CN110289706B - 基于虚功法的永磁球形电机转矩计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于虚功法的永磁球形电机转矩计算方法，针对双层八极的永磁球形电机，包括以下步骤：定子极和转子磁极编号；设定子极和转子磁极所占空间角度相同，在仅考虑定子极和转子磁极下的磁场基波的前提下，根据虚功法原理得到任意对定子极和转子磁极的电磁转矩；任意对定子极和转子磁极的相对位置计算；任意对定子极和转子磁极各转矩分量方向夹角的计算；符号函数；任意对定子极和转子磁极的各转矩分量的计算；永磁球形电机基于虚功法的转矩计算。

Description

基于虚功法的永磁球形电机转矩计算方法

技术领域

本发明属于永磁球形电机转矩分析领域，涉及到将传统旋转电机中基于虚功法的转矩解析思路应用到永磁球形电机的转矩分析中。

背景技术

近年来，不断深入发展的现代工业对工业机器人、人造卫星等可实现多自由度复杂运转的机械装置提出了越来越严苛的性能要求，依靠多台单自由度电机级联来实现多自由度运转要求的系统逐渐显现出弊端。而永磁球形电机依靠单节点即可实现三自由度运转，相较于传统电机更适合应用于多自由度运转的机械装置中。

永磁球形电机复杂的电磁关系给转矩分析带来了诸多困难。借助于有限元分析方法得到的转矩结果准确，但过分依赖电机结构，需要耗费大量的时间成本和计算机内存，不利于永磁球形电机的实时控制。利用洛伦兹力法和麦克斯韦应力张量法可建立永磁球形电机的转矩解析公式，但依赖于积分路径的选择，计算量大且计算过程复杂。虚功法广泛应用于传统永磁电机的电磁转矩和磁阻转矩的解析计算中，具有计算简单、物理意义明确等诸多优点。虚功法的应用基于定转子磁场的解析模型，对于永磁球形电机，其转子磁场解析可借助于球谐波函数进行分析求解；而定子磁场由于激励源的存在，使得其解析磁场形式较为复杂，为了简化计算，研究学者提出将定子线圈等效为永磁体进行磁场分析，研究证明所得到的磁场模型满足精度要求。

发明内容

本发明的目的是提供永磁球形电机基于虚功法的转矩计算方法，技术方案如下：

一种基于虚功法的永磁球形电机转矩计算方法，针对双层八极的永磁球形电机，基于转子磁极空间位置和转子磁场主阶次球谐波函数的对应关系，将转子磁极放置于球谐波函数极值处，定子空心线圈采用和转子永磁体同样的放置策略，形成与转子幅值成比例的磁场分布，即转子为双层圆柱形永磁体，每层8个，定子线圈为双层圆柱形空心线圈，每层为8个；在转矩计算中，将定子线圈等效为永磁体，称之为定子极。包括以下步骤：

第一步：定子极和转子磁极编号；定义初始位置为转子磁极和定子极的极性重合的空间位置，将上层定子极在俯视下按逆时针编号为m＝1⁺,2⁺,…,8⁺，将下层定子极在俯视下按逆时针编号为m＝1^-,2^-,…,8^-；将上层转子磁极在俯视下按逆时针编号为n＝1⁺,2⁺,…,8⁺，将下层转子磁极在俯视下按逆时针编号为n＝1^-,2^-,…,8^-；

第二步：任意对定子极和转子磁极的各转矩分量的计算；

(1)设定子极和转子磁极所占空间角度相同，在仅考虑定子极和转子磁极下的磁场基波的前提下，根据虚功法原理得到任意对定子极和转子磁极的电磁转矩：

其中，W为气隙储能，δ为定子极和转子磁极轴线之间的夹角，即定子极和转子磁极的相对位置，B_s1为定子磁场的基波幅值，B_r1为转子磁场的基波幅值，μ₀为真空磁导率，R_r为转子球外半径，R_s为定子球内半径，α₁为定子极和转子磁极所占的空间角度，l＝max{2r_s,2r_r}，r_s为圆柱形定子极的半径，r_r为圆柱形转子磁极的半径；

(2)任意对定子极和转子磁极的相对位置计算。根据空间矢量理论，得到永磁球形电机中任意对定子极和转子磁极间的夹角正弦表示：

其中，δ_mn为编号为m的定子极和编号为n的转子磁极之间的相对位置；记永磁球形电机的定子坐标系为xyz，转子坐标自为xyz；

为该定子极在定子坐标系下的空间坐标矩阵的转置，R_xyz为该转子磁极在转子坐标系下的空间坐标，R_αβγ为欧拉角旋转矩阵，转子欧拉旋转方式确定，该矩阵随之确定；

(3)任意对定子极和转子磁极各转矩分量方向夹角的计算

对于转矩分量T_z，由约束条件：T_z矢量的长度为平行于转子坐标系下xoy平面的转子磁极所在的圆面半径，得到T_z分量与作用转矩的夹角余弦表示：

其中，F_z为T_z分量特征矩阵，表示为：

其中，η为相邻转子磁极之间的经度角；

采用同样的方法将T_x分量与T_y分量与作用转矩的夹角余弦表示为：

F_x为T_x分量特征矩阵，F_y为T_y分量特征矩阵，表示为：

其中，ε为转子磁极与赤道层之间的纬度角，当为上层转子磁极时取+ε，当为下层转子磁极时取-ε；

(4)符号函数

引入以下符号函数来修正各转矩分量的方向夹角的取值：

其中，m为定子极的编号，n为转子极的编号；ε_s和ε_r分别为定子极和转子磁极中心在球面上的纬度角；

(5)任意对定子极和转子磁极的各转矩分量的计算

基于以上分析，将任意对定子极和转子磁极的转矩矢量进行分解，得到永磁球形电机任意对定子极和转子磁极的各转矩分量为：

第三步：永磁球形电机基于虚功法的转矩计算；

叠加定理即可得到永磁球形电机各转矩分量：

本发明将传统电机中基于虚功法的转矩计算思路引入到永磁球形电机的转矩分析中，首先提出一种转子永磁体和定子线圈空间分布相同的双层八极永磁球形电机结构，然后将定子通电线圈等效为永磁极，称之为定子极，首先分析任意对定子极和转子磁极基于虚功法的转矩计算，其中涉及到任意对定子极和转子磁极之间相对位置和转矩分量方向夹角的计算，随后使用叠加定理得到完整的基于虚功法的永磁球形电机转矩计算方法。在有限元软件和实验中验证了多提出的转矩计算方法的正确性。本发明的技术效果如下：

1.基于虚功法得到永磁球形电机的转矩计算方法，计算简单迅速，有利于永磁球形电机的实时控制，具有较强的普适性和推广性。

2.所得到的转矩计算公式在表达形式上包含电机结构、定转子磁场、定子极和转子磁极相对位置等参数，可用于指导永磁球形电机的优化设计。

3.所得到的转矩计算公式在表达形式上与传统永磁电机的转矩计算公式具有相似性，物理意义明确，基于此，传统电机的控制策略对永磁球形电机的研究具有一定的借鉴意义。

附图说明

图1：永磁球形电机结构示意图

图2：双层八极永磁球形电机转子磁极分布图

图3：双层八极永磁球形电机转子磁场主次球谐波函数

示意图

图4：转子磁极编号示意图

图5：任意对定子极和转子磁极的虚功法计算转矩模型

图6：zyz规范下的欧拉角旋转示意图

图7：任意对定子极和转子磁极的转矩作用示意图

图8：定子为线圈的仿真模型

图9：定子为等效永磁体的仿真模型

图10：α＝0°，β＝0°，γ∈[0°,90°]轨迹下的仿真与解析结果对比图

图11：α＝10°，β＝5°，γ∈[0°,90°]轨迹下的仿真与解析结果对比图

图12：α＝30°，β＝10°，γ∈[0°,90°]轨迹下的仿真与解析结果对比图

图13：α＝0°，β＝0°，γ∈[0°,90°]轨迹下的实验与解析结果对比图

图14：α＝10°，β＝5°，γ∈[0°,90°-轨迹下的实验与解析结果对比图

图15：α＝30°，β＝10°，γ∈[0°,90°]轨迹下的实验与解析结果对比图

图中标号：1输出轴、2定子球壳、3定子线圈、4转子球壳、5转子永磁体、6定子线圈等效永磁体

表1：仿真模型参数

具体实施方式

本发明以一种双层八极永磁球形电机为样机进行转矩计算。为简化分析，将定子线圈等效为永磁极。以任意对定子极和转子磁极的虚功法计算公式为基础，推导任意对定子极和转子磁极的相对位置、各转矩分量方向的计算公式，引入符号函数修正交替磁化的定子极和转子磁极的作用，最终使用叠加定理确定永磁球形电机基于虚功法的转矩计算公式。并结合有限元仿真软件和转矩测量实验平台验证了所提出转矩计算方法的正确性。以下结合附图及附表对本发明作具体说明。

1.永磁球形电机的结构设计

本发明提出一种双层八极永磁球形电机结构如图1所示，转子为双层八极的圆柱形永磁体，定子为双层八极的圆柱形空心线圈。图1中定转子的主要结构参数为：转子球半径R_r，转子磁极空间角度(ε_r,η_r)，ε_r为转子磁极中心的纬度角，η_r为转子磁极中心的经度角，转子磁极底面半径r_r及高度h_r；定子球半径R_s，定子线圈空间角度(ε_s,η_s)，ε_s为定子线圈中心的纬度角，η_s为定子线圈中心的经度角，定子空心线圈内外半径r_si、r_so及高度h_s。根据磁场与磁极空间位置的关系，分别对转子磁极和定子线圈的空间位置进行设计，具体设计方法为：

(1)转子磁极空间位置设计

转子磁场可由球谐波函数表示，不同层数和极对数的转子对应不同阶次的球谐波函数，具体为：当转子磁极具有Γ层，且每层磁极的极对数为p时，该转子磁极产生的主阶次球谐波函数磁场形式为

本发明将转子磁极分别放置于磁场主阶次球谐波函数的极值处。即对于本发明如图2所示的双层八极转子，将16个转子磁极分别放置于如图3所示的磁场主阶次球谐波函数

的16个极值处。

的表达形式为：

分别取该函数在球坐标下θ，

方向的极值位置为

其中，n为转子磁极编号，编号规则将在具体实施方式2中进行介绍。由此确定转子磁极结构参数：

η_r＝(n-1)π/4,n＝1,2,…,8。

(2)定子线圈空间位置设计

永磁球形电机的定子线圈施加电源激励即可产生相应的定子磁场，而定转子磁场成比例是永磁球形电机产生恒定转矩的条件，因此本文为简化定子线圈的通电策略，将定子线圈放置在与转子磁极相同的空间位置上并通以相同幅值的电源激励，即

η_s＝(m-1)π/4,m＝1,2,…,8，m为定子线圈的编号，编号规则将在具体实施方式2中进行介绍。为简化分析，本发明将永磁球形电机的圆柱形定子空心线圈等效为永磁体进行处理[1]，在以下分析过程中称之为定子极。

[1]Li B,Liu C,Li H,et al,“Torque Analysis of Spherical PermanentMagnetic Motor with Magnetic Equivalent Circuit and Maxwell Stress Tensor,”Informatics in Control,Automation and Robotics,vol.2,pp.617-628,2011.

2.定子极和转子磁极编号规则

如图4所示，定义初始位置为定子极和转子磁极的极性重合的空间位置，将上层定子极在俯视下按逆时针编号为m＝1⁺,2⁺,…,8⁺，将下层定子极在俯视下按逆时针编号为m＝1^-,2^-,…,8^-。将上层转子磁极在俯视下按逆时针编号为n＝1⁺,2⁺,…,8⁺，将下层转子磁极在俯视下按逆时针编号为n＝1^-,2^-,…,8^-。

3.任意对定子极和转子磁极基于虚功法的转矩计算

本发明将常规旋转电机中基于虚功法求转矩的思路引入到永磁球形电机中，首先考虑永磁球形电机任意对定子极和转子磁极基于虚功法的解析推导思路。步骤如下：

(1)计算定子极和转子磁极下的磁场分布。如图5所示，假设平行放置的任意对定子极和转子磁极所占空间角度相同，即α₁＝α₂，以定子极轴线为坐标原点建立极坐标系，当转子磁极的轴线位于δ角度时，可得到定子极和转子磁极下的磁场基波表达形式分别为：

其中，B_s1为定子磁场基波幅值，B_r1为转子磁场基波幅值，θ为单元气隙与定子极轴线的角度，α₁为定子极和转子磁极所占的空间角度，δ为转子磁极和定子极轴线之间的夹角。

(2)计算气隙中的磁场储能。如图5所示，将气隙中的磁场储能可分为三部分考虑：仅有定子磁场的区域①，定转子磁场共存的区域②，仅有转子磁场的区域③。则气隙中的磁场储能表示为：

其中，

μ₀为真空磁导率，R_r为转子球外半径，R_s为定子球内半径，l＝max{2r_s,2r_r}，r_s为圆柱形定子极的半径，r_r为圆柱形转子极的半径。

(3)根据虚功法原理计算电磁转矩

由上式可以看出，任意对定子极和转子磁极的转矩计算与电机结构参数R_s、R_r、l、α₁有关，与电磁参数B_s1、B_r1、μ₀有关，还与定子极和转子磁极的相对位置δ有关。此外，对于三自由度运转的永磁球形电机，有必要将任意对定子极和转子磁极的转矩矢量分解到转子坐标系中的三个坐标轴上以叠加得到完整的转矩计算公式。因此以下讨论任意对定子极和转子磁极的相对位置的计算和各转矩分量方向夹角的计算。

(4)任意对定子极和转子磁极相对位置的计算。

由于定子极和转子磁极空间位置分布相同，为方便表示，记ε＝ε_s＝ε_r为定子极和转子磁极纬度角，η为定子极和转子磁极相邻极之间的平面夹角，则η_s＝(m-1)η，η_r＝(n-1)η。可得任意定子极和转子磁极的空间坐标为：

其中，当为上层定子极(转子磁极)时取+ε，当为下层定子极(转子磁极)时取-ε。记永磁球形电机的定子坐标系为xyz，转子坐标系为xyz。S_xyz为定子极在定子坐标系下的空间坐标，R_xyz和R_xyz为转子极在分别在定子坐标系和转子坐标系下的空间坐标，R_aβγ为欧拉角旋转矩阵。本发明中的欧拉角旋转遵从如图6所示的zyz规范，原坐标系x₀y₀z₀经历绕z₀轴、y₁轴、z₂轴的旋转后得到坐标系x₃y₃z₃，其中，α为第一次绕z₀轴旋转的角度，β为第二次绕y₁轴旋转的角度，γ为第三次绕z₂轴旋转的角度。旋转矩阵具体表示为：

其中，“c”为“cos”的缩写，“s”为“sin”的缩写，例如：-cαsβ＝-cosαsinβ。

由定转子空间坐标即可得到编号为m的定子极和编号为n的转子磁极之间的夹角正弦：

(5)任意对定子极和转子磁极各转矩分量方向夹角的计算

对于空间任意对定子极和转子磁极间的转矩作用，以转矩T_z分量为例进行说明分量方向夹角的表达，转矩T_x，T_y分量方向夹角的表达可采用类似的方法得。如图7，规定T_z分量的空间矢量为NC，为便于表示，规定C点落在转子磁极z向平面的圆周上，得到T_z分量在定子球坐标系下表示为：

其中，当转子磁极位于上层时取+ε，当转子磁极位于下层时取-ε。

将定转子作用力视为异向磁极作用进行处理，等效方法将在(3)中进行介绍，于是得到T_z分量与作用转矩的夹角余弦表示为：

其中，F_z为T_z分量特征矩阵，表示为：

类似的，采用同样的方法将T_x分量与T_y分量与作用转矩的夹角余弦表示为：

其中，F_x为T_x分量特征矩阵，表示为：

F_y为T_y分量特征矩阵，表示为：

(6)符号函数

以上得到的各转矩分量与作用转矩方向夹角的求解是建立异向磁极作用的前提下，即作用力方向均由定子极指向转子磁极。而当同向磁极作用时，方向夹角应该取相反值。因此对于本文所采用的定子极和转子磁极交替磁化的电机结构，需要引入符号函数来修正各转矩分量的方向夹角：

其中，m为定子极的编号，n为转子极的编号。ε_s和ε_r分别为定子极和转子磁极中心在球面上的纬度角。

(7)任意对定子极和转子磁极的各转矩分量的计算

基于以上分析，将任意对定子极和转子磁极的转矩矢量进行分解，得到永磁球形电机任意对定子极和转子磁极的各转矩分量为：

4.永磁球形电机基于虚功法的转矩计算

以上得到了任意对定子极和转子磁极的相对位置和各转矩分量方向夹角的计算公式，使用叠加定理即可得到在转子坐标系下永磁球形电机各转矩计算公式：

其中，C_T为一与电机参数及定转子磁场相关的系数，称之为转矩系数，表示为：

5.有限元与实验验证

为了验证所提出的转矩解析方法的正确性，本发明分别在有限元仿真软件ANSOFT和转矩测量实验平台上进行了仿真和实验验证。具体结果为：

(1)仿真验证

基于ANSOFT的仿真模型如图8和图9所示，其中图8为定子采用通电线圈的仿真模型，图9为定子采用等效永磁体的仿真模型，选取的仿真模型参数如表1。选取三个轨迹：

TR1:α＝0°，β＝0°，γ∈[0°,90°]

TR2:α＝10°，β＝5°，γ∈[0°,90°]

TR2:α＝30°，β＝10°，γ∈,0°,90°]

仿真步长为2°，三个轨迹下得到仿真结果与提出的转矩解析计算结果对比如图10-12。对比结果表明所提出的转矩解析结果与有限元结果的契合度很高。从而验证了所得到的转矩计算公式的正确性。定义相对误差公式为：

其中，T_FEM-co_ils是定子采用通电线圈的有限元转矩结果，T_Analy所提出的转矩计算公式得到的结果。得到最大相对误差不超过0.3，从而验证了所提出的转矩计算方法满足一定的精度要求。

(2)实验验证

本实验所采用的转矩测量平台使用三个单自由度压力传感器进行转矩的测量，将转子按照欧拉角zyz旋转规范旋转至某一位置，然后由三个单自由度压力传感器测量出转子坐标系下的三个转矩分量。

三个轨迹下得到实验结果与得到的转矩计算结果对比如图13-15。对比结果表明所提出的转矩解析结果与实验结果的契合度很高，从而进一步验证了所得到的转矩解析公式的正确性。定义相对误差公式为：

其中，T_Exp是实验得到的转矩结果，T_Analy所提出的转矩计算公式得到的结果。得到最大相对误差不超过0.32，从而验证了所提出的转矩计算方法满足一定的精度要求。表1仿真模型参数

定子球内半径R<sub>s</sub>(mm)	29.5
		转子球外半径R<sub>r</sub>(mm)	27
定子线圈内半径r<sub>si</sub>(mm)	6
		定子线圈外半径r<sub>so</sub>(mm)	10
定子线圈高度h<sub>s</sub>(mm)	10
		定子线圈等效永磁体半径(mm)	10
定子线圈等效永磁体高度(mm)	10
		转子磁极半径r<sub>r</sub>(mm)	7.5
转子磁极厚度h<sub>r</sub>(mm)	3
		气隙g(mm)	2.5
相邻极平面夹角η(°)	45
		定子极纬度角ε<sub>s</sub>(°)	26.57
转子磁极纬度角ε<sub>r</sub>(°)	26.57
		磁化材料	NdFeB30
定子线圈安匝数	200

Claims (1)

1.一种基于虚功法的永磁球形电机转矩计算方法，针对双层八极的永磁球形电机，基于转子磁极空间位置和转子磁场主阶次球谐波函数的对应关系，将转子磁极放置于球谐波函数极值处，定子空心线圈采用和转子永磁体同样的放置策略，形成与转子幅值成比例的磁场分布，即转子为双层圆柱形永磁体，每层8个，定子线圈为双层圆柱形空心线圈，每层为8个；在转矩计算中，将定子线圈等效为永磁体，称之为定子极，包括以下步骤：

第一步：定子极和转子磁极编号；定义初始位置为转子磁极 和定子极的极性重合的空间位置，将上层定子极在俯视下按逆时针编号为m＝1⁺,2⁺,…,8⁺，将下层定子极在俯视下按逆时针编号为m＝1^-,2^-,…,8^-；将上层转子磁极在俯视下按逆时针编号为n＝1⁺,2⁺,…,8⁺，将下层转子磁极在俯视下按逆时针编号为n＝1^-,2^-,…,8^-；

第二步：任意对定子极和转子磁极的各转矩分量的计算；

(1)设定子极和转子磁极所占空间角度相同，在仅考虑定子极和转子磁极下的磁场基波的前提下，根据虚功法原理得到任意对定子极和转子磁极的电磁转矩：

其中，W为气隙储能，δ为定子极和转子磁极轴线之间的夹角，即定子极和转子磁极的相对位置，B_s1为定子磁场的基波幅值，B_r1为转子磁场的基波幅值，μ₀为真空磁导率，R_r为转子球外半径，R_s为定子球内半径，α₁为定子极和转子磁极所占的空间角度，l＝max{2r_s,2r_r}，r_s为圆柱形定子极的半径，r_r为圆柱形转子磁极的半径；

(2)任意对定子极和转子磁极的相对位置计算；根据空间矢量理论，得到永磁球形电机中任意对定子极和转子磁极间的夹角正弦表示：

其中，δ_mn为编号为m的定子极和编号为n的转子磁极之间的相对位置；记永磁球形电机的定子坐标系为xyz，转子坐标自为xyz；

为该定子极在定子坐标系下的空间坐标矩阵的转置，R_xyz为该转子磁极在转子坐标系下的空间坐标，R_αβγ为欧拉角旋转矩阵，转子欧拉旋转方式确定，该矩阵随之确定；

(3)任意对定子极和转子磁极各转矩分量方向夹角的计算

对于转矩分量T_z，由约束条件：T_z矢量的长度为平行于转子坐标系下xoy平面的转子磁极所在的圆面半径，得到T_z分量与作用转矩的夹角余弦表示：

其中，F_z为T_z分量特征矩阵，表示为：

其中，η为相邻转子磁极之间的经度角；

采用同样的方法将T_x分量与T_y分量与作用转矩的夹角余弦表示为：

F_x为T_x分量特征矩阵，F_y为T_y分量特征矩阵，表示为：

其中，ε为转子磁极与赤道层之间的纬度角，当为上层转子磁极时取+ε，当为下层转子磁极时取-ε；

(4)符号函数

引入以下符号函数来修正各转矩分量的方向夹角的取值：

其中，m为定子极的编号，n为转子极的编号；ε_s和ε_r分别为定子极和转子磁极中心在球面上的纬度角；

(5)任意对定子极和转子磁极的各转矩分量的计算

基于以上分析，将任意对定子极和转子磁极的转矩矢量进行分解，得到永磁球形电机任意对定子极和转子磁极的各转矩分量为：

第三步：永磁球形电机基于虚功法的转矩计算；

叠加定理即可得到永磁球形电机各转矩分量：

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