CN110991699B - 一种基于sigmoid函数逼近控制轨迹的化工动态优化数值计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于sigmoid函数逼近控制轨迹的化工动态优化数值计算方法，基于sigmoid函数作为等效替代函数，所用替换函数能够实现在求解化工动态优化问题上实现控制变量的连续可微性，能够在求解多变量问题上实现不同控制变量采取不同的近似替换，其特征在于：建立化工动态优化问题的数学模型，将控制变量用sigmoid函数等效近似，利用优化算法对sigmoid函数参数进行调整，输出调整后的使用sigmoid函数进行等效后的求解值，绘制控制变量等效控制曲线。

Description

一种基于sigmoid函数逼近控制轨迹的化工动态优化数值计 算方法

技术领域

本发明属于化工系统工程领域，涉及一种化工动态优化问题的数值求解方法。

背景技术

在实际化工生产过程中，稳态仅仅是相对的、暂时的，实际过程总是存在各种各样的波动、干扰和操作条件的变化，各种波动或干扰的存在，可能会破坏系统原来的稳态和平衡，进入一个动态过程，并朝着建立一个新的稳态和平衡去发展。为了对该动态过程实施优化，必须建立系统的动态模型，然后运用动态优化技术进行优化。因而，动态建模与优化技术可以对复杂系统整体行为展开研究，并进行过程系统实时分析与控制，从而实现工业过程最优控制。

由于所需控制的控制变量(也被称为操作变量)是时间变化的连续函数，所以往往使用控制向量参数化方法将控制变量基于时间进行分割并将每段分割的控制变量使用基函数进行等效替代，以此来近视求解化工动态优化问题的控制曲线。

以往，常使用常值函数或者线性函数作为控制变量的等效基函数，然后利用智能算法来求解每段基函数的等效值，但利用常值函数或者线性函数有一些自身的缺点，比如每一个控制变量的控制曲线不再是连续的，以及对于多变量问题的每条控制变量都采取相同的控制策略而导致控制精度不高。

发明内容

为解决传统基于常值或线性函数作为等效基函数求解化工动态优化问题的弊病，本发明提供了一种新的等效基函数，使得等效求解后的控制曲线连续可微并且对于多变量问题的控制曲线可以自主选取不同的等效方法。本发明采用下述技术方案：

基于sigmoid函数逼近控制轨迹的化工动态优化数值计算方法，作为本发明的技术方案，该方法的实施包括如下步骤：确定求化工动态优化问题的数学模型，将控制变量等分时间间隔进行分割，分割段数根据具体问题以及所需求解精度而自行决定，使用选取的sigmoid函数对每段子间隔中的控制变量进行替代，使用优化算法对sigmoid函数中的变量进行优化计算使得替换后的等效控制变量能取得最佳控制结果，输出最终控制结果值并绘制sigmoid函数的等效控制曲线，其具体实施步骤如下所示：

步骤1：确定化工动态优化问题的数学模型，为如式(1)所示方程组：

其中，J是目标函数，f(x)为与x值有关的函数，t为反应时间，t₀，t_f分别是反应时间的上下限，x(t)是状态变量其初始值x(t₀)为x₀，微分方程则描述了化学过程中的质量和能量平衡，u(t)是控制变量其上下限分别为u^L和u^U。问题实质就是在满足约束条件下选择控制策略u(t)，使性能指标J达到最优；

步骤2：将连续的控制变量u(t)以相同的时间间隔切割为多个子间隔，每个子隔间包含了每段时间内的控制变量的控制曲线，每段子隔间的时间长度根据所求解问题的实际情况以及所要求的控制精度自行设置；

步骤3：将每个子隔间中连续的控制变量使用包含有限个参数的sigmoid函数替代，并初始化sigmoid函数的各项参数，其初始值为在控制要求范围内的任意值；

步骤4：在用sigmoid函数替代控制变量后，将替换后的控制变量带入问题的数学模型中，

由此可以计算得出经sigmoid函数替换控制变量后所获得的数学模型中J的值；

步骤5：利用智能计算方法对等效基函数的各项参数在变量范围内进行调整；

步骤6：将调整后的等效sigmoid函数再次带入问题的数学模型中，计算调整变量参数后的sigmoid函数所等效的控制变量所求解得出的J值，当获得满意的J值后进行下一步操作，否则重复步骤4；

步骤7：输出最终取得的J值，并绘制经由sigmoid函数等效替代后的控制变量的控制曲线图。

进一步，步骤3的具体过程为：

步骤3-1：确定所使用的sigmoid函数，所使用的sigmoid函数为基本sigmoid函数的变体，共有三个，具体公式如下所示，第一种sigmoid函数变体：

第二种sigmoid函数变体：

第三种sigmoid型函数变体：

与基本的sigmoid型函数相比，这些变体引入了三个参数来调整曲线的形状，其中a为高度参数，b为坡度参数，c(c₁，c₂)为切换点参数，t为当前时间，e是自然常数。

步骤3-2：将已经以相同时间被等分为n段的控制变量的每小段以sigmoid函数替代，在第一个间隔[t₀，t₁]中使用S₂(t，a，b，c)，在最后一个间隔[t_D-1，t_D]中使用S₁(t，a，b，c)在中间其余间隔种使用S₃(t，a，b，c₁，c₂)替换。可以用数学来描述：

其中具体的，a_k(k＝1，2，...D)作为高度参数其取值范围则为控制变量的取值范围，作为坡度参数b的取值方法为b＝e^d，其中d∈[-1，5]，在S_，(t，a，b，c)和S₁(t，a，b，c)中c分别表示分段间隔的结束和开始时间，而在S₃(t，a，b，c₁，c₂)中分段间隔的开始时间为c₁结束时间为c₂。

步骤3-3：初始化sigmoid函数的各个参数，其中a为控制变量取值范围内的任意值，b＝e^d，d为[-1，5]内的任意值，c则根据分段的时间点的时刻值来设定，其开始时间为化工反应的开始时间，结束时间为化工反应的结束时间。

进一步，步骤5的具体过程为：

步骤5-1：选择作为优化计算的智能优化算法，在此步骤中所使用的智能计算算法不局限于某一种特定的算法，如常见的差分算法、粒子群算法、基因算法等都可以用于求解算法，为具体说明，以差分算法为例来进行介绍。

步骤5-2：确定所要优化的变量以及目标值，所要优化的目标变量包括高度参数a其取值范围为[u^L，u^U]，即为控制变量的取值范围，以及确定b取值大小的d的值，其取值范围为[-1，5]，由于控制变量被等分为n段，每个小间隔控制变量的a取不同的值，而在每条控制变量上b的值都是相同的，所以对于一条被分为n段的控制变量上则包含有n+1个变量，所要求的目标值则为J，其由问题的数学模型确定。

步骤5-3：确定初始化的种群大小为50，即共初始化50组a与b，将其表示为：

式中g为代数，将已经初始化后的a与b的值带入等式：

其中缩放因子F取值为0.5，为不同组a与b的值所组合的向量，V_i ^g为求得的新的a与b的值所组成的向量。

步骤5-4：对新求得的变量进行交叉变异，以此来增加种群的多样性，在交叉操作中，目标向量与其对应的变异向量相结合，通过二项式重组的方式产生一个试验向量，记为

式中，分别为/>V_i ^g，/>的第j个元素；j_rand为[1，N]内的一个随机整数；rand为[0，1]内随机数。

步骤5-5：变异完成后，对向量和/>进行选择，保留能取得更好目标值的向量。

采用上述技术方案所产生的有益效果在于：

1.本发明提出了一种基于sigmoid函数作为求解化工动态优化问题的等效替代基函数，相比常值或线性基函数具有连续可微的特点。

2.本发明通过在多变量动态优化问题的每个控制变量中对每个控制变量自适应选择不同的b值，使得每条控制变量可以采取不同的控制策略，尤其对于多变量问题提高了控制精度。

3.本发明不局限使用某种特定的优化算法，只提供一种新的求解动态优化问题所使用的基函数，对于以往通过控制向量参数法求解此类问题具有很好的移植性。

附图说明

图1为基于sigmoid等效函数求解化工动态优化问题的求解流程图

图2为非线性连续搅拌罐化学反应示意图

图3为基于sigmoid函数等效的非线性连续搅拌罐问题的控制曲线

图4为基于常值函数等效的非线性连续搅拌罐问题的控制曲线

图5为基于线性函数等效的非线性连续搅拌罐问题的控制曲线

具体实施方法

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用于解释本发明，并不用于限定本发明，下面结合一个非线性连续搅拌罐问题的求解来进行进一步说明。

如图1所示的求解步骤：确定求化工动态优化问题的数学模型，将控制变量等分时间间隔进行分割，分割段数根据具体问题以及所需求解精度而自行决定，使用选取的sigmoid函数对每段子间隔中的控制变量进行替代，使用优化算法对sigmoid函数中的变量进行优化计算使得替换后的等效控制变量能取得最佳控制结果，输出最终控制结果值并绘制sigmoid函数的等效控制曲线，化工动态优化问题的数学模型为：

其中，J是目标函数，f(x)为与x值有关的函数，t为反应时间，t₀，t_f分别是反应时间的上下限，x(t)是状态变量其初始值x(t₀)为x₀，微分方程则描述了化学过程中的质量和能量平衡，u(t)是控制变量，其上下限分别为u^L和u^U，问题实质就是在满足约束条件下选择控制策略u(t)，使性能指标J达到最优；

本实施例中，建立所求问题的数学模型如式(9)所示，其中x₁-x₇是七种物质的质量百分比，x₈是过程量，表示为变量随时间变化的微分；反应时间t_f为0.2秒，共有4个控制变量u₁(t)-u₄(t)，该问题的控制变量为4中化学物质随反应时间变化而投入的物质量，经电机搅动加速物质的化学反应，要求的为获得最大量的反应产物，反应示意图如图2所示。

步骤2：将控制变量按照反应时间等分为20段，每段的反应时间为0.01秒，每段时间内包含有u₁(t)-u₄(t)，4个控制变量。

步骤3：对每个分段的控制变量使用sigmoid函数来替代，sigmoid函数的各个参数的取值为在满足问题数学模型下的任意值，对4个变量中a的取值范围分别为[0，20]，[0，6]，[0，4]，[0，20]即为数学模型中变量u的取值范围，b＝e^d，其中d∈[-1，5]，在每条控制变量内b的值相同，不同变量之间b的取值不同。

步骤3-1：使用3种sigmoid函数变体，第一种sigmoid函数变体：

第二种sigmoid函数变体：

第三种sigmoid型函数变体：

其中a为高度参数，4条控制变量的取值范围分别为[0，20]，[0，6]，[0，4]，[0，20]，b为坡度参数其中b＝e^d，d∈[-1，5]，4条控制变量分别使用不同的b的值，但是每条控制变量中b的取值相同，c(c₁，c₂)为切换点参数，即将反应时间0.2秒分割为20段，每段的时间节点t为当前时间，e是自然常数。

步骤3-2：将已经以相同时间被等分为20段的控制变量的每小段以sigmoid函数替代，在第一个间隔[0，0.01]秒中使用S₂(t，a，b，c)，在最后一个间隔[0.19，0.2]秒中使用S₁(t，a，b，c)在中间其余间隔种使用S₃(t，a，b，c₁，c₂)替换。可以用数学来描述：

步骤3-3：初始化sigmoid函数的各个参数，其中a为控制变量取值范围，b＝e^d，d为[-1，5]内的任意值，c则根据分段的时间点的时刻值来设定，其开始时间为化工反应的开始时间0秒，结束时间为化工反应的结束时间0.2秒。

步骤4：在使用sigmoid函数替代的曲线作为控制变量后，将其控制曲线作为所求解问题的控制变量带入问题的数学模型中，获得所需获的反应产物的输出值J。

步骤5：利用差分算法对sigmoid函数中的变量a和b的值进行调整，并输出经过调整后新的sigmoid函数中变量的值。

步骤5-1：确定所要优化的变量以及目标值，所要优化的目标变量包括高度参数a其取值范围在4条控制变量中分别为[0，20]，[0，6]，[0，4]，[0，20]，确定b取值大小的d的值，其取值范围为[-1，5]，由于控制变量被等分为20段，每个小间隔控制变量的a取不同的值，而在每条控制变量上b的值都是相同的，所以对于一条被分为20段的控制变量上则包含有21个变量，所要求的目标值则为J，而该问题中共有4条控制曲线，所以包含有84个变量。

步骤5-3：确定初始化的种群大小为50，即共初始化50组a与b，将其表示为：

式中g为代数，将已经初始化后的a与b的值带入等式：

其中缩放因子F取值为0.5，为不同组a与b的值所组合的向量，V_i ^g为求得的新的a与b的值所组成的向量。

步骤5-4：对新求得的变量进行交叉变异，以此来增加种群的多样性，在交叉操作中，目标向量与其对应的变异向量相结合，通过二项式重组的方式产生一个试验向量，记为

式中，分别为/>V_i ^g，/>的第j个元素；j_rand为[1，N]内的一个随机整数；rand为[0，1]内随机数。

步骤5-5：变异完成后，对向量和/>进行选择，保留能取得更好目标值的向量。

步骤6：在取得新的替换后的sigmoid函数后，将其作为控制变量带入问题数学模型进行计算，获得新的J值，若获得满意的结果则进行下一步，否则重复步骤5。

步骤7：输出采用如上步骤所求得的最优值J＝21.81030，该化工动态优化问题共有4个控制变量，每条控制变量经过如上步骤后都已使用sigmoid函数进行了等效替代，将经由求解后得出所有变量的sigmoid函数进行绘制，使用控制曲线图的形式进行展示，最终绘制出使用sigmoid函数等效替代后所获得的控制变量曲线如图3所示。

为了体现本发明中所使用的sigmoid函数与以求解化工动态优化问题中所使用的常值以及线性基函数的不同之处，也给出使用这两种函数所谓等效函数的求解结果，除了使用等效函数不同之外，其余皆与本发明中提出的使用的求解条件相同，最终所获得的控制曲线如图4和图5所示，在表一中列出了三种不同替代函数下所求解获得最终结果，从结果中可以看出，使用sigmoid函数作为等效控制函数所取得的结果相比常值和线性函数能够获得更好的结果。

表1不同等效基函数下获得的求解结果

基函数	J
		常值基函数	21.79765
线性基函数	21.79681
		本方法	21.81030

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示意性实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，本领域的普通技术人员可以理解：在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由权利要求及其等同物限定。

Claims (1)

1.基于sigmoid函数逼近控制轨迹的化工动态优化数值计算方法，其特征在于，包括如下实施步骤：

步骤1：确定化工动态优化问题的数学模型，为如式(1)所示方程组：

其中，J是目标函数，f(x)为与x值有关的函数，t为反应时间，t₀,t_f分别是反应时间的上下限，x(t)是状态变量其初始值x(t₀)为x₀，微分方程则描述了化学过程中的质量和能量平衡，u(t)是控制变量，其上下限分别为u^L和u^U，问题实质就是在满足约束条件下选择控制策略u(t)，使性能指标J达到最优；

步骤2：将连续的控制变量u(t)以相同的时间间隔切割为多个子间隔，每个子隔间包含了每段时间内的控制变量的控制曲线，每段子隔间的时间长度根据所求解问题的实际情况以及所要求的控制精度自行设置；

步骤3：将每个子隔间中连续的控制变量使用包含有限个参数的sigmoid函数替代，并初始化sigmoid函数的各项参数，其初始值为在控制要求范围内的任意值；

步骤4：在用sigmoid函数替代控制变量后，将替换后的控制变量带入优化问题的数学模型中，由此计算得出经sigmoid函数替换控制变量后所获得的数学模型中J的值；

步骤5：利用智能计算方法对等效基函数的各项参数在变量范围内进行调整；

步骤6：将调整后的等效sigmoid函数再次带入问题的数学模型中，计算调整变量参数后的sigmoid函数所等效的控制变量所求解得出的J值，当获得满意的J值后进行下一步操作，否则重复步骤4；

步骤7：输出最终取得的J值，并绘制经由sigmoid函数等效替代后的控制变量的控制曲线图；

步骤3的具体过程为：

步骤3-1：确定所使用的sigmoid函数，所使用的sigmoid函数为基本sigmoid函数的变体，共有三个，具体公式如下所示，第一种sigmoid函数变体：

第二种sigmoid函数变体：

第三种sigmoid型函数变体：

与基本的sigmoid型函数相比，这些变体引入了三个参数来调整曲线的形状，其中a为高度参数，b为坡度参数，c(c₁，c₂)为切换点参数，t为当前时间，e是自然常数；

步骤3-2：将已经以相同时间被等分为n段的控制变量的每小段以sigmoid函数替代，在第一个间隔[t₀，t₁]中使用S₂(t,a,b,c)，在最后一个间隔[t_D-1，t_D]中使用S₁(t,a,b,c)在中间其余间隔种使用S₃(t,a,b,c₁,c₂)替换，用数学来描述：

其中具体的，a_k(k＝1,2,…D)作为高度参数其取值范围则为控制变量的取值范围，作为坡度参数b的取值方法为b＝e^d，其中d∈[-1,5]，D为控制变量被分割的隔间数，在S₂(t,a,b,c)和S₁(t,a,b,c)中c分别表示分段间隔的结束和开始时间，而在S₃(t,a,b,c₁,c₂)中分段间隔的开始时间为c₁，结束时间为c₂；

步骤3-3：初始化sigmoid函数的各个参数，其中a为控制变量取值范围内的任意值，b＝e^d，d为[-1,5]内的任意值，c则根据分段的时间点的时刻值来设定，其开始时间为化工反应的开始时间，结束时间为化工反应的结束时间；

步骤5的具体过程为：

步骤5-1：选择作为优化计算的智能优化算法，选取差分算法进行求解；

步骤5-2：确定所要优化的变量以及目标值，所要优化的目标变量包括高度参数a其取值范围为[u^L,u^U]，即为控制变量的取值范围，以及确定b取值大小的d的值，其取值范围为[-1,5],由于控制变量被等分为n段，每个小间隔控制变量的a取不同的值，而在每条控制变量上b的值都是相同的，所以对于一条被分为n段的控制变量上则包含有n+1个变量，所要求的目标值则为J，其由问题的数学模型确定；

步骤5-3：确定初始化的种群大小为50，即共初始化50组a与b，将其表示为：

式中g为代数，将已经初始化后的a与b的值带入等式：

其中缩放因子F取值为0.5，为不同组a与b的值所组合的向量，V_i ^g为求得的新的a与b的值所组成的向量；

步骤5-4：对新求得的变量进行交叉变异，以此来增加种群的多样性，在交叉操作中，目标向量与其对应的变异向量相结合，通过二项式重组的方式产生一个试验向量，记为

式中，分别为/>的第j个元素；j_rand为[1,N]内的一个随机整数；rand为[0,1]内随机数；

步骤5-5：变异完成后，对向量和/>进行选择，保留能取得更好目标值的向量。