CN110502785B - 一种三维时域计算波导s参数的电磁数值方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于三维时域电磁学数值求解技术领域，具体为一种三维时域计算波导S参数的电磁数值方法。本发明基于已有的时域间断杂交伽辽金方法，针对波导传输问题，采用一种总场散射场格式添加激励源计算S参数；首先，采用PML层来作为截断边界，而不是ABC边界；其次，采用TFSF格式来离散时域间断杂交伽辽金，需注意，此时的入射源并未在边界处，而是设置在TFSF交界公共面，因此，导致传统的时域间断杂交伽辽金方法中的杂交量、局部线性方程会发生变化。相比现有技术，本发明提出的时域间断杂交伽辽金方法具有更大的性能优势，减少全局未知量的个数和增大时间步长，进而获得更少的计算时间。

Description

一种三维时域计算波导S参数的电磁数值方法

技术领域

本发明属于三维时域电磁学数值求解技术领域，特别涉及一种时域杂交间断伽辽金数值方法，针对波导传输问题，采用一种总场散射场格式添加激励源计算S参数。

背景技术

微波器件目前在人们的日常生活和各个科研领域中占据着不可替代的作用，例如在卫星通信、雷达探测和武器制造等都有着不同类型的微波器件。在对这些器件进行仿真设计时，为了评估该器件的物理特性和应用价值，通常需要求解某些系统参数。而在所求解的这些系统参数中，我们通常对S参数特别感兴趣。S参数是建立在入射波、反射波关系基础上的网络参数。要准确获得微波器件的电磁响应特性，求出描述其传输性能的S参数，是衡量当下数值计算方法的一个准则。

而矩形波导作为一种传输电磁波的微波器件，其应用十分广泛。在分析波导传输问题时需要在一定的求解域中进行麦克斯韦方程组的求解。因为实际的仿真空间很大，所以在实际应用中必须要用有限的空间去模拟。因此，对于波导传输问题，如何处理边界截断问题来达到更好的吸收电磁波的效果是研究S参数的一个重要内容。尽管ABC吸收边界原理简单，易于应用，但整体吸收效果较差。虽然PML边界是在计算区域截断边界处设置几层特殊介质层，使得透射波迅速衰减，能达到较好的介质吸波能力，但介质层增大了整体求解区域，这对数值方法的计算时间和内存也是一个挑战。此外，对于波导问题，大多采用高斯脉冲波作为入射波，然而脉冲激励源是以计算区域中的场消失为迭代终止的标志，场消失越慢，就意味着计算时间越长，这对时域电磁数值计算是很不利的。

现有时域计算电磁学数值方法主要包括时域有限差分法和时域间断伽辽金法等。但这些方法在实际应用中又有着各自的缺点，比如时域有限差分法并不适合计算几何结构复杂的问题，精度较低；时域间断伽辽金法在每个单元内需要维持自己的基函数，因此单元交界面上的未知量是重复的，导致在获得相同精度时，所需的未知量明显多于经典有限元方法。可见这些缺点导致利用现有的时域技术无法实现复杂模型的优化仿真，已经不能满足设计者的要求，因此需要构造稳定可靠的数值方法来获得高精度电磁问题的电磁响应特性。

发明内容

针对上述存在问题或不足，为解决现有时域计算电磁学数值方法无法获得复杂模型的高精度电磁响应特性的问题，本发明提供了一种三维时域计算波导S参数的电磁数值方法。将时域杂交间断伽辽金数值方法应用在波导传输问题，相比传统的ABC吸收边界，本发明在时域杂交间断伽辽金法中推导了一种PML边界格式，使其具有更好的吸收效果，并采用一种总场散射场格式添加激励源来计算S参数。通过无条件稳定的隐式时间迭代,以扩大时间步长，节省仿真时间，且具有较少的全局未知量以及显著的计算性能。

一种三维时域计算波导S参数的电磁数值方法，包括以下步骤：

步骤A、根据目标电子器件的物理结构，结合工作环境与边界条件对其仿真建模；

步骤B、采用四面体单元剖分三维求解区域，面离散和体积离散必须相容；

步骤C、给出时域杂交间断伽辽金方法，在吸收边界处加源的通用杂交量与数值通量、守恒条件和半离散格式；

步骤D、参照图2，推导基于总场散射场格式的时域杂交间断伽辽金方法中的局部线性系统与守恒条件；

在总场散射场格式中，总场E_tot被拆分为入射场E_inc和散射场E_sca

E_tot＝E_inc+E_sca (8)

相应的，计算区域也被划分为总场区TF和散射场区SF，分别执行总场和散射场计算，且入射场E_inc被设置在总场区和散射场区交界面TFSF上总场区域一侧。

参照图2，两个相邻体单元K^-与K⁺分别位于总场区和散射场区域，且公共面TFSF。对于散射场K⁺，杂交量、局部线性方程不改变；对于总场K^-，则有

进一步得到总场K^-的局部线性方程形式如下

守恒条件，由于步骤C是基于在吸收边界加源，而步骤E是基于总场散射场格式，这里的入射波并未在边界处，而是在公共面TFSF上，因此，若仍然考虑边界条件为吸收边界时，总场散射场格式下的守恒条件为：

当一个面单元DD^f∈TFSF时(11)式的具体表达式，特别的，这里的面单元DD^f是

公共面，因此(11)式变为

对于一个公共面DD^f，有

n^-×E^-+n⁺×(E⁺+E^inc)＝0 (12)

其中n^-和E^-是总场四面体K^-的DD^f外法向单位矢量和切向电场，n⁺和E⁺是散射场四面体K⁺的DD^f外法向单位矢量和切向电场。其中(12)式中的E^-采用(9)式总场区的切向电场表达式，而E⁺采用散射区的切向电场表达式，最终，考虑边界条件为吸收边界时，结合(11)式，总场散射场格式下的最终守恒条件为

步骤E、当边界条件为PML边界时，无源三维时域Maxwell方程组需要进一步修正；

在开域问题的处理中，对截断边界采用完全匹配层PML来吸收，会使得吸收效果优于步骤A-D所提及的吸收边界条件。因此，这也是本发明的第二个特点，基于总场散射场格式，在TFSF加源的局部线性系统与守恒条件下，本步骤将提出时域杂交间断伽辽金的PML边界格式，即修正无源三维时域Maxwell方程组(1)式，在PML区域应用以下方程组：

其中M和J是辅助参数，

和

是张量矩阵。由于其具体形式是一种公知过程，因此本步骤不再详细描述。由于M和J的存在不会改变麦克斯韦方程，因此将辅助参数也按照电场和磁场的展开方式展开，需要注意添加PML的麦克斯韦方程，并没有面积分项，只有体积分项，即只与体单元的质量矩阵有联系，而与杂交量无关。在步骤D中，已经推导了相关的半离散格式，因此，这里不再具体阐述(17)式的半离散格式推导。

步骤F.在时间上，视杂交量为常量，只考虑电磁场的时间离散，结合步骤D的半离散格式，考虑步骤E中PML边界层的方程组形成全离散方程形式。

采用二阶隐式的Crank-Nicolson时间格式，处理(16)式中时间偏导项。考虑到杂交量只存在于面单元上，并且保持单值，因此本发明将杂交量看成一个待求常量，即在时间上，视杂交量为常量，只考虑电磁场的时间离散，结合步骤D的半离散格式，考虑步骤E中PML边界层的方程组形成全离散方程形式。根据守恒条件我们可以得到只含杂交量的全局线性系统，一旦解得杂交量，那么每个单元的电磁场就可以通过局部线性系统获得。进而电磁响应S参数便可以获得。

本发明基于已有的时域间断杂交伽辽金方法，针对波导传输问题，采用一种总场散射场格式添加激励源计算S参数。在波导S参数的求解中：第一，采用PML层来作为截断边界，而不是ABC边界；第二，采用TFSF格式来离散时域间断杂交伽辽金，需注意，此时的入射源并未在边界处，而是设置在TFSF交界公共面，因此，导致传统的时域间断杂交伽辽金方法中的杂交量、局部线性方程会发生变化。尽管在时域间断伽辽金方法和时域有限差分法中，PML层边界和TFSF格式是应用较多的方法，但是考虑到波导S参数在数值仿真中对计算性能的要求，采用本发明提出的时域间断杂交伽辽金方法具有更大的性能优势，减少全局未知量的个数和增大时间步长，进而获得更少的计算时间。

综上所述，本发明实现了复杂模型的优化仿真，构造了稳定可靠的数值方法来获得高精度电磁问题的电磁响应特性。

附图说明

图1是本发明的流程图。

图2是本发明的总场散射场相邻四面体示意图。

图3矩形波导及PML边界示意图。

图4矩形波导电场E_y在X0Z平面的分布图。

图5为本发明实施例矩形波导S参数的结果，与现有显式时域间断伽辽金方法的对比图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例进一步的详细说明本发明。

参照图1，一种三维显隐时域电磁学数值方法，包括以下步骤：

步骤A、根据目标电子器件的物理结构，结合工作环境与边界条件对其仿真建模；

本发明以无源三维时域Maxwell方程组为例，进行说明。首先给出无源三维时域Maxwell方程组如下所示：

其中，T表示计算电磁学时域中模型仿真计算的最终时间，E(x,y,z,t)和H(x,y,z,t)分别是电场强度和磁场强度矢量。计算区域Ω为三维，即

ε为介质相对介电常数，μ为介质的相对磁导率。

步骤B、采用四面体单元剖分三维求解区域，面离散和体积离散必须相容；

采用四面体单元剖分三维求解区域是一种公知过程，因此本步骤不再详细描述。需要注意的是，面离散和体积离散必须相容。本实施将计算区域Ω划分成N_h个四面体网格的集合

其中每个体单元用τ_i(i＝1,2,3,…,N_h)表示，即

下面我们定义面集合

是由N_f个三角形面单元D^f组成，即

步骤C、给出时域杂交间断伽辽金方法，在吸收边界处加源的通用杂交量与数值通量、守恒条件和半离散格式；

局部线性方程

杂交量与数值通量

守恒条件

半离散格式

其中v与η分别为有限元函数空间V_h与有限元迹空间M_h的试探函数。在整个计算区域Ω中，本发明的目的是求解出(E_h,H_h,Λ_h)∈V_h×V_h×M_h，其中(E_h,H_h)是计算区域解析值(E,H)的逼近解，Λ_h是整个计算区域上面集合F_h上的杂交量。

是数值通量，

是切向电场与磁场，n是计算区域边界

上的外法向单位矢量，τ＞0是局部稳定系数。g^inc表示吸收边界条件Γ_a的边界方程，具体形式为n×E+n×(n×H)＝n×E^inc+n×(n×H^inc)＝g^inc，这里(E^inc,H^inc)表示入射电场强度与磁场强度矢量。其中(7)式的第三个方程为全局线性系统。由于半离散格式的推导是一种公知过程，因此本步骤不再详细描述。

步骤D、参照图2，推导基于总场散射场格式的时域杂交间断伽辽金方法中的局部线性系统与守恒条件；

在总场散射场格式中，总场E_tot被拆分为入射场E_inc和散射场E_sca

E_tot＝E_inc+E_sca (8)

相应的，计算区域也被划分为总场区TF和散射场区SF，分别执行总场和散射场计算，且入射场E_inc被设置在总场区和散射场区交界面TFSF上总场区域一侧。

参照图2，两个相邻体单元K^-与K⁺分别位于总场区和散射场区域，且公共面属于TFSF集合。对于散射场K⁺，杂交量、局部线性方程不改变，同(5)式与(7)式前两个方程；对于总场K^-，则有

将(9)代入(4)得到总场K^-的局部线性方程形式如下：

下面讨论守恒条件。由于步骤C是基于在吸收边界加源，因此(6)式中存在

的项。而步骤E是基于总场散射场格式，这里的入射波并未在边界处，而是在公共面TFSF上，因此，若仍然考虑边界条件为吸收边界时，总场散射场格式下的守恒条件为

下面重点分析当一个面单元DD^f∈TFSF时(11)式的具体表达式，特别的，这里的面单元DD^f是

公共面，因此(11)式变为

对于一个公共面DD^f，有

n^-×E^-+n⁺×(E⁺+E^inc)＝0 (12)

其中n^-和E^-是总场四面体K^-的DD^f外法向单位矢量和切向电场，n⁺和E⁺是散射场四面体K⁺的DD^f外法向单位矢量和切向电场。其中(12)式中的E^-采用(9)式总场区的切向电场表达式，而E⁺采用(5)式散射区的切向电场表达式，则有：

为了简化表达式，(13)式与(14)式相比(7)式的第三个方程，省去了下标h与上标t。进一步，对所有含有波源的四面体的TFSF面集合进行作用，得到总场散射场格式下公共面全局线性系统如下：

最终，考虑边界条件为吸收边界时，结合(11)式，总场散射场格式下的最终守恒条件为：

步骤E、当边界条件为PML边界时，对无源三维时域Maxwell方程组进一步修正；

在开域问题的处理中，对截断边界采用完全匹配层PML来吸收，会使得吸收效果优于步骤A-D所提及的吸收边界条件。因此，这也是本发明的第二个特点，基于总场散射场格式，在TFSF加源的局部线性系统与守恒条件下，本步骤将提出时域杂交间断伽辽金的PML边界格式，即修正无源三维时域Maxwell方程组(1)式，在PML区域应用以下方程组：

其中M和J是辅助参数，

和

是张量矩阵。由于其具体形式是一种公知过程，因此本步骤不再详细描述。由于M和J的存在不会改变麦克斯韦方程，因此考虑将辅助参数也按照电场和磁场的展开方式展开，需要注意添加PML的麦克斯韦方程，并没有面积分项，只有体积分项，即只有体单元的质量矩阵有联系，而与杂交量无关。对比(1)式和(17)式，我们可以看出，在(17)式的第二和第四个方程，相比(1)式，只是增加了辅助参数和张量矩阵项。而在步骤D中，已经推导了(1)式的半离散格式，因此，这里不再具体阐述(17)式的半离散格式推导。

步骤F.在时间上，视杂交量为常量，只考虑电磁场的时间离散，结合步骤D的半离散格式，考虑步骤E中PML边界层的方程组形成全离散方程形式。

采用二阶隐式的Crank-Nicolson时间格式，处理(16)式中时间偏导项。考虑到杂交量只存在于面单元上，并且保持单值，因此本发明将杂交量看成一个待求常量，即在时间上，视杂交量为常量，只考虑电磁场的时间离散，结合步骤D的半离散格式，考虑步骤E中PML边界层的方程组形成全离散方程形式。根据守恒条件我们可以得到只含杂交量的全局线性系统，一旦解得杂交量，那么每个单元的电磁场就可以通过局部线性系统获得。进而电磁响应S参数便可以获得。

实施例：

以(0.01,0.005,0.02)m的矩形波导为模型进行分析其S参数的传播特性。在矩形波导两端采用PML边界截断，尺寸为(0.01,0.005,0.01)m。采用余弦调制高斯脉冲激励：

其中a＝0.01m，延迟时间t₀＝3τ，高斯脉冲的宽度为τ＝9.66e-11，中心频率为2.0e10，频带宽度为10GHz。

通过在矩形波导的左端加源，如图3，使用总场散射场格式，基于二阶基函数仿真40个周期，得到电场E_y在X0Z平面的分布图如图4：

为了验证隐式时域杂交间断伽辽金方法(imHDGTD)计算S参数的准确性，我们还计算了使用显式时域间断伽辽金方法(exDGTD)得到的S参数，如图5：

由图5，我们可以看出S11小于-40dB,达到理想要求，同时imHDGTD计算的S参数结果与exDGTD的结果吻合，说明了结果的可靠性。而本实施例中，imHDGTD与exDGTD的自由未知量个数分别为1030800和433884，事实上，随着网格的逐步加密，imHDGTD的自由未知量的个数相比exDGTD方法，将大大降低，同时时间步长还可以增大，从而进一步减少计算时间，大大提高计算性能。采用该实施例，进一步说明，本发明的方法能够处理波导传输问题，得到较好的S参数。

Claims (1)

1.一种三维时域计算波导S参数的电磁数值方法，包括以下步骤：

步骤A、根据目标电子器件的物理结构，结合工作环境与边界条件对目标电子器件仿真建模；

步骤B、采用四面体单元剖分三维求解区域，面离散和体积离散必须相容；

步骤C、给出时域杂交间断伽辽金方法，在吸收边界处加源的通用杂交量与数值通量、守恒条件和半离散格式；

步骤D、推导基于总场散射场格式的时域杂交间断伽辽金方法中的局部线性系统与守恒条件；

在总场散射场格式中，总场E_tot被拆分为入射场E_inc和散射场E_sca

E_tot＝E_inc+E_sca (8)

相应的，计算区域也被划分为总场区TF和散射场区SF，分别执行总场和散射场计算，且入射场E_inc被设置在总场区和散射场区交界面TFSF上总场区域一侧；

两个相邻体单元K^-与K⁺分别位于总场区域和散射场区域的四面体，且公共面TFSF，位于总场区域的为总场四面体K^-，位于散射场区域的为散射场四面体K^-；对于散射场四面体K⁺，杂交量、局部线性方程不改变；对于总场四面体K^-，则有：

其中Λ_h是整个计算区域上面集合F_h的杂交量，

是电场的数值通量，

是磁场的数值通量，

是切向电场，

是切向磁场，n是计算区域边界

上的外法向单位矢量，τ是局部稳定系数；Ω为计算区域；

进一步得到总场K^-的局部线性方程形式如下：

其中ε为介质相对介电常数，μ为介质的相对磁导率，E_h是计算区域解析值E的逼近解，H_h是计算区域解析值H的逼近解；v为有限元函数空间V_h的试探函数；

仍然考虑边界条件为吸收边界时，总场散射场格式下的守恒条件为：

η为有限元迹空间M_h的试探函数，

是计算区域所有三角形的面集合，

是电场的数值通量；

当一个面单元DD^f∈TFSF时(11)式的具体表达式，这里的面单元DD^f是

公共面，因此(11)式变为

对于作为公共面的面单元DD^f有：

n^-×E^-+n⁺×(E⁺+E^inc)＝0 (12)

其中n^-和E^-是总场四面体K^-的DD^f外法向单位矢量和切向电场，n⁺和E⁺是散射场四面体K⁺的DD^f外法向单位矢量和切向电场；其中(12)式中的E^-采用(9)式总场区的切向电场表达式，而E⁺采用散射区的切向电场表达式，考虑边界条件为吸收边界时，结合(11)式，总场散射场格式下的最终守恒条件为：

其中E^inc表示入射电场强度矢量，H^inc表示入射磁场强度矢量；

步骤E、当边界条件为PML边界时，无源三维时域Maxwell方程组需要进一步修正；

基于总场散射场格式，在TFSF加源的局部线性系统与守恒条件下，将提出时域杂交间断伽辽金的PML边界格式，在PML区域应用以下方程组：

其中M和J是辅助参数，

和

是张量矩阵；由于M和J的存在不会改变麦克斯韦方程，因此将辅助参数也按照电场和磁场的展开方式展开，添加PML的麦克斯韦方程没有面积分项，只有体积分项，即只与体单元的质量矩阵有联系，而与杂交量无关；

步骤F.在时间上，视杂交量为常量，只考虑电磁场的时间离散，结合步骤D的半离散格式，考虑步骤E中PML边界层的方程组形成全离散方程形式。

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