CN110955987B - 一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法，该方法针对飞机机轮的稳定性和动力学响应特性进行分析。该发明包括以下步骤:一、确定航空机轮振动的激励条件和系统属性；二、建立航空机轮振动的数学模型；四、运用数学工具研究机轮动力学模型的稳定性和动力学响应特性。该发明主要是构建了一套分析机轮稳定性和动力学响应特性的方法，通过机轮力学系统的稳定性对系统的状态进行表征，同时对机轮振动模型的动力学响应特性进行分析，分析结构参数变化对结构行为的影响，关键的结构参数和外力会对结构产生极大影响，通过分析这些参数对极限环幅值等的影响，对机轮结构设计、材料选取等重要的意义。

Description

一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法

技术领域

本发明涉及一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法，主要用于对飞机机轮的稳定性和动力学响应特性进行分析，对机轮结构设计、材料选取等重要的意义。

背景技术

振动要解决的问题包括振动分析：激励条件和系统属性已知，求系统响应；系统识别：激励与响应均已知时，来确定系统特性；振动设计：一定激励条件下，来设计系统特性，使响应满足制定的条件。

航空机轮刹车过程会伴随各种形式的振动产生，轮毂、静盘、动盘和缸座会承受不同方向的力的作用，从而产生复杂的运动形式。力学系统的稳定性对系统的状态表征十分重要，已经广泛应用于航空航天、经济、自然生态等诸多领域。同样，分析结构参数变化对结构行为的影响也是十分必要的，关键的结构参数和外力会对结构产生极大的影响，分析这些参数对极限环幅值等的影响对机轮结构设计、材料选取等具有现实意义。

系统的稳定性表现为当系统处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤销后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。在经典控制理论中，Routh判据和Hu Horowitz判据是判断单输入单输出定常线性系统稳定性最常用的方法。但是以上两种判据都不适用于非线性系统。进一步推导出李雅普洛夫第一法，该法则是通过建立系统状态方程组，通过该方程组的数值解来判定系统的稳定性。

发明内容

本发明选取拉格朗日力学方法建立航空机轮动力学模型，使用李雅普洛夫第一法通过建立系统状态方程组，通过该方程组的数值解来判定系统的稳定性，分析刹车压力对模型稳定性的影响和刹车盘摩擦力对模型稳定性的影响；采用图解法中的相平面法、时间历程图、频谱图、庞加莱截面图等方法对航空机轮非线性系统进行动力学响应分析，分析机轮刹车压力对动力学特性的影响和机轮结构刚度、阻尼对动力学特性的影响。

本发明一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法；包括：建立航空机轮动力学模型，建立系统状态方程组，通过该方程组的数值解来判定系统的稳定性，分析刹车压力对模型稳定性的影响和刹车盘摩擦力对模型稳定性的影响；同时对航空机轮非线性系统进行动力学响应分析，分析机轮刹车压力对动力学特性的影响和机轮结构刚度、阻尼对动力学特性的影响。

本发明一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法；

选取拉格朗日力学方法建立航空机轮动力学模型，

使用李雅普洛夫第一法通过建立系统状态方程组，通过该方程组的数值解来判定系统的稳定性，分析刹车压力对模型稳定性的影响和刹车盘摩擦力对模型稳定性的影响；

采用图解法中的相平面法、时间历程图、频谱图、庞加莱截面图中的至少一种方法对航空机轮非线性系统进行动力学响应分析，分析机轮刹车压力对动力学特性的影响和机轮结构刚度、阻尼对动力学特性的影响。

本发明一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法；

选取拉格朗日力学方法建立航空机轮动力学模型，所述模型为：

对于一个N自由度系统，拉格朗日方程可以表示为：

其中T为系统动能，V为系统势能，

为广义速度，

是相对广义坐标q_j的广义力，以

表示的这个力可能是耗散(阻尼)力或其他不能通过势函数得到的外力；若F_xk、F_yk、F_zk分别表示沿x、y、z方向作用在系统第k个质量上的外力，则广义力

可以通过下式计算：

其中x_k、y_k、z_k分别为第k个质量沿x、y、z方向的位移；对于扭振系统，则利用力矩代替力，角位移代替轴向位移；确定了结构的动能、势能、广义力的表达式就能够推导出机轮振动的动力学微分方程。

本发明一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法；

包括下述步骤：

步骤一

确定航空机轮的结构和振动的激励条件；

步骤二

建立机轮振动的数学模型，在实际操作过程，其可能是不唯一，可以是多个模型；并得到航空机轮动力学模型；确定一个既保持实际物理系统的重要特性，又最简单的机轮振动模型；

步骤三

运用数学工具研究机轮数学模型的稳定性和动力学响应特性；通过研究机轮力学系统的稳定性，对系统的状态进行表征，同时对机轮振动模型的动力学响应特性进行分析，分析结构参数变化对结构行为的影响，关键的结构参数和外力会对结构产生极大影响，通过分析这些参数对极限环幅值的影响。

本发明一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法；

航空机轮主要由机轮组件和刹车装置两部分组成，所述机轮组件包括轮毂、隔热屏、活动轮缘、活动导轨中的至少一种，所述刹车装置包括碳刹车盘、扭力筒、缸座中的至少一种。机轮振动的激励条件主要来自刹车控制系统中的刹车压力，不同的刹车控制系统提供的刹车压力不同，对机轮的振动产生影响；所述刹车盘包括压紧盘、动盘、静盘、承压盘中的至少一种。

本发明一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法；研究航空机轮着陆刹车过程的力学问题，属于多体动力学问题，多体动力学系统中最主要的问题就是系统建模与模型求解，多体系统动力学的建模一般有两种方法，即综合法和分析法。

分析法包括拉格朗日(Lagrange)方法、Kane方法以及通过前两种方法演变出来的各种其他方法。拉格朗日力学的特点是将matlab系统整体考虑，在建立模型的过程中，不涉及约束反力。使得运动微分方程格式规范，数目最少即仅仅依赖于系统自由度确定系统方程数量，但是又具有推导过程复杂等缺点。

综合法主要指牛顿-欧拉(Newton-Euler)向量力学法，该方法在建立模型的过程中必须对每个物体做单独分析，考虑约束力反力的存在。通过不同的方法来消除约束力，从而形成了各种基于牛顿-欧拉法的系统动力学方法。虽然此方法列写的微分方程比较简单，便于推导，但是存在方程数量较多、参数向量化和计算复杂等缺点。

本发明一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法；综合考虑航空机轮的实际运动状态及研究内容，选取拉格朗日力学方法建立航空刹车机轮动力学模型。拉格朗日力学表达式见下式。

对于一个N自由度系统，拉格朗日方程可以表示为：

其中T为系统动能，V为系统势能，

为广义速度，

是相对广义坐标q_j的广义力，以

表示的这个力可能是耗散(阻尼)力或其他不能通过势函数得到的外力。例如，若F_xk、F_yk、F_zk分别表示沿x、y、z方向作用在系统第k个质量上的外力，则广义力

可以通过下式计算：

其中x_k、y_k、z_k分别为第k个质量沿x、y、z方向的位移。对于扭振系统，则利用力矩代替力，角位移代替轴向位移。确定了结构的动能、势能、广义力的表达式就能够推导出机轮振动的动力学微分方程。

本发明一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法；对航空机轮振动稳定性分析：航空机轮属于一种典型的自激振动系统，若运动(位移、加速度)随时间收敛或保持恒定状态，则称系统是动力稳定的，若幅值随时间发散的则是不稳定的，以动盘扭转为例，不稳定状态下，扭转振动的幅值会不断增大，造成刹车效率的下降，严重的甚至造成结构的破坏。稳定性分析主要分析：刹车压力对模型稳定性的影响和刹车盘摩擦力对模型稳定性的影响

本发明一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法；对航空机轮的的动力学响应分析，由于航空机轮的几何非线性、材料非线性等引起动力学的非线性，属于非线性系统，对非线性系统而言，只有极少数特殊类型的二阶非线性常微分方程才有可能得到精确解；非线性振动问题很难有一个精确解，但也可以获得其近似解；采用图解法中的相平面法、时间历程图、频谱图、庞加莱截面图中的至少一种方法对机轮振动进行分析。动力学响应主要分析：机轮刹车压力对动力学特性的影响和机轮结构刚度、阻尼对动力学特性的影响

作为优选方案；本发明一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法；包括下述步骤：

步骤1航空机轮结构及外界激励的确定

航空机轮主要由机轮组件和刹车装置两部分组成，机轮组件包括轮毂、隔热屏、活动轮缘、活动导轨等部件，所述刹车装置包括碳刹车盘、扭力筒、缸座；刹车动盘和静盘交错排列安装在扭力筒上，动盘外径上的键与轮毂内部的导轨相配合，由机轮带动转动；静盘内径上的键与扭力筒上的导轨配合，不产生绕轮轴的旋转运动；刹车时，由缸座中的液压油驱动缸座活塞伸出，将动静盘挤压在一起，通过摩擦产生刹车力矩，进而完成对飞机的制动工作；机轮振动的激励主要来自刹车控制系统中的刹车压力；

步骤2.建立航空机轮动力学模型

航空机轮动力学系统的拉格朗日方程可以表示为：

其中T为系统动能，V为系统势能，

为广义速度，

是相对广义坐标q_j的广义力，以

表示的这个力可能是耗散(阻尼)力或其他不能通过势函数得到的外力；若F_xk、F_yk、F_zk分别表示沿x、y、z方向作用在系统第k个质量上的外力，则广义力

可以通过下式计算：

其中x_k、y_k、z_k分别为第k个质量沿x、y、z方向的位移。

机轮的振动形式主要有结构的轴向、径向、扭转等，结合飞机的实际刹车过程，取如下15个自由度进行动力学建模，基本上囊括了模态分析中出现在构件各个方向上的振动形式；

动、静盘刚体的横向位移：x_d、x_j

动、静盘的2个偏转角度：Ψ_d、θ_d、Ψ_j、θ_j、

动盘的轴向旋转角度：

扭力筒的轴向位移和偏转角度：y_a、z_a、θ_a、Ψ_a

轮毂的轴向位移和偏转角度：y_b、z_b、θ_b、Ψ_b

步骤2.1系统动能

系统的动能包括各个构件在对应自由度的平动动能以及转动动能，在飞机起降和滑跑过程过程中，飞机的动盘、静盘、轮毂、扭力筒都存在平动和转动运动状态，因此，系统的动能表达式具体如下：

动盘的动能：

静盘的动能：

扭力筒的动能：

轮毂的动能：

上式T_d、T_j、T_a、T_b分别为机轮中动盘、静盘、扭力筒、轮毂的动能，m_d、Iθ_d、I_ψd、分别为动盘的质量和绕z、y轴的转动惯量。m_j、I_θj、I_ψj分别为静盘的质量和绕z、y轴的转动惯量。m_a、I_θa、I_ψa分别为扭力筒的质量和绕z、y轴的转动惯量。m_b、I_θb、I_ψb分别为扭力筒的质量和绕z、y轴的转动惯量。

步骤2.2系统势能

静盘的势能表达式如下：

上式中K_p为静盘与缸座接触面的轴向等效法向刚度。K_θj、K_ψj为静盘弯曲刚度。K_aj为静盘和扭力筒接触面的等效扭转弹簧刚度。

动盘的势能表达式：

上式中K_dd为动盘与缸座接触面的轴向等效法向刚度。K_θd、K_ψd为动盘弯曲刚度。K_bd为动盘和轮毂接触面的等效扭转弹簧刚度。

扭力筒的势能：

Y方向：

θ方向：

Z方向：

ψ方向：

上式中，V_j、V_d分别为动盘和静盘的势能表达式，V_ay、V_aθ、V_az、V_az分别为扭力筒在四个自由度上的势能，K_aij(i，J＝1，2，3，4)分别是扭力筒在各个方向之间的耦合刚度。K_yab、K_θab、K_ψab为扭力筒与轴承套之间接触面的等效刚度和等效扭转刚度。

步骤2.3航空机轮系统动力学方程中耗散力及外力表达式建立

(1)制动盘之间的表面接触力

接触表面之间点的位移及力矩关系如下：

动盘上点的横向位移：

x_dp(r，θ)＝x_d-rsinθsinθ_d-rcosθsinψ_d

静盘上点的横向位移：

x_jp(r，θ)＝x_j-rsinθsinθ_j-rcosθsinψ_j

接触面上任意点的横向位移：

x(r，θ)＝x_jp(r，θ)-x_dp(r，θ)＝(x_j-x_d)-rsinθ(θ_j-θ_d)-rcosθ(ψ_j-ψ_d)

接触表面的力及力矩：

正压力产生的轴向力：

由摩擦力产生x方向的矩：

由正压力产生y与z方向的矩：

R₀、R₁为制动盘接触面的内外半径，N为制动盘上任意点的正压力。r为制动盘上任意一点到圆心的距离。

正压力N的表达式为：

N(r，θ)＝K₁x(r，θ)+K₂x(r，θ)²+K₃x(r，θ)³+K₄x(r，θ)⁴+B

式中K₁、K₂、K₃、K₄、B为多项式拟合参数。

航空刹车机轮阻尼力

静盘阻尼力表达式如下：

C_j为静盘阻尼力，C_p为压紧盘与缸座接触面等效均质弹簧的阻尼系数。C_θj、C_ψj为静盘弯曲阻尼系数。C_aj为静盘和扭力筒接触面等效扭转弹簧的阻尼系数。

类似可以得到动盘的阻尼力表达式：

扭力筒的阻尼力表达式：

Y方向：

θ方向：

Z方向：

ψ方向：

上式中C_d为阻尼力表达式，C_ay、C_aθ、C_az、C_aψ，为扭力筒在四个自由度方向的阻尼力表达式。

步骤2.4机轮系统动力学微分方程表达式

将以上建立的模型动能表达式、系统势能表达式、各种外力及耗散力表达式，根据自由度数目对带入后的方程进行求导，可以得到如下所示的15自由度机轮动力学微分方程。

上式中F_p为缸座活塞给碳盘施加的轴向力，其他参数同前面公式。

步骤3.航空机轮的稳定性分析

航空机轮就是一种典型的自激振动系统，若运动(位移、加速度)随时间收敛或保持恒定状态，则称系统是动力稳定的，若幅值随时间发散的则是不稳定的，以动盘扭转为例，不稳定状态下，扭转振动的幅值会不断增大，造成刹车效率的下降，严重的甚至造成结构的破坏；所述运动包括位移、加速度中的至少一个；

步骤3.1刹车压力对模型稳定性的影响

取刹车压力P_q＝QMPa，其他参数同正常着陆工况一致；刹车压力变化范围为0＜P_qx＜2P_q。得到分析结果；

步骤3.2摩擦力对模型稳定性的影响

K_dd为动盘与缸座接触面的轴向等效法向刚度、μ为最小动摩擦系数，同正常刹车工况的参数，K_ddx、μ_x等作为K_dd和μ的变化参数，探讨其变化对动力学模型稳定性的影响；

当动盘轴向等效刚度K_ddx/K_dd＞0.5，动摩擦系数μ_x/μ＞0.65时，机轮基本上位于稳定区域，随着动盘轴向等效刚度的增加，动力学模型稳定性会逐渐增强；

步骤4航空机轮的的动力学响应分析

把控制非线性系统振动的微分方程用n个一阶微分方程构成的方程组来描述：这里，非线性项假设仅仅出现在g(x，t)上，a是小参数

具有非线性项微分方程的解假设为小参数的展开式是由庞加莱首先提出的。假设解释下列级数形式：

x(t)＝x₀(t)+ax₁(t)+a²x₂(t)+a³x₂(t)+…

当参数a比较小时，在上式所示的级数中，取前两项或者前三项就可能快速收敛到适当的精确解；

步骤4.1机轮刹车压力对动力学特性的影响

取刹车压力波动较小时间段的力进行动力学响应分析，模拟刹车压力P_q在10％变化范围内浮动；观察系统的动力学特性，

步骤4.2机轮结构刚度、阻尼对动力学特性的影响

在刹车时间段内施加刹车力矩，同时改变动盘刚度K_dd其他参数保持不变，研究其对机轮刹车动盘轴向振动位移、加速度的影响；

在刹车时间段内施加刹车力矩，改变动盘阻尼C_dd其他参数保持不变，研究其对机轮刹车动盘轴向振动位移、加速度的影响。

发明主要是构建了一套分析机轮稳定性和动力学响应特性的方法，通过机轮力学系统的稳定性对系统的状态进行表征，同时对机轮振动模型的动力学响应特性进行分析，分析结构参数变化对结构行为的影响，关键的结构参数和外力会对结构产生极大影响，通过分析这些参数对极限环幅值等的影响。本发明可以实现经济、快速的对机轮的结构以及选材做出评判。对机轮结构设计、材料选取等重要的意义。

附图说明

附图1为本发明的流程图；

附图2为航空机轮结构示意图；

图3为机轮震动模型参数坐标系示意图；

图4为实施例1中轴向自由度的根轨迹随刹车压力变化图(箭头为根轨迹前进方向)；

图5为实施例1中自由度θ的根轨迹随刹车压力变化图(箭头为根轨迹前进方向)；

图6为实施例1中动摩擦系数/动盘轴向等效刚度变化下的稳定区域；

图7为实施例1中动摩擦系数/动盘轴向等效阻尼对系统稳定性的影响；

图8为实施例1中扭力筒/轴承套间耦合刚度对系统稳定性的影响；

图9为实施例1中静盘轴向自由度相图；

图10为实施例1中静盘轴向自由度时间历程图；

图11为实施例1中静盘轴向自由度频谱图；

图12为实施例1中静盘轴向自由度庞加莱截面图；

图13为实施例1中动盘轴向位移曲线；

图14为实施例1中动盘轴向加速度曲线；

图15为实施例1中静盘轴向位移曲线；

图16为实施例1中静盘轴向加速度曲线；

图17为实施例1中动盘轴向位移曲线(70％K_dd)；

图18为实施例1中动盘轴向加速度曲线(70％K_dd)；

图19为实施例1中动盘轴向位移曲线(130％K_dd)；

图20为实施例1中动盘轴向加速度曲线(130％K_dd)；

图21为实施例1中动盘轴向位移曲线(70％C_dd)；

图22为实施例1中动盘轴向加速度曲线(70％C_dd)；

图23为实施例1中动盘轴向位移曲线(130％C_dd)；

图24为实施例1中动盘轴向加速度曲线(130％C_dd)。

具体实施方式：

实施例1

1.航空机轮结构及外界激励

航空机轮主要由机轮组件和刹车装置两部分组成，机轮组件包括轮毂、隔热屏、活动轮缘、活动导轨等部件，所述刹车装置包括碳刹车盘(压紧盘、动盘、静盘、承压盘)、扭力筒、缸座等部件。如附图1所示，刹车动盘和静盘交错排列安装在扭力筒上，动盘外径上的键与轮毂内部的导轨相配合，由机轮带动转动。静盘内径上的键与扭力筒上的导轨配合，不产生绕轮轴的旋转运动。刹车时，由缸座中的液压油驱动缸座活塞伸出，将动静盘挤压在一起，通过摩擦产生刹车力矩，进而完成对飞机的制动工作。机轮振动的激励主要来自刹车控制系统中的刹车压力。

2.建立航空机轮动力学模型

航空机轮动力学系统的拉格朗日方程可以表示为：

其中T为系统动能，V为系统势能，

为广义速度，

是相对广义坐标q_j的广义力，以

表示的这个力可能是耗散(阻尼)力或其他不能通过势函数得到的外力。例如，若F_xk、F_yk、F_zk分别表示沿x、y、z方向作用在系统第k个质量上的外力，则广义力

可以通过下式计算：

其中x_k、y_k、z_k分别为第k个质量沿x、y、z方向的位移。

机轮的振动形式主要有结构的轴向、径向、扭转等，结合飞机的实际刹车过程，我们取如下15个自由度进行动力学建模，基本上囊括了模态分析中出现在构件各个方向上的振动形式。坐标参数系见图3

动、静盘刚体的横向位移：x_d、x_j

动、静盘的2个偏转角度：Ψ_d、θ_d、Ψ_j、θ_j、

动盘的轴向旋转角度：

扭力筒的轴向位移和偏转角度：y_a、z_a、θ_a、Ψ_a

轮毂的轴向位移和偏转角度：y_b、z_b、θ_b、Ψ_b

2.1系统动能

系统的动能包括各个构件在对应自由度的平动动能以及转动动能，在飞机起降和滑跑过程中，飞机的动盘、静盘、轮毂、扭力筒都存在平动和转动运动状态，因此，系统的动能表达式具体如下：

动盘的动能：

静盘的动能：

扭力筒的动能：

轮毂的动能：

上式T_d、T_j、T_a、T_b分别为机轮中动盘、静盘、扭力筒、轮毂的动能，m_d、I_θd、I_ψd、分别为动盘的质量和绕z、y轴的转动惯量。m_j、I_θj、I_ψj分别为静盘的质量和绕z、y轴的转动惯量。m_a、I_θa、I_ψa分别为扭力筒的质量和绕z、y轴的转动惯量。m_b、I_θb、I_ψb分别为扭力筒的质量和绕z、y轴的转动惯量。

2.2系统势能

静盘的势能表达式如下：

上式中K_p为静盘与缸座接触面的轴向等效法向刚度。K_θj、K_ψj为静盘弯曲刚度。K_ai为静盘和扭力筒接触面的等效扭转弹簧刚度。

动盘的势能表达式：

上式中K_dd为动盘与缸座接触面的轴向等效法向刚度。K_θd、K_ψd为动盘弯曲刚度。K_bd为动盘和轮毂接触面的等效扭转弹簧刚度。

扭力筒的势能：

Y方向：

θ方向：

Z方向：

ψ方向：

上式中，V_j、V_d分别为动盘和静盘的势能表达式，V_ay、V_aθ、V_az、V_az分别为扭力筒在四个自由度上的势能，K_aij(i，j＝1，2，3，4)分别是扭力筒在各个方向之间的耦合刚度。K_yab、K_θab、K_ψab为扭力筒与轴承套之间接触面的等效刚度和等效扭转刚度。

2.3航空机轮系统动力学方程中耗散力及外力表达式建立

(1)制动盘之间的表面接触力

接触表面之间点的位移及力矩关系如下：

动盘上点的横向位移：

x_dp(r，θ)＝x_d-rsinθsinθ_d-rcosθsinψ_d

静盘上点的横向位移：

x_jp(r，θ)＝x_j-rsinθsinθ_j-rcosθsinψ_j

接触面上任意点的横向位移：

x(r，θ)＝x_jp(r，θ)-x_dp(r，θ)＝(x_j-x_d)-rsinθ(θ_j-θ_d)-rcosθ(ψ_j-ψ_d)

接触表面的力及力矩：

正压力产生的轴向力：

由摩擦力产生x方向的矩：

由正压力产生y与z方向的矩：

R₀、R₁为制动盘接触面的内外半径，N为制动盘上任意点的正压力。r为制动盘上任意一点到圆心的距离。

正压力N的表达式为

N(r，θ)＝K₁x(r，θ)+K₂x(r，θ)²+K₃x(r，θ)³+K₄x(r，θ)⁴+B

式中K₁、K₂、K₃、K₄、B为多项式拟合参数。

(2)航空刹车机轮阻尼力

静盘阻尼力表达式如下：

C_j为静盘阻尼力，C_p为压紧盘与缸座接触面等效均质弹簧的阻尼系数，C_θj、C_ψj为静盘弯曲阻尼系数。C_aj为静盘和扭力筒接触面等效扭转弹簧的阻尼系数。

类似可以得到动盘的阻尼力表达式：

扭力筒的阻尼力表达式：

Y方向：

θ方向：

Z方向：

ψ方向：

上式中C_d为阻尼力表达式，C_ay、C_aθ、C_az、C_aψ为扭力筒在四个自由度方向的阻尼力表达式。

2.4机轮系统动力学微分方程表达式

将以上建立的模型动能表达式、系统势能表达式、各种外力及耗散力表达式，根据自由度数目对带入后的方程进行求导，可以得到如下所示的15自由度机轮动力学微分方程。

上式中F_p为缸座活塞给碳盘施加的轴向力，其他参数同前面公式。

3.航空机轮的稳定性分析

航空机轮就是一种典型的自激振动系统，若运动(位移、加速度)随时间收敛或保持恒定状态，则称系统是动力稳定的，若幅值随时间发散的则是不稳定的，以动盘扭转为例，不稳定状态下，扭转振动的幅值会不断增大，造成刹车效率的下降，严重的甚至造成结构的破坏。

3.1刹车压力对模型稳定性的影响

取刹车压力P_q＝15MPa，其他参数同正常着陆工况一致。刹车压力变化范围为0＜P_qx＜2P_q。得到如下所示的分析结果。图4为机轮中静盘、动盘、扭力筒和轮毂的轴向自由度特征值实部和虚部组成的根轨迹图。从图中可以观察到动盘的轴向自由度先于其他3个轴向自由度进入正实部区域，随后是静盘的轴向自由度进去正实部区域，而扭力筒和轮毂的轴向自由度基本上位于负实部区域，这表明随着刹车压力的增大，动盘的轴向运动模态最先失稳，紧随其后的就是静盘轴向运动模态，而扭力筒和轮毂的轴向自由度基本上不会随着刹车压力的增加而失稳。

图5为机轮中静盘、动盘、扭力筒和轮毂的绕y轴弯曲自由度θ的特征值实部和虚部组成的根轨迹图。从图中可以看出随着刹车压力的增大，扭力筒和轮毂绕y轴的扭转模态非常快的进入不稳定状态，而动盘、静盘的绕y轴扭转特征值实部都为负，说明基本上不会出现不稳定模态。

3.2摩擦力对模型稳定性的影响

K_dd为动盘与缸座接触面的轴向等效法向刚度、μ为最小动摩擦系数，同正常刹车工况的参数，K_ddx、μ_x等作为K_dd和μ的变化参数，探讨其变化对动力学模型稳定性的影响。

如图6所示，当动盘轴向等效刚度K_ddx/K_dd＞0.5，动摩擦系数μ_x/μ＞0.65时，机轮基本上位于稳定区域，随着动盘轴向等效刚度的增加，动力学模型稳定性会逐渐增强。说明在动盘的设计与研发过程中，应尽可能的增加动盘的轴向等效刚度以确保系统的稳定区域更大。

从图7中可以看出，动盘轴向等效阻尼对系统的稳定性会产生非常大的影响。当动摩擦系数比较小的情况下，系统会存在不稳定情况。当动摩擦系数比较大的情况下，只有小部分区域的等效阻尼满足稳定性的要求，随着动摩擦系数的不断增大，稳定区域是一种先增大后减小的趋势。

从图8可以看出耦合刚度对系统稳定性的影响非常直观，不随动摩擦系数的变化而变化，仅仅在0.46＜k_yabx/k_yab＜0.84范围内是不稳定的，其它范围内系统都处于稳定区域，在结构材料的选取和设计过程中，只要避开上述区域就能满足设计要求。

图8说明了扭力筒和轴承套的耦合阻尼对系统的影响，耦合阻尼对系统的影响基本上和耦合刚度比较接近，都是在特定范围内会造成对系统的影响，即0.22＜c_yabx/c_yab＜0.51，并且模型的动摩擦系数和耦合阻尼之间没有影响。

4航空机轮的的动力学响应分析

把控制非线性系统振动的微分方程用n个一阶微分方程构成的方程组来描述：这里，非线性项假设仅仅出现在g(x，t)上，a是小参数

具有非线性项微分方程的解假设为小参数的展开式是由庞加莱首先提出的。假设解释下列级数形式：

x(t)＝x₀(t)+ax₁(t)+a²x₂(t)+a³x₂(t)+…

当参数a比较小时，在上式所示的级数中，取前两项或者前三项就可能快速收敛到适当的精确解。

4.1机轮刹车压力对动力学特性的影响

取刹车压力波动较小时间段的力进行动力学响应分析，模拟刹车压力P_q在10％变化范围内浮动。观察系统的动力学特性，结果如图所示：

图9给出了系统静盘的轴向相图，可以看出呈现多个圆环的叠加状态，对照图10的庞加莱截面可以看出，在庞加莱截面图中，存在多个点，说明模型是呈现一种概周期运动，位移幅值在0.002米左右，速度幅值保持在0.01m/s附近。对比图11与图12的频谱图，频率集中在350Hz附近，其他频率则占到很小的比重。这种情况可能是制动盘直接接触以及结构直接相互耦合与刹车压力的施加造成的，因此在飞机设计过程中，应该避免类似发动机转速、相邻结构固有频率等出现在350HZ附近，否则就可能产生共振，引起结构的破坏。

4.2机轮结构刚度、阻尼对动力学特性的影响

仿真参数同正常着陆试验参数。结果如图13～图16，可以看出动盘和静盘的位移及加速度曲线变化过程类似，只是幅值存在一定的差异，而且动盘的位移及加速度幅值是大于静盘的。

在刹车时间段内施加刹车力矩，同时改变动盘刚度K_dd为70％K_dd、130％K_dd。其他参数保持不变，研究其对机轮刹车动盘轴向振动位移、加速度的影响。如图17～图20所示，随着轴向刚度K_dd的增大，结构刚性增加，刹车装置中动盘的轴向位移幅值与加速度振幅都显著降低。在刹车时间段内施加刹车力矩，改变动盘阻尼C_dd为70％C_dd、130％C_dd。其他参数保持不变，研究其对机轮刹车动盘轴向振动位移、加速度的影响。如图21～图24所示，由于阻尼对振动的能量具有消耗作用，因此当机轮结构阻尼C_dd增大时，机轮动盘的轴向位移和加速度均有减小，而且刹车振动幅度削减速度明显变快，表明增加结构阻尼能够抑制振动现象。

Claims (1)

1.一种基于系统动力学的航空机轮振动分析方法；其特征在于：

包括下述步骤：

步骤1航空机轮结构及外界激励的确定

航空机轮由机轮组件和刹车装置两部分组成，机轮组件包括轮毂、隔热屏、活动轮缘、活动导轨，所述刹车装置包括碳刹车盘、扭力筒、缸座；刹车动盘和静盘交错排列安装在扭力筒上，动盘外径上的键与轮毂内部的导轨相配合，由机轮带动转动；静盘内径上的键与扭力筒上的导轨配合，不产生绕轮轴的旋转运动；刹车时，由缸座中的液压油驱动缸座活塞伸出，将动静盘挤压在一起，通过摩擦产生刹车力矩，进而完成对飞机的制动工作；机轮振动的激励来自刹车控制系统中的刹车压力；

步骤2.建立航空机轮动力学模型

航空机轮动力学系统的拉格朗日方程可以表示为：

其中T为系统动能，V为系统势能，

为广义速度，

是相对广义坐标q_j的广义力，以

表示的这个力是耗散力或其他不能通过势函数得到的外力；若F_xk、F_yk、F_zk分别表示沿x、y、z方向作用在系统第k个质量上的外力，则广义力

通过下式计算：

其中x_k、y_k、z_k分别为第k个质量沿x、y、z方向的位移；

机轮的振动形式有结构的轴向、径向、扭转，结合飞机的实际刹车过程，取如下15个自由度进行动力学建模，基本上囊括了模态分析中出现在构件各个方向上的振动形式；

动、静盘刚体的横向位移：x_d、x_j

动、静盘的2个偏转角度：Ψ_d、θ_d、Ψ_j、θ_j、

动盘的轴向旋转角度：

扭力筒的轴向位移和偏转角度：y_a、z_a、θ_a、Ψ_a

轮毂的轴向位移和偏转角度：y_b、z_b、θ_b、Ψ_b

步骤2.1系统动能

系统的动能包括各个构件在对应自由度的平动动能以及转动动能，在飞机起降和滑跑过程中，飞机的动盘、静盘、轮毂、扭力筒都存在平动和转动运动状态，因此，系统的动能表达式具体如下：

动盘的动能：

静盘的动能：

扭力筒的动能：

轮毂的动能：

上式T_d、T_j、T_a、T_b分别为机轮中动盘、静盘、扭力筒、轮毂的动能，m_d、I_θd、I_ψd分别为动盘的质量和绕z、y轴的转动惯量；m_j、I_θj、I_ψj分别为静盘的质量和绕z、y轴的转动惯量；m_a、I_θa、I_ψa分别为扭力筒的质量和绕z、y轴的转动惯量；m_b、I_θb、I_ψb分别为扭力筒的质量和绕z、y轴的转动惯量；

步骤2.2系统势能

静盘的势能表达式如下：

上式中K_p为静盘与缸座接触面的轴向等效法向刚度；K_θj、K_ψj为静盘弯曲刚度；K_aj为静盘和扭力筒接触面的等效扭转弹簧刚度；

动盘的势能表达式：

上式中K_dd为动盘与缸座接触面的轴向等效法向刚度；K_θd、K_ψd为动盘弯曲刚度；K_bd为动盘和轮毂接触面的等效扭转弹簧刚度；

扭力筒的势能：

Y方向：

θ方向：

Z方向：

ψ方向：

上式中，V_j、V_d分别为动盘和静盘的势能表达式，V_ay、V_aθ、V_az、V_aψ分别为扭力筒在四个自由度上的势能，K_aij分别是扭力筒在各个方向之间的耦合刚度；K_yab、K_θab、K_ψab为扭力筒与轴承套之间接触面的等效刚度和等效扭转刚度；其中i＝1,2,3,4、j＝1,2,3,4；

步骤2.3航空机轮系统动力学方程中耗散力及外力表达式建立

(1)制动盘之间的表面接触力

接触表面之间点的位移及力矩关系如下：

动盘上点的横向位移：

x_dp(r,θ)＝x_d-rsinθsinθ_d-rcosθsinψ_d

静盘上点的横向位移：

x_jp(r,θ)＝x_j-rsinθsinθ_j-rcosθsinψ_j

接触面上任意点的横向位移：

x(r,θ)＝x_jp(r,θ)-x_dp(r,θ)＝(x_j-x_d)-rsinθ(θ_j-θ_d)-rcosθ(ψ_j-ψ_d)

接触表面的力及力矩：

正压力产生的轴向力：

由摩擦力产生x方向的矩：

由正压力产生y与z方向的矩：

R₀、R₁为制动盘接触面的内外半径，N为制动盘上任意点的正压力；r为制动盘上任意一点到圆心的距离；

正压力N的表达式为:

N(r,θ)＝K₁x(r,θ)+K₂x(r,θ)²+K₃x(r,θ)³+K₄x(r,θ)⁴+B

式中K₁、K₂、K₃、K₄、B为多项式拟合参数；

航空刹车机轮阻尼力

静盘阻尼力表达式如下：

C_j为静盘阻尼力，C_p为压紧盘与缸座接触面等效均质弹簧的阻尼系数；C_θj、C_ψj为静盘弯曲阻尼系数；C_aj为静盘和扭力筒接触面等效扭转弹簧的阻尼系数；

类似可以得到动盘的阻尼力表达式：

扭力筒的阻尼力表达式：

Y方向：

θ方向：

Z方向：

ψ方向：

上式中C_d为阻尼力表达式，C_ay、C_aθ、C_az、C_aψ为扭力筒在四个自由度方向的阻尼力表达式；

步骤2.4机轮系统动力学微分方程表达式

将以上建立的模型动能表达式、系统势能表达式、各种外力及耗散力表达式，根据自由度数目对带入后的方程进行求导，可以得到如下所示的15自由度机轮动力学微分方程；

上式中F_p为缸座活塞给碳盘施加的轴向力，其他参数同前面公式；

步骤3.航空机轮的稳定性分析

航空机轮就是一种典型的自激振动系统，若运动随时间收敛或保持恒定状态，则称系统是动力稳定的，若幅值随时间发散的则是不稳定的，以动盘扭转为例，不稳定状态下，扭转振动的幅值会不断增大，造成刹车效率的下降，严重的甚至造成结构的破坏；所述运动包括位移、加速度中的至少一个；

步骤3.1刹车压力对模型稳定性的影响

取刹车压力P_q＝QMPa，其他参数同正常着陆工况一致；刹车压力变化范围为0<P_qx<2P_q；得到分析结果；

步骤3.2摩擦力对模型稳定性的影响

K_dd为动盘与缸座接触面的轴向等效法向刚度、μ为最小动摩擦系数，同正常刹车工况的参数，K_ddx、μ_x等作为K_dd和μ的变化参数，探讨其变化对动力学模型稳定性的影响；

当动盘轴向等效刚度K_ddx/K_dd>0.5，动摩擦系数μ_x/μ>0.65时，机轮基本上位于稳定区域，随着动盘轴向等效刚度的增加，动力学模型稳定性会逐渐增强；

步骤4航空机轮的动力学响应分析

把控制非线性系统振动的微分方程用n个一阶微分方程构成的方程组来描述：这里，非线性项假设仅仅出现在g(x,t)上，a是小参数

具有非线性项微分方程的解假设为小参数的展开式是由庞加莱首先提出的；假设解释下列级数形式：

x(t)＝x₀(t)+ax₁(t)+a²x₂(t)+a³x₂(t)+…

当参数a比较小时，在上式所示的级数中，取前两项或者前三项就可能快速收敛到适当的精确解；

步骤4.1机轮刹车压力对动力学特性的影响

取刹车压力波动较小时间段的力进行动力学响应分析，模拟刹车压力P_q在10％变化范围内浮动；观察系统的动力学特性，

步骤4.2机轮结构刚度、阻尼对动力学特性的影响

在刹车时间段内施加刹车力矩，同时改变动盘刚度K_dd其他参数保持不变，研究其对机轮刹车动盘轴向振动位移、加速度的影响；

在刹车时间段内施加刹车力矩，改变动盘阻尼C_dd其他参数保持不变，研究其对机轮刹车动盘轴向振动位移、加速度的影响。

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