CN111191719A - 一种基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法 - Google Patents

一种基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法，特别是适用于数据集中类别复杂的聚类。本发明基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法对高维数据进行降维，特别针对图像中存在异常值的情况，记为LRE‑GNMF。利用交替迭代法对目标函数求解，得到低维表示系数矩阵；利用低维表示系数矩阵对图像进行聚类。本方法使用非负数据矩阵作为输入，采用低秩嵌入(LRE)使得高维空间中距离较近的数据在学习到的低维空间中仍保持距离较近，从而保持数据的局部结构。本发明可广泛应用于图像识别领域。

Description

一种基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法
技术领域
本发明是一种机器学习的矩阵分解方法，尤其涉及一种基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法，特别是适用于数据集中类别复杂的聚类。
背景技术
在现代计算机视觉和图像处理研究中，高维数据随处可见。然而高维数据不仅会增加存储开销和计算复杂度，而且会在实际应用中减少算法的有效性。通常情况下，需要寻找一个数据表示来揭示高维数据中潜在的数据结构，这通常有助于进一步的数据处理。因此，为了寻找合适的数据表示，研究者们开发了类如图像重建，图像聚类，矩阵补全等等方法。其中，矩阵分解技术被广泛应用于对高维数据的处理，矩阵分解寻求两个或两个以上的低维矩阵来近似原始数据，这样高维数据就可以用降维后的矩阵来表示。
非负矩阵分解(NMF)是一种基于非负性约束的矩阵分解方法，采用非负加权组合的形式使得其分解结果具有较好的解释性。对于一个给定的非负矩阵，非负矩阵分解将其分解成两个低维非负矩阵的乘积，从而实现对大规模高维数据进行消减或者对大规模高维数据进行压缩。考虑到数据的几何信息和局部特性，有人提出将NMF与流形学习中的图谱理论相结合，在NMF的目标函数中增加了流形正则的约束项，提出了图谱正则NMF算法(GNMF)，吸收了流形学习描述数据几何结构的能力。
虽然图谱正则NMF算法(GNMF)通过非负矩阵分解学习到的原始数据的低维表示已经可以很好地用于将图像进行聚类，但在实际处理图像时，图像往往会带有一些异常值。如果继续用GNMF对图像进行分类，正确率就会受到影响。由于低秩嵌入(LRE)对于噪声的鲁棒性，结合了自表示学习与低秩表示使得学习到的低维表示矩阵有更强的表示能力。本文将GNMF与LRE相结合，提出了LRE-GNMF，进一步增强了算法的聚类性能。
发明内容
为解决上述技术问题，本发明的目的在于：克服现有技术的不足，提供一种对异常值鲁棒的基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法。具体实施过程包括以下步骤：
A.采用图谱正则NMF算法(GNMF)和低秩嵌入(LRE)对输入的原始图像数据集X＝[x1，x2，...，xN]建立分析模型，其中每个xi是一个图像矩阵，在这里拉成列向量，大小为
Figure BDA0002341308310000021
B.采用交替迭代法求解模型，对输入非负数据进行非负矩阵分解，得到图像的低维表示矩阵。
C.根据得到的低维表示矩阵V，对原始图像进行聚类。
进一步，所述步骤A具体为：
A1.由于图谱正则NMF算法(GNMF)模型是将原始输入图像X分解成两个低维表示向量U和V，但是在分解降维的过程中并没有考虑图像的局部信息，因此可能在降维过程中可能会丢失图像局部信息，并且由于数据中包含异常值，导致在算法在聚类中表现不佳，因此结合低秩嵌入(LRE)模型保留图像的局部性，提升算法的聚类鲁棒性。
所述输入图像矩阵满足的图谱正则NMF算法(GNMF)最小值方程为：
Figure BDA0002341308310000022
其中，X为输入的原始图像非负矩阵，U和V分别为从X中分解出的两个低维非负矩阵。其中U称为基矩阵，其中每一列Uj构成一个基向量，V称为低维系数表示矩阵，其中每一列Vi代表了趋近于X的每一列所需的非负系数。||·||2是l2范数，Tr(·)表示矩阵的迹。拉普拉斯矩阵L＝D-W，W是相似度矩阵，D是对角矩阵，对角线上的每一个元素等于矩阵W每列(或每行)元素之和。Wij的值可以由以下高斯可函数计算：
Figure BDA0002341308310000032
其中，t为广度参数，wij组成一个权重矩阵
Figure BDA0002341308310000033
所述低秩嵌入(LRE)最小值方程为：
Figure BDA0002341308310000034
其中
Figure BDA0002341308310000035
为要求解的自表示矩阵，“||·||*”是核范数，
Figure BDA0002341308310000036
表示将矩阵V自身当做字典进行自表示后的重构误差。
具体来说，在图谱正则NMF算法(GNMF)模型中学习到低维系数表示矩阵V，将其作为低秩嵌入(LRE)的输入，经过LRE的自表示字典学习，学习到的表示矩阵Z会使得低维系数表示矩阵V更加符合原始数据的表示结构。
A2.结合图谱正则非负矩阵分解模型公式(1)和低秩嵌入(LRE)模型公式(2)得到最终的求解模型。所述低维表示矩阵满足的最终求解模型为：
Figure BDA0002341308310000037
其中
Figure BDA0002341308310000038
为要求解的低维表示矩阵，U和V分别为从X中分解出的两个低维非负表示矩阵，λ1，λ2和λ3为模型参数。因此在上述方程式中有三个变量，分别是基矩阵U，低维表示系数矩阵V，还有自表示矩阵Z，此时系数矩阵V不能由目标函数直接求导得到，利用交替迭代法求解目标函数。
进一步，所述步骤B具体为：
B1.根据目标方程式(3)得出增广拉格朗日函数，所述增广拉格朗日函数为：
Figure BDA0002341308310000041
其中，μ是惩罚值，Y是对应于约束J＝Z的拉格朗日乘子。为了求解系数矩阵V，利用交替迭代法求解目标函数(4)，在对其中一个变量进行更新时，需要固定其他变量。
B2.更新基矩阵U，固定除了U之外的其他变量的值，优化目标为：
Figure BDA0002341308310000042
很显然，(5)式为求解普通的NMF的模型，将其平方F范数展开：
Figure BDA0002341308310000043
对其求偏导，得：
Figure BDA0002341308310000044
由KTT条件可知，UijΨij＝0，因此可得U的求解表达式为：
Figure BDA0002341308310000045
B3.更新低维系数矩阵V，给定除了V之外的其他变量的值，优化目标可写为：
Figure BDA0002341308310000046
将(8)式中平方F范数展开：
Figure BDA0002341308310000051
对其求V的偏导数并进行整理合并：
Figure BDA0002341308310000052
令
Figure BDA0002341308310000053
由KTT条件可知，VijΦij＝0，因此可得V的求解表达式为：
Figure BDA0002341308310000054
B4.更新冗余数据矩阵J，固定其他变量，优化目标为：
Figure BDA0002341308310000055
用奇异值阈值算子求解上述问题，假设存在一个矩阵
Figure BDA0002341308310000056
则
Figure BDA0002341308310000057
的SVD分解为O＝Cp×r∑Gr×q，∑＝diag(σ1，…，σr)，r是矩阵O的秩，σ1，…，σr是对应的奇异值，Cp×r和Gr×q是对应正交矩阵。
对于任意的
Figure BDA0002341308310000058
和
Figure BDA0002341308310000059
奇异值阈值算子为
Figure BDA00023413083100000510
根据公式(13)，可以得到变量J的解
Figure BDA0002341308310000061
其中，Z-[(Y)/(μ)]＝Cp×r∑Gr×q，∑＝diag(σ1，…，σr).。
B5.更新自表示矩阵Z，固定除了Z之外的其他向量，优化目标为：
Figure BDA0002341308310000062
对(15)式进行对Z求导并整理合并后，得到Z的表达式：
Z＝(μI-2λ2VTV)-1(Y+μJ-2λ2VTV) (16)
几步迭代之后直至收敛停止迭代，得到最终的低维表示系数矩阵V。
进一步，所述步骤C图像聚类包括：
学习完原始图像的低维表示系数矩阵V后，利用K均值算法(K-means)对原始图像的低维表示系数矩阵V进行聚类：
Figure BDA0002341308310000063
其中，vi表示每个样本的低维表示，
Figure BDA0002341308310000064
是簇Ci的均值向量，(17)式刻画了簇内样本围绕簇均值向量的紧密程度，E值越小，则簇内样本相似度越高。通过最小化E值，即可将样本集进行聚类。
有益效果
采用GNMF和LRE学习图像数据的低维表示矩阵，能很好地保留数据的局部性信息，在存在异常值的情况下，能更准确的对图像进行聚类。
本发明的基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法对高维数据进行降维，特别针对图像中存在异常值的情况，记为LRE-GNMF。利用交替迭代法对目标函数求解，得到低维表示系数矩阵；利用低维表示系数矩阵对图像进行聚类。本方法使用非负数据矩阵作为输入，采用低秩嵌入(LRE)使得高维空间中距离较近的数据在学习到的低维空间中仍保持距离较近，从而保持数据的局部结构。本发明可广泛应用于图像识别领域。
附图说明
图1为基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法的流程图；
图2为求解低维表示系数矩阵的流程图。
具体实施方式
下面结合附图与实验对该发明的技术方法进行进一步的说明。
基于本发明提出了一种基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法，参照图1，具体实施包括：
A.采用图谱正则NMF算法(GNMF)和低秩嵌入(LRE)对输入的原始图像数据集X＝[x1，x2，...，xN]建立分析模型，其中每个xi是一个图像矩阵，在这里拉成列向量，大小为
Figure BDA0002341308310000071
B.采用交替迭代法求解模型，对输入非负数据进行非负矩阵分解，得到图像的低维表示矩阵。
C.根据得到的低维表示矩阵V，对原始图像进行聚类。
进一步，所述步骤A具体为：
A1.由于图谱正则NMF算法(GNMF)模型是将原始输入图像X分解成两个低维表示向量U和V，但是在分解降维的过程中并没有考虑图像的局部信息，因此可能在降维过程中可能会丢失图像局部信息，导致在算法在聚类中表现不佳，因此结合低秩嵌入(LRE)模型保留图像的局部性。
所述输入图像矩阵满足的图谱正则NMF算法(GNMF)最小值方程为：
Figure BDA0002341308310000081
其中，X为输入的原始图像非负矩阵，U和V分别为从X中分解出的两个低维非负矩阵。其中U称为基矩阵，其中每一列Uj构成一个基向量，V称为低维系数表示矩阵，其中每一列Vi代表了趋近于X的每一列所需的非负系数。||·||2是l2范数，Tr(·)表示矩阵的迹。拉普拉斯矩阵L＝D-W，W是相似度矩阵，D是对角矩阵，对角线上的每一个元素等于矩阵W每列(或每行)元素之和。Wij的值可以由以下高斯可函数计算：
Figure BDA0002341308310000083
其中，t为广度参数，wij组成一个权重矩阵
Figure BDA0002341308310000084
所述低秩嵌入(LRE)最小值方程为：
Figure BDA0002341308310000085
其中
Figure BDA0002341308310000086
为要求解的自表示矩阵，“||·||*”是核范数，
Figure BDA0002341308310000087
表示将矩阵V自身当做字典进行自表示后的重构误差。
具体来说，在图谱正则NMF算法(GNMF)模型中学习到低维系数表示矩阵V，将其作为低秩嵌入(LRE)的输入，经过LRE的自表示字典学习，学习到的表示矩阵Z会使得低维系数表示矩阵V更加符合原始数据的表示结构。
A2.结合图谱正则非负矩阵分解模型公式(1)和低秩嵌入(LRE)模型公式(2)得到最终的求解模型。所述低维表示矩阵满足的最终求解模型为：
Figure BDA0002341308310000088
其中
Figure BDA0002341308310000089
要求解的低维表示矩阵，U和V分别为从X中分解出的两个低维非负表示矩阵，λ1，λ2和λ3为模型参数。因此在上述方程式中有三个变量，分别是基矩阵U，低维表示系数矩阵V，还有自表示矩阵Z，此时系数矩阵V不能由目标函数直接求导得到，利用交替迭代法求解目标函数。
参照图2，步骤B中的交替迭代法具体为：
根据目标方程式(3)求解低维表示系数矩阵V，利用交替迭代法求解目标函数，在对一个变量进行更新时，需要固定其他的变量，当算法达到终止条件后则停止迭代。
B1.根据目标方程式(3)得出增广拉格朗日函数。
B2.固定其他变量，对U求偏导根据其KTT条件更新基矩阵U。
B3.固定其他变量，对V求偏导根据其KTT条件更新低维表示系数矩阵V。
B4.固定其他变量，利用奇异值阈值算子更新冗余数据矩阵J。
B5.固定其他变量，求导令其为零更新自表示矩阵矩阵Z。
本发明在三个数据库上进行了实验，COIL-20数据库，Yale数据库，ORL数据库。这些实验是为了证明本发明提出的方法可以损失更小地对样本进行降维，并且降维后得到的低维表示矩阵可以有效地对图像进行聚类。涉及到的算法有：K-means，NMF(NonnegativeMatrix Factorization)，GNMF(Graph Regularized Nonnegative MatrixFactorization)，SD-NMF(Nonnegative Matrix Factorization with SinkhornDistance)，GNMF_KL(Graph Regularized Nonnegative Matrix Factorization withDivergence Formulation)。
实验中应用了以下三个数据库：
·COIL-20face database：
http：//www.cs.columbia.edu/CAVE/software/softlib/coil-20.php；
·Yale database：http：//cvc.cs.yale.edu/cvc/projects/yalefaces/yalefaces.html；
·ORL face dataset：
http：//www.cl.cam.ac.uk/Research/DTG/attarchive：pub/data/att_faces.tar.Z；
COIL20数据库中包含20个物体的1440张图片，每个物体有72张图片，描述了相同类物体的类内不同，比如阴影，角度和姿态等。每张图片的大小为32*32像素。
Yale Database：Yale数据库包含了11个不同人的165张人脸图像，每个人有15张照片，包含了表情、明暗变化等。每张图像的大小为32*32。
ORL Face Database：ORL数据库包含40个不同人的400张人脸图像，每个人有10张照片，包含了表情，明暗，位置等变化。每张图像的大小为32*32。
表1、2、3是在COIL20，Yale和ORL上对于不同聚类个数的识别率表现a表示准确性，b表示归一化互信息。LRE-GNMF在聚类的个数不断增加的情况下表现均是最好的。在聚类数量增加的情况下，所有对比方法的精确度都在下降，但是LRE-GNMF的下降速度是最慢的，这说明了LRE-GNMF可以削弱outlier的影响，提升聚类性能的鲁棒性。
Figure BDA0002341308310000101
表1a
Figure BDA0002341308310000111
表1b
Figure BDA0002341308310000112
表2a
Figure BDA0002341308310000113
表2b
Figure BDA0002341308310000121
表3a
Figure BDA0002341308310000122
表3b
从以上结果可看出，本发明提出的方法提取的特征在实际中的识别有明显的优势。
以上所述，仅是本发明的较佳实施案例，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依照本发明的技术实质对以上实施案例所作的简单修改，等同变化与修饰，均仍属本发明技术方案的保护范围。

Claims (4)

1.一种基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法，其特征在于包括以下步骤：
A.采用图谱正则NMF算法(GNMF)和低秩嵌入(LRE)对输入的原始图像数据集X＝[x1，x2，...，xN]建立分析模型，其中每个xi是一个图像矩阵，在这里拉成列向量，大小为
Figure FDA0002341308300000011
B.采用交替迭代法求解模型，对输入非负数据进行非负矩阵分解，得到图像的低维表示矩阵。
C.根据得到的低维表示矩阵V，对原始图像进行聚类。
2.根据权利要求1所述的基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法，是由图谱正则NMF算法(GNMF)联合低秩嵌入(LRE)得到原始输入图像矩阵的低维表示矩阵，其特征在于，所述步骤A包括
结合图谱正则NMF算法(GNMF)模型和低秩嵌入(LRE)模型确定图像低维表示矩阵满足的最终求解模型，所述低维表示矩阵满足的最终求解模型为：
Figure FDA0002341308300000012
其中，X为输入的原始图像非负矩阵，U和V分别为从X中分解出的两个低维非负矩阵。U称为基矩阵，其中每一列Uj构成一个基向量，V称为系数矩阵，其中每一列Vi代表了趋近于X的每一列所需的非负系数。“||·||*”是核范数，Tr(·)表示矩阵的迹，，
Figure FDA0002341308300000013
表示将矩阵V自身当做字典进行自表示后的重构误差。拉普拉斯矩阵L＝D-w，W是相似度矩阵，D是对角矩阵，对角线上的每一个元素等于矩阵W每列(或每行)元素之和。Wij的值可以由以下高斯函数计算：
Figure FDA0002341308300000014
其中，t为广度参数，wij组成一个权重矩阵
Figure FDA0002341308300000015
λ1，λ2和λ3为模型参数，通常取值范围为：[0.0001，0.001，0.01，0.1，1，10]。因此在上述方程式中有三个需要求解的变量，分别是基矩阵U，低维表示系数矩阵V，还有自表示矩阵Z，此时低维表示系数矩阵V不能由目标函数直接求导得到，利用交替迭代法求解目标函数。
3.根据权利要求1所述的基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法，其特征在于，所述步骤B包括：
根据目标方程式求解低维表示矩阵V，利用交替迭代法求解目标函数，在对其中一个变量进行更新时，需要固定其他变量，交替求解直至收敛。
4.根据权利要求1所述的基于自表示和图谱约束的非负矩阵分解的图像聚类方法，其特征在于，所述步骤C进一步为，学习完原始图像的低维表示系数矩阵V后，利用K均值算法(K-means)对原始图像的低维表示V进行聚类：
Figure FDA0002341308300000021
其中，vi表示原始图像中每个样本的低维表示，此处的
Figure FDA0002341308300000022
是簇Ci的均值向量，与前文无关，(2)式刻画了簇内样本围绕簇均值向量的紧密程度，E值越小，则簇内样本相似度越高，通过最小化E值，即可将样本集进行聚类。
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