方向的改进傅立叶基函数，ζ_km,ζ_jn取2或1，由改进傅立叶级数决定。其中：

m和n分别为x方向和y方向的傅立叶级数阶数。

进一步的，所述步骤S 2中板单元结构的控制微分方程表示为式1，所述步骤S1中引用改进傅立叶级数推导出的板结构的精确形函数w(x,y)表示为式5：

其中，(x,y)∈[-a,a]×[-b,b],a和b为板的长和宽，D是板的弯曲刚度，k是温克尔地基的刚度，N_x，N_y为面内载荷，

为x方向的改进傅立叶基函数，

为将

代入控制微分方程推导出的y方向的通解，

为y方向的改进傅立叶基函数，

为将

代入控制微分方程推导出的x方向的通解。

进一步的，所述步骤S3中对精确形函数进行符号计算建立映射板的边界广义位移系数与边界广义力系数的单元谱刚度矩阵，表示如式7：

f＝Kd (式7)；

f和d分别为为板单元的广义边界力和位移的改进傅立叶系数，K为单元谱刚度矩阵。

进一步的，所述步骤S4中对得到的板单元谱刚度矩阵进行组合具体是通过结线直接结合的方式来描述板组合结构。

进一步的，所述步骤S5中将任意施加的力和位移边界条件表示成改进傅立叶系数形式直接施加到总体谱刚度矩阵，具体方法为：施加任意边界条件将删除总体谱刚度矩阵中对应于固定位移边界约束节点在谱刚度矩阵中对应的所有行和列删除以，得到最终的板组合结构的最终总体谱刚度矩阵。

进一步的，所述步骤S6中采用Wittrick-Williams算法和二分法得到板组合结构的临界屈曲载荷和模态具体包括以下过程：

利用高斯圆原理求得J_G，J_G为四边滑支板的模态计数；

利用J_G求得全固支板的模态计数J₀，表示如式8：

J₀＝J_G-s(K_G) (式8)；

s(K_G)为四边滑支板刚度矩阵的符号计数(负惯性指数)；

利用J₀求得任意边界下板的模态计数J，表示如式9：

J＝J₀+s(K_f) (式9)；

s(K_f)为任意边界下板刚度矩阵的符号计数(负惯性指数)；

再引用二分法原理求得板组合结构的临界屈曲载荷，以及利用板组合结构的形函数求得其模态。

本发明至少具有以下有益效果：

本发明提供了一种任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法，是一种可放置于温克尔地基上针对任意边界条件进行组合矩形板屈曲准确高效分析的谱刚度半解析方法。

本发明在考虑地基刚度和双向加载的板的屈曲控制微分方程(GDE)的基础上，引入改进傅立叶级数得到方程的准确通解。并将板广义位移和广义力的边界条件用傅立叶级数系数表示。之后对准确通解进行符号计算建立了映射板边界广义位移系数与边界广义力系数的高精度谱刚度矩阵。该谱刚度矩阵可满足任意边界条件的施加，本发明提出的谱刚度方法可以对板组合结构施加任意边界条件，在工程领域适用范围广并且极大提高了求解多种边界条件下的板结构屈曲解的计算效率。

本发明采用广义Wittrick-Williams算法，同时有效地解决了J₀问题，得到组合板的高精度临界屈曲载荷系数及屈曲模态；且可展开多种因素如地基刚度、载荷组合以及长宽比对于矩形板屈曲行为影响的研究，同时求解精度高、收敛速度快，其计算效率比现有的商用软件提高了100倍上。

本发明所提出的方法可以综合研究相关参数例如长宽比、面内载荷组合、边界条件以及地基刚度等对于板屈曲行为的影响，可以高效高精度地进行结构参数化分析和优化设计，显著提高结构的参数分析和优化设计效率。

除了上面所描述的目的、特征和优点之外，本发明还有其它的目的、特征和优点。下面将参照图，对本发明作进一步详细的说明。

附图说明

构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：

图1是本发明优选实施例的任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法的流程示意图；

图2是本发明优选实施例的任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法所述板放置在温克尔地基上的示意图；

图3是本发明优选实施例的任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法所述板单元谱刚度矩阵通过结线直接结合的方式进行板组合的原理示意图；

图4是为验证本发明的任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法的效果而选取的用于分析的板组合结构的示意图；

图5是本发明图4所示的板组合结构的三块板单元谱刚度矩阵组合示意图；

图6是用本发明所述的任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法对图4所示的板组合结构进行分析得到的前6阶模态图。

具体实施方式

为使本发明解决的技术问题、采用的技术手段和达到的技术效果更加易于理解，下面结合附图和实例对本发明做更详细的描述。需要解释的是，此处描述的具体实例仅仅用于解释本发明，而非对本发明的限定。

参见图1～图3，本实施例提供了一种任意边界条件下板组合结构屈曲分析的半解析方法，包括以下步骤：

S1)采用改进傅立叶级数(Modified Fourier series)表示板单元的广义位移和广义力的边界条件；

S2)采用改进傅立叶级数推导出板结构的控制微分方程(GDE)的精确形函数；

S3)对精确形函数进行符号计算建立映射板的边界广义位移系数与边界广义力系数的单元谱刚度矩阵；

S4)板的谱刚度单元矩阵可直接组合成总体谱刚度矩阵，用以描述复杂板组合结构，组装过程类似于有限元法；

S5)任意施加的力和位移边界条件表示成改进傅立叶系数形式直接施加到总体谱刚度矩阵；

S6)采用Wittrick-Williams算法和二分法相结合得到板组合结构的临界屈曲载荷和模态。

本实施例中，所述步骤1中将板的广义位移和广义力的边界条件用改进傅立叶级数系数表示的方法包括下述步骤S1.1～S1.2：

S1.1)由变分原理导出板的边界条件，表示如式组10：

其中，φ_x和φ_y表示转角，m_xx，m_yy表示弯矩，v_x，v_y表示剪切力，ν表示泊松比；

S1.2)引入改进傅立叶级数表示板边界条件，表示如式11与式12：

Τ_k(α_kmx),Τ_j(β_jny)分别为x方向和y方向的改进傅立叶基函数，ζ_km,ζ_jn取2或1，由改进傅立叶级数决定。其中：

m和n分别为x方向和y方向的傅立叶级数个数。

本实施例中，所述步骤S2中采用改进傅立叶级数得到板结构的控制微分方程精确形函数的方法具体包括步骤S2.1～S2.5：

S2.1)引入变分原理，建立板屈曲的控制微分方程，表示为式14：

其中(参见图2)，(x,y)∈[-a,a]×[-b,b],a和b为板的长和宽，D是板的弯曲刚度，k是温克尔地基的刚度；

S2.2)通过得到两级数的通解，形成具有任意边界条件的板单元的完整解集，表示如式15：

其中，采用一维改进傅立叶级数描述在[-a,a]×[-b,b]范围内的傅立叶基函数

和

表示如式组16：

S2.3)推导出控制微分方程的两级数通解，表示如式17：

S2.4)将式组11中的

和

代入式13的控制微分方程，分别得到两个特征方程，分别如式18和式19所示，求解未知数p_km和q_jn：

S2.5)引用三角函数和双曲函数的对称和反对称性质，将通解转化为四个解分量的和，表示如式20：

其中，0代表对称，1代表反对称，k和j表示与x和y有关的对称性；

其中A_1km,A_1km,B_1jn和B_2jn是待求解的未知系数，H代表如式组22所示的双曲线方程：

其中，kj解分量可以仅用第一象限的函数表示。

本实施例中，所述步骤3中对精确形函数进行符号计算建立映射板的广义边界位移与力改进傅立叶系数的单元谱刚度矩阵的方法包括下述步骤S3.1～步骤S3.4：

S3.1)引入谱刚度法通过将代表kj解分量的式11、式12代入代表边界条件的式组10来实现将广义力和位移的边界条件的改进傅立叶系数联系在一起，表示如式23与式24：

S3.2)利用式11、式12、式23与式24里面关于

和

的表达式求出准确通解表达式中的未知系数A_1km，A_2km，B_1jn和B_2jn，表示如式组25：

S3.3)将求出的系数A_1km，A_2km，B_1jn和B_2jn代入到式11、式12中的

和

得到映射板的广义边界位移和力改进傅立叶系数的单元谱刚度矩阵，表示如式26：

其中，

针对式26，将有关广义边界力系数向量移到左边，有关广义边界位移系数向量移到右边，得到式28：

f^kj＝K^kjd^kj (式28)；

其中，

S3.4)建立整个板单元的谱刚度矩阵K，表示如式31：

f＝Kd (式31)；

其中，K＝Tdiag(K⁰⁰,K⁰¹,K¹⁰,K¹¹)T^T/2 (式32)；

T为总体转置矩阵，K⁰⁰，K⁰¹，K¹⁰，K¹¹为板单元局部谱刚度矩阵，T表示如式33：

其中，O是零矩阵，I_n和I_m分别为n维和m维的单位矩阵。

参见图3，本实施例中，所述步骤S4中对得到的板单元谱刚度矩阵进行组合具体是通过结线直接结合的方式来描述板组合结构。

所述步骤S5中将任意给定施加的力和位移边界条件都可表示成改进傅立叶系数形式直接施加到总体谱刚度矩阵，具体的方法为：施加任意边界条件将删除总体谱刚度矩阵中对应于固定位移边界约束节点在谱刚度矩阵中对应的所有行和列删除以，得到最终的板组合结构的最终总体谱刚度矩阵。

本实施例中，所述步骤S6中采用Wittrick-Williams算法和二分法相结合得到板组合结构的临界屈曲载荷和模态的方法具体包括以下的步骤S6.1～步骤S6.9：

S6.1)引入四边滑支板(四边只约束转角，不约束位移)的形状函数，结合板控制微分方程得到其特征方程，表示如式34：

m⁴+a₁m²n²+a₂n⁴+a₃m²+a₄n²+a₅＝0, (式34)；

其中，a₁＝2(a/b)²,a₂＝(a/b)⁴,a₃＝(2a/π)²N_x,a₄＝(2a/π)²(a/b)²N_y,a₅＝(2a/π)⁴k；

S6.2)设置初始化模态计数J_G为0，输入面内载荷[N_x,N_y]^T；

S6.3)若满足N_x≤0(无面内载荷或者为面内压力)，则进行以下的步骤S6.3.1～步骤S6.3.4：

S6.3.1)使n＝0，式33所示的特征方程变为m⁴+a₃m²＝0，得出

S6.3.2)使m的值从0到

其中

是指不大于m^*的整数；

S6.3.3)将赋予m的值代入特征方程导出公式a₂n⁴+b₂n²+c₂＝0,

其中b₂＝a₁m²+a₄,c₂＝m⁴+a₃m²-a₅,得到根

S6.3.4)

S6.4)若满足N_x>0(为面内拉力)同时N_y≤0(为面内压力)，则进行以下的步骤S6.4.1～步骤S6.4.4：

S6.4.1)使m＝0，特征方程变为a₂n⁴+a₄n⁴＝0,得出

S6.4.2)使n的值从0到

S6.4.3)将步骤S6.4.2中赋予n的值代入特征方程导出公式m⁴+b₃m²+c₃＝0，其中b₃＝a₁n²+a₃,c₂＝a₂n⁴+a₄n²-a₅,得到根

S6.4.4)

S6.5)得到四边滑支板模态计数J_G；

S6.6)用式35计算s(K_G)，用式36计算J₀，s(K_G)为四边滑支板的谱刚度矩阵的符号计数(负惯性指数)，J₀为四边全固支板的模态数；

J₀＝J_G-s(K_G) (式36)；

S6.7)计算最终板刚度矩阵K_f，并得到最终的板的模态数J，方法如式37：

J＝J₀+s(K_f) (式37)；

其中，s(K_f)为板组合结构谱刚度矩阵的符号计数(负惯性指数)；

S6.8)通过二分法求解临界屈曲载荷系数，设定需要的模态阶数和起始试算载荷力系数，当输入的载荷力系数N使得J发生变化时，通过二分法不断进行收敛当满足设定收敛要求时即得到对应阶数的临界屈曲载荷系数N^*；

S6.9)得到临界屈曲载荷系数N^*后，通过符号计算求出对应的系数A_1km,A_2km,B_1jn和B_2jn并代入到式21，根据设定好的改进傅立叶级数进行叠加得到最终的板组合结构的模态。

为了验证本发明的方法，将本发明的方法应用到图4所示的由三块板单元拼接而成的板组合结构，基于MATLAB软件工具进行屈曲分析：

图4所示的板组合结构由左、中、右三块板(三个板单元)拼接构成，三块板的几何和材料参数分别为

左边板长为a＝1m、宽为b＝1m、板厚为h＝0.001m、密度为＝2660kg/m3、杨氏模量E＝7.1E9Pa、泊松比＝0.3。

中间板长为a＝1m、宽为b＝1m、板厚为h＝0.0015m、密度为＝2660kg/m3、杨氏模量E＝7.1E9Pa、泊松比＝0.3。

右边板长为a＝1m、宽为b＝1m、板厚为h＝0.001m、密度为＝2660kg/m3、杨氏模量E＝7.1E9Pa、泊松比＝0.3。

考虑图4所示的三块板的受力情况和边界条件为：左边板的三条边受面内压力，均为简支。中间板的两条边受面内拉力，均为固支。右边板的三条边受面内压力，均为简支。

分析的具体步骤与过程如下：

步骤1：将板组合结构的广义位移和广义力的边界条件由改进傅立叶级数表示：

对于由图4的三个板单元构成的板组合结构，每个板单元均对应相应的广义位移d和广义力f的边界条件，每个板单元的边界条件均可代入程序计算得到并用式组38所示的向量形式表示：

其中

其中T为转置矩阵，见式33。

步骤2：建立映射板边界广义位移系数与广义力系数的单元谱刚度矩阵：

对于三个板单元，每个板单元均对应谱刚度矩阵K，每个板单元均可通过符号计算表示如式40

K＝Tdiag(K⁰⁰,K⁰¹,K¹⁰,K¹¹)T^T/2 (式40)；

其中

其中，

均可通过代入板的结构几何参数和边界载荷进行符号计算求得。

步骤3：求出单元谱刚度矩阵的J₀；

对于三个板单元对应的谱刚度矩阵，每个单元谱刚度矩阵的J₀均可通过式42求得，

J₀＝J_G-s(K_G) (式42)；

首先通过MATLAB软件工具中的符号计算得到

并利用式35求得K_G，K_G分别为三个板在滑支边界即只约束转角不约束位移下的谱刚度矩阵；

接下来求出三个板单元的J_G，左边板在x方向受面内压力，中间板在x方向无面内载荷，右边板在x方向受面内压力，因此均可代入步骤S6.3，最终得到三个板单元的J_G。

步骤4：对单元谱刚度矩阵进行组合并将施加的边界条件表示成改进傅立叶系数形式直接施加到总体谱刚度矩阵：

对应三个板单元谱刚度矩阵的组合示意图如图5所示，3个谱刚度单元矩阵在程序中通过结线直接结合来描述板组合结构的谱刚度矩阵K。

接下来对应三个板单元拼成的板组合结构，每个板单元的边均对应相应的位移w和转角φ，左边板三边为简支，对应的三边位移w＝0，转角φ不受约束。中间板两边为固支，对应的位移w＝0，转角φ＝0。右边板三边为简支，对应的三边位移w＝0，转角φ不受约束。因此，将板组合结构的谱刚度矩阵K中的d₁,d₂,d₄,d₅,d₇,d₈,d₉,d₁₀中有关w对应的行和列删掉，以及将板组合结构的谱刚度矩阵K中的d₅,d₇中有关φ对应的行和列删掉。最终可以得到板组合结构的总体谱刚度矩阵K_f。

步骤5：使用改进Wittrick-Williams算法求解谱刚度矩阵并得到模态数J：

得到的板组合结构的谱刚度矩阵K_f后，即可通过式37得到三块板组合后的最终的板的模态数J。

步骤6：使用二分法求得施加边界条件下的组合板的临界屈曲载荷系数：

设定需要的模态阶数为6和起始试算载荷力系数N为0.01，将试算载荷力系数N代入到最终的谱刚度矩阵，求得J。当输入的载荷力系数使得J发生变化时，通过二分法不断进行收敛当满足设定精度要求时求得板组合结构的对应阶数的临界屈曲载荷系数N^*。最终可以得到图6所示的前6阶临界屈曲载荷系数。

步骤7：通过符号计算求得板组合结构的模态：

分别将前6阶临界屈曲载荷系数对应的N^*进行符号计算求出对应的系数A_1km,A_2km,B_1jn和B_2jn带入到式21，根据设定好的改进傅立叶级数为30进行叠加得到最终的前6阶板组合结构的模态。

最终得到的3个板单元组成的板组合结构的前6阶临界屈曲载荷系数和模态分别如表1和图6所示。

表1图4所示的板组合结构的前6阶临界屈曲载荷系数N^*(N^*＝N_x(2a)²/Dπ²)

模态阶数	1	2	3	4	5	6
							临界屈曲载荷系数	2.3562	2.3601	5.2123	5.2124	5.5820	5.5960

为了验证本发明的方法相对于现有的商业有限元软件的优势，本实施例还用本发明的方法及商业有限元软件HyperWorks分别求解获得四种边界条件下(F代表自由，C代表固支，S代表简支，G代表滑支)方形板在四边受面内压力的前6阶屈曲载荷系数，具体对比如表2所示，其中FEM表示商业有限元软件HyperWorks计算得到的结果及所用时间，其余结果为本发明方法所得：

表2方形板四种边界条件下的前6阶临界屈曲载荷系数N^*(N^*＝N_x(2a)²/Dπ²)

对比表2中的数据发现，本发明所提出的方法与商业有限元法相比至少具有两个数量级的速度优势，具有精度高且速度快的优点。

上述具体实施方式表明，依据本发明所提出的板组合结构的屈曲分析的半解析方法，可以准确高效地获得任意边界条件下不同面内载荷的板组合结构的临界屈曲载荷以及模态。大大节约了结构参数化分析和优化设计的计算时间，为工程领域的屈曲研究提供了可靠的分析手段。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明的保护范围，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种任意边界条件下板组合结构的屈曲半解析分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1)板的广义位移和广义力的任意边界条件方程由改进傅立叶级数表示，比传统傅立叶级数收敛速度快一个数量级；

S2)采用改进傅立叶级数推导出板单元的屈曲控制微分方程的精确形函数；

S3)对精确形函数进行符号计算建立映射板的边界广义位移系数与边界广义力系数的单元谱刚度矩阵；

S4)本方法中板的谱刚度单元矩阵可直接组合成总体谱刚度矩阵，用以描述复杂板组合结构，组装过程类似于有限元法；

S5)任意施加的力和位移边界条件表示成改进傅立叶系数形式直接施加到总体谱刚度矩阵；

S6)采用Wittrick-Williams算法和二分法相结合得到板组合结构的临界屈曲载荷和模态。

2.根据权利要求1所述的一种任意边界条件下板组合结构的屈曲半解析分析方法，其特征在于，所述步骤S1中板的广义位移和力的边界条件由改进傅立叶级数表示，具体包括先用变分原理导出如式组1所示的板的位移和力的边界条件：

其中，w表示位移，φ_x和φ_y表示转角，m_xx，m_yy表示弯矩，v_x，v_y表示剪切力，ν表示泊松比；

再引入改进傅立叶级数表示板的位移和力的边界条件。若采用f(x)表示力边界条件方程v_x(x)或m_xx(x)，f(y)表示力边界条件方程v_y(y)或m_yy(y)；d(x)表示位移边界条件方程w(x)，或φ_x(x)，d(y)表示位移边界条件方程w(y)或φ_y(y)，采用改进傅立叶级数分别表示如式2与式3：

为x方向的改进傅立叶基函数，F_m和D_m分别为平行于x方向的板边界上力边界和位移边界方程对应的改进傅立叶级数的第m阶系数；

为y方向的改进傅立叶基函数，F_n和D_n分别为平行于y方向的板边界上力边界和位移边界方程对应的改进傅立叶级数的第n阶系数系数。采用改进傅立叶级数描述有限域的一维非周期性函数时，收敛速度比传统傅立叶级数快一个数量级。

3.根据权利要求1所述的一种任意边界条件下板组合结构的屈曲半解析分析方法，其特征在于，所述步骤S2中板单元结构的控制微分方程表示为式4，所述步骤1中引用改进傅立叶级数推导出的板结构的精确形函数w(x,y)表示为式5：

其中，(x,y)∈[-a,a]×[-b,b],a和b为板的长和宽，D是板的弯曲刚度，k是温克勒地基的刚度，N_x、N_y为面内载荷，

为x方向的改进傅立叶基函数，

为将

代入控制微分方程推导出的y方向的通解，

为y方向的改进傅立叶基函数，

为将

代入控制微分方程推导出的x方向的通解。

4.根据权利要求1所述的一种任意边界条件下板组合结构的屈曲半解析分析方法，其特征在于，所述步骤S3中对精确形函数进行符号计算建立映射板的边界广义位移系数与边界广义力系数的单元谱刚度矩阵，表示如式6：

f＝Kd (式6)；

f和d分别为为板单元的广义边界力和位移的改进傅立叶系数，K为单元谱刚度矩阵。

5.根据权利要求1所述的一种任意边界条件下板组合结构的屈曲半解析分析方法，其特征在于，所述步骤S4中对得到的板单元谱刚度矩阵进行组合，具体是通过结线直接结合的方式来描述板组合结构。

6.根据权利要求1所述的一种任意边界条件下板组合结构的屈曲半解析分析方法，其特征在于，所述步骤S5中将任意施加的力和位移边界条件表示成改进傅立叶系数形式直接施加到总体谱刚度矩阵，具体方法为：删除总体谱刚度矩阵中对应于固定位移边界对应的所有行和列，得到板组合结构的最终总体谱刚度矩阵。

7.根据权利要求1所述的一种任意边界条件下板组合结构的屈曲半解析分析方法，其特征在于，所述步骤S6中采用Wittrick-Williams算法和二分法得到板组合结构的临界屈曲载荷和模态，具体包括以下过程：

利用高斯圆原理求得J_G，J_G为四边滑支板的模态计数；

利用J_G求得全固支板的模态计数J₀，表示如式7：

J₀＝J_G-s(K_G) (式7)；

s(K_G)为四边滑支板刚度矩阵的符号计数(负惯性指数)；

利用J₀求得任意边界下板的模态计数J，表示如式8：

J＝J₀+s(K_f) (式8)；

s(K_f)为任意边界下板刚度矩阵的符号计数(负惯性指数)；

再引用二分法原理求得板组合结构的临界屈曲载荷，以及利用板组合结构的形函数求得其模态。

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