CN110580374B - 一种碳排放权交易市场均衡模拟系统的获取方法 - Google Patents

Abstract

一种碳排放权交易市场均衡模拟系统的获取方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：计算二氧化碳影子价格和减排潜力、估计二氧化碳边际减排成本曲线、模拟市场均衡。本发明的有益之处在于：本发明提供的方法根据碳排放权交易参与主体的减排成本和减排量约束，可计算得到碳排放权交易市场实现市场均衡状态时的二氧化碳交易量以及碳配额的市场均衡价格；是对已有研究方法和数学模型的开发与应用，并且通过已有数据来模拟碳市场的动态均衡，具有创新性、实用性和指导性；为探索碳交易市场运行机制提供技术支持，具有创新新、实用性和指导性。

Description

一种碳排放权交易市场均衡模拟系统的获取方法

技术领域

本发明涉及碳排放权交易市场均衡计算技术领域，具体涉及一种碳排放权交易市场均衡模拟系统的获取方法。

背景技术

在绿色经济的发展框架下，气候持续变暖逐渐成为引起各国关注的热点问题。追溯气候变暖的根源，有气候变化周期的影响，但更大程度上根植于以二氧化碳(CO₂)为代表的温室气体的大量排放。在CO₂的排放源中，人类生产与生活尤其是工业化程度的加深占据了重要地位。随着当今经济发展中的能源约束以及资源环境问题日益突出，我国政府提出2020年单位国内生产总值(GDP) 的碳排放量(即“碳强度”)较2005年下降40-45％、2030年碳强度较2005年下降60-65％的目标规划。为了实现既定的减排目标，我国于2012年1月在北京、上海、天津、重庆、湖北、广东、深圳七个地区开设碳排放交易试点。2017年 12月，覆盖全国的统一碳市场正式启动。

CO₂减排作为绿色经济的重要实践活动，其实现路径处于探索阶段，呈现多元化的特征。与“庇古”税、技术革新等手段相比，利用市场交易机制约束CO₂排放，进而带动绿色经济发展突显出优越性：一方面，市场交易机制既可避免“庇古”税可能带来的税收体系的扭曲，亦可为技术革新提供激励与资本支撑；另一方面，市场交易机制具有长效性，避免了制度调整频繁变动可能带来的政策风险。

以碳交易市场作为我国实现减排目标的手段已达成共识，关于碳交易市场相关的最优初始配额分配方式、碳交易的影响因素、碳排放权交易价格及其影响因素等方面的研究层出不穷，但已有的理论和方法缺乏对碳交易市场动态均衡进行系统性分析，尤其缺少碳排放权限额交易体系理论框架与仿真模型的研究。

综上所述，如何提供一种能够模拟计算碳排放权交易市场均衡状态的方法，是目前本领域技术人员亟待解决的问题。

发明内容

为了解决现有技术存在的问题，本发明提供了一种碳排放权交易市场均衡模拟系统的获取方法，通过构建碳交易市场仿真模型，计算实现市场均衡状态时的二氧化碳减排量以及碳配额的市场均衡价格。

一种碳排放权交易市场均衡模拟系统的获取方法，包括以下步骤：

(1)计算二氧化碳影子价格和减排潜力：二氧化碳影子价格是指各参与主体的边际减排成本，减排潜力是指各参与主体可进一步减排的比例；具体方法是，首先在一个包含环境影响因素的生产技术框架下，通过方向距离函数与最大收益函数的对偶性推导得到测算影子价格的一般模型；之后基于现实经验，对所述一般模型赋以具体的函数形式；最后利用历史数据估计参数，求解得到每个参与主体的二氧化碳影子价格和相应的减排潜力；

(2)估计二氧化碳边际减排成本曲线：基于二氧化碳边际成本曲线单调递增的特点，选用2018年诺贝尔经济学奖得主诺德豪斯提出的经典对数形式构建边际减排成本曲线函数；利用步骤(1)得到的所述二氧化碳影子价格和减排潜力构建变系数模型，之后利用所述变系数模型估计得到所有决策单元的边际减排成本曲线；

(3)模拟市场均衡：根据碳排放交易市场各参与主体边际减排成本曲线，结合现实需求，设定目标函数和条件约束，得到碳排放权交易市场均衡模拟系统；通过所述模拟系统可反映出市场均衡时可能的交易情景，包括市场均衡交易形式、市场均衡交易量和市场均衡交易价格。

作为一种优选的方案，所述碳排放权的市场均衡交易价格计算公式为：

其中，EP为碳排放配额的市场均衡交易价格，E_n为第n个参与主体的基准情形下的二氧化碳排放量，β_n为第n个参与主体的减排潜力，V_n为第n个参与主体基于其初始排放配额的减排需求，A_n为第n个参与主体的二氧化碳减排量。

更为优选的是，所述碳排放配额的市场均衡交易价格EP的获取，包括以下步骤：

①假设碳交易市场是一个完全竞争性市场，各个参与主体都满足经济学理性假说，因此，各个参与主体会自己的总成本最小化，即通过衡量自己减排或购买其他参与主体剩余的配额二者的成本大小来做出决策；

②在市场出清的条件下，各个参与主体的实际二氧化碳减排量之和等于政府给定的初始限定，即满足如下目标函数及约束条件

目标函数

约束条件

目标函数的一阶条件

将一阶条件代入约束条件可得到碳排放配额的市场均衡价格的表达式

其中，π_n为第n个参与主体自身减排及购买剩余配额的总成本，C(A_n)第n 个参与主体的减排成本，A_n为第n个参与主体的减排量，EP为碳排放配额的市场均衡价格，V_n为第n个参与主体基于其初始排放配额的减排需求。

更为优选的是，所述第n个参与主体的减排成本Cn(An)可以根据下式计算：

其中，MC_n(A_n)为第n个参与主体的边际减排成本曲线，E_n为第n个参与主体基准情形下的碳排放量，A_n为第n个参与主体的碳减排量；γ_n为待估参数。

更为优选的是，所述第n个参与主体的边际减排成本曲线MCn(An)的获取，包括以下步骤：

①获取第n个参与主体的碳边际减排成本，即二氧化碳影子价格，在此基础上估计碳边际减排成本曲线，参照2018年诺贝尔经济学奖得主Nordhaus 提出的经典对数形式：

其中，MC_n(ρ_n)为边际减排成本，ρ_n为可以减排的比例，γ_n为待估参数；

极端而言，污染物减排到0的成本应该为无穷大，即ρ_n→1则MC_n(ρ_n)→∞；

通过以下变系数模型可以估计得到所有市场参与主体的边际减排系数γ_n；

②假设第n个参与主体基准情形下的排放量为En、减排量为An、估计的边际减排系数为γn，则边际减排成本曲线表达为减排量的形式：

更为优选的是，所述第n个参与主体的碳边际减排成本、减排潜力的获取，包括以下步骤：

①定义包含环境因素的生产技术

令向量

代表各参与主体的投入要素，

代表各参与主体期望产出，

代表各参与主体的非期望产出；用所述投入要素、期望产出、非期望产出定义一个包含环境影响的生产技术如下：

T＝{(X,D,U):(X)能生产(D,U)}

用生产可能性集形式描述所述包含环境影响的生产技术，即为：

P(X)＝{(D,U):(X,D,U)∈T}

且所述包含环境影响的生产技术和生产可能性集需要满足以下条件：存在期望产出与非期望产出的联合生产需满足投入要素和期望产出具备强可处置性、期望产出与非期望产出的联合生产可能性集需满足弱可处置性、以及期望产出与非期望产出联合生产的零交集性，即：

I.若(D,U)∈P(X)且D`≤D，则(D`,U)∈P(X)；

II.若(D,U)∈P(X)且0≤θ≤1，则(θD,θU)∈P(X)；

III.若(D,U)∈P(X)且U＝0，则D＝0。

具体地，假设有n＝1,2,…,N个决策单元DMU，在规模报酬不变前提下，所述包含环境影响的生产技术可表示为：

上式表明技术前沿面上的投入和非期望产出不能大于实际的投入和非期望产出，技术前沿面上的期望产出不能小于实际的非期望产出；

②定义方向距离函数

定义一个用于测量各决策单元环境绩效的DDF如下所示：

其中，

为方向向量，表示期望产出与非期望产出的变化方向及大小；β表示与技术前沿面上有效的DMU参照单元相比，待估DMU₀的期望产出增加程度或非期望产出减少程度；

③定义最大化收益函数

令

和

分别代表期望产出和非期望产出的价格，由于所述方向距离函数满足非负性特征，因此，各参与主体考虑非期望产出成本的收益函数MRF定义如下：

上式的经济含义是：给定期望产出价格P和非期望产出价格Q的前提下，生参与主体投入X所能获得的最大收益；

④构建影子价格模型

DDF和MRF之间可以通过下式联系起来：

也即：

根据包络定理，得到如下影子价格模型：

通过谢泼德引理可以得到非期望产出与期望产出的影子价格相对比值等于其边际转换率MRT，即单位期望产出变化所导致的非期望产出的相对变化量；采用参数化的DDF，所述相对比值等于DDF分别对非期望产出和期望产出的一阶导数的比值；给定某一种期望产出的价格P_i或者将其标准化为1，那么非期望产出的影子价格Q_j就可以表达为：

⑤设定二次型函数形式方向距离函数

令方向向量G＝(1,-1)，方向向量根据研究需要或政策偏好等因素自主设定，这里的设定表明期望产出的扩张与非期望产出的缩减是对称的，满足一般环境规制要求；假设在t＝1,2,...,T个时期内，存在n＝1,2,...,N个决策单元，通过 m＝1,2,...,M种投入，得到i＝1,2,...,I种期望产出和j＝1,2,...,J种非期望产出，那么 DDF可设定为公式：

进一步地，通过设定个体虚拟变量(S_n)和时间虚拟变量(Time_t)可以考虑到不同地区间的个体异质性和时间趋势，即：

其中，

Ds_n和Dt_t分别代表个体虚拟变量和时间虚拟变量的待估系数；

⑥估计方向距离函数参数

为了求解DDF中的未知参数，采用线性规划的方法进行估计，意欲在给定约束条件下对资源进行合理配置以实现最优目标；如以下公式所示，其中，目标函数的含义是：最小化所有DMU同技术前沿面的离差和，也即实现全局范围内的环境绩效最优；约束条件(i)表明DDF的非负性特征，约束条件(ii)至 (iv)表明DDF对非期望产出和投入要素的非单调递减性和对期望产出的非单调递增性，约束条件(v)和(vi)分别表明参数的可转换性和对称性；

s.t.

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

根据上式的设定，所述影子价格模型可表达如下：

⑦求解二氧化碳影子价格

通过

可以求得各参与主体非期望产出的影子价格，即可以求得二氧化碳影子价格。

本发明的有益之处在于：

(1)本发明是提供一种碳排放权交易市场均衡模拟系统的获取方法，通过构建碳交易市场仿真模型，获取碳排放权交易市场实现市场均衡状态时的二氧化碳减排量以及碳配额的市场均衡价格。

(2)本发明提供的方法根据碳排放权交易参与主体的减排成本和减排量约束，可计算得到碳排放权交易市场实现市场均衡状态时的二氧化碳减排量以及碳配额的市场均衡价格。

(3)本发明提供的方法是对已有研究方法和数学模型的开发与应用，并且通过已有数据来模拟碳市场的动态均衡，具有创新性、实用性和指导性。

(4)本发明提供的方法为探索碳交易市场运行机制提供技术支持，具有创新新、实用性和指导性。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据提供的附图获得其他的附图。

图1为本发明的一种碳排放权交易市场均衡模拟系统的获取方法的流程示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明的核心是提供一种碳排放权交易市场均衡模拟系统的获取方法，通过构建碳交易市场仿真模型，计算实现市场均衡状态时的二氧化碳减排量以及碳配额的市场均衡价格。

参见附图1，一种碳排放权交易市场均衡模拟系统的获取方法，包括以下步骤：

(1)计算二氧化碳影子价格和减排潜力：二氧化碳影子价格是指各参与主体的边际减排成本，减排潜力是指各参与主体可进一步减排的比例；具体方法是，首先在一个包含环境影响因素的生产技术框架下，通过方向距离函数与最大收益函数的对偶性推导得到测算影子价格的一般模型；之后基于现实经验，对所述一般模型赋以具体的函数形式；最后利用历史数据估计参数，求解得到每个参与主体的二氧化碳影子价格和相应的减排潜力。具体包括以下7个步骤：

①定义包含环境因素的生产技术

令向量

代表各参与主体的投入要素，

代表各参与主体期望产出，

代表各参与主体的非期望产出；用所述投入要素、期望产出、非期望产出定义一个包含环境影响的生产技术如下：

T＝{(X,D,U):(X)能生产(D,U)}

用生产可能性集形式描述所述包含环境影响的生产技术，即为：

P(X)＝{(D,U):(X,D,U)∈T}

且所述包含环境影响的生产技术和生产可能性集需要满足以下条件：存在期望产出与非期望产出的联合生产需满足投入要素和期望产出具备强可处置性、期望产出与非期望产出的联合生产可能性集需满足弱可处置性、以及期望产出与非期望产出联合生产的零交集性，即：

I.若(D,U)∈P(X)且D`≤D，则(D`,U)∈P(X)；

II.若(D,U)∈P(X)且0≤θ≤1，则(θD,θU)∈P(X)；

III.若(D,U)∈P(X)且U＝0，则D＝0。

具体地，假设有n＝1,2,…,N个决策单元DMU，在规模报酬不变前提下，所述包含环境影响的生产技术可表示为：

上式表明技术前沿面上的投入和非期望产出不能大于实际的投入和非期望产出，技术前沿面上的期望产出不能小于实际的非期望产出；

②定义方向距离函数

定义一个用于测量各决策单元环境绩效的DDF如下所示：

其中，

为方向向量，表示期望产出与非期望产出的变化方向及大小；β表示与技术前沿面上有效的DMU参照单元相比，待估DMU₀的期望产出增加程度或非期望产出减少程度；

③定义最大化收益函数

令

和

分别代表期望产出和非期望产出的价格，由于所述方向距离函数满足非负性特征，因此，各参与主体考虑非期望产出成本的收益函数MRF定义如下：

上式的经济含义是：给定期望产出价格P和非期望产出价格Q的前提下，生参与主体投入X所能获得的最大收益；

④构建影子价格模型

DDF和MRF之间可以通过下式联系起来：

也即：

根据包络定理，得到如下影子价格模型：

通过谢泼德引理可以得到非期望产出与期望产出的影子价格相对比值等于其边际转换率MRT，即单位期望产出变化所导致的非期望产出的相对变化量；采用参数化的DDF，所述相对比值等于DDF分别对非期望产出和期望产出的一阶导数的比值；给定某一种期望产出的价格P_i或者将其标准化为1，那么非期望产出的影子价格Q_j就可以表达为：

⑤设定二次型函数形式方向距离函数

令方向向量G＝(1,-1)，方向向量根据研究需要或政策偏好等因素自主设定，这里的设定表明期望产出的扩张与非期望产出的缩减是对称的，满足一般环境规制要求；假设在t＝1,2,...,T个时期内，存在n＝1,2,...,N个决策单元，通过 m＝1,2,...,M种投入，得到i＝1,2,...,I种期望产出和j＝1,2,...,J种非期望产出，那么 DDF可设定为公式：

进一步地，通过设定个体虚拟变量(S_n)和时间虚拟变量(Time_t)可以考虑到不同地区间的个体异质性和时间趋势，即：

其中，

Ds_n和Dt_t分别代表个体虚拟变量和时间虚拟变量的待估系数；

⑥估计方向距离函数参数

为了求解DDF中的未知参数，采用线性规划的方法进行估计，意欲在给定约束条件下对资源进行合理配置以实现最优目标；如以下公式所示，其中，目标函数的含义是：最小化所有DMU同技术前沿面的离差和，也即实现全局范围内的环境绩效最优；约束条件(i)表明DDF的非负性特征，约束条件(ii)至 (iv)表明DDF对非期望产出和投入要素的非单调递减性和对期望产出的非单调递增性，约束条件(v)和(vi)分别表明参数的可转换性和对称性；

s.t.

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

根据上式的设定，所述影子价格模型可表达如下：

⑧求解二氧化碳影子价格

通过

可以求得各参与主体非期望产出的影子价格，即可以求得二氧化碳影子价格。

(2)估计二氧化碳边际减排成本曲线：基于二氧化碳边际成本曲线单调递增的特点，选用2018年诺贝尔经济学奖得主诺德豪斯提出的经典对数形式构建边际减排成本曲线函数；利用步骤(1)得到的所述二氧化碳影子价格和减排潜力构建变系数模型，之后利用所述变系数模型估计得到所有决策单元的边际减排成本曲线。具体包括以下步骤：

获取第n个参与主体的碳边际减排成本，在此基础上估计碳边际减排成本曲线，参照2018年诺贝尔经济学奖得主Nordhaus提出的经典对数形式：

其中，MC_n(ρ_n)为边际减排成本，ρ_n为可以减排的比例，γ_n为待估参数；极端而言，污染物减排到0的成本应该为无穷大，即ρ_n→1则MC_n(ρ_n)→∞；

通过以下变系数模型可以估计得到所有市场参与主体的边际减排系数γ_n；

假设第n个参与主体基准情形下的排放量为E_n、减排量为A_n、估计的边际减排系数为γ_n，则边际减排成本曲线表达为减排量的形式：

其中，E_n为第n个参与主体基准情形下的碳排放量，单位为吨；A_n为第n 个参与主体的碳减排量，单位为吨；γ_n为待估参数，为无量纲系数。

(3)模拟市场均衡：根据碳排放交易市场各参与主体边际减排成本曲线，结合现实需求，设定目标函数和条件约束，得到碳排放权交易市场均衡模拟系统；通过所述模拟系统可反映出市场均衡时可能的交易情景，包括市场均衡交易形式、市场均衡交易量和市场均衡交易价格。具体包括以下3个步骤：

①第n个参与主体的碳减排成本获取

依据第n个参与主体的边际减排成本曲线MC_n(A_n)，第n个参与主体的碳减排成本C_n(A_n)可以根据下式计算：

其中，E_n为第n个参与主体基准情形下的碳排放量，单位为吨；A_n为第n 个参与主体的碳减排量，单位为吨；γ_n为待估参数，为无量纲系数；

②碳排放配额的市场均衡价格的获取

假设碳交易市场是一个完全竞争性市场，各个参与主体都满足经济学理性假说，因此，各个参与主体会自己的总成本最小化，即通过衡量自己减排或购买其他参与主体剩余的配额二者的成本大小来做出决策；在市场出清的条件下，各个参与主体的实际二氧化碳减排量之和等于政府给定的初始限定，即满足如下目标函数及约束条件

目标函数

约束条件

目标函数的一阶条件

将一阶条件代入约束条件可得到碳排放配额的市场均衡价格的表达式

其中，π_n为第n个参与主体自身减排及购买剩余配额的总成本，单位为元； C(A_n)第n个参与主体的减排成本，单位为元；A_n为第n个参与主体的减排量，单位为吨；EP为碳排放配额的市场均衡价格，单位为元/吨；β_n为第n个参与主体的减排潜力，为无量纲，取值范围[0,1]；V_n为第n个参与主体基于其初始排放配额的减排需求，单位为吨；

③二氧化碳减排量和碳排放配额的市场均衡价格计算

其中，EP为碳排放配额的市场均衡价格，单位为元/吨；E_n为第n个参与主体的基准情形下的二氧化碳排放量，单位为吨；β_n为第n个参与主体的减排潜力，为无量纲，取值范围[0,1]；V_n为第n个参与主体基于其初始排放配额的减排需求，单位为吨；A_n为第n个参与主体的二氧化碳减排量，单位为吨。

关于数据的获取：投入要素，包括劳动、资本和能源均可以通过市场参与主体的统计数据获取，其中劳动指标为各参与主体的就业人口数；资本指标取存量资本，为消除通货膨胀影响，采用“固定资产投资价格指数”平减到固定年不变价格水平；能源指标采用各参与主体分品种能源(煤油、汽油、柴油、燃料油、原油、原煤、焦炭、天然气等)消费量加总数据，并将能源品种消费量标准化为吨标准煤。期望产出采用基于固定年不变价格的各参与主体的实际GDP。非期望产出通过各参与主体每种能源品种消耗量乘以其各自的二氧化碳排放系数后加总得到各地区二氧化碳排放量。

上述投入指标、期望产出和非期望产出指标的选取，也可以采用其他相似指标替代，数据的来源可通过市场参与主体公开或者非公开渠道获取，还可以通过实地调查、监测等方式得到对应的数值或测量值。

应当理解，以上所描述的具体实施例仅用于解释本发明，并不用于限定本发明。由本发明的精神所引伸出的显而易见的变化或变动仍处于本发明的保护范围之中。

Claims (1)

1.一种碳排放权交易市场均衡模拟系统的获取方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

(1)计算二氧化碳影子价格和减排潜力：二氧化碳影子价格是指各参与主体的边际减排成本，减排潜力是指各参与主体可进一步减排的比例；具体方法是，首先在一个包含环境影响因素的生产技术框架下，通过方向距离函数与最大收益函数的对偶性推导得到测算影子价格的一般模型；之后基于现实经验，对所述一般模型赋以具体的函数形式；最后利用历史数据估计参数，求解得到每个参与主体的二氧化碳影子价格和相应的减排潜力；

(2)估计二氧化碳边际减排成本曲线：基于二氧化碳边际成本曲线单调递增的特点，选用经典对数形式构建边际减排成本曲线函数；利用步骤(1)得到的所述二氧化碳影子价格和减排潜力构建变系数模型，之后利用所述变系数模型估计得到所有决策单元的边际减排成本曲线；

(3)模拟市场均衡：根据碳排放交易市场各参与主体边际减排成本曲线，结合现实需求，设定目标函数和条件约束，得到碳排放权交易市场均衡模拟系统；通过所述模拟系统可反映出市场均衡时可能的交易情景，包括市场均衡交易形式、市场均衡交易量和市场均衡交易价格；

所述碳排放权的市场均衡交易价格计算公式为：

其中，EP为碳排放配额的市场均衡交易价格，E_n为第n个参与主体的基准情形下的二氧化碳排放量，β_n为第n个参与主体的减排潜力，V_n为第n个参与主体基于其初始排放配额的减排需求，A_n为第n个参与主体的二氧化碳减排量；

所述碳排放配额的市场均衡交易价格EP的获取，包括以下步骤：

①假设碳交易市场是一个完全竞争性市场，各个参与主体都满足经济学理性假说，因此，各个参与主体会自己的总成本最小化，即通过衡量自己减排或购买其他参与主体剩余的配额二者的成本大小来做出决策；

②在市场出清的条件下，各个参与主体的实际二氧化碳减排量之和等于给定的初始限定，即满足如下目标函数及约束条件

目标函数

约束条件

目标函数的一阶条件

将一阶条件代入约束条件可得到碳排放配额的市场均衡价格的表达式

其中，π_n为第n个参与主体自身减排及购买剩余配额的总成本，C(A_n)第n个参与主体的减排成本，A_n为第n个参与主体的减排量，EP为碳排放配额的市场均衡价格，V_n为第n个参与主体基于其初始排放配额的减排需求；

所述第n个参与主体的减排成本C_n(A_n)可以根据下式计算：

其中，MC_n(A_n)为第n个参与主体的边际减排成本曲线，E_n为第n个参与主体基准情形下的碳排放量，A_n为第n个参与主体的碳减排量；γ_n为待估参数；

所述第n个参与主体的边际减排成本曲线MC_n(A_n)的获取，包括以下步骤：

①获取第n个参与主体的碳边际减排成本，即二氧化碳影子价格，在此基础上估计碳边际减排成本曲线，参照提出的经典对数形式：

其中，MC_n(ρ_n)为边际减排成本，ρ_n为可以减排的比例，γ_n为待估参数；

污染物减排到0的成本应该为无穷大，即ρ_n→1则MC_n(ρ_n)→∞；

通过以下变系数模型可以估计得到所有市场参与主体的边际减排系数γ_n；

②假设第n个参与主体基准情形下的排放量为En、减排量为An、估计的边际减排系数为γn，则边际减排成本曲线表达为减排量的形式：

所述第n个参与主体的碳边际减排成本、减排潜力的获取，包括以下步骤：

①定义包含环境因素的生产技术

令向量

代表各参与主体的投入要素，

代表各参与主体期望产出，

代表各参与主体的非期望产出；用所述投入要素、期望产出、非期望产出定义一个包含环境影响的生产技术如下：

T＝{(X,D,U):(X)能生产(D,U)}

用生产可能性集形式描述所述包含环境影响的生产技术，即为：

P(X)＝{(D,U):(X,D,U)∈T}

且所述包含环境影响的生产技术和生产可能性集需要满足以下条件：存在期望产出与非期望产出的联合生产需满足投入要素和期望产出具备强可处置性、期望产出与非期望产出的联合生产可能性集需满足弱可处置性、以及期望产出与非期望产出联合生产的零交集性，即：

I.若(D，U)∈P(X)且D≤D，则(D，U)∈P(X)；

II.若(D，U)∈P(X)且0≤θ≤1，则(θD，θU)∈P(X)；

III.若(D，U)∈P(X)且U＝0，则D＝0

具体地，假设有n＝1，2，...，N个决策单元DMU，在规模报酬不变前提下，所述包含环境影响的生产技术可表示为：

上式表明技术前沿面上的投入和非期望产出不能大于实际的投入和非期望产出，技术前沿面上的期望产出不能小于实际的非期望产出；

②定义方向距离函数

定义一个用于测量各决策单元环境绩效的DDF如下所示：

其中，

为方向向量，表示期望产出与非期望产出的变化方向及大小；β表示与技术前沿面上有效的DMU参照单元相比，待估DMU₀的期望产出增加程度或非期望产出减少程度；

③定义最大化收益函数

令

和

分别代表期望产出和非期望产出的价格，由于所述方向距离函数满足非负性特征，因此，各参与主体考虑非期望产出成本的收益函数MRF定义如下：

上式的经济含义是：给定期望产出价格P和非期望产出价格Q的前提下，参与主体投入X所能获得的最大收益；

④构建影子价格模型

DDF和MRF之间可以通过下式联系起来：

也即：

根据包络定理，得到如下影子价格模型：

通过谢泼德引理可以得到非期望产出与期望产出的影子价格相对比值等于其边际转换率MRT，即单位期望产出变化所导致的非期望产出的相对变化量；采用参数化的DDF，所述相对比值等于DDF分别对非期望产出和期望产出的一阶导数的比值；给定某一种期望产出的价格P_i或者将其标准化为1，那么非期望产出的影子价格Q_j就可以表达为：

⑤设定二次型函数形式方向距离函数

令方向向量G＝(1,-1)，方向向量根据研究需要或政策偏好等因素自主设定，这里的设定表明期望产出的扩张与非期望产出的缩减是对称的，假设在t＝1,2,...,T个时期内，存在n＝1,2,...,N个决策单元，通过m＝1,2,...,M种投入，得到i＝1,2,...,I种期望产出和j＝1,2,...,J种非期望产出，那么DDF可设定为公式：

进一步地，通过设定个体虚拟变量(S_n)和时间虚拟变量(Time_t)可以考虑到不同地区间的个体异质性和时间趋势，即：

其中，

Ds_n和Dt_t分别代表个体虚拟变量和时间虚拟变量的待估系数；

⑥估计方向距离函数参数

为了求解DDF中的未知参数，采用线性规划的方法进行估计，意欲在给定约束条件下对资源进行合理配置以实现最优目标；如以下公式所示，其中，目标函数的含义是：最小化所有DMU同技术前沿面的离差和，也即实现全局范围内的环境绩效最优；约束条件(i)表明DDF的非负性特征，约束条件(ii)至(iv)表明DDF对非期望产出和投入要素的非单调递减性和对期望产出的非单调递增性，约束条件(v)和(vi)分别表明参数的可转换性和对称性；

根据上式的设定，所述影子价格模型可表达如下：

⑦求解二氧化碳影子价格

通过

可以求得各参与主体非期望产出的影子价格，即可以求得二氧化碳影子价格。

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