CN111221047A - 一种基于克里金插值的三维地面核磁共振反演方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于地球物理探测数据的正反演解释领域，尤其是以三维的测量方式同时实现的一种基于克里金插值的地面核磁共振正反演方法，包括：获取三维反演结果包括含水量矩阵、弛豫时间矩阵以及对位置信息矩阵；将反演结果作为已知点数据，利用回归函数和相关函数建立求未知点的数据DACE模型；利用建好的DACE模型，对含水量以及弛豫时间进行克里金插值，获得预测点的含水量和弛豫时间信息得到新的三维反演结果，解决了三维核磁共振探测布线时间长，探测效率低，反演精度不高的难题，可应用于裂隙水和岩溶水等复杂条件地下水的高效率、高分辨率、高精度探测，极大地提高了探测效率，节省了野外测量时间。

Description

一种基于克里金插值的三维地面核磁共振反演方法

技术领域

本发明属于地球物理探测数据的正反演解释领域，尤其是以三维的测量方式同时实现的一种基于克里金插值的地面核磁共振正反演方法。

背景技术

地面核磁共振(Surface Nuclear Magnetic Resonance，简称SNMR)是国际上发展起来的一种新的地球物理直接探测地下水的方法，这种在地面直接探测地下介质中氢核丰度的技术，不仅可以用于缺水地区的地下水资源勘查与评价，还可以在地下水引起的堤坝渗漏、矿井突水、隧道涌水、滑坡等地质灾害水源的探测预警中发挥独特的作用。然而，随着技术的广泛应用，针对裂隙水和岩溶水等复杂条件地下水的探测需求逐渐增多，对于这种非层状不均匀水体的探测，技术需要从一维垂向测深转向二维以及三维地下水成像，有必要探索和发展适合于复杂水体的高效率高分辨率的探测方法以及高精度的三维反演方法。

CN201410252327.8公开了一种“基于和声搜索算法的地面核磁共振反演方法”，其先建立了约束R-TLS反演模型，在背景区域电阻率值分布序列和测量信号的初始振幅序列都存在误差的条件下，提高反演精度，后提出了IHS改进的和声搜索算法以求解通过公式推导将该模型转化为受条件约束的非线性优化的问题，消除了反演模型中对含水层最大划分层数的限制，适用于现有层状地质模型中反演算法对背景区域电阻率的分布存在估计误差的情况。蒋川东在Geophysical Journal International[2015，200(2)，824-836]上发表的论文“magnetic resonance tomography using elongated transmitter and in-loopreceiver arrays for time-efficient 2-D imaging of subsurface aquiferstructures”，首先设计阵列线圈的二维测量模式，即一次测量中，采用一个较大线圈作为发射线圈，多个小线圈同时采集磁共振信号，并给出了基于分辨率半径分析的阵列线圈组合模式的优化设计方法，最后通过二维初始振幅反演获取地下含水量信息，对比分析了正方形以及长方形阵列线圈的边对边型和半覆盖型测量模式，得出了当仪器系统的采集通道足够多时，长方形阵列线圈半覆盖测量模式是实现快速高分辨率二维地下水探测的最优测量模式。

上述发明的基于和声搜索算法只能解决一维地面核磁共振反演问题，横向分辨率低，反演结果不稳定；长方形阵列线圈半覆盖测量模式与正方形阵列线圈相比，提高了探测分辨率，但受仪器系统采集通道个数的限制，需要进行多次测量，存在耗时耗力、测量效率低、反演结果精度不高、不平滑等缺点，此外，为提高水平分辨率，采用短边长的线圈对已知长度的测线进行探测及反演成像时，长方形阵列线圈半覆盖模式的测量效率将严重降低。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于提供一种适用于非层状不均匀水体的高效率高分辨率探测，既能节省测量时间，又能得到高精度平滑的反演结果，对裂隙水和岩溶水等复杂条件的一种基于克里金插值的三维地面核磁共振反演方法。

本发明是这样实现的，

一种基于克里金插值的三维地面核磁共振反演方法，该方法包括如下的步骤：

1)获取三维反演结果包括含水量矩阵、弛豫时间矩阵以及对位置信息矩阵；

2)将反演结果作为已知点数据，利用回归函数和相关函数建立求未知点的数据DACE模型；

3)利用建好的DACE模型，对含水量以及弛豫时间进行克里金插值，获得预测点的含水量和弛豫时间信息得到新的三维反演结果。

进一步地，步骤2)中具体包括：

21)、对于三维反演，其结果有含水量、弛豫时间以及对应的三维位置信息(x,y,z)，对三维位置信息中的深度z进行处理，剔除冗余数据，选择出有效无重复的数据，记为矩阵z0，然后利用矩阵z0对应的某一深度的xy平面的含水量及弛豫时间建立DACE模型；

22)、选定一个深度z，将这一深度所有x轴的值记为矩阵x，所有y轴的值记为矩阵y，所有z轴的值记为矩阵z；这一深度z的所有反演的含水量结果记为矩阵w，弛豫时间记为矩阵T₂ ^*；x、y、z、w、T₂ ^*都为行数相同的列向量，将x轴、y轴坐标记为二维的坐标矩阵S；对坐标矩阵S行标准化处理，使其符合正态分布，表示如下：

S＝[xe ye]

式中，坐标矩阵S维度为m×n的一个矩阵，n的值为2，m为坐标点的个数，xe和ye为标准化处理之后的x轴、y轴的值，为两个行数相同的列向量，则w、

分别表示如下：

w＝[w(s₁) w(s₂) w(s₃)…w(s_m)]^T

式中，w(s_m)、

分别为各个位置处的含水量和弛豫时间；

23)、利用二阶多项式对坐标矩阵S进行计算，得到每一个坐标点的回归函数f(s)，二阶多项式公式表示如下：

f₁(s)＝1

f₂(s)＝x₁，...，f_n+1(s)＝x_n

......

式中，s为坐标矩阵S中某一个坐标点，x₁、x₂...x_n为坐标矩阵S中的坐标点，n＝2，只涉及到x₁和x₂，为x轴和y轴的坐标点；则某一位置s的回归函数的矩阵表示为：

则其坐标矩阵S的回归函数矩阵表示如下：

F＝[f(s₁) f(s₂) f(s₃)…f(s_m)]^T

24)、计算各坐标点两两之间的距离，用x轴和y轴的差值的形式表示，利用矩阵D表示如下：

D＝[xd yd]

式中，xd与yd为各坐标点两两之间x轴和y轴的差值，为两个行数相同的列向量，则两坐标点之间的距离表示为d_ij，由下式计算而得：

式中，xd_i、xd_j和yd_i、yd_j分别为xd与yd两个列向量中对应的元素。

25)、对含水量矩阵w及弛豫时间矩阵

利用高斯模型计算相关函数R_w(s)、R_T(s)，表示如下：

式中，θ_wj、θ_Tj为设定的初始值，则其坐标矩阵S的相关函数矩阵表示如下：

R_w(s)＝[R_w(s₁) R_w(s₂) R_w(s₃)…R_w(s_m)]

R_T(s)＝[R_T(s₁) R_T(s₂) R_T(s₃)…R_T(s_m)]

26)、利用广义最小二乘法计算回归函数的系数

和

其表达式如下所示：

式中F为坐标矩阵S的回归函数矩阵，R_w、R_T为坐标矩阵S的相关函数矩阵，w、

为各坐标点的含水量矩阵和弛豫时间矩阵；

27)、相关函数系数

和

通过下式计算：

进一步地，步骤3)具体包括：

A、在线圈正下方选定插值的坐标范围，对各个深度分别进行插值，其某一深度的插值区域定义为l_j≤x_j≤u_j，j＝1,...,n，n＝2；通过对各个深度数据集按照预定步长进行插值，得到对整个地下细密的三维剖分，其预测点坐标插值公式如下：

式中v_j为整数，当所有的v_j＝v时，会产生(v+1)个数值，则其预测点的坐标个数为(v+1)²，使其数据点大大增加；

B、利用预测点坐标计算回归函数f(s)、相关函数R_w(s)、和相关函数R_T(s)，回归函数为二阶多项式，相关函数为高斯模型；

C、利用建立好的DACE模型以及预测点表达式计算预测点的含水量和弛豫时间，通过插值预测补充剖分网格中的含水量和弛豫时间，预测点表达式如下：

式中，f(s)^T为回归函数，

分别为关于含水量和弛豫时间的回归函数系数，R_w(s)、R_T(s)分别含水量和弛豫时间的相关函数，

为相关函数系数；

和

都是固定值，由已知点信息计算而得并存储与DACE模型中。

本发明与现有技术相比，有益效果在于：

本发明公开的一种基于克里金插值的三维地面核磁共振反演方法，用铺设较少的线圈，只采集几个测点的信号，结合克里金插值的反演方法，仍然可以达到用阵列式线圈半覆盖所得到的解释结果。适用于非层状不均匀水体探测，采用克里金插值的方法对核磁共振反演结果的含水量和弛豫时间进行插值计算，保证了反演效率，扩大了数据矩阵，增加了数据间的相关性，提高了反演精度。解决了三维核磁共振探测布线时间长，探测效率低，反演精度不高的难题，可应用于裂隙水和岩溶水等复杂条件地下水的高效率、高分辨率、高精度探测，极大地提高了探测效率，节省了野外测量时间。

附图说明

图1为三维地面核磁共振探测线圈布设位置关系图；

图2为三维矢量磁场分解示意图；

图3为克里金插值方法流程图；

图4为基于克里金插值的三维地面核磁共振反演方法流程图；

其中，1发射线圈，2第一接收线圈，3第二接收线圈，4第三接收线圈，5第四接收线圈，x east正东方向，y south正南方向，z down垂直向下方向。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，该方法通过发射线圈1向地下发射频率为当地拉莫尔频率的交变电流，产生感应磁场。在感应磁场的作用下，地下水中氢质子产生能级跃迁，大量氢质子跃迁到高能级上。当撤去供电电流，这些高能级氢质子便逐渐回到低能级状态，释放出大量的具有拉莫尔频率的能量子，在第一接收线圈、第二接收线圈、第三接收线圈和第四接收线圈中感应出核磁共振信号。在水平地面沿东西方向铺设长方形发射线圈1，在发射线圈1内部等距离铺设第一接收线圈2、第二接收线圈3、第三接收线圈4和第四接收线圈5。

如图2所示，由于地下任意一点的感应磁场可沿x、y、z三个方向进行分解，氢质子核自旋过程中，感应磁场中只有垂直于地磁场的分量起实际作用，因此，设地磁场方向沿x轴，利用感应磁场的y和z分量计算垂直于地磁场方向的分量，利用该感应磁场的垂直分量计算灵敏度核函数。

核磁共振包络信号表达式如下所示，其中K(q,r)为三维灵敏度核函数：

式中，V(q，r)为核磁共振信号，q为激发脉冲矩，r为某一位置，w(r)为该剖分单元的含水量，t、T₂ ^*分别代表接收时间、弛豫时间，ω_L为激发频率，M₀为氢原子核的宏观磁化强度，λ_P为旋磁比，I₀为单位电流强度，

为发射场顺时针分量，

为接收场逆时针分量，ξ_T和ξ_R为发射和接收相位。

如图3所示，克里金插值是将含水量矩阵以及弛豫时间矩阵进行插值，首先得到反演结果含水量w、弛豫时间T₂ ^*以及位置信息S，选定插值的层深后，利用已有的数据信息建立DACE模型,DACE模型是克里金插值代码包里的称呼，利用已知数据建立一个模型，这个模型就用来求未知点的数据，按照预定步长的网格密度对需要插值的工作平面进行网格划分，得到预测点坐标，利用建立好的DACE模型以及预测点表达式计算预测点的含水量和弛豫时间，并得到含水量和弛豫时间的分布图。对含水量以及弛豫时间进行克里金插值的表达如下：

式中，f(s)^T为回归函数，

分别为关于含水量和弛豫时间的回归函数系数，R_w(s)、R_T(s)分别含水量和弛豫时间的相关函数，

为相关函数系数；

和

都是是固定的，由已知点信息计算而得并存储与DACE模型中。

如图4所示，为基于克里金插值的三维地面核磁共振反演方法，包括以下步骤：通过a-g获得反演结果含水量和位置信息：

a、在水平地面沿东西方向铺设长方形发射线圈1，在发射线圈1内部等距离铺设第一接收线圈2、第二接收线圈3、第三接收线圈4和第四接收线圈5，利用毕奥萨伐定理计算地下任意一点的三维矢量磁场：

式中，B_x为沿x方向的矢量磁场；B_y为沿y方向的矢量磁场；B_z为沿在z方向的矢量磁场；

和

为直角坐标系的方向向量；

b、计算三维灵敏度核函数K(q,r)的表达式

c、将核磁共振信号表达式及其矩阵形式如下所示：

其中，Δ代表差值；K_w为关于含水量的灵敏度核函数，

为关于弛豫时间的灵敏度核函数，公式可表示为：

d、由数据目标函数Φ_d和模型目标函数Φ_m建立关于实测信号与正演信号差值的最优化问题的反演总体目标函数Φ，写作吉洪诺夫正则化标准方程：

Φ＝Φ_d+λΦ_m

式中，λ为正则化参数，数据目标函数表示为：

式中，D实测信号振幅V的权值，由信号或噪声的不确定度计算得到，模型目标函数表示为：

式中，C是平滑度矩阵，

为平滑限制条件，确保在所有剖分网格内部都能得到稳定的平滑约束解，其中矩阵m为包含含水量和弛豫时间的矩阵，可表示为下式：

e、利用吉洪诺夫正则化法选取最优正则化参数，计算对应的总体目标函数Φ，寻找最佳迭代步长；

f、利用高斯牛顿迭代法建立模型方程：

式中，T表示矩阵的转置；J为Gker的雅克比矩阵，Δw_k为含水量的模型增量，w_k为当前迭代次数下的含水量值，利用线性搜索来获取最优搜索步长，用共轭梯度最小二乘法来求取每次迭代的模型增量Δw_k；

g、重复上述f过程，直到反演数据误差小于设定误差，获得反演结果含水量和位置信息；

采用得到的反演的数据结果包括含水量、弛豫时间以及对应的空间坐标，为了保证反演的迭代效率，反演的数据集一般较小，需要对反演结果进行克里金插值，扩大数据矩阵，提高反演效率及其准确性。

具体包括：

利用反演的数据结果计算得到回归函数和相关函数建立DACE模型。

然后在线圈的正下方，按照预定步长的网格密度对某一深度进行网格划分，得到预测点坐标，利用建立好的DACE模型以及预测点表达式计算预测点的含水量和弛豫时间。通过对各个深度的数据集进行插值，得到整个地下细密的三维剖分，补充剖分网格的中含水量和弛豫时间，充分减少了反演点数，保证反演迭代效率，进一步提高反演的准确性，获得高精度的反演结果，输出并快速成像。

将反演结果作为已知点数据，利用回归函数和相关函数建立DACE模型包括：

21)、对于三维反演，其结果有含水量、弛豫时间以及对应的三维位置信息(x,y,z)，对三维位置信息中的深度z进行处理，剔除冗余数据，选择出有效无重复的数据，记为矩阵z0，然后对矩阵z0对应的某一深度的xy平面的含水量及弛豫时间进行克里金插值建立DACE模型；

22)、选定一个深度z，将这一深度所有x轴的值记为矩阵x，所有y轴的值记为矩阵y，所有z轴的值记为矩阵z；这一深度z的所有反演的含水量结果记为矩阵w，弛豫时间记为矩阵

x、y、z、w、

都为行数相同的列向量，将x轴、y轴坐标记为二维的坐标矩阵S；对坐标矩阵S行标准化处理，使其符合正态分布，表示如下：

S＝[xe ye]

式中，坐标矩阵S维度为m×n的一个矩阵，n的值为2，m为坐标点的个数，xe和ye为标准化处理之后的x轴、y轴的值，为两个行数相同的列向量，则w、

分别表示如下：

w＝[w(s₁) w(s₂) w(s₃)…w(s_m)]^T

式中，w(s_m)、

分别为各个位置处的含水量和弛豫时间；

23)、利用二阶多项式对坐标矩阵S进行计算，得到每一个坐标点的回归函数f(s)，二阶多项式公式表示如下：

f₁(s)＝1

f₂(s)＝x₁，...，f_n+1(s)＝x_n

......

式中，s为坐标矩阵S中某一个坐标点，x₁、x₂...x_n为坐标矩阵S中的坐标点，n＝2，只涉及到x₁和x₂，为x轴和y轴的坐标点；则某一位置s的回归函数的矩阵表示为：

则其坐标矩阵S的回归函数矩阵表示如下：

F＝[f(s₁) f(s₂) f(s₃)…f(s_m)]^T

24)、计算各坐标点两两之间的距离，用x轴和y轴的差值的形式表示，利用矩阵D表示如下：

D＝[xd yd]

式中，xd与yd为各坐标点两两之间x轴和y轴的差值，为两个行数相同的列向量，则两坐标点之间的距离表示为d_ij，由下式计算而得：

式中，xd_i、xd_j和yd_i、yd_j分别为xd与yd两个列向量中对应的元素。

25)、对含水量矩阵w及弛豫时间矩阵T₂*利用高斯模型计算相关函数R_w(s)、R_T(s)，表示如下：

式中，θ_wj、θ_Tj为设定的初始值，则其坐标矩阵S的相关函数矩阵表示如下：

R_w(s)＝[R_w(s₁) R_w(s₂) R_w(s₃)…R_w(s_m)]

R_T(s)＝[R_T(s₁) R_T(s₂) R_T(s₃)…R_T(s_m)]

26)、利用广义最小二乘法计算回归函数的系数

和

其表达式如下所示：

式中F为坐标矩阵S的回归函数矩阵，R_w、R_T为坐标矩阵S的相关函数矩阵，w、

为各坐标点的含水量矩阵和弛豫时间矩阵；

27)、相关函数系数

和

通过下式计算：

利用建好的DACE模型，对含水量以及弛豫时间进行克里金插值，获得预测点的含水量和弛豫时间信息得到新的三维反演结果具体包括：

A、在线圈正下方选定插值的坐标范围，对各个深度分别进行插值，其某一深度的插值区域定义为l_j≤x_j≤u_j，j＝1,...,n，n＝2；通过对各个深度数据集按照预定步长进行插值，得到对整个地下细密的三维剖分，其预测点坐标插值公式如下：

式中v_j为整数，当所有的v_j＝v时，会产生(v+1)个数值，则其预测点的坐标个数为(v+1)²，使其数据点大大增加；

B、利用预测点坐标计算回归函数f(s)、相关函数R_w(s)、和相关函数R_T(s)，回归函数为二阶多项式，相关函数为高斯模型；

C、利用建立好的DACE模型以及预测点表达式计算预测点的含水量和弛豫时间，通过插值预测补充剖分网格中的含水量和弛豫时间，预测点表达式如下：

式中，f(s)^T为回归函数，

分别为关于含水量和弛豫时间的回归函数系数，R_w(s)、R_T(s)分别含水量和弛豫时间的相关函数，

为相关函数系数；

和

都是固定值，由已知点信息计算而得并存储与DACE模型中。

基于克里金插值的三维地面核磁共振反演方法是一种适用于非层状不均匀水体的高效率高分辨率探测，既能节省测量时间，又能可靠获得高精度平滑的反演结果的反演方法，该方法通过发射线圈向地下发射频率为当地拉莫尔频率的交变电流，产生感应磁场。感应磁场的作用下，地下水中氢质子产生能级跃迁,大量氢质子跃迁到高能级上。当撤去供电电流，这些高能级氢质子便逐渐回到低能级状态，释放出大量的具有拉莫尔频率的能量子，在第一接收线圈2、第二接收线圈3、第三接收线圈4和第四接收线圈5中感应出核磁共振信号。令地磁场方向为x轴，水平面上与地磁场方向垂直为y轴，垂直地面向下为z轴，计算感应磁场的垂直分量获得灵敏度核函数，借助该灵敏度核函数得到模型数据，对目标函数进行高斯牛顿迭代法求解，获得反演的含水量信息矩阵、弛豫时间信息矩阵和位置信息矩阵，采用克里金插值方法对核磁共振反演结果的含水量和弛豫时间进行插值计算，得到高精度的三维反演结果。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于克里金插值的三维地面核磁共振反演方法，其特征在于，该方法包括如下的步骤：

1)获取三维反演结果包括含水量矩阵、弛豫时间矩阵以及对位置信息矩阵；

2)将反演结果作为已知点数据，利用回归函数和相关函数建立求未知点的数据DACE模型；

3)利用建好的DACE模型，对含水量以及弛豫时间进行克里金插值，获得预测点的含水量和弛豫时间信息得到新的三维反演结果。

2.按照权利要求1所述的方法，其特征在于，步骤2)中具体包括：

21)、对于三维反演，其结果有含水量、弛豫时间以及对应的三维位置信息(x,y,z)，对三维位置信息中的深度z进行处理，剔除冗余数据，选择出有效无重复的数据，记为矩阵z0，然后利用矩阵z0对应的某一深度的xy平面的含水量及弛豫时间建立DACE模型；

22)、选定一个深度z，将这一深度所有x轴的值记为矩阵x，所有y轴的值记为矩阵y，所有z轴的值记为矩阵z；这一深度z的所有反演的含水量结果记为矩阵w，弛豫时间记为矩阵

x、y、z、w、

都为行数相同的列向量，将x轴、y轴坐标记为二维的坐标矩阵S；对坐标矩阵S行标准化处理，使其符合正态分布，表示如下：

S＝[xe ye]

式中，坐标矩阵S维度为m×n的一个矩阵，n的值为2，m为坐标点的个数，xe和ye为标准化处理之后的x轴、y轴的值，为两个行数相同的列向量，则w、

分别表示如下：

w＝[w(s₁) w(s₂) w(s₃)…w(s_m)]^T

式中，w(s_m)、

分别为各个位置处的含水量和弛豫时间；

23)、利用二阶多项式对坐标矩阵S进行计算，得到每一个坐标点的回归函数f(s)，二阶多项式公式表示如下：

f₁(s)＝1

f₂(s)＝x₁，...，f_n+1(s)＝x_n

式中，s为坐标矩阵S中某一个坐标点，x₁、x₂...x_n为坐标矩阵S中的坐标点，n＝2，只涉及到x₁和x₂，为x轴和y轴的坐标点；则某一位置s的回归函数的矩阵表示为：

则其坐标矩阵S的回归函数矩阵表示如下：

F＝[f(s₁) f(s₂) f(s₃)…f(s_m)]^T

24)、计算各坐标点两两之间的距离，用x轴和y轴的差值的形式表示，利用矩阵D表示如下：

D＝[xd yd]

式中，xd与yd为各坐标点两两之间x轴和y轴的差值，为两个行数相同的列向量，则两坐标点之间的距离表示为d_ij，由下式计算而得：

式中，xd_i、xd_j和yd_i、yd_j分别为xd与yd两个列向量中对应的元素。

25)、对含水量矩阵w及弛豫时间矩阵T₂ ^*利用高斯模型计算相关函数R_w(s)、R_T(s)，表示如下：

式中，θ_wj、θ_Tj为设定的初始值，则其坐标矩阵S的相关函数矩阵表示如下：

R_w(s)＝[R_w(s₁) R_w(s₂) R_w(s₃)...R_w(s_m)]

R_T(s)＝[R_T(s₁) R_T(s₂) R_T(s₃)...R_T(s_m)]

26)、利用广义最小二乘法计算回归函数的系数

和

其表达式如下所示：

式中F为坐标矩阵S的回归函数矩阵，R_w、R_T为坐标矩阵S的相关函数矩阵，w、

为各坐标点的含水量矩阵和弛豫时间矩阵；

27)、相关函数系数

和

通过下式计算：

3.按照权利要求2所述的方法，其特征在于，步骤3)具体包括：

A、在线圈正下方选定插值的坐标范围，对各个深度分别进行插值，其某一深度的插值区域定义为l_j≤x_j≤u_j，j＝1,...,n，n＝2；通过对各个深度数据集按照预定步长进行插值，得到对整个地下细密的三维剖分，其预测点坐标插值公式如下：

式中v_j为整数，当所有的v_j＝v时，会产生(v+1)个数值，则其预测点的坐标个数为(v+1)²，使其数据点大大增加；

B、利用预测点坐标计算回归函数f(s)、相关函数R_w(s)、和相关函数R_T(s)，回归函数为二阶多项式，相关函数为高斯模型；

C、利用建立好的DACE模型以及预测点表达式计算预测点的含水量和弛豫时间，通过插值预测补充剖分网格中的含水量和弛豫时间，预测点表达式如下：

式中，f(s)^T为回归函数，

分别为关于含水量和弛豫时间的回归函数系数，R_w(s)、R_T(s)分别含水量和弛豫时间的相关函数，

为相关函数系数；

和

都是固定值，由已知点信息计算而得并存储与DACE模型中。

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