CN110826812A - 一种基于图的布尔可满足性问题的目标算法预测方法 - Google Patents

一种基于图的布尔可满足性问题的目标算法预测方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于图的布尔可满足性问题的目标算法预测方法，包括以下步骤：设计图结构，然后输入问题集里的每个布尔可满足性问题的原始定义，输出相关的图结构表示并构建一组对应于原始问题的图结构数据集；搭建一个图结构到文档结构的转换模型，构建一组对应于原始布尔可满足性问题的文档数据集；搭建一个文档向量化模型，构建一组对应于原始布尔可满足性问题的向量；选择一个分类模型或回归模型，训练该模型使其学会对布尔可满足性问题的目标算法进行预测。本发明利用图的强大表示能力，将每个SAT问题的原始表示转换成图的逻辑表示，并以无监督的方式从图中学习到有效的特征，最后根据该特征对问题的目标算法预测进行学习并应用。

Description

一种基于图的布尔可满足性问题的目标算法预测方法
技术领域
本发明属于计算机技术领域，特别涉及应用图结构分析布尔可满足性问题的目标算法预测方法。
背景技术
决定性问题是计算机领域的经典问题，也是现实世界中广泛存在的问题。它类似于以下的这种问题描述，给定问题需要的所有输入，输出为是或者否，一般情况下，确定问题的输出为是，如何获得满足这一输出的输入便是我们的目标。根据问题的难易程度，决定性问题分为P，NP，NP-Complete和NP-Hard几个等级。P问题是最简单的决定性问题，它可以在多项式时间内获得解，然而，对于其他三个等级的问题，广义上不存在某个可以在多项式时间内求得解的算法，它们只能在多项式时间内对任意一个给定的解验证它的正确性。P问题也是NP问题的子集，这就意味着某些具体的NP问题实际上也存在近似可行的算法，但是，我们并不知道某些算法可行，某些算法不可行。于是，算法预测的技术可以帮助我们从现有的算法集中搜寻针对某一具体问题可行的算法。算法预测通常需要对问题的结构进行分析，从而根据结构差异和已知的可行的算法学习归纳出某种潜在的规律，然后基于此规律在指定的算法集里寻找目标算法。
布尔可满足性问题(SAT)是第一个被证明的NP-Complete问题，基于该问题的算法预测研究大部分都是人工的分析问题并手动构建特征，这是非常耗时且耗力的方式，而且研究人员的主观性也会将一些偏见带入到问题特征的构建中。后来，一种基于神经网络的方法可以自动地学习问题的特征并归纳出算法预测的规律，虽然该方法摒弃了耗时耗力的人工特征，但是由于神经网络的对数据的高要求，以及它的输入格式的缺陷，它其实并没有帮助我们节省可观的成本，也不可能帮助人们理解这种算法预测背后的规律。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于图的布尔可满足性问题的目标算法预测方法，通过自主学习SAT问题的主要特征，同时不需要任何目标标记的参与，以减少人们在设计提取问题特征时消耗的精力。
为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：
一种基于图的布尔可满足性问题的目标算法预测方法，包括以下步骤：
步骤1，设计一个通用的适用于布尔可满足性问题的图结构，然后输入问题集里的每个布尔可满足性问题的原始定义，输出相关的图结构表示并构建一组对应于原始问题的图结构数据集；
步骤2，搭建一个图结构到文档结构的转换模型，输入为步骤1得到的图结构数据集，输出为图节点标签组成的文档表示并构建一组对应于原始布尔可满足性问题的文档数据集；
步骤3，搭建一个文档向量化模型，输入为步骤2得到的文档数据集，输出为向量表示并构建一组对应于原始布尔可满足性问题的向量；
步骤4：任意选择一个分类模型或回归模型，输入为步骤3得到的一组向量表示，目标为算法集在布尔可满足性问题集上的性能指标，训练该模型使其学会对布尔可满足性问题的目标算法进行预测。
所述步骤1中，为每个布尔可满足性问题构建一个匹配的图结构，该图结构为三元组G(N,E,l)，其中N是图的节点集合，E是图中的由N中的节点构成的边集合，l代表一个标签函数或策略；该图结构为每个节点赋予一个标记，该标记并不是唯一的而是能够共存于多个节点之中；
布尔可满足性问题中的每个命题变元被作为节点集合N中的每个节点，包括命题变元的逻辑非
Figure BDA0002270993490000021
比如析取项a∨
Figure BDA0002270993490000022
b∨c，变元a是单独的一个节点，变元
Figure BDA0002270993490000023
b也是单独的一个节点，它不与变元b共用一个节点；边集合E中的每条边取决于它们的两个端节点是否处于同一个析取项中，如果存在这样的一对节点，则产生一条边；在之前的图结构定义下，l直接使用节点的度作为输出，在逻辑意义上，l表示每个节点变元存在多少约束；对于存在逻辑非的命题变元，原变元节点与它的逻辑非节点也设置一条边。
所述步骤1中，由于SAT问题的广泛性，该问题最终形成的规模将会异常的巨大，这会导致最终的程序存在极大的性能瓶颈，因此，通过对节点和边的修剪操作，来还原真实布尔可满足性问题，并且缩小该问题最后的图表示；根据删减节点和边的依赖关系，将修剪操作分为以下俩个部分：
第一部分，关注节点的冗余，包括以下步骤：
(1)在原始布尔可满足性问题的表示中，可能会存在只有单个变元的析取项，显然，若要该问题有解，所有类似的变元赋值都必须使得该析取项的逻辑值为真，于是该单变元所表示的节点将会被直接从图中移除；对于某一个变元a,如果a和
Figure BDA0002270993490000024
a同时存在与单变元的析取项中，则该问题直接无解；
(2)在布尔可满足性问题表示中，所有包含步骤(1)中被移除的变元的析取项都会直接忽略；对应到图结构中，所有与被移除节点变元存在关系的边都被移除；
(3)在布尔可满足性问题表示中，若存在与步骤(1)中被移除的变元相对应的逻辑非则直接忽略该问题中的所有该逻辑非变元；如果在移除逻辑非变元之后，余下的析取项只包含一个变元且该变元已经出现在步骤(1)中，则该问题无解；否则重复步骤(1)，将余下的单变元直接移除并重复步骤(2)和(3)；
第二部分，关注边的冗余：
布尔可满足性问题实际上就是一个数学意义上的合取范式，其中的析取项有长有短，若存在某个较短的析取项被某个较长的析取项包含，则较长的析取项就是一个冗余项，所以，直接移除较长的析取项。
所述步骤2中，利用Weisfeiler-Lehman同构检测算法里的标签重构思想，为原始的布尔可满足性问题构建一组新的文档表示集；
在Weisfeiler-Lehman同构检测算法中，每个节点的标签都会被迭代地重构，从而实现更精细的布尔可满足性问题表示文档；在重构节点标签时，每个节点都有一个初始的标签，然后在以后的每次迭代过程中，算法会根据节点的邻接状态，利用上一次迭代产生的节点标签，合并当前节点和邻接节点的标签，并通过某个全局映射函数输出一个新的标签，其中的标签合并规则为：
Figure BDA0002270993490000031
标签L的上标表示迭代的序数，下标为节点标记，n表示任意一个根结点，Ne(n)表示节点n的邻接节点，i表示结点n的邻接结点序列Ne(n)的元素序数，它们之间是按照标签字符递增排序，标签之间使用符号-来连接，合并后的原始标签随着迭代次数的增加会变得越来越长，通过一个全局映射函数来生成新的标签去替代旧的标签，本发明采用的Hash函数；
在固定次数的迭代结束后，将这些标签组织成若干段文本，该文本能够反映图内部的逻辑结构，文档组成的模板是：
Figure BDA0002270993490000032
Figure BDA0002270993490000033
是由节点n在迭代第e次组成的片段，该片段的内容包含第e次的节点n标签，第e-1次节点n及邻接节点Ne(n)的标签，第e次节点n的邻接节点Ne(n)的标签和第e+1次节点n及邻接节点Ne(n)的标签。
所述步骤3中，在步骤2生成布尔可满足性问题的文档表示后，直接采用doc2vec模型，输入布尔可满足性问题的文档表示，然后输出相应的向量表示，其训练思想是最大似然估计，如下所示：
Figure BDA0002270993490000041
其中，P表示似然估计，m表示布尔可满足性问题的文档的数量，而di则是里面序号为i的文档，wC是一个长度为C的英文词组，而且它们都是被整块地从文档中截取下来的，这样词组内部依然保留着词与词的依赖关系；通过输入当前文档，doc2vec模型预测该文档可能存在的c个关键词，然后迭代地优化词组输出，直到能够准确地根据当前文档的向量d输出其中可能存在词组片段，即模型有稳定的最大似然值。
有益效果：在布尔可满足性问题(SAT)的原始表示中，以及现有的弱计算能力下，它根本不可能直接用于自动特征提取，于是我们需要一种新的问题表示。在本发明中，图作为一种广泛存在的数据结构，SAT问题几乎可以完美地嵌入到这种表示中，然后在此基础上，自动学习能够表示原SAT问题的向量表示，最后作用于目标算法的预测方法中。该特征提取过程拥有三个特点，一是自动化的学习问题的特性表示，不会因为人的主观观点而导致特征表示存在偏差且节省大量地人工设计特征地成本；二是无监督的特征学习方式，该学习方式通过图之间的对比而总结出图结构有效信息的潜在分布，最后以向量的方式表现出来；三是特征的统一性，由于学习特征时的无监督方法，目标算法的偏向性不会引入到最终的特征的生成过程。
附图说明
图1为布尔可满足性问题的合取范式；
图2为图1中的冗余的变元和析取项对应的图结构；
图3为Doc2vec模型的示意图；
具体实施方式
下面结合附图对本发明做更进一步的解释。
布尔可满足性问题(SAT)的合取范式(CNF)表示是由一行一行的字符串组成，如图1所示，其中每一行代表一个析取项(clause)，行内由空格分割的数字是命题变元(variable)的编号，行尾的数字0为换行占位符。在构建图结构时，每个命题变元被看作图的节点，需要注意的是，同一命题变元的正常形式和它的逻辑非形式分别代表不同的节点。如果任意两个不同变量同时出现在同一析取项中，则在这两个节点之间作出一条边，另外，如果某一个变元存在两种状态，则在这两个节点之间同样需要一条边来描述这种关系。存在边连接的两个节点称为邻接节点。
在制作SAT问题的图表示之前，首先需要精简问题的原始表示，剔除冗余的命题变元和析取项。
根据SAT问题的定义，冗余的命题变元是指，在假设SAT问题最终有解的情况下，这些变元的取值已确定，它们不再受任何约束，于是包含这些变元的析取项也会被直接移除。正如上述用图中的第一行，即由单个变元组成的析取项，其中的变元就是冗余的变元；在分析原始SAT合取范式表示并确定初始冗余的变元队列之后，针对队列的队首元素，遍历余下所有的析取项，检查其中包含冗余变元和冗余变元的逻辑非的析取项，若原冗余变元被包含其中，则直接删除该析取项；若原冗余变元的逻辑非被包含其中，则从该析取项中移除变元的逻辑非并判断余下的变元的个数，如果仅为一,将该变元加入冗余变元队列的队尾，其他情况下该析取项保持不变，最后删除冗余变元队列的队首元素且循环以上操作直到冗余变元队列为空。在向冗余变元队列添加新变元时，首先需要检测队列中是否已存在待添加变元的逻辑非。如果存在，直接宣告该SAT问题无解。
对于冗余的析取项，它是指SAT问题中，某个较长的析取项完全包含某个较短的析取项，则较长的析取项就是冗余的。在SAT问题的求证过程中，较短的析取项就意味着更容易达到它的逻辑值为真的目标，于是较长的析取项自然也就达到该目标。直接移除较长的析取项会精简问题的定义。上述问题片段中带下划线的字符就是冗余的变元和析取项，它们对应的图结构如图2所示。
在确定SA T问题的图表示之后，利用Weisfeiler Lehman(WL)同构检测的相关思想，图表示的节点标签需要被迭代地重构，以增强节点标签对区域图结构的描述能力。首先确定所有节点的初始标签，这里采用的是节点的度，即每个节点的邻接节点的数量，我们将它表示为
Figure BDA0002270993490000051
现在开始第e次重构，首先任意选取一个节点n，如图2中的节点2(注意这里的2只是用于区分节点的唯一名称，并不是有特殊意义的节点标签)，它自身的节点标签为
Figure BDA0002270993490000052
上标e表示这是第e次重构后的标签，若e等于0，则表示为节点的初始化标签，接着获取它的邻接节点Ne(n)以及它们的标签
Figure BDA0002270993490000061
然后按照以下拼接规则组合成第e次重构后的标签
Figure BDA0002270993490000062
Figure BDA0002270993490000063
在对所有节点完成指定次数的重构后，就可以开始生成问题的文档表示。针对节点n的第e次重构节点标签
Figure BDA0002270993490000064
由该标签及相关标签组织成的文档片段如下公式所示，
Figure BDA0002270993490000066
其中e-1和e+1并一定适用于所有情况，例如e-1可能会小于0，而e+1可能会大于指定的重构次数，在这些情况下，
Figure BDA0002270993490000067
或者
Figure BDA0002270993490000068
可以直接跳过，最后所有生成的
Figure BDA0002270993490000069
组合起来就是SAT问题的文档表示。字面上描述了相关标签之间的依赖关系，而反映到具体的图结构上，它描述的就是图内区域性的节点关联状态，对应到原始SAT问题上，它就是某个命题变元的区域性约束关系，映射的是问题内部的结构，而研究表明恰好是因为SAT问题内部的某些结构而使得它们存在解法。
在确定SAT问题相关的文档之后，这些文档需要被解析成固定长度的向量表示。首先需要从文档中提取出所有的词汇库，并根据词汇库的长度，将它们转换成相同长度one-hot向量，即只有一个元素为1其他元素为0的向量，这些向量将作为doc2vec模型的输入。Doc2vec模型的示意图如图3所示，实际上该模型就是一个三层的神经网络，输入层的神经元个数为|V|，其中V表示所有文档构成的词汇库，第二层隐藏层中的神经元个数为h，输出层同输入层一样，模型根据输入的文档di预测文档中可能存在的词wj,j∈[1,2,...,C]，即模型的目标函数如下：
我们还需要截取长度为C的词组wC作为输出，将这些输入输出对加载到doc2vec模型进行训练，用随机梯度下降法优化E，从而获取文档的向量表示，即原始SAT问题的向量表示。
最后，任意选取一个分类或回归模型，以训练出来的向量作为输入，算法集的性能作为输出，从中学习出一个目标算法预测模型。
本发明主要涉及问题集特征向量的自动化生成，大大减少由于人的主观性而导致的特征表示的局限性，同时也大幅减少人们的工作量和特征的生成时间，从而可以提高目标算法预测模型的学习效率。另外，由于图的无监督学习方式，昂贵的算法性能数据集也不是必须的因素，相对于之前的自动特征构建模型，又减少许多成本。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种基于图的布尔可满足性问题的目标算法预测方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1，设计一个通用的适用于布尔可满足性问题的图结构，然后输入问题集里的每个布尔可满足性问题的原始定义，输出相关的图结构表示并构建一组对应于原始问题的图结构数据集；
步骤2，搭建一个图结构到文档结构的转换模型，输入为步骤1得到的图结构数据集，输出为图节点标签组成的文档表示并构建一组对应于原始布尔可满足性问题的文档数据集；
步骤3，搭建一个文档向量化模型，输入为步骤2得到的文档数据集，输出为向量表示并构建一组对应于原始布尔可满足性问题的向量；
步骤4：任意选择一个分类模型或回归模型，输入为步骤3得到的一组向量表示，目标为算法集在布尔可满足性问题集上的性能指标，训练该模型使其学会对布尔可满足性问题的目标算法进行预测。
2.根据权利要求1所述的基于图的布尔可满足性问题的目标算法预测方法，其特征在于：所述步骤1中，为每个布尔可满足性问题构建一个匹配的图结构，该图结构为三元组G(N,E,l)，其中N是图的节点集合，E是图中的由N中的节点构成的边集合，l代表一个标签函数或策略；该图结构为每个节点赋予一个标记，该标记并不是唯一的而是能够共存于多个节点之中；
布尔可满足性问题中的每个命题变元被作为节点集合N中的每个节点，包括命题变元的逻辑非
Figure FDA0002270993480000011
边集合E中的每条边取决于它们的两个端节点是否处于同一个析取项中，如果存在这样的一对节点，则产生一条边；在之前的图结构定义下，l直接使用节点的度作为输出，在逻辑意义上，l表示每个节点变元存在多少约束；对于存在逻辑非的命题变元，原变元节点与它的逻辑非节点也设置一条边。
3.根据权利要求2所述的基于图的布尔可满足性问题的目标算法预测方法，其特征在于：所述步骤1中，通过对节点和边的修剪操作，来还原真实布尔可满足性问题，并且缩小该问题最后的图表示；根据删减节点和边的依赖关系，将修剪操作分为以下俩个部分：
第一部分，关注节点的冗余，包括以下步骤：
(1)在原始布尔可满足性问题的表示中，可能会存在只有单个变元的析取项，显然，若要该问题有解，所有类似的变元赋值都必须使得该析取项的逻辑值为真，于是该单变元所表示的节点将会被直接从图中移除；对于某一个变元a,如果a和
Figure FDA0002270993480000023
同时存在与单变元的析取项中，则该问题直接无解；
(2)在布尔可满足性问题表示中，所有包含步骤(1)中被移除的变元的析取项都会直接忽略；对应到图结构中，所有与被移除节点变元存在关系的边都被移除；
(3)在布尔可满足性问题表示中，若存在与步骤(1)中被移除的变元相对应的逻辑非
Figure FDA0002270993480000024
则直接忽略该问题中的所有该逻辑非变元；如果在移除逻辑非变元之后，余下的析取项只包含一个变元且该变元已经出现在步骤(1)中，则该问题无解；否则重复步骤(1)，将余下的单变元直接移除并重复步骤(2)和(3)；
第二部分，关注边的冗余：
布尔可满足性问题实际上就是一个数学意义上的合取范式，其中的析取项有长有短，若存在某个较短的析取项被某个较长的析取项包含，则较长的析取项就是一个冗余项，所以，直接移除较长的析取项。
4.根据权利要求1所述的基于图的布尔可满足性问题的目标算法预测方法，其特征在于：所述步骤2中，利用Weisfeiler-Lehman同构检测算法里的标签重构思想，为原始的布尔可满足性问题构建一组新的文档表示集；
在Weisfeiler-Lehman同构检测算法中，每个节点的标签都会被迭代地重构，从而实现更精细的布尔可满足性问题表示文档；在重构节点标签时，每个节点都有一个初始的标签，然后在以后的每次迭代过程中，算法会根据节点的邻接状态，利用上一次迭代产生的节点标签，合并当前节点和邻接节点的标签，并通过某个全局映射函数输出一个新的标签，其中的标签合并规则为：
Figure FDA0002270993480000021
标签L的上标表示迭代的序数，下标为节点标记，n表示任意一个根结点，Ne(n)表示节点n的邻接节点，i表示结点n的邻接结点序列Ne(n)的元素序数，它们之间是按照标签字符递增排序，标签之间使用符号-来连接；合并后的原始标签随着迭代次数的增加会变得越来越长，通过一个全局映射函数来生成新的标签去替代旧的标签；
在固定次数的迭代结束后，将这些标签组织成若干段文本，该文本能够反映图内部的逻辑结构，文档组成的模板是：
Figure FDA0002270993480000022
Figure FDA0002270993480000031
是由节点n在迭代第e次组成的片段，该片段的内容包含第e次的节点n标签，第e-1次节点n及邻接节点Ne(n)的标签，第e次节点n的邻接节点Ne(n)的标签和第e+1次节点n及邻接节点Ne(n)的标签。
5.根据权利要求4所述的基于图的布尔可满足性问题的目标算法预测方法，其特征在于：所述全局映射函数是Hash函数。
6.根据权利要求1所述的基于图的布尔可满足性问题的目标算法预测方法，其特征在于：所述步骤3中，在步骤2生成布尔可满足性问题的文档表示后，直接采用doc2vec模型，输入布尔可满足性问题的文档表示，然后输出相应的向量表示，其训练思想是最大似然估计，如下所示：
Figure FDA0002270993480000032
其中，P表示似然估计，m表示布尔可满足性问题的文档的数量，而di则是里面序号为i的文档，wC是一个长度为C的英文词组，而且它们都是被整块地从文档中截取下来的，这样词组内部依然保留着词与词的依赖关系；通过输入当前文档，doc2vec模型预测该文档可能存在的c个关键词，然后迭代地优化词组输出，直到能够准确地根据当前文档的向量d输出其中可能存在词组片段，即模型有稳定的最大似然值。
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