CN110285831B - 一种网格结构光投射器标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种网格结构光投射器标定方法，包括步骤：1)构建网格结构光视觉测量系统；2)建立各个坐标系；3)获取步骤1中三个标定点A、P、B的像素坐标；4)求出三个标定点在辅助坐标系中的坐标并求出其位置向量长度；5)利用小孔成像原理求取三个标定点在摄像机坐标系下的坐标；6)重复以上步骤，获取多余两组标定点的摄像机坐标系下的坐标；7)利用最小二乘法对所有靶标坐标进行拟合得到结构光平面方程；8)重复以上步骤得到网格结构光投射器中所有光平面的标定。本发明的有益效果是：更好的将网格结构光视觉传感器获取的像点和三维看空间中物点之间的关系通过坐标系的建立展现出来。

Description

一种网格结构光投射器标定方法

技术领域

本发明涉及结构光视觉测量系统标定技术领域，尤其是一种网格结构光投射器标定方法。

背景技术

结构光视觉测量技术，因为具有高精度、高测量速度等优点而被广泛用于三维重建、工业视觉检测、手机人脸识别、安全支付、增强现实、游戏场景等众多领域。在以上应用领域中，网格结构光传感器通常安装在手机上用于实现人脸识别解锁，或安装在工作台上用于检测产品质量。网格结构光投射器与摄像机一起组成网格结构光视觉测量系统，在使用该系统进行测量时，必须先确定网格结构光视觉测量系统中网格结构光投射器与摄像机之间的相对位置关系，这里主要是指确定网格结构光投射器中各个平面相对于摄像机的位置关系；通过实验和计算来确定这个关系的过程称为网格结构光投射器的标定。

目前，吕明达等在GMAW熔池网格结构光三维视觉传感中建立了网格结构光模型，利用已知的网格结构光的出张角度和临束分离角求出各网格点坐标；然后利用激光器坐标系与世界坐标系之间的关系，将各点坐标转换到世界坐标系中。石光明等发明了一种二值网格模板的结构光动态场景深度获取方法，这里给出的是编码的结构光，没有进行系统的标定。孙佳睿对网格结构光和双目视觉系统三维重建技术进行了研究，文中用网格结构光增强了图像特征，有利于立体匹配。但是，以上三种网格结构光测量系统都没有提到网格结构光相对于摄像机位置关系的确定方法。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术中的不足，提供一种网格结构光投射器标定方法，能够通过已知距离共线三点而实现网格结构光投射器中各个光平面的标定。

这种网格结构光投射器标定方法，包括如下步骤：

步骤1：构建网格结构光视觉测量系统；

将一个摄像机与一个网格结构光投射器以适当方式刚性连接到一起，打印距离已知的共线三点A、P和B组成的直线为靶标，线段AP和PB的长度分别为l₁和l₂；网格结构光投射器投射M个水平光平面和N个竖直光平面到三维空间内；设水平光平面在摄像机坐标系下方程为：

式中，h表示水平光平面下标；a_h，b_h，c_h，d_h为水平光平面方程系数；m表示第m个水平光平面；M为水平光平面的总数；

设竖直光平面在摄像机坐标系下方程为：

式中，v表示竖直光平面下标；a_v，b_v，c_v，d_v为竖直光平面方程系数；n表示第n个竖直光平面；N为竖直光平面的总数；

根据实际系统的搭建可知，投射出来的结构光平面不会过摄像机坐标系的原点，即有式(1)、(2)中

和

的常数，这里设

和

步骤2：建立各个坐标系；

建立图像像素坐标系O_suv：以图像平面左上角为原点O_s，图像上边向右为u轴，表示像素所在列，图像左边向下为v轴，表示像素所在行；

建立图像物理坐标系O_iX_iY_i：以图像平面中心为原点O_i，X_i轴平行于u轴，Y_i轴平行于v轴；

建立摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c：以摄像机光线位置为原点O_c，X_c轴和Y_c轴分别平行于摄像机成像平面的u轴和v轴，Z_c轴由右手定则确定；由于所用靶标上的三个标定点A、P和B共线，且三个点A、P和B与摄像机的光心O_c不共线，所以三角形O_cAP和O_cAB共面；

建立辅助坐标系O_cxy：在平面O_cABP上建立辅助坐标系O_cxy，其原点与摄像机坐标系原点O_c重合，x轴与O_cP重合，方向指向空间靶标，y轴过O_c逆时针方向垂直x轴；

步骤3：获取步骤1中三个标定点A、P、B的像素坐标；

步骤4：求出三个标定点在辅助坐标系中的坐标并求出其位置向量长度；

步骤5：利用小孔成像原理求取三个标定点在摄像机坐标系下的坐标；

标定点像a、p和b在设摄像机坐标系中与坐标原点的距离分别记为

和

根据摄像机小孔成像模型原理，利用标定点像a、p和b在成像平面物理坐标

和

求出靶标在位置1处标定点A、P和B在摄像机坐标系下坐标为

和

分别如下：

上式中，

为标定点A在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中与坐标原点的距离，

为标定点P在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中与坐标原点的距离，

为标定点B在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中与坐标原点的距离；

为靶标在位置1时，第i个平面上标定点A的成像点a在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中的Z轴坐标；

为靶标在位置1时，第i个平面上标定点P的成像点p在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中的Z轴坐标；

为靶标在位置1时，第i个平面上标定点B的成像点b在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中的Z轴坐标；

步骤6:重复以上步骤，获取多余两组标定点的摄像机坐标系下的坐标；

变换靶标位置n-1次，每次使同一光平面经过该靶标，重复步骤3到步骤5的操作和计算，可以得到n组标定点A、P和B提供的共3n个标定点在摄像机坐标系下的坐标：

步骤7：利用最小二乘法对所有靶标坐标进行拟合得到结构光平面方程；

根据步骤1中建立的结构光平面模型，设以其中一个竖直结构光平面i为例，将步骤6的3n个标定点带入平面方程，为：

将其写成矩阵形式为：

即

式中，H是各标定点坐标组成的9n×3的矩阵；

是光平面参数组成的列向量；利用最小二乘法求出光平面方程系数向量为：

步骤8：重复以上步骤得到网格结构光投射器中所有光平面的标定；

按照步骤3到步骤7操作获取所有光平面在摄像机坐标系下的方程即完成了整个网格结构光投射器中结构光平面的标定。

作为优选，所述步骤3具体包括以下步骤：

步骤3-1：摄像机采用小孔模型且其参数已知，即主点为(u₀，v₀)、焦距为f、像素长度为d_x和d_y；设标定点A、P和B在摄像机成像平面上的像分别为a、p和b，它们的像素坐标分别为(u_a，v_a)、(u_p，v_p)和(u_b，v_b)；它们的成像平面物理坐标分别为(X_ia，Y_ia)、(X_ip，Y_ip)和(X_ib，Y_ib)；它们在摄像机坐标系下坐标为(X_cA，Y_cA，Z_cA)、(X_cP，Y_cP，Z_cP)和(X_cB，Y_cB，Z_cB)；标定点A、P和B在辅助坐标系O_cxy中的坐标分别为(x_A，y_A)、(x_P，y_P)和(x_B，y_B)；

步骤3-2：通过已标定的摄像机获取位置1处的靶标图像，通过图像处理技术获取该图像中标定点像a、p和b的像素坐标

和

所述靶标为打印的距离已知的共线三点A、P和B组成的直线。

作为优选，所述步骤4具体包括以下步骤：

步骤4-1：标定点像a、p和b在图像平面上的物理坐标为

和

根据CCD相机成像原理，利用已知的摄像机内参数求出标定点像a、p和b在图像平面上的物理坐标为：

步骤4-2：由于摄像机坐标系原点到成像平面之间的距离为摄像机的焦距f，根据摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c与成像平面坐标系O_iX_iY_i之间的关系，可知点a、p和b在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c的坐标为：

和

点a、p和b在摄像机坐标O_cX_cY_cZ_c中的位置向量为

和

设向量

和

与

间的夹角为

和

由内积定义有：

步骤4-3：根据三角形相似的判定定理可知两个ΔAA’P和ΔBB’P相似，点A在辅助坐标系O_cxy的x轴的投影为A’，点B在辅助坐标系O_cxy的x轴的投影为B’，有：

上式中，l₁为线段AP的长度，l₂为线段PB的长度；

在辅助坐标系O_cxy中，位置向量为

和

所在直线的斜率为：

根据式(8-1)和式(8-2)可得：

根据两点距离公式列出标定点A和P之间已知距离l₁的表达式为：

根据式(7-1)、(9-1)和式(9-2)可得：

根据式(9-1)和式(11)可得：

根据式(7-2)和式(11)可得：

根据辅助坐标系O_cxy的建立方法，可知

因此式(10)可变为：

将式(12)、式(13)和式(11)带入式(14)，可得：

根据坐标系的建立方式可知，式(15)取正号，即

将式(16)分别带入式(9-2)、式(11)、式(12)、和式(13)，可得：

根据式(16)、式(17-1)、式(17-2)、式(17-3)、式(17-4)和

可得到标定点A、P和B在辅助坐标系O_cxy中的坐标

和

设标定点A、P和B在辅助坐标系O_cxy中与坐标原点的距离分别为

和

根据标定点A、P和B在辅助坐标系O_cxy中的坐标可得

和

为：

根据点、向量与坐标系之间的变换关系可知标定点A、P和B在摄像机坐标系中位置向量长度与它们在辅助坐标系O_cxy中的位置向量长度相等；设标定点A、P和B在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中与坐标原点的距离分别为

和

则有：

作为优选，所述步骤4-3中标定点A、P和B在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中位置向量长度与它们在辅助坐标系O_cxy中的位置向量长度相等的证明如下：

第1步：标定点A的向量由坐标原点O和点A确定，即

向量

在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c和辅助坐标系O_cxy中的向量分别为

和

点O在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c和辅助坐标系O_cxy下的坐标分别为O_c和A_c；点A在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c和辅助坐标系O_cxy下的坐标分别为O_xy和A_xy；

第2步，因为辅助坐标系O_cxy到摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c的原点重合，所以两个坐标系之间的变换矩阵只有旋转向量R，则：

O_c＝RO_xy (26-1)

A_c＝RA_xy (26-2)

以上两式相减，得

O_c-A_c＝RO_xy-RA_xy＝R(O_xy-A_xy) (27)

即：

对上式两边求模有：

根据旋转矩阵的行列式的值都是为1的特性，有

即同一向量在不同坐标系中表示的向量长度不变，即标定点A、P和B在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中的位置向量与其在辅助坐标系O_cxy的表示的位置向量大小一样。

作为优选，所述标定点的像如a、p和b在设摄像机坐标系中与坐标原点的距离的求解方法dO_ca、dO_cp和dO_cb为：

第1步：根据步骤4-2中定义标定点像a、p和b在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c的坐标(X_ca，Y_ca，f)、(X_cp，Y_cp，f)和(X_cb，Y_cb，f)；

第2步：利用点到直线的距离公式可得：

上式中，Z_ca，Z_cp和Z_cb分别表示标定点A、P和B的成像a、p和b在摄像机坐标系中的Z轴坐标。

本发明的有益效果是：

(1)本发明根据网格结构光视觉传感器的特点，分别以成像平面左上角位置、图像平面中心位置、摄像机光心位置和三个标定点与光心所在平面建立坐标系，更好的将网格结构光视觉传感器获取的像点和三维看空间中物点之间的关系通过坐标系的建立展现出来。

(2)为获取三个标定点与摄像机坐标系原点的距离，本发明以内积概念、相似三角形等几何知识为基础，通过确定三个标定点在摄像机坐标系的位置向量长度，进而利用摄像机小孔成像原理获得三个标定点在摄像机坐标系下的坐标；通过最小二乘法拟合出网格结构光投射器各个光平面在摄像机坐标系下的方程系数，即完成了网格结光构投射器的标定。

(3)本发明将已知距离共线三点作为标定靶标，在图像处理方面仅需求解各个点的像素坐标即可，减小了计算量。

附图说明

图1是网格结构光视觉系统示意图；

图2是网格结构光投射器标定靶标图

图3是坐标系建立示意图

图4是结构光平面标定辅助坐标系示意图

图5是结构光平面标定流程图

具体实施方式

下面结合实施例对本发明做进一步描述。下述实施例的说明只是用于帮助理解本发明。应当指出，对于本技术领域的普通人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以对本发明进行若干修饰，这些改进和修饰也落入本发明权利要求的保护范围内。

本发明提供了一种网格结构光投射器标定方法；将一个摄像机和一个网格结构光投射器刚性连接在一起组成一个网格结构光视觉测量系统，保证网格结构光调制图案完全位于摄像机的视场内，如图1所示。本发明以距离已知的共线三点为靶标，如图2所示。使网格结构光从某个光平面投射至已知距离的共线三点；用已标定的摄像机获取靶标图像并利用图像处理算法获取标点像的像素坐标值；在摄像机光心和共线三点所确定的平面上以摄像机光心为原点、光心与三点中的中间点连线所在直线为x轴，逆时针方向垂直于x轴的直线为y轴建立辅助坐标系；利用内积、斜率和三角形相似等平面几何知识获得三个标定点在辅助坐标系的坐标；利用点到点的距离公式得到标定点到辅助坐标系原点之间的距离；根据刚性变换性质，三个标定点在摄像机坐标系中的向量长度与它们在辅助坐标中的长度一样；利用摄像机小孔成像原理，求出三个标定点在摄像机坐标系中的坐标值；变换靶标位置，获取大于两幅的靶标图像，利用最小二乘法求出光平面在摄像机坐标系下的方程系数即完成了一个光平面的标定；重复该方法获得所有光平面在摄像机坐标系中方程系数，进而实现完成网格结构光投射器的标定。

如图3所示，以图像平面左上角为原点O_s建立图像像素坐标系O_suv，图像上边向右为u轴，表示像素所在列，图像左边向下为v轴，表示像素所在行。以图像平面中心为原点O_i建立图像物理坐标系O_iX_iY_i，X_i轴平行于u轴，Y_i轴平行于υ轴；以摄像机光线位置为原点O_c建立摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c；其中，摄像机坐标系中X_c轴和Y_c轴分别平行于摄像机成像平面的u轴和v轴，Z_c轴由右手定则确定。

如图3所示，由于所用靶标上的三个标定点A、P和B共线，且三个点A、P和B与摄像机的光心O_c不共线，所以三角形O_cAP和O_cAB共面。因此，在平面O_cABP上建立辅助坐标系O_cxy，其原点与摄像机坐标系原点O_c重合，x轴与O_cP重合，方向指向空间靶标，y轴过O_c逆时针方向垂直x轴；

上述所定义的4个坐标系之间的关系可看作以下3个阶段：1)像素坐标系到图像平面坐标系；2)图像平面坐标系到摄像机坐标系；3)摄像机坐标系到辅助坐标系；其中，像素坐标系到图像平面坐标系关系即物理图像的离散化可由摄像机的主点和像素尺度确定；图像平面坐标系到摄像机坐标系之间关系即为摄像机的小孔成像原理所确定的透视投影变换；摄像机坐标系到辅助坐标系的关系即我们用来求解标定点在摄像机坐标系中的坐标值的刚体变换。

网格结构光平面的标定方法具体如步骤3-2、步骤4-1、步骤4-2、步骤4-3、步骤5、步骤6、步骤7。

如图4所示，步骤3-2、通过已标定的摄像机获取位置1靶标图像，通过图像处理技术获取该图像中标定点像a、p和b的像素坐标

和

步骤4-1它们在图像平面上的物理坐标为

和

根据CCD相机成像原理，利用已知的摄像机内参数求出标定点像a、p和b在图像平面上的物理坐标为：

步骤4-2、由于摄像机坐标系原点到成像平面之间的距离为摄像机的焦距f，根据摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c与成像平面坐标系O_iX_iY_i之间的关系，可知点a、p和b在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c的坐标为

和

点a、p和b在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中的位置向量为

和

设向量

和

与

间的夹角为

和

由内积定义有：

步骤4-3、点A在辅助坐标系O_cxy的x轴的投影为A’，点B在辅助坐标系O_cxy的x轴的投影为B’，根据三角形相似的判定定理可知两个ΔAA’P和ΔBB’P相似，有：

上式中，l₁为线段AP的长度，l₂为线段PB的长度；

在辅助坐标系O_cxy中，位置向量为

和

所在直线的斜率为：

根据两点距离公式列出标定点A和P之间已知距离l₁的表达式为：

根据辅助坐标系的建立可知

对式(6)至式(8)进行方程组解算,可得：

设标定点A、P和B在辅助坐标系O_cxy中与坐标原点的距离分别为

和

标定点A、P和B在辅助坐标系O_cxy中的坐标可得

和

为：

根据刚体变换的性质可知标定点A、P和B在摄像机坐标系中位置向量长度与它们在辅助坐标系O_cxy中的位置向量长度相等；设标定点A、P和B在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中与坐标原点的距离分别为

和

则有：

标定点像a、p和b在设摄像机坐标系中与坐标原点的距离分别记为

和

根据摄像机小孔成像模型原理，利用标定点像a、p和b在成像平面物理坐标

和

求出靶标在位置1处标定点A、P和B在摄像机坐标系下坐标为

和

分别如下：

步骤6、变换靶标位置n-1次，每次使同一光平面经过该靶标，重复步骤3到步骤5的操作和计算，可以得到n组标定点A、P和B提供的共3n个标定点在摄像机坐标系下的坐标：

步骤7、根据步骤1中建立的结构光平面模型，设以其中一个竖直结构光平面i为例，将步骤6中的3n个标定点带入平面方程，为：

将其写成矩阵形式为：

即

其中，H是各标定点坐标组成的3n×3的矩阵；

是光平面参数组成的列向量。利用最小二乘法求出光平面方程系数向量为：

按照以上操作获取所有光平面在摄像机坐标系下的方程即完成了整个网格结构光投射器中结构光平面的标定。

Claims (6)

1.一种网格结构光投射器标定方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：构建网格结构光视觉测量系统；

将一个摄像机与一个网格结构光投射器以适当方式刚性连接到一起，打印距离已知的共线三点A、P和B组成的直线为靶标，线段AP和PB的长度分别为l₁和l₂；网格结构光投射器投射M个水平光平面和N个竖直光平面到三维空间内；设水平光平面在摄像机坐标系下方程为：

式中，h表示水平光平面下标；a_h，b_h，c_h，d_h为水平光平面方程系数；m表示第m个水平光平面；M为水平光平面的总数；

设竖直光平面在摄像机坐标系下方程为：

式中，υ表示竖直光平面下标；a_υ，b_υ，c_υ，d_υ为竖直光平面方程系数；n表示第n个竖直光平面；N为竖直光平面的总数；

根据实际系统的搭建可知，投射出来的结构光平面不会过摄像机坐标系的原点，即有式(1)、(2)中

和

的常数，这里设

和

步骤2：建立各个坐标系；

建立图像像素坐标系O_suυ：以图像平面左上角为原点O_s，图像上边向右为u轴，表示像素所在列，图像左边向下为υ轴，表示像素所在行；

建立图像物理坐标系O_iX_iY_i：以图像平面中心为原点O_i，X_i轴平行于u轴，Y_i轴平行于υ轴；

建立摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c：以摄像机光线位置为原点O_c，X_c轴和Y_c轴分别平行于摄像机成像平面的u轴和υ轴，Z_c轴由右手定则确定；由于所用靶标上的三个标定点A、P和B共线，且三个点A、P和B与摄像机的光心O_c不共线，所以三角形O_cAP和O_cAB共面；

建立辅助坐标系O_cxy：在平面O_cABP上建立辅助坐标系O_cxy，其原点与摄像机坐标系原点O_c重合，x轴与O_cP重合，方向指向空间靶标，y轴过O_c逆时针方向垂直x轴；

步骤3：获取步骤1中三个标定点A、P、B的像素坐标；

步骤4：求出三个标定点在辅助坐标系中的坐标并求出其位置向量长度；

步骤5：利用小孔成像原理求取三个标定点在摄像机坐标系下的坐标；

标定点像a、p和b在设摄像机坐标系中与坐标原点的距离分别记为

和

根据摄像机小孔成像模型原理，利用标定点像a、p和b在成像平面物理坐标

和

求出靶标在位置1处标定点A、P和B在摄像机坐标系下坐标为

和

分别如下：

上式中，

为标定点A在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中与坐标原点的距离，

为标定点P在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中与坐标原点的距离，

为标定点B在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中与坐标原点的距离；

为靶标在位置1时，第i个平面上标定点A的成像点a在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中的Z轴坐标；

为靶标在位置1时，第i个平面上标定点P的成像点p在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中的Z轴坐标；

为靶标在位置1时，第i个平面上标定点B的成像点b在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中的Z轴坐标；

步骤6：重复以上步骤，获取多余两组标定点的摄像机坐标系下的坐标；

变换靶标位置n-1次，每次使同一光平面经过该靶标，重复步骤3到步骤5的操作和计算，可以得到n组标定点A、P和B提供的共3n个标定点在摄像机坐标系下的坐标：

步骤7：利用最小二乘法对所有靶标坐标进行拟合得到结构光平面方程；

根据步骤1中建立的结构光平面模型，设以其中一个竖直结构光平面i为例，将步骤6的3n个标定点带入平面方程，为：

将其写成矩阵形式为：

即

式中，H是各标定点坐标组成的9n×3的矩阵；

是光平面参数组成的列向量；利用最小二乘法求出光平面方程系数向量为：

步骤8：重复以上步骤得到网格结构光投射器中所有光平面的标定；

按照步骤3到步骤7操作获取所有光平面在摄像机坐标系下的方程即完成了整个网格结构光投射器中结构光平面的标定。

2.根据权利要求1所述的一种网格结构光投射器标定方法，其特征在于，步骤3具体包括以下步骤：

步骤3-1：摄像机采用小孔模型且其参数已知，即主点为(u₀，υ₀)、焦距为f、像素长度为d_x和d_y；设标定点A、P和B在摄像机成像平面上的像分别为a、p和b，它们的像素坐标分别为(u_a，υ_a)、(u_p，υ_p)和(u_b，υ_b)；它们的成像平面物理坐标分别为(X_ia，Y_ia)、(X_ip，Y_ip)和(X_ib，Y_ib)；它们在摄像机坐标系下坐标为(X_cA，Y_cA，Z_cA)、(X_cP，Y_cP，Z_cP)和(X_cB，Y_cB，Z_cB)；标定点A、P和B在辅助坐标系O_cxy中的坐标分别为(x_A，y_A)、(x_P，y_P)和(x_B，y_B)；

步骤3-2：通过已标定的摄像机获取位置1处的靶标图像，通过图像处理技术获取该图像中标定点像a、p和b的像素坐标

和

所述靶标为打印的距离已知的共线三点A、P和B组成的直线。

3.根据权利要求1所述的一种网格结构光投射器标定方法，其特征在于，步骤4具体包括以下步骤：

步骤4-1：标定点像a、p和b在图像平面上的物理坐标为

和

根据CCD相机成像原理，利用已知的摄像机内参数求出标定点像a、p和b在图像平面上的物理坐标为：

步骤4-2：由于摄像机坐标系原点到成像平面之间的距离为摄像机的焦距f，根据摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c与成像平面坐标系O_iX_iY_i之间的关系，可知点a、p和b在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c的坐标为：

和

点a、p和b在摄像机坐标O_cX_cY_cZ_c中的位置向量为

和

设向量

和

与

间的夹角为

和

由内积定义有：

步骤4-3：根据三角形相似的判定定理可知两个ΔAA’P和ΔBB’P相似，点A在辅助坐标系O_cxy的x轴的投影为A’，点B在辅助坐标系O_cxy的x轴的投影为B’，有：

上式中，l₁为线段AP的长度，l₂为线段PB的长度；

在辅助坐标系O_cxy中，位置向量为

和

所在直线的斜率为：

根据式(8-1)和式(8-2)可得：

根据两点距离公式列出标定点A和P之间已知距离l₁的表达式为：

根据式(7-1)、(9-1)和式(9-2)可得：

根据式(9-1)和式(11)可得：

根据式(7-2)和式(11)可得：

根据辅助坐标系O_cxy的建立方法，可知

因此式(10)可变为：

将式(12)、式(13)和式(11)带入式(14)，可得：

根据坐标系的建立方式可知，式(15)取正号，即

将式(16)分别带入式(9-2)、式(11)、式(12)、和式(13)，可得：

根据式(16)、式(17-1)、式(17-2)、式(17-3)、式(17-4)和

可得到标定点A、P和B在辅助坐标系O_cxy中的坐标

和

设标定点A、P和B在辅助坐标系O_cxy中与坐标原点的距离分别为

和

根据标定点A、P和B在辅助坐标系O_cxy中的坐标可得

和

为：

根据点、向量与坐标系之间的变换关系可知标定点A、P和B在摄像机坐标系中位置向量长度与它们在辅助坐标系O_cxy中的位置向量长度相等；设标定点A、P和B在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中与坐标原点的距离分别为

和

则有：

4.根据权利要求3所述的一种网格结构光投射器标定方法，其特征在于，所述步骤4-3中两个ΔAA’P和ΔBB’P相似的证明方法为：

第1步：因为A’和B’分别是标定点A和B在辅助坐标系O_cxy的O_cx轴的投影，有AA’和BB’分别垂直于O_cx轴，所以，∠AA’P和∠BB’P为直角，即：

∠AA’P＝∠BB’P

第2步：因为∠APA’和∠BPB’是对顶角，所以有：

∠APA’＝∠BPB’

第3步：根据三角形相似的判断定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似得出：

ΔAA’P∽ΔBB’P。

5.根据权利要求3所述的一种网格结构光投射器标定方法，其特征在于，所述步骤4-3中标定点A、P和B在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中位置向量长度与它们在辅助坐标系O_cxy中的位置向量长度相等的证明如下：

第1步：标定点A的向量由坐标原点O和点A确定，即

向量

在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c和辅助坐标系O_cxy中的向量分别为

和

点O在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c和辅助坐标系O_cxy下的坐标分别为O_c和A_c；点A在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c和辅助坐标系O_cxy下的坐标分别为O_xy和A_xy；

第2步，因为辅助坐标系O_cxy到摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c的原点重合，所以两个坐标系之间的变换矩阵只有旋转向量R，则：

O_c＝RO_xy (26-1)

A_c＝RA_xy (26-2)

以上两式相减，得

O_c-A_c＝RO_xy-RA_xy＝R(O_xy-A_xy) (27)

即：

对上式两边求模有：

根据旋转矩阵的行列式的值都是为1的特性，有

即同一向量在不同坐标系中表示的向量长度不变，即标定点A、P和B在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c中的位置向量与其在辅助坐标系O_cxy的表示的位置向量大小一样。

6.根据权利要求3所述的一种网格结构光投射器标定方法，其特征在于，所述标定点的像如a、p和b在设摄像机坐标系中与坐标原点的距离的求解方法

和

为：

第1步：根据步骤4-2中定义标定点像a、p和b在摄像机坐标系O_cX_cY_cZ_c的坐标(X_ca，Y_ca，f)、(X_cp，Y_cp，f)和(X_cb，Y_cb，f)；

第2步：利用点到直线的距离公式可得：

上式中，Z_ca，Z_cp和Z_cb分别表示标定点A、P和B的成像a、p和b在摄像机坐标系中的Z轴坐标。

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