CN110826263A - 一种基于三维拉普拉斯算子的脑皮层厚度估计方法 - Google Patents

一种基于三维拉普拉斯算子的脑皮层厚度估计方法 Download PDF

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Abstract

对脑磁共振成像（MRI）中的脑皮层厚度估计是神经影像学中研究脑发育和神经退行性疾病的重要技术手段。本发明提出一种基于三维拉普拉斯算子的脑皮层厚度估测算法，可精确地捕捉脑核磁共振成像中的几何形态特征。首先，该方法从消除灰质层表面和白质层表面产生的交叉重叠区域入手，构建反映大脑固有的几何特征且与MRI相匹配的四面体网格；其次，该方法利用四面体网格的几何约束关系构建三维拉普拉斯算子,运用有限元方法计算狄氏边界下的脑皮层内部温度场的分布；然后，确定局部等温面，利用计算几何的方法求得温度场中等温面的梯度线方向，以及利用半边‑半面数据存储结构快速锁定梯度线上内部点所在的四面体网格单元；结合设定的梯度步长，最终根据每条梯度线方向和步长获得脑皮层的厚度特征信息。本文发明的方法通过构建高质量脑皮层四面体网格和高精度温度场梯度线的确定可以有效地提高脑皮层的形态结构检测能力。

Description

一种基于三维拉普拉斯算子的脑皮层厚度估计方法
技术领域
本发明属于计算机应用技术领域，涉及MRI脑皮层形态变化检测技术，用于AD等神经退行性疾病的早期诊断。
背景技术
阿尔茨海默病(AD)是一种起病隐匿的退行性神经系统疾病，以记忆障碍、失语、失用、失视空间技能损害、执行功能障碍以及人格和行为改变等全面性痴呆表现为特征，严重危害老年人的健康发展。为了更好地治疗以及预防AD疾病，需要对极易转化为AD疾病的轻度认知障碍人群（MCI）进行准确的诊断。随着AD病症的加重，对应的脑皮层形态变化表现为脑皮层间的厚度变薄，因此通过对整体脑皮层的厚度信息进行估计，可以全面考察AD病变导致的脑皮层形态变化情况。目前为止，许多的研究重点放在了脑皮层厚度的估测上，故脑皮层厚度信息的计算一直是本领域重要的研究课题。
磁共振成像(MRI)技术可以多参数、高分辨率地显示人脑在空间中的分布，并且可获得多方位成像，是当前对人体无任何伤害、快速、准确的临床诊断方法，因此已广泛应用于AD等神经退行性疾病的早期诊断和揭示其演化过程。基于MRI图像，按照脑皮层厚度测量所需要的建模的几何性质，可以分为基于面特征和基于体特征的脑皮层厚度估计。基于面特征的厚度估计在测量精度上可以达到亚像素级别，但在运算过程中需要不断地对网格中出现的自相交等拓扑缺陷进行检查以保证网格的正则性，算法的复杂度很高。相比较之下，基于体特征的厚度估计方法不存在网格拓扑正确性的校正，结合有限微分和有限元方法，通过求解三维空间的稳态势能场得到脑皮层厚度信息，计算效率有所提升，是目前广泛采用的方法。但是仍然面临以下问题：
1）基于Freesurfer切割出的MRI脑皮层灰质层和白质层在极少数区域存在交叉重叠现象，导致生成体元素网格模型失败，如何消除交叉重叠区域，生成稳健高质量的体元素网格模型，为后续的势能场求解提供基础，是亟待解决的关键技术问题；
2）由于脑皮层的复杂拓扑结构，在一定的网格分辨率下，得到的离散势能场分布使得后续脑皮层厚度的估计精度欠佳，如何构建有效地计算几何方法，提高计算精度，是急需解决的另一关键技术问题。
发明内容
本文发明的目的是提供一种基于三维拉普拉斯算子的脑皮层厚度估计方法，其特征是以解决脑皮层产生的交叉重叠区域为基础，在脑皮层内部构建四面体网格结构，结合三维拉普拉斯算子和有限元方法计算出脑皮层内部的温度场分布，结合局部等温面的确定和梯度线方向的确定，找到脑皮层内、外表面上的对应点，从而计算脑皮层的厚度特征，具体步骤描述如下：
第一步：检测、标记交叉重叠区域。利用射线法判断白质层表面的三角网格顶点是否产生了交叉重叠，若产生交叉重叠，标记该检测顶点。
第二步：收缩处理。计算所有标记顶点的法向量（收缩方向），设定收缩系数，使标记顶点沿法向量按照一定的比例收缩；然后再次遍历标记顶点，判断是否所有的交叉重叠区域均消除。
第三步：四面体网格填充。本发明使用TetGen软件向脑皮层内部填充四面体网格单元。
第四步：构建三维拉普拉斯算子。由定义在黎曼流形M上的调和能量表达式
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE001
入手,其中
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE002
分别表示在黎曼流形M上的网格顶点位置,
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE003
为定义在网格顶点上的函数表达式。根据四面体网格的几何结构特征，以及法矢量表达式，推导出以边长和对应边的两面角变量构造的离散谐波能量
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE004
；结合三维空间热传导微分方程，在给定的Dirichlet条件（设定脑皮层内、外表面的温度）下，构建三维拉普拉斯算子
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE005
的离散表达式。
第五步：计算脑皮层内部温度场分布。首先构造脑皮层的Dirichlet边界条件，并在热平衡条件下定义整个四面体网格为有限求解空间，利用有限元方法求解热传导方程：，其中
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE007
为拉普拉斯算子，下标M为整个四面体网格空间，
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE008
是以空间位置
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE009
和时间
Figure 100002_DEST_PATH_IMAGE010
为变量的温度函数，将上述偏微分方程转化为线性系统求解脑皮层内部温度场分布。
第六步：确定局部等温面和计算梯度线方向。通过研究脑皮层内部四面体网格的几何特征与温度场内部各四面体顶点的温度分布关系，确定能够存在局部等温面的各类情况，然后根据确定的等温面计算出基于温度下降最快的梯度曲线方向。
第七步：设定步长，计算脑皮层厚度。根据填充的四面体网格的质量（边长、体积）和正常脑皮层的厚度，设置一定的步长L，找出沿梯度线方向灰质层到白质层表面的对应点，所走的总步长即为对应两点间的厚度值信息。
该方法可有效地捕捉出脑皮层的几何形态变化，探测出阿尔茨海默病患者与正常人组群之间的脑皮层厚度显著性差异区域。
附图说明
图1：消除交叉重叠区域的示意图。（a）为判断交叉重叠区域顶点的射线法；（b）标记检测出的交叉区域的顶点；（c）计算标记点的收缩方向；（d）和（e）分别为消除交叉重叠前后的白质层。
图2：脑皮层内部填充的四面体网格。（a）是脑皮层四面体网格填充的剖面图，共使用738012个四面体网格单元进行填充；图2（b）是生成的四面体网格中所有四面体单元的两面角的分布范围；图2（c）是生成的四面体网格质量图。
图3 四面体网格单元示意图。通常在一个四面体网格单元中，称棱边
Figure DEST_PATH_IMAGE011
与棱边和两面角
Figure DEST_PATH_IMAGE013
的位置关系是相对的，
Figure DEST_PATH_IMAGE014
为棱边
Figure DEST_PATH_IMAGE015
的长度。
图4是半面-半边的数据存储结构。
图5：根据图9的31种温度关系（灰色图框）构造的局部等温面。(a)图中的三角面[V i,V ii,V iii]是在t(V 1)<t(V i)<t(V 2)<t(V 3)、t(V 1)<t(V i)<t(V 3)<t(V 2)、 t(V 2)<t(V 3)<t(V i)<t(V 1)、t(V 3)<t(V 2)<t(V i)<t(V 1)、 t(V 1)<t(V i)<t(V 2)=t(V 3)或者t(V 2)=t(V 3)<t(V i)<t(V 1)形成的顶点V i在四面体网格单元[V i, V 1, V 2, V 3] 的局部等温面；(b)图中的三角面[V i,V ii,V 2]是在t(V 1)<t(V i)=t(V 2)<t(V 3)或者t(V 3)<t(V i)=t(V 2)<t(V 1)形成的顶点V i在四面体网格单元[V i, V 1, V 2, V 3] 的局部等温面；(c)图中的三角面[V i,V ii,V iii]是在t(V 1)<t(V 2)<t(V i)<t(V 3)、t(V 2)<t(V 1)<t(V i)<t(V 3)、t(V 3)<t(V i)<t(V 1)<t(V 2)、t(V 3)<t(V i)<t(V 2)<t(V 1)、t(V 3)<t(V i)<t(V 1)=t(V 2)或者t(V 1)=t(V 2)<t(V i)<t(V 3)形成的顶点V i在四面体网格单元[V i, V 1, V 2, V 3] 的局部等温面；(d)图中的三角面[V i,V 1,V 3]是在t(V 2)<t(V i)=t(V 1)=t(V 3)或者t(V i)=t(V 1)=t(V 3)<t(V 2)形成的顶点V i在四面体网格单元[V i, V 1, V 2, V 3]的局部等温面；(e)图中的三角面[V i,V 1,V 2]是在t(V 3)<t(V i)=t(V 1)=t(V 2)或者t(V i)=t(V 1)=t(V 2)<t(V 3)形成的顶点V i在四面体网格单元[V i, V 1, V 2, V 3] 的局部等温面；(f)图中的三角面[V i,V 2,V 3]是在t(V 1)<t(V i)=t(V 2)=t(V 3)或者t(V i)=t(V 2)=t(V 3)<t(V 1)形成的顶点V i在四面体网格单元[V i, V 1, V 2, V 3] 的局部等温面；(g)图中的三角面[V i,V ii,V iii]是在t(V 1)<t(V 3)<t(V i)<t(V 2)、t(V 2)<t(V i)<t(V 1)<t(V 3)、t(V 3)<t(V 1)<t(V i)<t(V 2)、t(V 2)<t(V i)<t(V 3)<t(V 1)、t(V 2)<t(V i)<t(V 1)=t(V 3)或者t(V 1)=t(V 3)<t(V i)<t(V 2)形成的顶点V i在四面体网格单元[V i, V 1, V 2, V 3] 的局部等温面；(h)图中的三角面[V 1,V 2,V 3]是在t(V i)=t(V 1)=t(V 2)=t(V 3)形成的顶点V i在四面体网格单元[V i, V 1, V 2, V 3] 的局部等温面；(i)图中的三角面[V i,V ii,V 3]是在t(V 1)<t(V i)=t(V 3)<t(V 2)或者t(V 2)<t(V i)=t(V 3)<t(V 1)形成的顶点V i在四面体网格单元[V i, V 1, V 2, V 3] 的局部等温面；(j)图中的三角面[V i,V ii,V 1]是在t(V 2)<t(V i)=t(V 1)<t(V 3)或者t(V 3)<t(V i)=t(V 1)<t(V 2)形成的顶点V i在四面体网格单元[V i, V 1, V 2, V 3] 的局部等温面。
图6：内部点
Figure DEST_PATH_IMAGE016
所在的四面体网格单元。
图7：脑皮层厚度特征值的计算和显示。(a)为脑皮层内外表面的三维图形；（b）是在外表面与内表面之间的温度梯度线（以某个顶点为例）；图7（c）是根据温度梯度线方法计算得到的脑皮层厚度值对应的颜色显示图。
图8是利用本发明方法分别计算得到的阿尔茨海默病患者组别（AD）、轻度认知障碍患者组别（MCI）以及正常人组别（CTL）之间的脑皮层厚度在统计概率下的显著性差异区域对应的颜色显示图。其中，图8（a）、（b）和（c）分别是AD与CTL组别、MCI与CTL组别以及AD与MCI组别的显著性差异区域对应的颜色显示图。在这里，p值越小，表示组间的厚度差异性越显著。
图9是脑皮层内部四面体网格单元四个顶点的温度可能的存在情况，其中灰色图框中的四个顶点的温度组合表示可以在相应的四面体网格单元[V i, V 1, V 2, V 3]下可以找到对应顶点（例：V i）的局部等温面。
图10为摘要附图，即为脑皮层厚度特征值求解的流程图。
具体实施方式
本文发明的目的是提供一种基于三维拉普拉斯算子的脑皮层厚度估计方法，其特征是以解决脑皮层产生的交叉重叠区域为基础，在脑皮层内部构建四面体网格结构，结合三维拉普拉斯算子和有限元方法计算出脑皮层内部的温度场分布，结合局部等温面的确定和梯度线方向的确定，找到脑皮层内、外表面上的对应点，从而计算脑皮层的厚度特征，具体步骤描述如下：
第一步：检测、标记交叉重叠区域。首先判断白质层表面上的哪些三角网格顶点产生了交叉重叠现象。判断依据是以白质层表面的三角网格顶点（检测点）作为端点，向灰质层表面的所有三角网格顶点无限延伸，从而构成从该检测点出发的所有射线。判断射线与灰质层表面的交点个数，若个数为偶数，则产生了交叉重叠，此端点被称作交叉点，否则，不是交叉点。然后对这些交叉点进行标记，以便于后期对厚度特征的选择和运用。
第二步：收缩处理。根据法矢量方法和以标记顶点周围邻点围成的三角网格单元面积作为权重因子计算标记顶点的单位法向量（收缩方向），设定收缩系数，使标记顶点沿单位法向量按照一定的比例向内收缩。如图1（c）所示。然后再次根据第一步的方法遍历、检测已标记顶点，判断是否所有的交叉重叠区域均消除。
第三步：四面体网格填充。本发明使用TetGen软件向脑皮层内部填充四面体网格单元。根据脑皮层实际的厚度，适当调整填充的四面体网格单元的最大体积和曲率比等参数，使填充的四面体网格更好地拟合脑皮层的几何形态结构。
第四步：构建三维拉普拉斯算子。将生成的四面体网格定义为含有内部和边缘顶点的有限求解区域，然后按照公式（1）计算四面体网格的局部刚性矩阵：
Figure DEST_PATH_IMAGE018
其中，
Figure DEST_PATH_IMAGE019
为四面体网格中的顶点号，
Figure DEST_PATH_IMAGE020
为离散调和能量因子，其计算方法如下：在特定的四面体网格单元中，假设棱边
Figure DEST_PATH_IMAGE021
被n个四面体网格单元所共用，则在每个四面体网格单元中，棱边所相对的棱边和两面角，分别记为
Figure DEST_PATH_IMAGE023
和
Figure DEST_PATH_IMAGE024
，如图3所示，那么在所有n个四面体网格单元中，棱边
Figure DEST_PATH_IMAGE025
所相对的所有棱边和两面角可记为
Figure DEST_PATH_IMAGE026
和
Figure DEST_PATH_IMAGE027
，，则
最后，利用公式（3）得到Dirichlet边界条件下的拉普拉斯算子：
其中，D为对角矩阵，并定义，
Figure DEST_PATH_IMAGE032
表示单位矩阵的第
Figure DEST_PATH_IMAGE033
列。
第五步：计算脑皮层内部温度场分布。构造脑皮层的Dirichlet边界条件（脑皮层外表面各顶点的温度赋值为1o，内表面各顶点的温度赋值为0o）；通过公式（3）可得到离散形式的三维拉普拉斯算子
Figure DEST_PATH_IMAGE034
。
Figure 565869DEST_PATH_IMAGE034
作为求解在脑皮层内部调和能量场中热量稳定扩散分布的功能算子，利用公式（4）求得脑皮层内部温度场分布：
Figure DEST_PATH_IMAGE035
其中和
Figure DEST_PATH_IMAGE037
分别为脑皮层两边界面（灰质层和白质层）上的初始温度值和待求的脑皮层内部点的温度值。
第六步：确定局部等温面和计算梯度线方向。该步分两部分讨论：1）是讨论处于四面体网格顶点的梯度线方向的计算；2）是讨论位于四面体网格单元内部的点（以下称“内部点”）的梯度线方向的计算。
1）针对顶点的梯度线方向的计算，首先需要根据内部温度场的分布确定顶点所在的等温面，当具体到某个四面体网格单元上时，由于内部填充的四面体网格顶点的温度错综复杂，但是整体温度趋势是从外（灰质层）到内（白质层）依次递减。综合考虑，四个顶点的温度情况总共有75种，其中只有31种可以找到所在的局部等温面，详见图9。图5是31种情况下所得到的局部等温面。当找到所有的局部等温面，运用公式（5）求得最终的梯度线方向。
其中，k是找寻到的第k个局部等温面，m为局部等温面的个数；
Figure DEST_PATH_IMAGE039
表示第k个局部等温面的面积，
Figure DEST_PATH_IMAGE040
是第k个局部等温面的梯度线。
2）而针对内部点的梯度线方向的计算，首先需要确定该内部点所在的四面体网格单元，本文利用半边-半面的数据存储结构，快速锁定沿梯度线计算的内部点所在的网格单元。当确定所在的四面体网格单元后，如图6所示，
Figure DEST_PATH_IMAGE041
点为位于四面体网格单元[ABCD]的内部点，利用公式（6）计算得到
Figure DEST_PATH_IMAGE042
所在等温面的梯度线方向：
第七步：设定步长，计算脑皮层厚度。从脑皮层外表面的顶点出发，沿着第六步计算得到的梯度线方向，设置一定的步长，寻找下一个点，然后判断下一个点是否到达内表面。若没有到达内表面，则再以此点为起点，沿该点所在的梯度曲线方向搜索下一点，以此类推，直到到达内表面为止，连接所有经过的点之间的步长（如图7b所示），记为脑皮层外表面一点到内表面的局部厚度值，遍历外表面所有顶点，利用上述方法，可获得脑皮层的全局厚度值。
图8中a、b和c分别是本发明方法计算得到的AD与CTL组别、MCI与CTL组别和AD与MCI组别的显著性差异区域对应的颜色图。

Claims (10)

1.一种基于三维拉普拉斯算子的脑皮层厚度估计方法，其特征是在解决脑皮层产生的交叉重叠区域的基础上，在脑皮层内部构建四面体网格结构，结合三维拉普拉斯算子和有限元方法计算脑皮层内部的温度场分布，利用局部等温面的确定和梯度线方向的计算，找到脑皮层内、外表面上的对应点，从而计算脑皮层的厚度特征，具体步骤描述如下。
2.第一步：检测、标记交叉重叠区域，利用射线法判断白质层表面的三角网格顶点是否产生了交叉重叠，若产生交叉重叠，标记该检测顶点。
3.第二步：收缩处理，计算所有标记顶点的单位法向量（收缩方向），设定收缩系数，使标记顶点沿单位法向量按照一定的比例收缩；然后再次遍历标记顶点，判断是否所有的交叉重叠区域均消除。
4.第三步：四面体网格填充，本发明使用TetGen软件向脑皮层内部填充四面体网格单元。
5.第四步：构建三维拉普拉斯算子，由定义在黎曼流形M上的调和能量表达式
Figure DEST_PATH_IMAGE001
入手,其中
Figure DEST_PATH_IMAGE002
分别表示在黎曼流形M上的网格顶点位置, 为定义在网格顶点上的函数表达式。
6.根据四面体网格的几何结构特征，以及法矢量表达式，推导出以边长和对应边的二面角变量构造的离散谐波能量
Figure DEST_PATH_IMAGE004
，结合三维空间热传导微分方程，在给定的Dirichlet条件（设定脑皮层内、外表面的温度）下，构建三维拉普拉斯算子
Figure DEST_PATH_IMAGE005
的离散表达式。
7.第五步：计算脑皮层内部温度场分布，首先构造脑皮层的Dirichlet边界条件，并在热平衡条件下定义整个四面体网格为有限求解空间，利用有限元方法求解热传导方程：
Figure DEST_PATH_IMAGE006
，其中
Figure DEST_PATH_IMAGE007
为拉普拉斯算子，下标M为整个四面体网格空间，
Figure DEST_PATH_IMAGE008
是以空间位置
Figure DEST_PATH_IMAGE009
和时间
Figure DEST_PATH_IMAGE010
为变量的温度函数，将上述偏微分方程转化为线性系统求解脑皮层内部温度场的分布。
8.第六步：确定局部等温面和计算梯度线方向，通过研究脑皮层内部四面体网格的几何特征与温度场内部各四面体顶点的温度分布关系，确定能够存在局部等温面的各类情况，然后根据确定的等温面计算出基于温度下降最快的梯度线方向。
9.第七步：设定步长，计算脑皮层厚度，根据填充的四面体网格的质量（边长、体积）和正常脑皮层下的厚度，设置一定的步长L，找出沿梯度线方向灰质层上到白质层表面的对应点，所走的步长数即为对应两点间的厚度值信息。
10.该方法可有效地捕捉出脑皮层的几何形态变化，探测出阿尔茨海默病患者与正常人组群之间的脑皮层厚度显著性差异区域。
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