CN110501017A - 一种基于orb_slam2的移动机器人导航地图生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法，步骤如下：视觉信息采集，使移动机器人在三维环境中自由移动，通过深度传感器采集图像信息和深度信息；通过ORB_SLAM2算法估计机器人位姿信息，并通过局部BA优化位姿信息，然后对关键帧进行筛选，选定关键帧并输出该关键帧的位姿信息，为创建导航地图提供传感器参考变换矩阵，如果检测到回环，则根据全局BA优化更新各个关键帧位姿信息；地图更新，根据位姿信息生成基于跳表树的三维地图，并根据新关键帧位姿信息不断进行更新。本发明利用深度图像信息创建一种高效的三维地图，该地图采用跳表树结构作为三维地图的数据结构，可实时实现移动机器人的定位、导航、避障。

Description

一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法

技术领域

本发明涉及视觉SLAM以及地图创建技术领域，具体涉及一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法。

背景技术

同时定位与地图构建(Simultaneous Localization and Mapping)简称SLAM，最先是由SmithSelf和Cheeseman在1988年提出来的，被认为是实现真正全自主移动机器人的关键，SLAM问题可以描述为：机器人在未知环境中从一个未知位置开始移动，在移动过程中根据位置估计和传感器数据进行自身定位，同时建造增量式地图。只通过相机获取环境信息的SLAM被称为视觉SLAM，由于相机具有价格低、功耗低、重量轻、体积小、图像信息丰富等特点，所以视觉SLAM受到了国内外广大学者和专家的研究。

三维地图的创建一直是视觉SLAM中的一个研究重点，一个完善的三维地图能帮助移动机器人理解周围环境，以及根据三维地图的信息实现对移动机器人进行路径规划和导航研究。当前视觉SLAM创建的用于移动机器人路径规划和避障的地图通常为2D栅格地图，2D栅格地图虽然对于移动机器人在平面环境中有很好的导航效果，但对于3D环境并没有很好地检测建立地图，对于无人机等大于三自由度的机器人无法提供全面的环境信息。所以把三维空间划分为以体素为单位的3D栅格地图有重要意义，但3D栅格地图需要相当多的内存进行存储，目前采用的建立3D栅格地图的方法是使用八叉树，把一个三维空间划分为八个子空间，采用递归的方法继续划分其子空间，但八叉树地图对于查询消耗十分不利，对于降维为2D栅格地图也不方便，而对移动机器人进行导航需要很高的实时性。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有技术中的上述缺陷，提供一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法，首先利用ORB_SLAM2算法获取移动机器人的位姿信息以及周围环境信息，然后采用一种跳表树数据结构保存三维信息，使得存储和查询都能高效进行，并能快速获取生成2D栅格地图。

本发明的目的可以通过采取如下技术方案达到：

一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法，所述的导航地图生成方法包括以下步骤：

S1、视觉信息采集：使移动机器人在三维环境中自由移动，通过深度传感器采集图像信息以及深度信息；

S2、ORB_SLAM2算法输出位姿信息：提取ORB特征点，后续图像通过跟踪运动模型、参考关键帧和重定位估计相机位姿，通过最小重投影误差优化当前帧位姿，随后根据预设条件判断是否生成新的关键帧；处理新生成关键帧，更新地图点与关键帧之间的对应关系，剔除地图中新添加的但被观测量少的地图点，随后对共视程度高的关键帧通过三角化恢复地图点，检查关键帧与相邻关键帧的重复地图点，当关键帧队列的所有关键帧处理完毕，对当前关键帧、相邻关键帧和观测到的地图点进行局部BA优化，通过最小重投影误差优化关键帧位姿和地图点精度；处理局部BA优化的关键帧，过程如下：闭环检测、计算相似变换矩阵和闭环矫正，其中，闭环检测通过计算词袋模型相似得分选取候选关键帧，随后对每个候选关键帧计算相似变换矩阵，通过随机采样一致性选取最优的关键帧，最后执行全局BA优化得到全局一致性环境地图和相机运行轨迹；

S3、地图更新：根据步骤S2中输出的关键帧位姿信息以及步骤S1中采集图像的深度信息，生成在机器人当前位姿下的三维点云坐标，在世界坐标系下的坐标p_i ^W与摄像机坐标系下坐标p_i之间的变换由得出，其中R和t分别表示机器人的旋转矩阵和位移矢量，三维点云在3D环境表示为一系列的点_{P＝{p1,p2,...,pn}}，其中表示3D空间中该点的位置信息，i表示第i个点，w表示在世界坐标下；通过跳表树结构对3D地图进行存储，对于其每个叶子节点，采用概率的形式表示该空间的占据、空旷或未知状态，对于叶子节点，根据所计算三维点云信息以及体素大小计算该叶子节点概率，对于新关键帧采用概率融合的方法生成新的地图信息，采用腐蚀的方法去除冗余地图信息，在机器人运动中不断更新地图。

进一步地，所述的步骤S1中利用Kinect v2传感器获取深度信息和彩色图像信息，Kinect v2传感器采用飞行时间方法获取深度信息。

进一步地，所述的步骤S2中，采用BA优化对移动机器人位姿以及ORB特征点进行优化，并采用词袋模型进行回环检测，具体过程如下：

1)跟踪线程：采用ORB特征提取对所采集图像进行特征点的提取，如果是未完成初始化操作且特征点数大于100，则将当前帧设定为初始关键帧，根据ORB特征点二维坐标及深度信息生成地图点；如果跟踪没有丢失，假设匀速运动模型，对当前帧与上一关键帧ORB特征点进行匹配，将上一关键帧位姿作为当前帧初始位姿，将上一关键帧地图点投影到当前帧平面，估计当前帧与上一关键帧相对位姿，采用BA优化所估计的位姿，通过与相临关键帧是否大于20帧、提取特征点数是否大于100选择是否作为关键帧插入；如果跟踪丢失，则进入重定位操作，计算当前帧BOW向量，从关键帧数据中查找候选匹配关键帧，候选关键帧中匹配数小于15的丢弃，大于15的构建PnP求解器，并采用BA优化位姿；

2)局部地图线程：处理跟踪线程创建的关键帧，更新地图点与关键帧之间的对应关系，剔除地图中新添加的但在可观测到该地图点的关键帧中小于25％的关键帧能跟踪到的地图点，随后对有共视的关键帧进行特征匹配，并去除不满足对极几何约束的然后将匹配到的特征点根据该关键帧位姿和深度信息生成新的地图点，检查关键帧与相邻关键帧的重复地图点，当关键帧队列的所有关键帧处理完毕，对当前关键帧、相邻关键帧和观测到的地图点进行局部BA优化关键帧位姿和地图点精度；

3)闭环检测线程：处理局部地图线程插入的关键帧，过程如下：闭环检测、计算相似变换矩阵和闭环矫正，其中，通过计算当前帧与所有与当前帧有共视关系的关键帧的BOW得分，得到最小得分minScore，根据这个最小得分找出候选关键帧集合，并筛选共同单词数大于0.8*总单词数的关键帧，将相临关键帧分为一组，选择得分最高的候选组中得分最高的候选帧，计算该帧与当前帧的相似变换矩阵，如果变换后的投影与当前帧匹配点数大于40，则判断有回环；

在闭环检测线程，如果检测到回环，则会启动一个新线程执行全局BA优化获得回环矫正后的位姿以及地图点。

进一步地，所述的步骤S2中BA优化为Bundle Adjustment，即最小化重投影误差，把误差求和，构建最小二乘方程：

其中，ξ^*表示优化后最优位姿，ξ表示估计位姿，ξ^表示位姿所对应的反对称矩阵，K表示传感器外参，P_i表示第i个匹配点三维坐标，u_i表示P_i所对应二维图像坐标，s表示尺度。

进一步地，所述的步骤S3中根据位姿信息生成导航地图，该导航地图为三维地图，采用跳表树作为地图数据结构。

进一步地，所述的跳表树为数据结构跳表所构成的深度为4的树形结构，每一层都用跳表作为其数据结构存储数据。

进一步地，所述的跳表树数据结构具有可高度并行化的特点，对于第一层x坐标轴的不同根节点

可以进行并行化运算，具体分为如下两种操作：

1)访问操作：对于访问每一个体素数据，即整棵跳表树，对于所有第一层x坐标轴的节点分支可以并行化查找：

为三维坐标点x_i对应的三维体素坐标，Γ表示整体三维地图数据；

2)更新操作：更新会从相机模型中获取一系列三维点的数据P＝{p(x,y,z)},根据第一维坐标分组到不同的组集中

其中x_i表示第i个三维坐标点，为三维坐标点x_i对应的三维体素坐标，表示三维点集中x_i子树，之后便根据不同的子集对三维地图数据进行并行化更新。

进一步地，所述的步骤S3中导航地图更新腐蚀和整合根据一个权重来衡量三维地图中每个体素，对于融合三维地图

W^′(v)＝W(v)+w_i(v)，

其中P^′(v),P(v)表示更新后和更新前的体素v的概率，W^′(v),W(v)表示更新后和更新前的权重，p_i(v)，w_i(i)表示体素第i帧的概率和权重；

对于腐蚀三维地图

W^′(v)＝W(v)-w_i(v)。

本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：

本发明提出一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法，利用ORB_SLAM2算法估计移动机器人位姿信息，并进行优化，使其更加可靠，并采用词袋模型进行回环检测避免累积误差；通过一种跳表树的数据结构存储三维地图数据，并生成一种高效的三维地图，该数据结构简单和高并行计算的优点，减少了生成地图所需的时间和内存大小，该三维地图相对于目前常用的八叉树地图能有更快的更新速度和占用更小的内存，有助于实现移动机器人实时路径规划和导航。

附图说明

图1是本发明中公开的移动机器人导航地图生成方法的流程图；

图2是本发明中三维地图点数据构成的树型结构示意图；

图3是本发明中跳表数据结构的示意图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例

本实施例公开了一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法的具体实施过程，采用ROS操作平台(Robot Operating System)提供节点之间的通信以及数据传输。首先启动Kinect v2采集数据节点，并通过该节点发布Kinect v2传感器彩色图像信息、深度信息消息。

通过ORB_SLAM2节点订阅该消息，并采用ORB_SLAM2算法对移动机器人位姿进行估计，ORB_SLAM2算法采用ORB特征点进行特征点的提取，并采用BA优化对移动机器人位姿以及ORB特征点进行优化，并采用词袋模型进行回环检测避免误差累计，其主要分为三个线程：

1)跟踪线程：采用ORB特征提取对所采集图像进行特征点的提取，如果是未完成初始化操作且特征点数大于100，则将当前帧设定为初始关键帧，根据ORB特征点二维坐标及深度信息生成地图点；如果跟踪没有丢失，假设匀速运动模型，对当前帧与上一关键帧ORB特征点进行匹配，将上一关键帧位姿作为当前帧初始位姿，将上一关键帧地图点投影到当前帧平面，估计当前帧与上一关键帧相对位姿，采用BA优化所估计的位姿，通过与相临关键帧是否大于20帧、提取特征点数是否大于100选择是否作为关键帧插入；如果跟踪丢失，则进入重定位操作，计算当前帧BOW向量，从关键帧数据中查找候选匹配关键帧，候选关键帧中匹配数小于15的丢弃，大于15的构建PnP求解器，并采用BA优化位姿；

2)局部地图线程：处理跟踪线程创建的关键帧，更新地图点与关键帧之间的对应关系，剔除地图中新添加的但在可观测到该地图点的关键帧中小于25％的关键帧能跟踪到的地图点，随后对有共视的关键帧进行特征匹配，并去除不满足对极几何约束的然后将匹配到的特征点根据该关键帧位姿和深度信息生成新的地图点，检查关键帧与相邻关键帧的重复地图点，当关键帧队列的所有关键帧处理完毕，对当前关键帧、相邻关键帧和观测到的地图点进行局部BA优化关键帧位姿和地图点精度；

3)闭环检测线程：处理局部地图线程插入的关键帧，过程如下：闭环检测、计算相似变换矩阵和闭环矫正，其中，通过计算当前帧与所有与当前帧有共视关系的关键帧的BOW得分，得到最小得分minScore，根据这个最小得分找出候选关键帧集合，并筛选共同单词数大于0.8*总单词数的关键帧，将相临关键帧分为一组，选择得分最高的候选组中得分最高的候选帧，计算该帧与当前帧的相似变换矩阵，如果变换后的投影与当前帧匹配点数大于40，则判断有回环；

在闭环检测线程，如果检测到回环，则会启动第四个线程执行全局BA优化获得回环矫正后的位姿。

根据ORB_SLAM2算法获取优化后的相机位姿，通过ORB_SLAM2节点根据其相机位姿发布传感器位姿消息。

建图节点订阅传感器位姿消息以及Kinect v2传感器获取的数据消息，将Kinectv2获取的相对信息转换为在世界坐标下信息，在世界坐标系下的坐标p_i ^W与摄像机坐标系下坐标p_i之间的变换由得出，其中R和t分别表示机器人的旋转矩阵和位移矢量，三维点云在3D环境表示为一系列的点_{P＝{p1,p2,...,pn}}，其中表示3D空间中该点的位置信息，i表示第i个点，w表示在世界坐标下。对于三维地图数据，在通过设定体素分辨率将三维地图量化，假设体素分辨率为r，原地图点三维坐标为p(x,y,z),则其体素坐标v(I_x,I_y,I_z):

如图2所示，每个体素的存储可以根据其坐标生成一棵深度为4的树，深度为1的为根节点，表示此地图整个地图数据。对于三维地图其每个叶子节点，采用概率的形式表示该空间的占据、空旷或未知状态，对于叶子节点，根据所计算三维点云信息以及体素大小计算该叶子节点概率，对于新关键帧采用概率融合的方法生成新的地图信息。

为了优化三维地图存储内存以及实时性，采用一种跳表树的数据结构进行存储。跳表树是一种由跳表组成的树形结构，树的每一层节点均存储为跳表，跳表是一个随机化的数据结构，可以被看做为二叉树的一个变种，它采用随机技术决定链表中哪些节点应增加向前指针以及在该节点中应增加多少个指针，采用这种随机技术，跳表中的搜索、插入、删除操作的时间均为O(logn)。

如图3所示跳表在原有的有序链表上面增加了多级索引，通过索引来实现快速查找。

并且跳表树结构由于其树型结构，通过对树第一层的分解，可以具有可高度并行化的特点，对于第一层x坐标轴的不同根节点，可以进行并行化运算，具体可分为如下两种操作：

1)访问操作：对于访问每一个体素数据(整棵跳表树)，对于所有第一层x坐标轴的节点分支可以并行化查找：

为三维坐标点x_i对应的三维体素坐标，Γ表示整体三维地图数据。

2)更新操作：由于无法预知更新的具体操作是增加、释放还是更新当前体素，为了保证相互之间不产生冲突，更新仍然采用如1)访问操作的方法，对于两个独立的第一层分支，互相之间并不会产生干扰。更新会从相机模型中获取一系列三维点的数据P＝{p(x,y,z)},因此，可以根据第一维坐标分组到不同的组集中

其中x_i表示第i个三维坐标点，为三维坐标点x_i对应的三维体素坐标，表示三维点集中x_i子树之后便可以根据不同的子集对三维地图数据进行并行化更新。

地图更新方法：地图更新腐蚀和融合根据一个权重来衡量三维地图中每个体素，对于融合三维地图

W^′(v)＝W(v)+w_i(v)，

其中P^′(v),P(v)表示更新后和更新前的体素v的概率，W^′(v),W(v)表示更新后和更新前的权重，p_i(v)，w_i(i)表示体素第i帧的概率和权重，类似的，对于腐蚀三维地图

W^′(v)＝W(v)-w_i(v)。

地图的更新通过对更新前位姿的传感器数据进行腐蚀，更新后的位姿的传感器数据进行融合，如果某一关键帧由于局部优化或闭环检测进行全局优化，位姿发生变化，则先对原位姿所对应的传感器数据进行腐蚀操作，再融合关键帧新的位姿。

该基于跳表树结构的三维地图相对于当前流行的八叉树三维占据地图在访问、插入和删除有更优的时间复杂度，八叉树三维占据地图对于任一体素的访问的时间复杂度为O(log d)，d表示八叉树的深度，跳表树地图对于任一体素的访问的时间复杂度为O(logn),n表示体素数，但由于跳表树结构可以并行访问，所以实际时间复杂度为k为跳表树第一层子节点数。

对于只需要2D栅格地图实现导航的移动机器人可以通过该地图降维，获取2D栅格地图只需要访问前两层树，获取障碍物信息需要访问第三层树的一部分节点，相对于八叉树地图需要遍历三维地图中每一个体素有更快的访问速度，能更高效的生成2D栅格占据地图。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法，其特征在于，所述的导航地图生成方法包括以下步骤：

S1、视觉信息采集：使移动机器人在三维环境中自由移动，通过深度传感器采集图像信息以及深度信息；

S2、ORB_SLAM2算法输出位姿信息：提取ORB特征点，后续图像通过跟踪运动模型、参考关键帧和重定位估计相机位姿，通过最小重投影误差优化当前帧位姿，随后根据预设条件判断是否生成新的关键帧；处理新生成关键帧，更新地图点与关键帧之间的对应关系，剔除地图中新添加的但被观测量少的地图点，随后对共视程度高的关键帧通过三角化恢复地图点，检查关键帧与相邻关键帧的重复地图点，当关键帧队列的所有关键帧处理完毕，对当前关键帧、相邻关键帧和观测到的地图点进行局部BA优化，通过最小重投影误差优化关键帧位姿和地图点精度；处理局部BA优化的关键帧，过程如下：闭环检测、计算相似变换矩阵和闭环矫正，其中，闭环检测通过计算词袋模型相似得分选取候选关键帧，随后对每个候选关键帧计算相似变换矩阵，通过随机采样一致性选取最优的关键帧，最后执行全局BA优化得到全局一致性环境地图和相机运行轨迹；

S3、地图更新：根据步骤S2中输出的关键帧位姿信息以及步骤S1中采集图像的深度信息，生成在机器人当前位姿下的三维点云坐标，在世界坐标系下的坐标p_i ^W与摄像机坐标系下坐标p_i之间的变换由得出，其中R和t分别表示机器人的旋转矩阵和位移矢量，三维点云在3D环境表示为一系列的点P＝{p₁,p₂,...,p_n}，其中表示3D空间中该点的位置信息，i表示第i个点，w表示在世界坐标下；通过跳表树结构对3D地图进行存储，对于其每个叶子节点，采用概率的形式表示该空间的占据、空旷或未知状态，对于叶子节点，根据所计算三维点云信息以及体素大小计算该叶子节点概率，对于新关键帧采用概率融合的方法生成新的地图信息，采用腐蚀的方法去除冗余地图信息，在机器人运动中不断更新地图。

2.根据权利要求1所述的一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法，其特征在于，所述的步骤S1中利用Kinectv2传感器获取深度信息和彩色图像信息，Kinectv2传感器采用飞行时间方法获取深度信息。

3.根据权利要求1所述的一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法，其特征在于，所述的步骤S2中，采用BA优化对移动机器人位姿以及ORB特征点进行优化，并采用词袋模型进行回环检测，具体过程如下：

1)跟踪线程：采用ORB特征提取对所采集图像进行特征点的提取，如果是未完成初始化操作且特征点数大于100，则将当前帧设定为初始关键帧，根据ORB特征点二维坐标及深度信息生成地图点；如果跟踪没有丢失，假设匀速运动模型，对当前帧与上一关键帧ORB特征点进行匹配，将上一关键帧位姿作为当前帧初始位姿，将上一关键帧地图点投影到当前帧平面，估计当前帧与上一关键帧相对位姿，采用BA优化所估计的位姿，通过与相临关键帧是否大于20帧、提取特征点数是否大于100选择是否作为关键帧插入；如果跟踪丢失，则进入重定位操作，计算当前帧BOW向量，从关键帧数据中查找候选匹配关键帧，候选关键帧中匹配数小于15的丢弃，大于15的构建PnP求解器，并采用BA优化位姿；

2)局部地图线程：处理跟踪线程创建的关键帧，更新地图点与关键帧之间的对应关系，剔除地图中新添加的但在可观测到该地图点的关键帧中小于25％的关键帧能跟踪到的地图点，随后对有共视的关键帧进行特征匹配，并去除不满足对极几何约束的然后将匹配到的特征点根据该关键帧位姿和深度信息生成新的地图点，检查关键帧与相邻关键帧的重复地图点，当关键帧队列的所有关键帧处理完毕，对当前关键帧、相邻关键帧和观测到的地图点进行局部BA优化关键帧位姿和地图点精度；

3)闭环检测线程：处理局部地图线程插入的关键帧，过程如下：闭环检测、计算相似变换矩阵和闭环矫正，其中，通过计算当前帧与所有与当前帧有共视关系的关键帧的BOW得分，得到最小得分minScore，根据这个最小得分找出候选关键帧集合，并筛选共同单词数大于0.8*总单词数的关键帧，将相临关键帧分为一组，选择得分最高的候选组中得分最高的候选帧，计算该帧与当前帧的相似变换矩阵，如果变换后的投影与当前帧匹配点数大于40，则判断有回环；

在闭环检测线程，如果检测到回环，则会启动一个新线程执行全局BA优化获得回环矫正后的位姿以及地图点。

4.根据权利要求书1所述的一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法，其特征在于，所述的步骤S2中BA优化为Bundle Adjustment，即最小化重投影误差，把误差求和，构建最小二乘方程：

其中，ξ^*表示优化后最优位姿，ξ表示估计位姿，ξ^表示位姿所对应的反对称矩阵，K表示传感器外参，P_i表示第i个匹配点三维坐标，u_i表示P_i所对应二维图像坐标，s表示尺度。

5.根据权利要求1所述的一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法，其特征在于，所述的步骤S3中根据位姿信息生成导航地图，该导航地图为三维地图，采用跳表树作为地图数据结构。

6.根据权利要求5所述的一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法，其特征在于，所述的跳表树为数据结构跳表所构成的深度为4的树形结构，每一层都用跳表作为其数据结构存储数据。

7.根据权利要求5所述的一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法，其特征在于，所述的跳表树数据结构具有可高度并行化的特点，对于第一层x坐标轴的不同根节点

可以进行并行化运算，具体分为如下两种操作：

1)访问操作：对于访问每一个体素数据，即整棵跳表树，对于所有第一层x坐标轴的节点分支可以并行化查找：

为三维坐标点x_i对应的三维体素坐标，Γ表示整体三维地图数据；

2)更新操作：更新会从相机模型中获取一系列三维点的数据P＝{p(x,y,z)},根据第一维坐标分组到不同的组集中

其中x_i表示第i个三维坐标点，为三维坐标点x_i对应的三维体素坐标，表示三维点集中x_i子树，之后便根据不同的子集对三维地图数据进行并行化更新。

8.根据权利要求5所述的一种基于ORB_SLAM2的移动机器人导航地图生成方法，其特征在于，所述的步骤S3中导航地图更新腐蚀和整合根据一个权重来衡量三维地图中每个体素，对于融合三维地图

W′(v)＝W(v)+w_i(v)，

其中P′(v),P(v)表示更新后和更新前的体素v的概率，W′(v),W(v)表示更新后和更新前的权重，p_i(v)，w_i(i)表示体素第i帧的概率和权重；

对于腐蚀三维地图

W′(v)＝W(v)-w_i(v)。