CN110727029A - 基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法 - Google Patents

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CN110727029A CN201910876524.XA CN201910876524A CN110727029A CN 110727029 A CN110727029 A CN 110727029A CN 201910876524 A CN201910876524 A CN 201910876524A CN 110727029 A CN110727029 A CN 110727029A
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Abstract

本发明公开了一种基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法，包括以下步骤：建立两个非弹性多自由度结构的运动方程；得到相邻非弹性多自由度结构的无量纲运动方程；根据改进Kelvin模型中碰撞力的定义，建立碰撞力表达式，并得到无量纲化的碰撞力表达式；根据Π定理，将两个非弹性多自由度结构的运动方程进行无量纲化；基于无量纲化两个非弹性多自由度结构的运动方程，研究两个非弹性多自由度结构在简化地震作用下的碰撞反应，确定出各因素对碰撞反应的影响。本发明提出的基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法，可展现真实的物理现象，以较清晰的反应碰撞规律。

Description

基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法
技术领域
本发明涉及防震技术领域，尤其涉及一种基于量纲分析相邻非弹性多自由 度结构碰撞反应的方法。
背景技术
地震是现如今人类社会面临的最主要的自然灾害之一，且具有较强的突发 性、毁灭性以及不可预测性。近年来，地震灾害不仅造成建筑结构严重的破坏 甚至倒塌，还威胁到人民的生命并造成巨额的财产损失。
现有不少学者针对相邻多自由度结构碰撞反应展开了深入的研究。然而， 地震作用下相邻结构的碰撞不仅与地震动的特性有关，还受到结构特性以及相 邻结构间特性的影响等，即结构碰撞是一个受到诸多参数影响的高阶非线性问 题。由此看来，研究地震作用下相邻结构碰撞反应最主要的困难在于处理大量 的参数。采取量纲分析方法，以较少的无量纲Π参数来研究结构碰撞，不仅可 以减少研究参数的数量，又能够更加清晰的反映出地震作用下相邻结构碰撞反 应的规律。
基于量纲分析方法，众多学者针对相邻结构的碰撞问题采取了相应的研究。 然而，现有大部分研究中是将相邻结构简化为线性单自由度结构，而相邻结构 的碰撞是非线性问题，且在地震激励作用下，相邻结构的每一楼层均有可能发 生碰撞，现有研究提出的碰撞模型不能展现真实的物理现象，导致其在防震方 面的参考准确度不高。
发明内容
本发明的主要目的在于提供一种基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰 撞反应的方法，旨在展现真实的物理现象，以较清晰的反应碰撞规律。
为实现上述目的，本发明提供一种基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构 碰撞反应的方法，包括以下步骤：
假设地震动激励为正弦激励时，采用双线性楼层剪力-层间位移曲线模型， 建立两个非弹性多自由度结构的运动方程；
假设左侧结构各楼层的质量和刚度均相等，右侧结构中各楼层的质量和刚 度均相等，以右侧多自由度结构的各楼层质量、正弦激励加速度幅值和角频率 作为基本量，得到相邻非弹性多自由度结构的无量纲运动方程；
根据改进Kelvin模型中碰撞力的定义，当相邻两多自由度结构发生碰撞时， 建立碰撞力表达式，以右侧多自由度结构的各楼层质量、正弦激励加速度幅值 和角频率作为基本量，得到无量纲化的碰撞力表达式；
根据Π定理，将两个非弹性多自由度结构的运动方程进行无量纲化；
基于无量纲化两个非弹性多自由度结构的运动方程，研究两个非弹性多自 由度结构在简化地震作用下的碰撞反应，确定出各因素对碰撞反应的影响，以 针对性的对参数进行调成，从而减小结构在地震中所受的碰撞反应的影响。
优选地，改进Kelvin模型中碰撞力的表达式为：
其中，
Figure BDA0002204463650000022
为接触单元刚度系数；δ(t)为碰撞两物体相对侵彻位移；
Figure BDA0002204463650000023
为侵 彻速度；
随时间变化的阻尼系数
Figure BDA0002204463650000024
的表达式为：
Figure BDA0002204463650000025
阻尼常数
Figure BDA0002204463650000026
的数学表达式为：
Figure BDA0002204463650000027
其中，e为恢复系数，e＝1表示无能量损失的弹性碰撞，e＝0表示完全塑性 碰撞；V1，V2表示两物体发生碰撞时的速度。
优选地，建立两个非弹性多自由度结构的运动方程的过程如下：
假设地震动激励为正弦激励，其加速度幅值为ap，角频率值为ωp；
双线性楼层剪力-层间位移曲线模型中，相邻两结构层高相等，且采用集中 质量模型，即质量集中于各层楼板，左侧结构从下至上的质量分别为m1、m2和m3， 刚度分别为k1、k2和k3，右侧结构从下至上的质量分别为m4，m5和m6，刚度分 别为k4，k5和k6，相邻两结构的初始间距为d。
优选地，在正弦激励的作用下，两个非弹性多自由度结构的运动方程为：
Figure BDA0002204463650000028
其中，
Figure BDA0002204463650000031
Figure BDA0002204463650000032
式中，
Figure BDA0002204463650000033
为激励加速度，
Figure BDA0002204463650000034
Xi(t)，
Figure BDA0002204463650000035
和
Figure BDA0002204463650000036
分别表示相邻两结构各楼层在不同时刻t时的位移，速度和加速度反应；Fsi(t)， 表示结构各楼层在不同时刻t的非弹性剪力，其增量形式为ΔFsi(t)＝Ki(t)·ΔXi (i＝1,...,6)，式中ΔXi为结构层间位移，Ki为结构的刚度，与结构各自的屈服位 移uyi有关，M为结构质量矩阵，Fp(t)为碰撞力矩阵；C为结构的阻尼矩阵。
优选地，结构的阻尼矩阵C采用瑞利阻尼，其表达式如下：
Figure BDA0002204463650000038
其中：
Figure BDA0002204463650000039
式中，ω1a和ω2a分别表示左侧结构的第一模态和第二模态角频率，ω1b和ω2b分别表示右侧结构的第一模态和第二模态角频率，且角频率ω可以通过求解 |K-Mω2|＝0得到，ξ为结构阻尼比。
优选地，假设左侧结构各楼层的质量和刚度均相等，右侧结构中各楼层的 质量和刚度均相等，根据提出的表征激励能量尺度的物理量le，
Figure BDA00022044636500000310
选用 右侧多自由度结构的各楼层质量mb，正弦激励加速度幅值ap和角频率ωp作为基 本量，并做以下变换：
Figure BDA0002204463650000041
其中，τ为无量纲运动时间；xi(τ)，
Figure BDA0002204463650000042
分别为两结构各 楼层的无量纲相对位移、相对速度和相对加速度；
将上式代入两个非弹性多自由度结构的运动方程中，得到相邻非弹性多自 由度结构的无量纲运动方程：
Figure BDA0002204463650000044
其中：
Figure BDA0002204463650000045
Figure BDA0002204463650000046
优选地，所述因素包括各楼层质量比、结构非弹性特性、屈服位移以及结 构间距。
本发明提出的采用量纲分析方法和接触单元方法相结合研究相邻非线性多 自由度结构在简化地震作用下的碰撞反应，选用改进的Kelvin模型模拟两个结 构碰撞接触过程中的力和变形，并采用双线性楼层剪力-层间位移关系来模拟结 构的非弹性特性；推导了两个非弹性多自由度结构碰撞的无量纲碰撞力表达式 和无量纲运动方程；且采用无量纲Π参数时，影响两个非弹性多自由度结构碰 撞反应的变量由13个减少到10个，能够较清晰的反应碰撞规律，而且考虑了 接触变形过程；在选定的参数条件下，得到了相邻两多自由度结构各楼层采用 改进Kelvin模型下的位移，速度，碰撞力及其滞回曲线，并将采用改进Kelvin 模型和Kelvin模型得到的碰撞反应进行对比，证明了本文所提碰撞反应分析方法的正确性和改进Kelvin模型的优越性；对相邻四层和三层钢框架结构进行了 振动台试验，并将所得到的试验结果和采用MATLAB编程得到的数值结果进行了 对比，进一步证实了本文所提碰撞反应分析方法的正确性和有效性。
附图说明
图1为改进的Kelvin碰撞分析模型示意图；
图2为相邻多自由度结构碰撞计算模型示意图；
图3(a)为相邻两多自由度结构第一层的位移时程曲线；
图3(b)为相邻两多自由度结构第一层的碰撞力时程曲线；
图3(c)为左侧结构第一层的速度时程曲线；
图3(d)为右侧结构第一层的速度时程曲线；
图3(e)为左侧结构第一层的滞回曲线；
图3(f)为右侧结构第一层的滞回曲线；
图4(a)为相邻两多自由度结构第二层的位移时程曲线；
图4(b)为相邻两多自由度结构第二层的碰撞力时程曲线；
图4(c)为左侧结构第二层的速度时程曲线；
图4(d)为右侧结构第二层的速度时程曲线；
图4(e)为左侧结构第二层的滞回曲线；
图4(f)为右侧结构第二层的滞回曲线；
图5(a)为相邻两多自由度结构第三层的位移时程曲线；
图5(b)为相邻两多自由度结构第三层的碰撞力时程曲线；
图5(c)为左侧结构第三层的速度时程曲线；
图5(d)为右侧结构第三层的速度时程曲线；
图5(e)为左侧结构第三层的滞回曲线；
图5(f)为右侧结构第三层的滞回曲线；
图6(a)为采用改进Kelvin模型和Kelvin模型得到的左侧结构速度时程 曲线对比图；
图6(b)为采用改进Kelvin模型和Kelvin模型得到的右侧结构速度时程 曲线对比图；
图6(c)为采用改进Kelvin模型和Kelvin模型得到的碰撞力对比曲线图；
图7(a)为左侧结构第一层无量纲峰值位移反应曲线图；
图7(b)为右侧结构第一层无量纲峰值位移反应曲线图；
图7(c)为左侧结构第二层无量纲峰值位移反应曲线图；
图7(d)为右侧结构第二层无量纲峰值位移反应曲线图；
图7(e)为左侧结构第三层无量纲峰值位移反应曲线图；
图7(f)为右侧结构第三层无量纲峰值位移反应曲线图；
图8为在不同楼层质量比条件下两个非弹性多自由度结构第二层的无量纲 峰值碰撞力反应曲线图；
图9(a)为在不同屈服后刚度比Πα条件下，第一层无量纲峰值位移反应曲 线图；
图9(b)为在不同屈服后刚度比Πα条件下，第二层无量纲峰值位移反应曲 线图；
图9(c)为在不同屈服后刚度比Πα条件下，第三层无量纲峰值位移反应曲 线图；
图10(a)为在不同屈服后位移Πuya条件下，第一层无量纲峰值位移反应曲 线图；
图10(b)为在不同屈服后位移Πuya条件下，第二层无量纲峰值位移反应曲 线图；
图10(c)在不同屈服后位移Πuya条件下，第三层无量纲峰值位移反应曲线 图；
图11(a)为在不同结构间距Πd条件下，第一层无量纲峰值位移反应曲线 图；
图11(b)为在不同结构间距Πd条件下，第二层无量纲峰值位移反应曲线 图；
图11(c)为在不同结构间距Πd条件下，第三层无量纲峰值位移反应曲线 图；
图12为本发明基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法的流 程示意图。
本发明目的的实现、功能特点及优点将结合实施例，参照附图做进一步说 明。
具体实施方式
应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定 本发明。
需要说明的是，在本发明的描述中，术语“横向”、“纵向”、“上”、“下”、 “前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”、“内”、“外”等指 示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本 发明和简化描述，并不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、 以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。此外，术语“第 一”、“第二”等仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性。
参照图12，本优选实施例中，一种基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构 碰撞反应的方法，包括以下步骤：
步骤S10，假设地震动激励为正弦激励时，采用双线性楼层剪力-层间位移 曲线模型，建立两个非弹性多自由度结构的运动方程；
步骤S20，假设左侧结构各楼层的质量和刚度均相等，右侧结构中各楼层的 质量和刚度均相等，以右侧多自由度结构的各楼层质量、正弦激励加速度幅值 和角频率作为基本量，得到相邻非弹性多自由度结构的无量纲运动方程；
步骤S30，根据改进Kelvin模型中碰撞力的定义，当相邻两多自由度结构 发生碰撞时，建立碰撞力表达式，以右侧多自由度结构的各楼层质量、正弦激 励加速度幅值和角频率作为基本量，得到无量纲化的碰撞力表达式；
步骤S40，根据Π定理，将两个非弹性多自由度结构的运动方程进行无量纲 化；
步骤S50，基于无量纲化两个非弹性多自由度结构的运动方程，研究两个非 弹性多自由度结构在简化地震作用下的碰撞反应，确定出各因素对碰撞反应的 影响，以针对性的对参数进行调成，从而减小结构在地震中所受的碰撞反应的 影响。
以下具体说明本基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法的 具体过程。
1、碰撞力模型
采用改进的Kelvin模型来模拟两个非弹性多自由度结构碰撞过程中产生的 碰撞力。改进的Kelvin碰撞分析模型如图1所示。其碰撞力表达式为：
Figure BDA0002204463650000081
式(1)中，
Figure BDA0002204463650000089
为接触单元刚度系数；δ(t)为碰撞两物体相对侵彻位移；为侵彻速度。其中，随时间变化的阻尼系数
Figure BDA0002204463650000083
的表达式为：
阻尼常数
Figure BDA0002204463650000085
的数学表达式为：
Figure BDA0002204463650000086
式(3)中，e为恢复系数(e＝1表示无能量损失的弹性碰撞，e＝0表示完全 塑性碰撞)；V1，V2表示两物体发生碰撞时的速度。
从式(1)(2)和(3)可以看出随时间变化的阻尼系数
Figure BDA0002204463650000087
克服了碰撞的靠近 阶段和回弹阶段出现均匀的能量损失，以及刚开始发生碰撞时碰撞力出现跳跃 和在碰撞回弹阶段会出现拉力等，Kelvin模型存在的理论上的缺陷。
2、相邻非弹性多自由度结构运动方程
本文采用相邻三层等高结构来阐述地震动作用下相邻非弹性多自由度结构 碰撞的计算模型。如图2所示，相邻两结构层高相等，且采用集中质量模型， 即质量集中于各层楼板。左侧结构从下至上的质量分别为m1、m2和m3，刚度分 别为k1、k2和k3，右侧结构从下至上的质量分别为m4，m5和m6，刚度分别为k4， k5和k6，相邻两结构的初始间距为d。为了研究结构的非线性特性，这里采用双 线性楼层剪力-层间位移曲线模型来模拟结构的本构关系。
当采用量纲分析方法研究两个非弹性多自由度结构在地震作用下的碰撞作 用时，只需要用到地震动的加速度幅值和角频率值，因此可以采用简化模型来 模拟地震激励。目前采用量纲分析方法来研究地震作用下结构间的碰撞作用时， 对于地震动的简化模拟有两种方法：谐波激励和脉冲模型。本文假设地震动激 励为正弦激励，其加速度幅值为ap，角频率值为ωp。
在正弦激励的作用下，两个非弹性多自由度结构的运动方程为：
Figure BDA0002204463650000088
Figure BDA0002204463650000091
Figure BDA0002204463650000092
Figure BDA0002204463650000093
式中，
Figure BDA0002204463650000094
为激励加速度，
Figure BDA0002204463650000095
Xi(t)，和
Figure BDA0002204463650000097
分别表示相邻两结构各楼层在不同时刻t时的位移，速度和加速度反应；Fsi(t)， 表示结构各楼层在不同时刻t的非弹性剪力，其增量形式为ΔFsi(t)＝Ki(t)·ΔXi (i＝1,...,6)，式中ΔXi为结构层间位移，Ki为结构的刚度，与结构各自的屈服位 移uyi有关(本文假定左侧结构各楼层屈服位移为uya，右侧结构各楼层屈服位移 为uyb)。M为结构质量矩阵，Fp(t)为碰撞力矩阵。结构的阻尼矩阵C采用瑞利 阻尼，其表达式如下：
Figure BDA0002204463650000098
Figure BDA0002204463650000099
其中：
Figure BDA0002204463650000101
式(5c)中ω1a和ω2a分别表示左侧结构的第一模态和第二模态角频率，ω1b和 ω2b分别表示右侧结构的第一模态和第二模态角频率，且角频率ω可以通过求解 |K-Mω2|＝0得到。ξ为结构阻尼比，假设两结构第一模态和第二模态的阻尼比均 相等且ξ＝0.05。
本文假定左侧结构中各楼层的质量均相等，即mi＝ma(i＝1,2,3)，同理，右 侧结构的各楼层质量也相等，即mj＝mb(j＝4,5,6)，且同时假定左侧结构各楼层 刚度均相等，即当处于弹性阶段时，左侧结构各楼层的刚度Ki(t)＝Ka(i＝1,2,3)； 同理假定右侧结构各楼层的刚度也相等，即当处于弹性阶段时，右侧结构各楼 层的刚度Kj(t)＝Kb＝μKa(j＝4,5,6)。μ是右侧结构楼层和左侧结构楼层的刚度 比μ(μ＝Ka/Kb)。当进入塑性阶段后，左侧结构各楼层的刚度Ki(t)＝αKa，右 侧结构各楼层的刚度Kj(t)＝αKb，式中α为屈服后的刚度系数。
根据以上假定和Makris提出的表征激励能量尺度的物理量le(
Figure BDA0002204463650000102
量纲为[L])，本文选用右侧多自由度结构的各楼层质量mb，正弦激励加速度幅 值ap(m/s2)和角频率ωp(s-1)作为基本量，并做以下变换：
Figure BDA0002204463650000103
式(6)中，τ为无量纲运动时间；xi(τ)，
Figure BDA0002204463650000104
Figure BDA0002204463650000105
分别为两结 构各楼层的无量纲相对位移、相对速度和相对加速度。
将式(6)带入式(4a)，可以得到以下相邻非弹性多自由度结构的无量纲 运动方程：
Figure BDA0002204463650000106
其中：
Figure BDA0002204463650000107
Figure BDA0002204463650000111
根据式(1)中改进Kelvin模型中碰撞力的定义，可以得知：
当xi-xj＞d/le时，相邻两多自由度结构发生碰撞，此时碰撞力表达式为：
Figure BDA0002204463650000112
当xi-xj≤d/le时，两结构未发生碰撞，此时碰撞力表达式如下：
Fpij＝0； (8b)
将式(6)带入式(8a)无量纲化，可以得到发生碰撞时无量纲化的碰撞力：
Figure BDA0002204463650000113
其中，vi，vj分别表示左侧结构楼层和右侧结构对应楼层发生碰撞时的无量 纲速度(v＝V·(ωp/ap))，
Figure BDA0002204463650000114
为接触单元的角频率，且
Figure BDA0002204463650000115
β为接触 单元刚度参数。
将式(6)带入式(5a)所示的阻尼矩阵以及式(5b)所示的刚度矩阵中， 可以得到无量纲形式的阻尼矩阵和刚度矩阵：
Figure BDA0002204463650000116
Figure BDA0002204463650000121
其中：
Figure BDA0002204463650000122
无量纲化的非弹性抗力矩阵Fs/mbap与无量纲化的结构各楼层剪力Fsi/mbap有关，由于相邻两结构均为非弹性结构，ΔFsi/mbap＝Ki(t)·Δxi/mbap，故无量纲化 的非弹性抗力矩阵Fs/mbap与无量纲化的各结构楼层刚度Ki(t)/mbap、无量纲化的 屈服位移uy/le以及屈服后刚度系数α有关。
综上，相邻两个非弹性多自由度结构的无量纲运动方程全部推导完成。
3、基于Π定理的无量纲化运动方程
根据Π定理以及上文中所得到的两个非弹性多自由度结构碰撞的运动方程， 在正弦激励作用下，表征两个非弹性多自由度结构碰撞反应的有：发生碰撞的 两个非弹性多自由度结构各楼层的峰值位移Xmax和峰值速度
Figure BDA0002204463650000123
而控制反应的 参数有：两个多自由度结构各楼层的质量ma和mb，左侧结构各楼层的刚度Ka， 右侧结构楼层和左侧结构楼层的刚度比μ(μ＝Ka/Kb)，各自屈服位移uya和uyb， 结构的阻尼比ξ，结构屈服后的刚度系数α，采用改进Kelvin模型模拟的接触 单元的角频率
Figure BDA0002204463650000124
和恢复系数e，两个非弹性多自由度结构的初始间距d，以及正 弦激励作用的加速度幅值ap和角频率ωp。
通过Π定理，两个非弹性多自由度结构的碰撞反应函数可以表示为：
Figure BDA0002204463650000125
由式(10)可知，该方程中一共包含了13个变量，而这13个变量中涉及 到的基本量纲有3个：质量[M]、长度[L]和时间[T]。故根据Π定理可以得到 13-3＝10个独立的无量纲Π参数。选取右侧多自由度结构各楼层的质量mb，正弦 激励加速度幅值ap和角频率ωp作为基本变量，将两个非弹性多自由度结构的运 动方程无量纲化，式(10)可变为：
Figure BDA0002204463650000131
令
Figure BDA0002204463650000132
Πm＝ma/mb，
Figure BDA0002204463650000133
Πμ＝Kb/Ka＝μ，
Figure BDA0002204463650000134
Πξ＝ξ，Πα＝α，
Figure BDA0002204463650000135
Πe＝e，
Figure BDA0002204463650000136
式(11)可化为：
Figure BDA0002204463650000137
式(12)中，Πm＝ma/mb是左侧结构与右侧结构各楼层的质量比；是左侧非弹性多自由度结构各楼层无量纲化的刚度；
Figure BDA0002204463650000139
是 各结构楼层的屈服位移uyi与激励能量尺度
Figure BDA00022044636500001310
的比值，即无量纲化的屈服 位移；Πuyi与Πα均为表征结构非弹性的参数；而Πωcon，Πd和Πe均为表征碰撞特 性的参数，其中
Figure BDA00022044636500001311
表示接触单元的角频率与正弦激励角频率的比值， 即无量纲化的接触单元的角频率。
4、两个非弹性多自由度结构碰撞反应数值解
为了研究两个非弹性多自由度结构的无量纲碰撞反应，本文采用 Newmark-β法求解式(7a)，其中参数取值γ＝1/2，β＝1/4，时间步长Δτ＝0.001。 本文采用以下的无量纲Π参数：Πm＝ma/mb＝0.25，Πk＝5，Πμ＝10，Πuya＝0.1， Πuyb＝0.06，Πξ＝0.05，Πα＝0.1，Πωcon＝65，Πe＝0.4，Πd＝0.5。
运用MATLAB编程对式(7a)给出的动力方程进行数值求解。图3、图4和 图5分别给出了上述参数条件下相邻两个非弹性多自由度结构每一楼层的位移 反应时程曲线、碰撞力时程曲线、速度反应时程曲线以及滞回曲线。图6给出 了相邻两结构第三层分别采用改进Kelvin模型和Kelvin模型考虑碰撞与未碰 撞的位移时程曲线，速度时程曲线以及采用两种模型得到的碰撞力对比曲线。
从图3(a)，图4(a)和图5(a)中可以看到，三个楼层左侧结构对应的 曲线和右侧结构对应的曲线均有8处重合，说明在激励作用时间τ＝0～50内，每 一楼层均发生了8次碰撞。图3(b)，图4(b)和图5(b)所示的碰撞力时程 曲线中也有8次突变，与图3(a)，图4(a)和图5(a)所判断的碰撞次数吻 合。并且，每一楼层记录到的碰撞力的大小区别不大，因此，若将碰撞模型简 化为忽略其余楼层的碰撞作用而只考虑最高楼层的碰撞作用是不太合理的。除 此之外，质量和刚度均较小的左侧结构，在发生碰撞后正方向位移明显被抑制， 相较于右侧结构产生较大的负向位移，但相较于未碰撞情况，左侧结构的峰值 位移反应明显减小(如图3(a)，图4(a)，图5(a)和图6(a)所示)；而质 量和刚度较大的右侧结构，发生碰撞后其位移反应均明显增大。
碰撞作用对相邻结构的速度反应也有明显影响，如图3(c)，图4(c)和 图5(c)以及图3(d)，图4(d)和图5(d)所示，当碰撞发生后，两结构的 速度均发生瞬时的急剧改变，且左侧结构的速度反应由正向变为为负向，而右 侧结构的速度反应增大(如图6(b)和图6(c)所示)，因此结构发生碰撞作 用的基本特征之一是速度瞬时急剧的改变。
图3(d)，图4(d)和图5(d)以及图3(e)，图4(e)和图5(e)还给 出了本文参数条件下相邻两非弹性结构各楼层的滞回曲线，从图中可以看出， 两结构的第一层和第二层均明显进入塑性阶段，而第三层结构的滞回曲线为一 条直线，表明其一直处于弹性阶段而未进入塑性阶段。
另外，图6还将分别采用改进Kelvin模型和Kelvin模型得到的第三层速 度时程、碰撞力时程曲线进行了对比，由两侧结构的速度时程曲线可以看出， 两种碰撞力模型下的时程曲线基本吻合，证明了采用改进Kelvin模型得到的数 值解方法的正确性。除此外，证明了采用改进Kelvin模型的优越性：从图6(c) 所示的采用两种碰撞模型得到的碰撞力时程曲线可以看出，采用Kelvin模型模 拟碰撞过程，在回弹阶段会出现负向拉力，而采用改进Kelvin模型模拟碰撞过 程得到的曲线却不存在负向拉力，这一点在图6(a)和图6(b)所示的速度时 程曲线中也有很好的展示：在两图的放大部分，由于Kelvin模型在回弹阶段出现拉力，会导致速度时程曲线在碰撞回弹阶段会减小；而采用改进Kelvin模型 所得到的速度时程曲线却没有出现这种情况，所以，采用改进Kelvin模型能够 弥补Kelvin模型存在的缺点，更好的展现真实的物理现象，反映物理规律。
5、相邻多层结构的振动台碰撞试验
为了进一步验证本文所提理论方法的正确性和有效性，本文进行了相邻四 层和三层钢框架结构模型的振动台碰撞试验，并对试验模型进行了数值模拟， 将试验结果无量纲化后与数值模拟结果进行了对比。
将上述试验模型中的四层钢框架模型和三层钢框架模型均简化成集中质量 模型，其中每层结构质量均为1.7t，且假定各个楼层的抗侧刚度均相等，经过 分析计算得到其楼层刚度为1.19×107N/m，且白噪声扫频结果证实，整个试验过 程中结构均处于弹性状态。
将试验参数无量纲化，得到数值计算所需的无量纲参数：Πm＝1，Πk＝17.5， Πμ＝1，Πξ＝0.05，Πωcon＝65，Πe＝0.4，Πd＝0.41。采用MATLAB进行数值求解， 并将所得的结果与无量纲化后的实测结果进行对比，在峰值加速度为0.2g正 弦波作用下，未发生碰撞情况下四层钢框架结构的顶层和第三层的位移以及加 速度试验结果和数值结果对比曲线。从对比曲线可以得出，顶层和第三层的位 移反应的数值结果略大于试验结果，而加速度反应的数值结果略小于试验结果， 且数值结果的频率和波形均与试验结果基本一致。
在峰值加速度为0.2g正弦波作用下，在间距为2mm发生碰撞情况下四层 钢框架结构的顶层和第三层的位移以及加速度试验结果和数值结果对比曲线可 以看出，顶层和第三层的位移反应的数值结果与试验结果吻合的较好，但是加 速度反应的数值结果与试验结果存在差别，造成这种差别的原因可能是由于数 值模型是将试验模型简化为集中质量模型，在简化的过程中产生误差所造成。
综上所述，由试验结果和数值模拟结果的对比，可以验证本文所提理论方 法的正确性和合理性。
6、两个非弹性多自由度结构参数分析
由于碰撞作用对右侧质量刚度均较大的结构的影响很小，所以本文此处主 要研究两个相邻非弹性多自由度结构各楼层质量比Πm，结构非弹性特性(屈服 后刚度系数Πα和屈服位移Πuya)以及结构间距Πd对其左侧质量刚度较小结构碰 撞反应的影响。
6.1、楼层质量比Πm
图7给出了不同楼层质量比Πm条件下，相邻两个非弹性多自由度结构碰撞 过程中的无量纲峰值位移Πu和无量纲峰值速度Πv对应于不同的无量纲结构刚度 Πk的反应曲线。此处选取了3个不同的质量比Πm(Πm＝0.1，Πm＝0.25以及 Πm＝0.75)，质量比Πm越大，表明左侧结构和右侧结构的质量差异越小。图10 给出了两个非弹性多自由度结构在不同楼层质量比条件下，第二层无量纲峰值 碰撞力曲线。其余参数选择：Πμ＝40，Πuya＝0.1，Πuyb＝0.06，Πξ＝0.05，Πα＝0.1， Πωcon＝65，Πe＝0.4，Πd＝0.5。
由图7(a)，(c)和(e)中可以清楚的看到，对于左侧结构，随着质量比Πm的增大，其峰值位移反应也随着增大，且Πm＝0.75对应的曲线的值明显大于其余 两条曲线，这说明质量差异较小的情况下，左侧结构会产生较大的位移反应。 而对于右侧结构，从图7(b)，(d)和(f)中可以看出，随着楼层质量比的增 大，Πm＝0.75对应的无量纲峰值位移反应基本略微大于其余两种情况，楼层质量 比的变化对右侧结构的位移反应影响不是明显。
图8给出了两个非弹性多自由度结构第二层的无量纲峰值碰撞力反应曲线， 由于Πm＝0.75对应的峰值碰撞力大于Πm＝0.25和Πm＝0.1所对应的峰值碰撞力，说 明随着质量比的增大，相邻结构产生的碰撞力也随之增大。质量比对第一层和 第三层碰撞力影响类似，这里就不予展示。
6.2结构非弹性特性
本文采用双线性楼层剪力-层间位移来模拟其结构的非弹性特性，因此本节 主要研究屈服后刚度系数Πα和屈服位移Πuya对相邻两个非弹性多自由度结构中 质量刚度较小的左侧结构碰撞反应的影响。
图9给出了在不同屈服后刚度比Πα条件下，左侧结构的无量纲峰值位移反 应曲线，此处主要选取了三个不同的屈服后刚度比：Πα＝0.01，Πα＝0.1和Πα＝1。 其中Πα＝0.01表示结构是非弹性钢结构，Πα＝0.1表示结构是非弹性钢筋混凝土结 构，而Πα＝1表示结构是弹性结构。其余参数选取：Πm＝0.25，Πμ＝40，Πuya＝0.1， Πuyb＝0.06，Πξ＝0.05，Πωcon＝65，Πe＝0.4，Πd＝0.5。从图3可以看出，在第一、 二谱区，左侧结构各个楼层的无量纲峰值位移反应随着屈服后刚度比Πα的增大 而减小，弹性结构Πα＝1所对应的无量纲峰值位移反应曲线要明显小于其余非弹 性结构所对应的曲线；而在第三谱区，三条曲线基本重合，说明此时左侧结构 的位移反应不受屈服后刚度比Πα的影响，产生此现象的原因可以解释为：此时 的结构未进入塑性阶段，始终处于弹性阶段。
图10给出了在不同屈服后位移Πuya条件下，左侧结构的无量纲峰值位移反 应曲线，此处主要选取了三个不同的屈服后位移：Πuya＝0.06，Πuya＝0.1和Πuya＝0.2。 其余参数选取：Πm＝0.25，Πμ＝40，Πα＝0.1，Πuyb＝0.06，Πξ＝0.05，Πωcon＝65， Πe＝0.4，Πd＝0.5。从图中可以看出，当Πk≤1.5时，屈服位移Πuya的变化对左侧 结构无量纲峰值位移的影响很小，而当Πk＞1.5时，左侧结构的无量纲峰值位移 反应随屈服位移Πuya的增大而减小。
6.3、结构间距Πd
本节选取了3种不同的结构间距(Πd＝0.1，Πd＝0.5和Πd＝1.5)来分析结构 间距对相邻两个非弹性多自由度结构碰撞反应的影响。其余参数选取：Πm＝0.25， Πμ＝40，Πα＝0.1，Πuya＝0.1，Πuyb＝0.06，Πξ＝0.05，Πωcon＝65，Πe＝0.4。图11 给出了不同结构间距Πd条件下，两个多自由度结构中质量刚度较小的左侧结构 各个楼层的无量纲峰值位移反应曲线，从图中可以看出当Πk≤1.5时，Πd＝1.5对 应的结构的位移反应小于其余两种情况对应的位移反应，这是由于第一谱区中， 左侧结构受碰撞作用，其位移反应会被放大，而随着结构间距的增大，碰撞作 用的放大效果会降低，从而造成其位移反应减小；而当2.8<Πk≤7.2时，Πd＝1.5对 应的结构的位移反应明显大于其余两种情况对应的位移反应，这是由于在第二 谱区中，碰撞作用会抑制左侧结构的位移反应，但随着结构间距Πd的增大，其 抑制效果逐渐减弱，从而造成左侧结构的位移反应增大；当Πk＞7，三条曲线重合，此时左侧结构的位移反应不受结构间距Πd的影响。
本文采用量纲分析方法和接触单元方法相结合研究相邻非线性多自由度结 构在简化地震作用下的碰撞反应，选用改进的Kelvin模型模拟两个结构碰撞接 触过程中的力和变形，并采用双线性楼层剪力-层间位移关系来模拟结构的非弹 性特性；推导了两个非弹性多自由度结构碰撞的无量纲碰撞力表达式和无量纲 运动方程；且采用无量纲Π参数时，影响两个非弹性多自由度结构碰撞反应的 变量由13个减少到10个，能够较清晰的反应碰撞规律，而且考虑了接触变形 过程；在选定的参数条件下，得到了相邻两多自由度结构各楼层采用改进Kelvin 模型下的位移，速度，碰撞力及其滞回曲线，并将采用改进Kelvin模型和Kelvin 模型得到的碰撞反应进行对比，证明了本文所提碰撞反应分析方法的正确性和 改进Kelvin模型的优越性；对相邻四层和三层钢框架结构进行了振动台试验， 并将所得到的试验结果和采用MATLAB编程得到的数值结果进行了对比，进一步 证实了本文所提碰撞反应分析方法的正确性和有效性。
以上仅为本发明的优选实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是利 用本发明说明书及附图内容所作的等效结构变换，或直接或间接运用在其他相 关的技术领域，均同理包括在本发明的专利保护范围内。

Claims (7)

1.一种基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法，其特征在于，包括以下步骤：
假设地震动激励为正弦激励时，采用双线性楼层剪力-层间位移曲线模型，建立两个非弹性多自由度结构的运动方程；
假设左侧结构各楼层的质量和刚度均相等，右侧结构中各楼层的质量和刚度均相等，以右侧多自由度结构的各楼层质量、正弦激励加速度幅值和角频率作为基本量，得到相邻非弹性多自由度结构的无量纲运动方程；
根据改进Kelvin模型中碰撞力的定义，当相邻两多自由度结构发生碰撞时，建立碰撞力表达式，以右侧多自由度结构的各楼层质量、正弦激励加速度幅值和角频率作为基本量，得到无量纲化的碰撞力表达式；
根据Π定理，将两个非弹性多自由度结构的运动方程进行无量纲化；
基于无量纲化两个非弹性多自由度结构的运动方程，研究两个非弹性多自由度结构在简化地震作用下的碰撞反应，确定出各因素对碰撞反应的影响，以针对性的对参数进行调成，从而减小结构在地震中所受的碰撞反应的影响。
2.如权利要求1所述的基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法，其特征在于，改进Kelvin模型中碰撞力的表达式为：
Figure FDA0002204463640000011
其中，为接触单元刚度系数；δ(t)为碰撞两物体相对侵彻位移；为侵彻速度；
随时间变化的阻尼系数
Figure FDA0002204463640000017
的表达式为：
阻尼常数
Figure FDA0002204463640000015
的数学表达式为：
Figure FDA0002204463640000016
其中，e为恢复系数，e＝1表示无能量损失的弹性碰撞，e＝0表示完全塑性碰撞；V1，V2表示两物体发生碰撞时的速度。
3.如权利要求2所述的基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法，其特征在于，建立两个非弹性多自由度结构的运动方程的过程如下：
假设地震动激励为正弦激励，其加速度幅值为ap，角频率值为ωp；
双线性楼层剪力-层间位移曲线模型中，相邻两结构层高相等，且采用集中质量模型，即质量集中于各层楼板，左侧结构从下至上的质量分别为m1、m2和m3，刚度分别为k1、k2和k3，右侧结构从下至上的质量分别为m4，m5和m6，刚度分别为k4，k5和k6，相邻两结构的初始间距为d。
4.如权利要求3所述的基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法，其特征在于，
在正弦激励的作用下，两个非弹性多自由度结构的运动方程为：
Figure FDA0002204463640000021
其中，
Figure FDA0002204463640000022
Figure FDA0002204463640000023
式中，为激励加速度，
Figure FDA0002204463640000025
Xi(t)，
Figure FDA0002204463640000026
和
Figure FDA0002204463640000027
分别表示相邻两结构各楼层在不同时刻t时的位移，速度和加速度反应；Fsi(t)，表示结构各楼层在不同时刻t的非弹性剪力，其增量形式为ΔFsi(t)＝Ki(t)·ΔXi(i＝1,...,6)，式中ΔXi为结构层间位移，Ki为结构的刚度，与结构各自的屈服位移uyi有关，M为结构质量矩阵，Fp(t)为碰撞力矩阵；C为结构的阻尼矩阵。
5.如权利要求4所述的基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法，其特征在于，
结构的阻尼矩阵C采用瑞利阻尼，其表达式如下：
Figure FDA0002204463640000028
Figure FDA0002204463640000031
其中：
Figure FDA0002204463640000032
式中，ω1a和ω2a分别表示左侧结构的第一模态和第二模态角频率，ω1b和ω2b分别表示右侧结构的第一模态和第二模态角频率，且角频率ω可以通过求解|K-Mω2|＝0得到，ξ为结构阻尼比。
6.如权利要求5所述的基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法，其特征在于，
假设左侧结构各楼层的质量和刚度均相等，右侧结构中各楼层的质量和刚度均相等，根据提出的表征激励能量尺度的物理量le，选用右侧多自由度结构的各楼层质量mb，正弦激励加速度幅值ap和角频率ωp作为基本量，并做以下变换：
Figure FDA0002204463640000034
其中，τ为无量纲运动时间；xi(τ)，
Figure FDA0002204463640000036
分别为两结构各楼层的无量纲相对位移、相对速度和相对加速度；
将上式代入两个非弹性多自由度结构的运动方程中，得到相邻非弹性多自由度结构的无量纲运动方程：
Figure FDA0002204463640000037
其中：
Figure FDA0002204463640000038
Figure FDA0002204463640000041
7.如权利要求1至6中任意一项所述的基于量纲分析相邻非弹性多自由度结构碰撞反应的方法，其特征在于，所述因素包括各楼层质量比、结构非弹性特性、屈服位移以及结构间距。
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