CN110705007B - 一种等离子体涡旋发生器的效率评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种等离子体涡旋驱动装置的效率评估方法，该评估方法全面考虑了粘性力、洛伦兹力、惯性力的在二维空间上对等离子体的作用，能够衡量粘性耗散、焦耳耗散和输出涡旋动能之间的关系；该评估方法的二维无穷级数的解析表达收敛迅速，且收敛速度与的等离子体物性参数、装置电流大小、磁场强度均无关，可以准确且快速地计算涡旋驱动装置的效率，进而可以对广泛工况下的装置效率优化提供指导。

Description

一种等离子体涡旋发生器的效率评估方法

技术领域

本发明涉及等离子体发生器设计优化领域，是一种等离子体涡旋驱动装置的效率评估方法，可用于等离子体涡旋发生器的优化。

背景技术

等离子体涡旋驱动装置一般由同轴圆柱电极和轴向附加磁场构成，此类装置可以利用正交电磁场中的洛伦兹力将具有粘性的等离子体在角向上进行加速，在出口处形成涡旋射流。目前，这种等离子体涡旋驱动装置被广泛应用于：回旋等离子体发生器，附加场磁等离子体推力器，等离子体离心机，以及可控可聚变实验装置。

这些应用装置目的都在于借助强附加磁场来实现从电能到角向涡旋动能的转化。目前描述通道内电磁流动最常用的方法是磁流体动力学理论(magnetohydrodynamic,简称MHD)。尽管系统的能量仍来源于电极放电，但附加磁场的存在使得通道内的流动与无附加磁场的电极通道流动相比，表现出非常显著的差异。首先，强附加磁场的霍尔效应变得不可忽略，电流会出现角向分量，进而在径向上产生霍尔效应电势降,由此消耗的电功率全部耗散为霍尔电流的欧姆热。此外，在轴向附加磁场和径向电流的洛伦兹力作用下，流体在角向上被加速，角向涡旋运动与轴向附加磁场作用带来径向上的动生电动势u_θB_z，由此消耗的电功率转化为从装置出口输出的涡旋动能流和在装置内部耗散的粘性热。电极板的总电流恒定的情况下，霍尔效应电压和动生电动势的存在会导致总电压升高进而增大功率。增大的功率通过附加磁场转移到了霍尔电流的欧姆耗散、涡旋运动的粘性耗散以及输出的涡旋动能流中去。

如何解析求解通道内的涡旋流动状态对于此类电磁流体涡旋驱动装置的设计优化具有重大的指导意义。Chang在研究附加轴向磁场的同轴筒状电极通道内涡旋流动和电流分布问题时，为了简化求解，忽略了粘性作用对涡旋速度径向分布的影响，创建了关于涡旋运动和电流密度沿轴向分布的拟一维常微分方程组模型，并获得了依赖于Hartman参数的解析解(Chang C C,Lundgren T S.Flow of an Incompressible Fluid in aHydromagnetic Capacitor[J].Physics of Fluids,1959,2(6):627)，但是该模型只适用于装置径向尺寸远大于轴向尺寸的情况。Kunkel(Kunkel W B,Baker W R,Bratenahl A,et.Boundary Effects in Viscous Rotating Plasmas[J].Physics of Fluids,1963,6(5):699)、Okada(Okada O,Dodo T,Kawai T.Separation of Uranium Isotope by PlasmaCentrifuge[J].Journal of Nuclear Science and Technology,1973,10(10):626–631)和Mikellides(Mikellides P G,Turchi P J.Applied-Field MagnetoplasmadynamicThrusters,Part 2:Analytic Expressions for Thrust and Voltage[J].Journal ofPropulsion and Power,2000,16(5):894–901)，针对不同的应用需求研究附加轴向磁场的同轴筒状电极通道内涡旋流动问题时，采用电流密度轴向均匀分布假设，忽略了流动与放电沿轴向的耦合作用，建立考虑洛伦兹力和粘性力平衡的一维常微分方程模型，得到涡旋速度在径向上分布的一维解析解。该解析解依赖于内外径之比与特征速度数IB/μ，其中I为总电流，B为附加磁场强度，μ为粘性系数，但是该模型只适用于涡旋运动和电流密度沿轴向充分均匀的区域。。

综上，现有的解析研究均基于MHD方程组采用了不同的近似简化，得到常微分方程模型并获取一维解析解。这些一维解析解可以解释装置通道内的部分机理，但由于不能全面考虑粘性力、洛伦兹力、惯性力的在二维空间上对等离子体的作用，无法衡量粘性耗散、焦耳耗散和输出涡旋动能之间的关系，所以均无法用于此类涡旋驱动装置的效率评估。

发明内容

本发明提供了一种等离子体涡旋驱动装置的效率评估方法，该方法能够解析求解流动与放电的耦合场的二维问题，从而能衡量粘性耗散、焦耳耗散和输出涡旋动能之间的关系，用于此类涡旋驱动装置的效率计算与设计优化。

本发明针对轴向附加磁场作用下的同轴圆柱电极通道内流动涉及到二维解析解问题，在MHD方程组的基础上，进一步考虑了包含惯性力、粘性力、洛伦兹力的角向动量方程和包含霍尔效应的广义欧姆定律，在柱坐标系下建立起关于角向涡旋速度的二维二阶线性非齐次偏微分方程。方程的非齐次项与电流密度分布和附加磁场构型有关。涡旋速度的入口边界设为零，出口设为自由边界条件，电极表面设为无滑移固定等电势壁面；

依据二阶偏微分方程的Sturm-Liouville定理，利用分离变量法，通过径向变量函数和固定壁面边界条件确定固有值和固有函数，再将非齐次项由Fourier-Bessel函数系张成的正交且完备的Hilbert空间上展开，解析求得该方程的待定函数解。借助待定函数解，涡旋速度可以被表达成电流密度分布的函数，进而把动生电动势压降也可以表达成电流密度的函数。电流密度的分布与涡旋速度分布通过广义欧姆定律耦合在一起。为解决流动放电的耦合问题，将电场依照广义欧姆定律展开，并在径向上积分得到电势。根据电极等电势的假设，在不同的轴向位置处沿径向积分得到的总电压(包括电阻电压、霍尔效应电压、动生电动势)应维持不变。最后利用总电压沿轴向恒定和总电流守恒解出电流密度分布，进而将电流密度分布回代到涡旋运动方程的非齐次项中，求得涡旋速度，从而实现流场和电磁场的解耦，获得该装置电磁流体涡旋的二维问题的解析解；

将获得的二维解析解带入到MHD的能量方程，获得关于电功率密度、焦耳耗散、粘性耗散、能流密度的方程。对该方程进行空间上的体积分，获得整个装置的输入电功率，通道内耗散的粘性热总量、通道内耗散的焦耳热总量，从装置出口输出的涡旋动能流总量之间的关系；

基于能量组分的关系，用输出的涡旋动能流总量除以装置的总电功率，得到此类涡旋驱动装置的效率的解析表达。该解析表达式与装置的几何参数、通道内等离子体的雷诺数(Re)以及新定义的无量纲参数(K)有关。

通过效率的解析表达式，可以直接计算效率。以Re和K为自变量以效率为因变量做二维等高图，可用于带有约束条件下的效率优化。

本发明的具体技术方案如下：

一种等离子体涡旋发生器的效率评估方法，包括以下步骤：

1.建立涡旋运动模型

在等离子体涡旋发生器的轴向附加磁场作用下的同轴圆柱电极通道内，建立柱坐标系，轴坐标z沿着电极通道圆柱中心轴线从入口指向出口，径坐标r从入口中心沿端面半径向外，角坐标θ根据右手法则确定，阴极半径为R_c，阳极半径为R_a，电极通道长度为L，流经装置的总电流为I，分别定义电场强度矢量E、磁场强度矢量B、等离子体宏观运动速度矢量u、电流密度矢量J，在该坐标系中仅考虑轴向磁场B_z和径向的电场E_r，等离子体运动仅轴向的u_z和角向的u_θ，其中电流密度矢量J的径向分量为J_r，角向分量为J_θ，轴向分量为J_z；

所有物理量关于角向对称：

等离子体涡旋驱动装置内的轴向流动用拟一维模型来处理，根据质量守恒得到：

ρu_z＝constant (3)

其中ρ为等离子体密度，根据稳态粘性不可压缩磁流体动量方程：

上式中等号左边代表流场中的流体微团的加速度与密度的乘积，等号右边从左到右分别是压力梯度力、洛伦兹力、粘性力。上式中p为压强，μ为粘性系数，

为哈密度算子，Δ为拉普拉斯算子，结合公式(2)和(4)得到关于角向速度u_θ的方程：

式(5)的边界条件如下：在通道入口处，角向速度应为零，即u_θ(r,0)＝0；根据电极表面无滑移条件，壁面上的角向速度也为零，即u_θ(R_c,z)＝u_θ(R_a,z)＝0；设出口面无剪条件

是合理的；

设齐次项是空间坐标的函数，与附加磁场分布和电流密度分布有关，附加磁场分布B_z(r)＝B₀b(r)，其中B₀表征磁场强度大小，b是无量纲的分布函数，均由附加磁场给定，当附加磁场在径向上均匀分布时，b＝1，为了求解电流密度的分布，需要引入广义欧姆定律：

其中σ为电导率，ρ_e为电子密度；定义霍尔参数Ω＝σB₀/ρ_e，解得电流密度分量之间的关系：

再通过电荷守恒方程：

得到：

解得：

其中无量纲数ε(z)是电流密度在轴向上的分布函数，I为总电流；当电流密度均匀分布时ε(z)恒为1，且满足总电流为I的积分条件：

根据电极等电势补充压降平衡的条件，由式(6)变形得到：

通过对式(12)径向坐标积分，得到电阻压降、霍尔压降、涡旋动生电动势压降：

因为电极是金属等势体，故在不同轴向位置处从阴极到阳极的总电势不变：

V_Total＝V_σ+V_Hall+V_emf＝constant (14)

以阳极半径为参考值对空间长度量做无量纲化，得到无量纲的轴线坐标变量，径向坐标变量，无量纲通道长度，阴阳极半径比分别如下：

分别定义特征电流密度、特征电压、特征电场强度，特征涡旋速度如下：

由此分别得到无量纲的电压、电场强度、电流密度、涡旋速度表达如下：

引入Reynolds数Re＝ρu_zR_a/μ，表征惯性力和洛伦兹力之比，Hartman数

表征洛伦兹力与粘性力之比，定义与附加磁场无关的物性参数

则霍尔参数表达为Ω＝ΘM；则电阻压降、霍尔压降，动生电动势压降组分以及总压降分别表示为：

综上，式(5)被整理为：

其中i(x,y)为非齐次项，非齐次项里的分布函数ε(x)满足：

上式中的w(x,y,ε)是ε(x)的泛函；

2.解析求解涡旋速度

利用分离变量法寻找式(16)的解析解w＝f(x)g(y)：

其中g和f分别为径向分布函数和轴向分布函数，λ为待定的特征值，通过齐次方程和非齐次的边界条件寻找特征函数系：

解得特征函数系：

g_n(y)＝J₁(λ_ny)Y₁(λ_n)-J₁(λ_n)Y₁(λ_ny) (20)

其中J₁、Y₁分别为一阶贝塞尔函数，λ_n为正特征值，满足：

J₁(kλ_n)Y₁(λ_n)-J₁(λ_n)Y₁(kλ_n)＝0 (21)

固有值的特征函数g_n具有正交性和完备性，利用Fourier-Bessel展开式的正交性质求得非齐次项i(x,y)的系数i_n如下：

定义三个数学的积分变量α，β，γ如下：

则得到关于f的方程：

设其通解为f_n(x)，最终求得方程的解析解：

解(25)是电流分布函数ε(x)的泛函，为了求式(17)中对于动生电动势的压降积分系数，只取级数的主项：

将式(26)带入式(17)中，再将式(17)中的分布函数ε(x)带入到式(24)，得到关于f₁的自洽方程：

其中定义无量纲数K如下：

且式(27)的解应该满足：

定义分布函数和积分常数：

其中特征根：

由此解得总电压：

电流密度分布：

结合式(31)和(27)得到最终的解f_n：

最终涡旋速度的解析解：

上式中括号内的x和y为空间坐标自变量，b,Re和K为控制参数。

3.求解能量组分

将式(5)乘以u_θ，并用式(12)乘以J_r，得到该稳态不可压流动的能量方程：

等号左边代表输入的电功率密度，等号右边三项分别代表能流密度、粘性热耗散、电阻(考虑了霍尔效应的)热耗散，其中S为柱坐标下的变形速度张量：

由式(31)得到装置的总功率以及空间平均功率密度的表达分别如下：

以总功率的空间平均值作为参考基准对能量方程中的各项做无量纲化，分别得到无量纲的电功率密度、能流密度、粘性热耗散、电阻热耗散如下：

4.获得效率表达式

对式(35)两边做体积分，并用总功率作归一化分母，得到：

上式中的dυ为体积分的体积微元，积分体是从入口到出口同轴电极所围成的整个流动通道。

5.获得效率规划图

当装置几何构型确定时，涡旋效率η_k仅是K和Re的函数，以式(39)作为计算依据，做出效率随K和Re变化的等高线图，其中自变量：

通过控制入口流量的速度u_z和附加磁场强度B₀，即可实现对K和Re的控制，并进一步依据高线图对等离子体涡旋驱动装置的效率进行优化。

本发明与现有技术相比所具有以下有益效果：

1.本发明的评估方法全面考虑了粘性力、洛伦兹力、惯性力的在二维空间上对等离子体的作用，能够衡量粘性耗散、焦耳耗散和输出涡旋动能之间的关系；

2.本发明的二维无穷级数的解析表达收敛迅速，且收敛速度与的等离子体物性参数、装置电流大小、磁场强度均无关，可以准确且快速地计算涡旋驱动装置的效率，进而可以对广泛工况下的装置效率优化提供指导。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明等离子体涡旋驱动装置的结构示意图；

图2为本发明等离子体涡旋驱动装置的效率优化等高图。

附图标记：

1-阴极，2-阳极，3-电源。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将对本发明的技术方案进行详细的描述。显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所得到的所有其它实施方式，都属于本发明所保护的范围。

本发明提供了一种等离子体涡旋驱动装置的效率评估方法，具体包括以下步骤：

1.建立涡旋运动模型

如图1所示，在等离子体涡旋发生器的轴向附加磁场作用下的同轴圆柱电极通道内，建立柱坐标系，轴坐标z沿着电极通道圆柱中心轴线从入口指向出口，径坐标r从入口中心沿端面半径向外，角坐标θ根据右手法则确定，阴极半径为R_c，阳极半径为R_a，电极通道长度为L，流经装置的总电流为I，分别定义电场强度矢量E、磁场强度矢量B、等离子体宏观运动速度矢量u、电流密度矢量J，在该坐标系中仅考虑轴向磁场B_z和径向的电场E_r，等离子体运动仅轴向的u_z和角向的u_θ，其中电流密度矢量J的径向分量为J_r，角向分量为J_θ，轴向分量为J_z；

所有物理量关于角向对称：

等离子体涡旋驱动装置内的轴向流动用拟一维模型来处理，根据质量守恒得到：

ρu_z＝constant (3)

其中ρ为等离子体密度。建立稳态粘性不可压缩磁流体动量方程：

上式中等号左边代表流场中的流体微团的加速度与密度的乘积，等号右边从左到右分别是压力梯度力、洛伦兹力、粘性力。上式中p为压强，μ为粘性系数，

为哈密度算子，Δ为拉普拉斯算子，结合公式(2)和(4)得到关于角向速度u_θ的方程：

式(5)的边界条件如下：在通道入口处，角向速度应为零，即u_θ(r,0)＝0；根据电极表面无滑移条件，壁面上的角向速度也为零，即u_θ(R_c,z)＝u_θ(R_a,z)＝0；设出口面无剪条件

是合理的；

设齐次项是空间坐标的函数，与附加磁场分布和电流密度分布有关，附加磁场分布B_z(r)＝B₀b(r)，其中B₀表征磁场强度大小，b是无量纲的分布函数，均由附加磁场给定，当附加磁场在径向上均匀分布时，b＝1，为了求解电流密度的分布，需要引入广义欧姆定律：

其中σ为电导率，ρ_e为电子密度。定义霍尔参数Ω＝σB₀/ρ_e，解得电流密度分量之间的关系：

再通过电荷守恒方程：

得到：

解得：

其中无量纲数ε(z)是电流密度在轴向上的分布函数，I为总电流；当电流密度均匀分布时ε(z)恒为1，且满足总电流为I的积分条件：

根据电极等电势补充压降平衡的条件，由式(6)变形得到：

通过对式(12)径向坐标积分，得到电阻压降、霍尔压降、涡旋动生电动势压降：

因为电极是金属等势体，故在不同轴向位置处从阴极到阳极的总电势不变：

V_Total＝V_σ+V_Hall+V_emf＝constant (14)

以阳极半径为参考值对空间长度量做无量纲化，得到无量纲的轴线坐标变量，径向坐标变量，无量纲通道长度，阴阳极半径比分别如下：

分别定义特征电流密度、特征电压、特征电场强度，特征涡旋速度如下：

由此分别得到无量纲的电压、电场强度、电流密度、涡旋速度表达如下：

引入Reynolds数Re＝ρu_zR_a/μ，表征惯性力和洛伦兹力之比。Hartman数

表征洛伦兹力与粘性力之比。定义与附加磁场无关的物性参数

则霍尔参数可以表达为Ω＝ΘM。则电阻压降、霍尔压降，动生电动势压降组分可以分别表示为：

综上，式(5)整理为：

其中i(x,y)为非齐次项，非齐次项里的分布函数ε(x)满足：

上式中的w(x,y,ε)是ε(x)的泛函。

2.解析求解涡旋速度

利用分离变量法寻找式(16)的解析解w＝f(x)g(y)：

其中g和f分别为径向分布函数和轴向分布函数，λ为待定的特征值，通过齐次方程和非齐次的边界条件寻找特征函数系：

解得特征函数系：

g_n(y)＝J₁(λ_ny)Y₁(λ_n)-J₁(λ_n)Y₁(λ_ny) (20)

其中J₁、Y₁分别为一阶贝塞尔函数，λ_n为正特征值，满足：

J₁(kλ_n)Y₁(λ_n)-J₁(λ_n)Y₁(kλ_n)＝0 (21)

固有值的特征函数g_n具有正交性和完备性，利用Fourier-Bessel展开式的正交性质求得非齐次项i(x,y)的系数i_n如下：

定义三个数学的积分变量α，β，γ如下：

则得到关于f的方程：

设其通解为f_n(x)，最终求得方程的解析解：

解(25)是电流分布函数ε(x)的泛函，为了求式(17)中对于动生电动势的压降积分系数，只取级数的主项：

将式(26)带入式(17)中，再将式(17)中的分布函数ε(x)带入到式(24)，得到关于f₁的自洽方程：

其中定义无量纲数K如下：

且式(27)的解应该满足：

定义分布函数和积分常数：

其中特征根：

由此解得总电压：

电流密度分布：

结合式(31)和(27)得到最终的解f_n：

最终涡旋速度的解析解：

上式中括号内的x和y为空间坐标自变量，b,Re和K为控制参数。

3.求解能量组分

将式(5)乘以u_θ，并用(12)乘以J_r，得到该稳态不可压流动的能量方程：

等号左边代表输入的电功率密度，等号右边三项分别代表能流密度、粘性热耗散、电阻(考虑了霍尔效应的)热耗散，其中S为柱坐标下的变形速度张量：

由式(31)得到装置的总功率以及空间平均功率密度的表达分别如下：

以总功率的空间平均值作为参考基准对能量方程中的各项做无量纲化，分别得到无量纲的电功率密度、能流密度、粘性热耗散、电阻热耗散如下：

4.获得效率表达式

对式(35)两边做体积分，并用总功率作归一化分母，得到：

上式中的dυ为体积分的体积微元，积分体是从入口到出口同轴电极所围成的整个流动通道。

5.获得效率规划图

当装置几何构型确定时，涡旋效率η_k仅是K和Re的函数。以公式(39)作为计算依据，做出效率随K和Re变化的等高线图，如图2所示。其中自变量：

在实际工程应用中，便于控制的是入口流量的速度u_z和附加磁场强度B₀，因此可以通过调节这两个变量，经上式来控制K和Re，从而对应到图2中对效率进行优化。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应所述以权利要求的保护范围为准。

Claims (1)

1.一种等离子体涡旋发生器的效率评估方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立涡旋运动模型

在等离子体涡旋发生器的轴向附加磁场作用下的同轴圆柱电极通道内，建立柱坐标系，轴坐标z沿着电极通道圆柱中心轴线从入口指向出口，径坐标r从入口中心沿端面半径向外，角坐标θ根据右手法则确定，阴极半径为R_c，阳极半径为R_a，电极通道长度为L，流经装置的总电流为I，分别定义电场强度矢量E、磁场强度矢量B、等离子体宏观运动速度矢量u、电流密度矢量J，在该坐标系中仅考虑轴向磁场B_z和径向的电场E_r，等离子体运动仅轴向的u_z和角向的u_θ，其中电流密度矢量J的径向分量为J_r，角向分量为J_θ，轴向分量为J_z；

所有物理量关于角向对称：

等离子体涡旋驱动装置内的轴向流动用拟一维模型来处理，根据质量守恒得到：

ρu_z＝constant (3)

其中ρ为等离子体密度，根据稳态粘性不可压缩磁流体动量方程：

上式中等号左边代表流场中的流体微团的加速度与密度的乘积，等号右边从左到右分别是压力梯度力、洛伦兹力、粘性力；上式中p为压强，μ为粘性系数，

为哈密度算子，Δ为拉普拉斯算子，结合公式(2)和(4)得到关于角向速度u_θ的方程：

式(5)的边界条件如下：在通道入口处，角向速度应为零，即u_θ(r,0)＝0；根据电极表面无滑移条件，壁面上的角向速度也为零，即u_θ(R_c,z)＝u_θ(R_a,z)＝0；设出口面无剪条件

是合理的；

设齐次项是空间坐标的函数，与附加磁场分布和电流密度分布有关，附加磁场分布B_z(r)＝B₀b(r)，其中B₀表征磁场强度大小，b是无量纲的分布函数，均由附加磁场给定，当附加磁场在径向上均匀分布时，b＝1，为了求解电流密度的分布，需要引入广义欧姆定律：

其中σ为电导率，ρ_e为电子密度；定义霍尔参数Ω＝σB₀/ρ_e，解得电流密度分量之间的关系：

再通过电荷守恒方程：

得到：

解得：

其中无量纲数ε(z)是电流密度在轴向上的分布函数，I为总电流；当电流密度均匀分布时ε(z)恒为1，且满足总电流为I的积分条件：

根据电极等电势补充压降平衡的条件，由式(6)变形得到：

通过对方程(12)径向坐标积分，得到电阻压降、霍尔压降、涡旋动生电动势压降：

因为电极是金属等势体，故在不同轴向位置处从阴极到阳极的总电势不变：

V_Total＝V_σ+V_Hall+V_emf＝constant (14)

以阳极半径为参考值对空间长度量做无量纲化，得到无量纲的轴线坐标变量，径向坐标变量，无量纲通道长度，阴阳极半径比分别如下：

分别定义特征电流密度、特征电压、特征电场强度，特征涡旋速度如下：

由此分别得到无量纲的电压、电场强度、电流密度、涡旋速度表达如下：

引入Reynolds数Re＝ρu_zR_a/μ，表征惯性力和洛伦兹力之比，Hartman数

表征洛伦兹力与粘性力之比，定义与附加磁场无关的物性参数

则霍尔参数表达为Ω＝ΘM；则电阻压降、霍尔压降，动生电动势压降组分以及总压降分别表示为：

综上，式(5)被整理为：

其中i(x,y)为非齐次项，非齐次项里的分布函数ε(x)满足：

上式中的w(x,y,ε)是ε(x)的泛函；

2)解析求解涡旋速度

利用分离变量法寻找式(16)的解析解w＝f(x)g(y)：

其中g和f分别为径向分布函数和轴向分布函数，λ为待定的特征值，通过齐次方程和非齐次的边界条件寻找特征函数系：

解得特征函数系：

g_n(y)＝J₁(λ_ny)Y₁(λ_n)-J₁(λ_n)Y₁(λ_ny) (20)

其中J₁、Y₁分别为一阶贝塞尔函数，λ_n为正特征值，满足：

J₁(kλ_n)Y₁(λ_n)-J₁(λ_n)Y₁(kλ_n)＝0 (21)

固有值的特征函数g_n具有正交性和完备性，利用Fourier-Bessel展开式的正交性质求得非齐次项i(x,y)的系数i_n如下：

定义三个数学的积分变量α，β，γ如下：

则得到关于f的方程：

设其通解为f_n(x)，最终求得方程的解析解：

解(25)是电流分布函数ε(x)的泛函，为了求式(17)中对于动生电动势的压降积分系数，只取级数的主项：

将式(26)带入式(17)中，再将式(17)中的分布函数ε(x)带入到式(24)，得到关于f₁的自洽方程：

其中定义无量纲数K如下：

且式(27)的解应该满足：

定义分布函数和积分常数：

其中特征根：

由此解得总电压：

电流密度分布：

结合式(31)和(27)得到最终的解f_n：

最终涡旋速度的解析解：

上式中括号内的x和y为空间坐标自变量，b,Re和K为控制参数；

3)求解能量组分

将式(5)乘以u_θ，并用式(12)乘以J_r，得到该稳态不可压流动的能量方程：

等号左边代表输入的电功率密度，等号右边三项分别代表能流密度、粘性热耗散、电阻热耗散，其中S为柱坐标下的变形速度张量：

由式(31)得到装置的总功率以及空间平均功率密度的表达分别如下：

以总功率的空间平均值作为参考基准对能量方程中的各项做无量纲化，分别得到无量纲的电功率密度、能流密度、粘性热耗散、电阻热耗散如下：

4)获得效率表达式

对式(35)两边做体积分，并用总功率作归一化分母，得到：

上式中的dυ为体积分的体积微元，积分体是从入口到出口同轴电极所围成的整个流动通道；

5)获得效率规划图

当装置几何构型确定时，涡旋效率η_k仅是K和Re的函数，以式(39)作为计算依据，做出效率随K和Re变化的等高线图，其中自变量：

通过控制入口流量的速度u_z和附加磁场强度B₀，即可实现对K和Re的控制，并进一步依据高线图对等离子体涡旋驱动装置的效率进行优化。

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