CN110276471B - 优化维修排队系统的方法 - Google Patents
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Abstract
本发明的优化维修排队系统的方法通过引入稳态状态转移频度的计算，能够合理地调配维修工并充分利用维修设备等维修资源，并且能够使维修系统实现效益最大化；另外，能够使维修工人、普通设备维修容量和特殊设备维修容量等维修资源之间相互匹配，极大地节省了人资资源成本和各种设备维修容量的建设与闲置成本；再者，在维修系统建立之前即可得出该系统中维修工人数量、普通设备维修容量以及特殊设备维修容量三者之间的效率效益最大化组合，从而对于维修系统的建立给出极具价值的指导性建议。
Description
技术领域
本发明涉及设备维修技术领域，具体涉及一种优化维修排队系统的方法。
背景技术
随着工业现代化、集成化、智能化的不断推进，设备维修成本与人力成 本在总成本中所占比重逐渐上升，因此对该部分成本的控制成为了设备维修 管理领域研究的新热点。在众多理论中排队理论和马尔科夫过程为系统的成 本分析提供了坚实的基础，受到了广泛关注。
文献1中，首先提出了优先级这一概念，并将其应用在处理器上多任务 的调度。文献2首先提出了离开机制的概念，并将其应用在交通运输系统的 研究中。文献3将离开机制分成止步(balking)、等待离开(reneging)、重新排 队(retrial)三种情况。关于止步机制，文献4和文献5中，分别根据队长和系 统负载(workload，系统负载指当前时刻维修工将系统中所有故障设备均修理 完毕的时间)对故障设备是否进入系统进行判断。假设存在一个阈值，当设 备故障时只有少于N个设备待修或者系统负载小于b时，该设备会进入系 统，否则离开。关于等待离开机制，由于设备进入系统之后，便会产生一个 等待时间上限T，当待修时间超过阈值T后，会因缺乏耐心而离开系统。
目前为止，大多数排队系统都是将优先级和离开机制分割开来进行研 究。实际生产中，较为传统的排队模型因其缺乏灵活性难以广泛应用在复杂 的实际生产过程中。
另外，现有技术中，在考虑系统中各个状态来建立模型时，仅考虑一定 时间内进入该状态频度，而不考虑是从哪个状态进入该状态，即状态转移频 度。如果不考虑状态转移频度，则无法对于维修工和设备启用的情况进行优 化，从而无法充分利用维修工和设备，导致维修效率降低。
现有技术
非专利文献
[1]LIU C L,LAYLAND J W.Scheduling algorithms for multiprogramming ina hard-real-time environment[J].Readings in Hardware/software Co-design,2002,20(1):179-194.
[2]Halfin S,Whitt W.Heavy-traffic limits for queues with manyexponential servers[J].Operations Research.1981,29(3):567-588.
[3]Wang K,Li N,Jiang Z.Queueing system with impatient customers:Areview[C].IEEE International Conference on Service Operations and Logisticsand Informatics.Qing Dao,China:IEEE,2010.
[4]Haight F A.Queueing with Balking.II[J].Biometrika,1960,47(3):285-296.
[5]Garnet O,Mandelbaum A,Reiman M.Designing a Call Center withImpatient Customers[J].Manufacturing&Service Operations Management,2002, 4(3):208-227.
发明内容
发明所要解决的技术问题
以上的现有技术文献中，通常将优先级和离开机制分割考虑，无法充分 调配包括维修工人、普通设备维修容量和特殊设备维修容量在内的维修资 源，从而导致无法实现维修效率与效益的最大化。
而现有技术中，之所以没有将优先级和离开机制分开考虑，重要原因之 一是因为，以往在实际的维修过程中很难统计离开的维修设备的数量和频 率，从而无法对离开的设备数量进行精确描述。
本发明中，通过同时引入优先级和离开机制，并创新性地在模型中引入 稳态状态转移频度，从而能够精确地描述离开设备的数量，进而解决了以往 技术中无法合理地调配维修工人并充分利用维修设备容量等维修资源的技术 问题，极大地减少了由于维修容量饱和或者排队等待时间过长而离开导致的 损失(赔偿)，能够使维修系统实现效率和效益最大化。
本发明中，通过引入稳态状态转移频度的计算，实现了在对维修工人、 普通设备维修容量和特殊设备维修容量等维修资源的有机的统筹安排，使这 些维修资源能够相互匹配，充分减少维修容量饱和或维修人工不足引起的排 队等待时间过长导致的损失(赔偿)，从而极大地节省了人力资源成本和各种 设备维修容量的建设与闲置成本。
再者，通过引入稳态状态转移频度的计算，可以在维修系统建立之前即 可得出该系统中维修工人数量、普通设备维修容量以及特殊设备维修容量三 者之间的效率效益最大化组合，从而对于维修系统的建立给出极具价值的指 导性建议。
解决技术问题的技术方案
[1]一种优化维修排队系统的方法，该方法包括以下步骤：
步骤一：建立状态模型，
设置以下变量：维修工数量c、特殊设备容量G，特殊设备所需的维修工 数量k、普通设备容量N，
将系统按照普通设备个数n进行划分，当n＝0时，把(0,0,0)称为1状态， (0,0,1)为2状态，(0,1,0)为3状态，…，(0,G,1)为2(G+1)状态，以此类推，在 第n个子系统中，(n,0,0)为2(G+1)n+1状态，…，(n,G,1)为2(G+1)(n+1)状态， 当n＝N时，由于转移机制的特殊性，(N,0,0)为2(G+1)N+1状态，(N+1,0,0)为 2(G+1)N+2状态，(N,1,0)为2(G+1)N+3状态,…,(N+1,G,0)为2(G+1)(N+1)状态， 令，GT＝2(G+1)(N+1)，全集S＝{s|s＝1,2,…,GT}为包含所有状态的集合，T为等 待时间的上限；
步骤二：建立维修排队系统状态转移率矩阵，
假设N≥c≥kG，
则系统的状态转移率矩阵可以写成：
B矩阵表示普通设备减少的转移率矩阵，
Bn＝{Bi,j}4(G+1)×(G+1)，n＝1,2,L,N (2)
i表示：转出状态，j表示：转入状态，
其中，
μ1表示：普通设备维修率，ρ表还普通设备到达离开状态率，
C矩阵表示普通设备增多的转移率矩阵，
Cn＝{Ci,j}4(G+1)×(G+1)，n＝0,1,2,L,N-1 (4)
其中，
C2i+1,2i+1＝λ1，i＝0,1,2,L,G (5)
当n＝0,1,2,…,N-1时，A矩阵表示n相同的两个状态序列中状态内部之间 的转移率矩阵；当n＝N时，A矩阵表示n＝N,N+1，v＝0的两个状态序列中状态 之间的转移率矩阵；这里包含了最后一个关键状态序列发生的位置，
An＝{Ai,j}4(G+1)×(G+1),n＝0,1,2,L,N (6)
A中只有非对角线元素才表示这2(G+1)个状态内部之间的转移，对角线 元素ai,i为马尔科夫过程的形式元素，
其中，当n＝0,1,2,…,N-1时
当n＝N时
μ3表示设备等待离开率，μ4表示设备止步离开率，
步骤三：计算稳态状态转移频度，
设
表示从i状态出发在t+Δt时间内从l状态向z状态转移的次 数，l,z∈S。
当l≠z时
式(10)中，第一式中的1表示系统状态在Δt内从l状态向z状态转移了1 次，即
Pi,j(Δt)表示在Δt时间内由i状态向j状态转移概率，由指 数分布性质可得
其中，qi,j即为矩阵Q中第i行第j列的元素。式(11)可化简为
代入式(10)可得到
令Δt→0，式(13)右端的极限存在，因此左端的极限也存在，因而
可 微，由
的定义，显然有/>
i∈S。
初始状态从1到GT排序，可以写成矩阵的形式
其中，Ml,z(t)为列向量
Wl,z为列向量/>
只有/>
其余位置均为零，0为元素全为零的GT维列向量，
前面已证Ml,z(t)是可微的，令其导数为
称
为系统从i状态出发，在时刻t从l状态转移到z状态的瞬时频 度，为解方程组(14)，对该式的两端乘以e-st，并将t从0到∞积分，并且
其中，e表示：自然底数，
可得方程组
其中，
则
反演式(18)可求得ml,z(t)，同样根据托贝尔定理，可以得出稳态状态转移 频度ml,z，
步骤四：计算关键状态的转移频度，
步骤五：计算普通设备待修时间，
步骤六：优化系统运行费用。
[2]根据上述[1]所述的优化维修排队系统的方法，其中，所述关键状态的 转移频度包括：
(1)维修普通设备频度Ln
(2)维修特殊设备频度Lg
(3)等待离开的设备频度La
(4)止步的设备频度Le
[3]根据上述[1]所述的优化维修排队系统的方法，其中，
所述计算普通设备待修时间根据状态改变的原因将Td划分为4个部分组 成：
Td＝Td1+Td2+Td3+Td4 (24)
普通设备维修完毕前的等待时间Td1，由(n,g,0)状态转移到(n-1,g,0)状态：
其中，i＝2(G+1)n+2g+1，j＝2(G+1)(n-1)+2g+1；
n＝c-kg+1表示有普通设备待修；
特殊设备维修完毕前的等待时间Td2，由(n,g,0)状态转移到(n,g-1,0)状态：
其中，i＝2(G+1)n+2g+3，j＝2(G+1)n+2g+1；
普通设备等待离开前的等待时间Td3，由(n,g,0)状态先转移到(n-1,g,1)状 态，再由(n-1,g,1)状态转移到(n-1,g,0)状态，由于μ3→∞，(n-1,g,1)状态转移到 (n-1,g,0)状态时间忽略不计，
其中，i＝2(G+1)n+2g+1，j＝2(G+1)(n-1)+2g+2；
普通设备止步前的等待时间Td4，由(N,g,0)状态转移到(N+1,g,0)状态，再 由(N+1,g,0)状态转移到(N,g,0)状态，由于μ4→∞，(N+1,g,0)状态转移到(N,g,0) 状态时间忽略不计，
其中，i＝2(G+1)N+2g+1，j＝2(G+1)N+2g+2。
技术效果
本发明的优化维修排队系统的方法通过引入稳态状态转移频度的计算， 能够合理地调配维修工并充分利用维修设备等维修资源，极大地减少了由于 维修容量饱和或者排队等待时间过长而离开导致的损失(赔偿)，能够使维修 系统实现效益最大化；另外，能够使维修工人、普通设备维修容量和特殊设 备维修容量等维修资源之间相互匹配，充分减少维修容量饱和或维修人工不 足引起的排队等待时间过长导致的损失(赔偿)，极大地节省了人资资源成本 和各种设备维修容量的建设与闲置成本；再者，在维修系统建立之前即可得 出该系统中维修工人数量、普通设备维修容量以及特殊设备维修容量三者之 间的效率效益最大化组合，从而对于维修系统的建立给出极具价值的指导性 建议。
附图说明
图1是模型状态转移机制示意图；
图2是矩阵求逆时间对比；
图3是状态转移频度算法的模拟与理论计算的对比；
图4(a)是当k＝1时系统盈利分布图，
图4(b)是当k＝2时系统盈利分布图，
图4(c)是当k＝3时系统盈利分布图，
图4(d)是当k＝4时系统盈利分布图，
图4(e)是当k＝5时系统盈利分布图，
图4(f)是当k＝6时系统盈利分布图，
图4(g)是当k＝7时系统盈利分布图，
图5是计算例中系统各部分收支占比。
具体实施方式
在本发明中，同时考虑了优先级(特别是强占性优先级)以及离开机制(特 别是止步机制和等待离开机制)。这较此前的仅考虑优先级或者只考虑离开 机制的模型，考虑到了系统中的更多的实时状态以及状态转移情况。从而使 得模型对于维修排队系统的预测和指导更为准确。
本发明的优化维修排队系统的方法大致可以分为以下几个步骤：
步骤一：建立状态转移模型。
为了更为贴近实际生产过程，本发明在建立模型时，将待修设备分为普 通设备和特殊设备。特殊设备享有强占性优先级，并且由多个维修工服务， 且维修同一台设备的维修工数量越多，维修速度越快。以维修工数量c、特 殊设备容量G，特殊设备所需的维修工数量k、普通设备容量N为变量，结 合马尔科夫过程计算状态转移频度、待修设备等待时间、系统运行费用等系 统指标。
该模型可以表述为M/M/c/N排队系统，普通设备的维修方式为先到先服 务，令n(t)代表t时刻普通设备数目，令g(t)代表t时刻特殊设备数目，v(t) 表示t时刻因等待即将离开系统的普通设备数，那么系统的状态便可以表示 为(n(t),g(t),v(t))，后简记为(n,g,v)。具体内容如下：
(1)该系统具有普通、特殊两类设备，普通、特殊设备在单位时间内到达 次数服从参数为λ1、λ2的泊松分布，即两种设备的到达时间均服从λ1、λ2的 指数分布。
(2)系统中共有c个维修工，1个普通设备由1名维修工维修，1个特殊 设备由k名维修工维修。特殊设备到达系统时，k个维修工立即对其进行维 修，当维修工数量不足时，会抢占普通设备的维修工优先对其进行维修。普 通、特殊设备维修时间分别服从μ1、μ2的指数分布。为保障特殊设备的优先 性，系统中最多存在[c/k]个特殊设备。
(3)等待离开表示：普通设备待修时间超过等待时间上限时，普通设备便 会离开维修厂，等待时间上限服从参数为ρ的指数分布。v＝0表示没有设备 会因为等待而准备离开系统，但不排除有设备正在等待；v＝1表示有一个普 通设备因等待而准备离开系统，当此普通设备离开系统后，系统会立即进入 v＝0的对应状态。普通设备等待离开时间服从参数为μ3的指数分布，其中 μ3→∞，表示两个状态转移是无延时的。因此，也不会存在多个普通设备同 时离开系统的现象，所以v最大为1。
(4)止步表示：当普通设备数到达N时，修理厂将不再接受普通设备修 理任务，直到普通设备个数小于N。当普通设备数量到达N后，普通设备仍 可到达维修厂，但是到达之后立即离开，即离开时间服从参数为μ4的指数分 布，其中μ4→∞。
(5)普通、特殊设备的到达间隔、维修时间相互独立，普通设备服务规则 为FCFS(first come first served)。
如此描述系统状态的指标构成了一个三维马尔科夫过程(n,g,v)，其状态 空间为：
E＝{[n,g,v]|n＝0,1,2,...,N+1；g＝0,1,...,G；v＝0,1} (29)
马尔科夫过程的状态转移机制见图1所示。结合分块化思想，将系统按 照普通设备个数n进行划分。当n＝0时，把(0,0,0)称为1状态，(0,0,1)为2 状态，(0,1,0)为3状态，…，(0,G,1)为2(G+1)状态。以此类推，在第n个子 系统中，(n,0,0)为2(G+1)n+1状态，…，(n,G,1)为2(G+1)(n+1)状态。当n＝N 时，由于转移机制的特殊性，(N,0,0)为2(G+1)N+1状态，(N+1,0,0)为 2(G+1)N+2状态，(N,1,0)为2(G+1)N+3状态,…,(N+1,G,0)为2(G+1)(N+1)状 态，令，GT＝2(G+1)(N+1)。全集S＝{s|s＝1,2,…,GT}为包含所有状态的集合。 全集S和全集E表示状态相同，只不过状态的表示形式不同。用三个参数表 示状态会使得有些状态数学中可以表达，实际中是不存在的，如(0,0,1)，即 普通设备和特殊设备均未进入系统，但却有一个普通设备要离开。系统不可 能处于此类状态，此类状态到达率为0，只为简化模型构建过程而设置。
其中，μ1表示普通设备维修率；μ2表示特殊设备维修率；μ3表示设备等 待离开率；μ4表示设备止步离开率；λ1表示普通设备到达率；λ2表示特殊设 备到达率；ρ表还普通设备到达离开状态率。
系统可以用三维行向量表示，第一个元素表示系统中普通设备数量，系 统中普通设备数量最多为N，第二个元素表示系统中特殊设备数量，最大为 G，第三个元素代表系统中准备离开的设备数量，最大为1。
(0,0,0)表示系统初始状态，各种设备数量均为0，(l,G,1)表示系统中有l 台普通设备，G台特殊设备和1台准备离开系统的设备。
当系统中存在G台特殊设备和l台普通设备时，系统中维修工全部处于 工作状态。由于维修存在优先次序，所以当系统中再出现1台普通设备时， 便会处于无人维修状态，此时系统处于(l+1,G,0)状态。无人维修设备会因等 待时间过长而选择离开系统，其速率为ρ。若该状态达成，则系统进入 (l,G,1)状态，并以速率μ3到达(l,G,0)状态。
图1中止步虚线框中的状态均会出现止步离开的情况。虽然系统中普通 设备最多有N台，例如(N,G,0)状态，但是普通设备依旧会以速率λ1进入系 统，此时系统处于(N+1,G,0)状态。最后进来的设备会以速率μ4离开系统， 使系统重新回到(N,G,0)状态。
具体而言，将空间状态按字典排序，状态转移机制如图1所示。将n和 v相同的状态集合称为一个状态序列，图中有三个关键状态序列，一、为等 待离开的序列，此时系统中普通设备数量为l+1，l＝c-kG，在特殊设备全部 到齐的情况下普通设备会出现等待离开；二、维修工缺乏序列，此时普通设 备数量为c，只要特殊设备加入队列便会出现普通设备等待离开；三、为止 步序列，此时普通设备数量为N，队列中普通设备数量达到容量，后续普通设备一旦进入系统便会马上离开(即为止步)。
步骤二：建立维修排队系统状态转移率矩阵。
为满足特殊顾客都能够得到及时维修，则假设N≥c≥kG。
系统的状态转移率矩阵可以写成：
B矩阵表示普通设备减少的转移率矩阵。这里需要注意前两个关键状态 序列发生的位置。
Bn＝{Bi,j}4(G+1)×(G+1)，n＝1,2,L,N (31)
其中，
C矩阵表示普通设备增多的转移率矩阵。
Cn＝{Ci,j}4(G+1)×(G+1)，n＝0,1,2,L,N-1(33)
其中，
C2i+1,2i+1＝λ1，i＝0,1,2,L,G(34)
当n＝0,1,2,…,N-1时，A矩阵表示n相同的两个状态序列中状态内部之 间的转移率矩阵；当n＝N时，A矩阵表示n＝N,N+1，v＝0的两个状态序列中 状态之间的转移率矩阵。这里包含了最后一个关键状态序列发生的位置
An＝{Ai,j}4(G+1)×(G+1),n＝0,1,2,L,N(35)
其实A中只有非对角线元素才表示这2(G+1)个状态内部之间的转移， 对角线元素ai,i为马尔科夫过程的形式元素
其中，当n＝0,1,2,…,N-1时
当n＝N时
步骤三：计算稳态状态转移频度。
对于上述模型，进行系统稳态求解。
系统稳态求解包括稳态状态概率和稳态状态转移频度。
1.稳态状态概率求解
令P(t)＝[P1(t),P2(t),…,PGT(t)]表示在时间t时系统处于各状态的概率
两端做拉普拉斯变换，可得：
P*(s)＝P(0)(sI-Q)-1,s＞0 (40)
其中，I为单位阵。根据托贝尔定理可知
其中，P＝[P1,P2,…,PGT]表示稳态时，处于各状态的概率，也可以理解为 稳态时各状态停留时间的比例。
2.稳态状态转移频度
在本发明中，通过计算稳态状态转移频度来对离开的维修设备的数量进 行计数。所述状态转移频度指状态间的转移频度，区别以往的仅仅是进入状 态的频度。设
表示从i状态出发在t+Δt时间内从l状态向z状态转 移的次数，l,z∈S。
当l≠z时
其中，第一式中的1表示系统状态在Δt内从l状态向z状态转移了1 次，即
Pi,j(Δt)表示在Δt时间内由i状态向j状态转移概率，由指 数分布性质可得
其中，qi,j即为矩阵Q中第i行第j列的元素。式(43)可化简为
代入式(42)可得到
令Δt→0，式(45)右端的极限存在，因此左端的极限也存在，故
可 微。由
的定义，显然有/>
i∈S。
初始状态从1到GT排序，可以写成矩阵的形式
其中，Ml,z(t)为列向量
Wl,z为列向量/>
/>
只有/>
其余位置均为零，0为元素全为零的GT维列向 量。
前面已证Ml,z(t)是可微的，令其导数为
称
为系统从i状态出发，在时刻t从l状态转移到z状态的瞬时频 度。为解方程组(46)，对该式的两端乘以e-st，并将t从0到∞积分，并且
可得方程组
其中，
则
反演式(50)可求得ml,z(t)。同样根据托贝尔定理，可以得出稳态状态转移 频度ml,z。
由于ml,z为稳态时从l状态向z状态转移的频度，故与初始状态无关， 因此ml,z中个元素均相同。后文均建立在系统稳态的基础上，为书写方便令
当l＝z时，根据Markov过程性质，在Δt时间内不能发生两次状态转 移，因此mz,z＝0。
3.分块矩阵求逆方法
求解系统稳态求解的重点就是求解(sI-Q)的逆矩阵，(sI-Q)为GT阶的符 号矩阵，随着GT的增大，求逆矩阵速度也急剧下降，为了提高计算效率， 结合文献[19]，下面给出一种基于分块矩阵理论的矩阵求逆算法。
进行矩阵化简，设Dn＝sI-An,En＝-Bn,Fn＝-Cn,n＝0,1,…,N，那么
因为H是块三对角矩阵，且H的各阶顺序主子式均不为0，那么H的 逆矩阵一定存在H-1＝R＝{rij}(N+1)·(N+1)，则存在四个(N+1)×1行向量，其中每个 元素均为2(G+1)×2(G+1)块矩阵，使得：
g＝(g0,g1,L,gN),h＝(h0,h1,L,hN)；
x＝(x0,x1,L,xN),y＝(y0,y1,L,yN). (54)
在计算时只能用到hi，gi下面只给出hi，gi的计算：
由式(56)可简便算出块三对角矩阵的逆矩阵。同时，根据马尔科夫过程 稳态解的性质可以知道，无论系统从什么状态出发，稳态时的结果都是相同 的，因此，不妨假设系统的初始状态与式(39)中相同，那么计算求逆矩阵便 只需计算R的第一行{r0j}j＝0,2,…,N，求解逆矩阵的工作量理论上可缩减为 1/(N+1)，大大提高计算效率。
步骤四：计算关键状态的转移频度。
提出下列系统运行指标。
1.关键状态转移频度
系统中关键状态间的频度是系统运行指标的重要组成部分，其主要包括 了设备维修完成的频度和由于离开机制离开的设备频度。
(1)维修普通设备频度Ln
(2)维修特殊设备频度Lg
从式(57)和式(58)中可以看出部分转入状态是相同的，如果不对转出状 态加以区分，则不能判断出是普通设备维修完毕还是特殊设备维修完毕。因 此，状态间的转移频度，要比单纯的状态转入频度更具价值。
(3)等待离开的设备频度La
当n>c-kg时，即维修工人手不足，普通设备不能得到及时维修，会出现 等待离开现象。从(n,g,0)状态转移到(n-1,g,1)状态，因为μ3→∞，而后(n- 1,g,1)状态瞬间转移到(n-1,g,0)状态。计算(n-1,g,1)状态转移到(n-1,g,0)状态的 频度即可得到La
从(n-1,g,1)状态转移到(n-1,g,0)状态是瞬间完成的，故在(n-1,g,1)状态上 停留的时间为零，即任何时刻系统处于该状态的概率为零。而(n-1,g,1)状态 是判断普通设备是否等待离开系统的决定性状态，因此，无法利用状态概率 判断是否有普通设备等待离开系统。从式(59)可以看出，状态转移频度可以 妥善解决以上问题。所以状态转移频度比状态转移概率在系统指标求解方面 表现的更加灵活。这种优势同样体现在止步离开的设备频度求解上。
(4)止步的设备频度Le
若系统的普通设备容量为N，那么当再有普通设备到达系统后，便会马 上离开。系统从(N,g,0)状态转移到(N+1,g,0)状态。因为μ3→∞，而后 (N+1,g,0)瞬间转移到(N,g,0)。只需计算(N+1,g,0)状态转移到(N,g,0)状态的频 度即可得到Le。
2.稳态时状态转移频度与状态转移概率的关系
稳态时状态转移概率矩阵Pij
Pi,j＝ti·mi,j (61)
稳态时状态概率Pi
ti表示从i状态向其他可直达状态转移的时间，由于是竞争关系，所以ti为从i状态向各状态转移时间的最小值。由多个独立分布的最小值期望与指 数分布的性质，可以推导出
步骤五：计算普通设备待修时间。
在系统稳态下普通设备待修时间Td，指系统运行区间Ts内，所有普通 设备待修时间总和。不仅需要考虑状态停留时间，同时还需考虑对应状态待 修普通设备数量。状态转移之后，可以根据转移过程得出状态改变原因，因 此，根据状态改变的原因将Td划分为4个部分组成。
Td＝Td1+Td2+Td3+Td4 (64)
普通设备维修完毕前的等待时间Td1，由(n,g,0)状态转移到(n-1,g,0)状 态。
其中，i＝2(G+1)n+2g+1，j＝2(G+1)(n-1)+2g+1；
n＝c-kg+1表示有普通设备待修；
特殊设备维修完毕前的等待时间Td2，由(n,g,0)状态转移到(n,g-1,0)状 态。
其中，i＝2(G+1)n+2g+3，j＝2(G+1)n+2g+1。
普通设备等待离开前的等待时间Td3，由(n,g,0)状态先转移到(n-1,g,1)状 态，再由(n-1,g,1)状态转移到(n-1,g,0)状态，由于μ3→∞，(n-1,g,1)状态转移到 (n-1,g,0)状态时间忽略不计。
其中，i＝2(G+1)n+2g+1，j＝2(G+1)(n-1)+2g+2。
普通设备止步前的等待时间Td4，由(N,g,0)状态转移到(N+1,g,0)状态，再 由(N+1,g,0)状态转移到(N,g,0)状态，由于μ4→∞，(N+1,g,0)状态转移到(N,g,0) 状态时间忽略不计。
其中，i＝2(G+1)N+2g+1，j＝2(G+1)N+2g+2。
对式(65)-式(68)的求解过程的解释如下：Ts·Pi,j表示系统运行时间内，向 j状态转移之前在i状态停留的时间。再乘以此段时间内待修设备的数量(n- c+kg)，得出该状态转移下普通设备等待的总时间。最后对相应状态转移进行 求和，得出对应原因下普通设备待修时间总和。
步骤六：优化系统运行费用。
应用模型时可以根据系统参数c、k、N来计算系统的盈利，由此以系统 盈利最大为目标函数来匹配系统参数，影响系统盈利的因素：
(1)单位时间内系统因维修设备的盈利，包括两部分：维修普通设备频度 ×单个普通设备工厂盈利，即LnCn；维修特殊设备频度×单个特殊设备工厂盈 利，即LgCg。
(2)单位时间内系统因普通设备离开而产生的费用，分为两部分，包括 单位时间内等待离开系统设备个数×单个设备等待离开的费用LaCa和因为工 厂待修设备饱和而不能服务的设备×单个设备止步的费用LeCe。
(3)系统因待修设备等待时间而产生的费用，普通设备等待维修时间×单 位时间排队设备的花费，即TdCd。
(4)系统雇佣维修工的费用，维修工数量×单个维修工工资，即cCc。
(5)由于维修车辆会抢占保养车辆的位置，因此无需额外增设，所以场地 费用只需考虑保养车辆数量。维修厂场地费用，保养车辆上限×单个工位费 用，即NCN
系统总盈利C为
C＝Ts(LnCn+LgCg-LaCa-LeCe) -TdCd-cCc-NCN (69)
实施例
下面根据本发明的优化方法，列举以下实施例。应该理解的是，该实施 例仅仅是对本发明的优化方法的一个应用例，并不对本发明的范围造成限 定。
以某维修厂为例。该维修厂主要负责汽车的保养和维修。维修厂内有c 个维修工，每个维修工负责一辆汽车的保养。有汽车需要维修时，会有k个 维修工立即对其进行维修，k越大维修效率越高，其余维修工仍负责汽车的 保养。如果维修工人数不足时，会中断当前的保养工作，优先服务于维修车 辆。为保证维修的及时性以及维修厂场地的限制，维修厂最多只能同时接纳 G辆汽车维修及N辆汽车同时保养。为控制系统规模，又不失一般性，这里 取G＝2。
需要保养及维修的汽车到达时间服从指数分布，保养汽车平均到达时间 40分钟/辆，维修汽车平均到达时间200分钟/辆，汽车的维修及保养时间服 从指数分布，汽车平均保养时间240分钟/辆，汽车平均维修时间360/1.2k-1 分钟/辆。若有保养汽车在队列中等待，排队中的车辆会以参数为120分钟/ 辆的指数分布离开维修厂。
保养汽车维修厂盈利1200元/辆，维修汽车维修厂盈利7000元/辆，汽 车等待成本为10元/(分钟·辆)，汽车等待离开时维修厂会损失1200元/辆， 汽车止步时维修厂会损失3000元/辆，维修工雇佣费30000元/(人·月)，场地 金为10000元/(辆·月)。那么，可以通过确定系统参数k、c、N来实现工厂盈 利最大化。
(1)分块矩阵与全矩阵求逆对比
在马尔科夫过程的运算中，最耗费时间的是式(40)和式(50)中(sI-A)矩阵 的求逆过程，本文采用分块矩阵法对该部分进行了计算简化，并于全矩阵求 逆的方法进行对比。计算机性能为i5-4590cpu，16GB内存，64位win7操 作系统，计算软件采用Matlab2018a。对比结果如图2所示。
图2中(a)为采用分块矩阵求逆法所用的，(b)为采用Matlab自带的全矩 阵求逆函数所需时间，两种方法计算时间差距随矩阵规模的增大而拉大。当 k＝2，c＝15，N＝18时，采用分块矩阵求逆只需83s，而采用全矩阵求逆法则 需要1794s，两者相差近20倍。因此对于大规模矩阵求逆来说分块矩阵法是 十分有利的。矩阵规模跟N有直接关系，其具体数据如表1所示。
表1矩阵规模
(2)状态转移频度算法的模拟与理论计算对比
为证明本文所提状态转移频度算法的正确性，采用MCMC(Markov Chain MonteCarlo)方法对其进行验证，采用k＝2，c＝5，N＝5的系统，选取了 出现次数较多的几个状态转移过程进行对比，如图3所示。
从图3中可以看出，随着模拟运行时间的增加，模拟结果与理论计算结 果越来越接近。当运行时间为106分钟时(7.6年)时已基本接近理论结算结 果，运行到107分钟时，各状态转移频度的模拟与理论计算结果几乎重合。
(3)对维修系统排队的优化
以一月为限，每月工作30天，每天工作8小时，则全月工作时间 Ts＝30×8×60＝14400(分钟)，利用式(69)计算系统盈利，对于k取不同值时计 算结果如图4(a)～(g)所示。图4(a)～(g)中右下三角区域中颜色越浅代表盈利越 高。
从图4可以看出，系统盈利最大的点出现在c＝12，N＝12附近，随着k 不断增大，系统的最大盈利呈现先增后减的趋势，在k＝6，c＝12，N＝12时取 得最大值C＝35.1万元。其中各部收支利占比如图5所示，
图5中外圈表示系统收入，共92.2万元，内圈表示系统支出，共57.1 万元。系统的收入主要为汽车维修，占总收入的56％；系统中人员和场地支 出占比较高，分别占比支出的63％和25％，而由于未能及时维修造成的赔偿 金额则仅占比支出的12％，说明在此配置下车辆基本能够得到妥善保养，到 厂后，不保养便离开的情况发生较少。由式(59)和式(60)计算可得每月等待 离开的保养车辆为32.7辆，止步的保养车辆为3.7辆，供需赔偿5万元。
本发明的有益效果
本发明中，创新性地在模型中引入稳态状态转移频度，能够精确地描述 离开设备的数量，从而能够合理地调配维修工人并充分利用维修设备容量等 维修资源，极大地减少了由于维修容量饱和或者排队等待时间过长而离开导 致的损失(赔偿)，实现维修系统实现效率和效益最大化。
本发明中，通过引入稳态状态转移频度的计算，实现了在对维修工人、 普通设备维修容量和特殊设备维修容量等维修资源的有机的统筹安排，使这 些维修资源能够相互匹配，充分减少了维修容量饱和或维修人工不足引起的 排队等待时间过长导致的损失(赔偿)，从而极大地节省了人资资源成本和各 种设备维修容量的建设与闲置成本。
再者，通过引入稳态状态转移频度的计算，可以在维修系统建立之前即 可得出该系统中维修工人数量、普通设备维修容量以及特殊设备维修容量三 者之间的效率效益最大化组合，从而对于维修系统的建立给出极具价值的指 导性建议。
Claims (3)
1.一种优化维修排队系统的方法，该方法包括以下步骤：
步骤一：建立状态模型，
设置以下变量：维修工数量c、特殊设备容量G，特殊设备所需的维修工数量k、普通设备容量N，
将系统按照普通设备个数n进行划分，当n＝0时，把(0,0,0)称为1状态，(0,0,1)为2状态，(0,1,0)为3状态，…，(0,G,1)为2(G+1)状态，以此类推，在第n个子系统中，(n,0,0)为2(G+1)n+1状态，…，(n,G,1)为2(G+1)(n+1)状态，当n＝N时，由于转移机制的特殊性，(N,0,0)为2(G+1)N+1状态，(N+1,0,0)为2(G+1)N+2状态，(N,1,0)为2(G+1)N+3状态,…,(N+1,G,0)为2(G+1)(N+1)状态，令，GT＝2(G+1)(N+1)，全集S＝{s|s＝1,2,…,GT}为包含所有状态的集合，T为等待时间的上限；
步骤二：建立维修排队系统状态转移率矩阵，
假设N≥c≥kG，
则系统的状态转移率矩阵可以写成：
B矩阵表示普通设备减少的转移率矩阵，
Bn＝{Bi,j}4(G+1)×(G+1)，n＝1,2,…,N (2)
i表示：转出状态，j表示：转入状态，
其中，
μ1表示：普通设备维修率，ρ表还普通设备到达离开状态率，
C矩阵表示普通设备增多的转移率矩阵，
Cn＝{Ci,j}4(G+1)×(G+1)，n＝0,1,2,…,N-1 (4)
其中，
C2i+1,2i+1＝λ1，i＝0,1,2,…,G (5)
当n＝0,1,2,…,N-1时，A矩阵表示n相同的两个状态序列中状态内部之间的转移率矩阵；当n＝N时，A矩阵表示n＝N,N+1，v＝0的两个状态序列中状态之间的转移率矩阵；这里包含了最后一个关键状态序列发生的位置，λ1表示普通设备到达率，
An＝{Ai,j}4(G+1)×(G+1),n＝0,1,2,…,N (6)
A中只有非对角线元素才表示这2(G+1)个状态内部之间的转移，对角线元素ai,i为马尔科夫过程的形式元素，
其中，当n＝0,1,2,…,N-1时
当n＝N时
μ3表示设备等待离开率，μ4表示设备止步离开率，
步骤三：计算稳态状态转移频度，
设
表示从i状态出发在t+Δt时间内从l状态向z状态转移的次数，l,z∈S，
当l≠z时
式(10)中，第一式中的1表示系统状态在Δt内从l状态向z状态转移了1次，即
Pi,j(Δt)表示在Δt时间内由i状态向j状态转移概率，由指数分布性质可得
其中，qi,j即为矩阵Q中第i行第j列的元素，式(11)可化简为
代入式(10)可得到
令Δt→0，式(13)右端的极限存在，因此左端的极限也存在，因而
可微，由/>
的定义，显然有/>
i∈S，
初始状态从1到GT排序，可以写成矩阵的形式
其中，Ml,z(t)为列向量
Wl,z为列向量/>
只有/>
其余位置均为零，0为元素全为零的GT维列向量，
前面已证Ml,z(t)是可微的，令其导数为
称
为系统从i状态出发，在时刻t从l状态转移到z状态的瞬时频度，为解方程组(14)，对该式的两端乘以e-st，并将t从0到∞积分，并且
其中，e表示：自然底数，
可得方程组
其中，
则
反演式(18)可求得ml,z(t)，同样根据托贝尔定理，可以得出稳态状态转移频度ml,z，
步骤四：计算关键状态的转移频度，
步骤五：计算普通设备待修时间，
步骤六：优化系统运行费用，
基于以下影响因素参数，使系统收益最大化：
(1)单位时间内系统因维修设备的盈利，包括两部分：维修普通设备频度×单个普通设备工厂盈利，即LnCn；维修特殊设备频度×单个特殊设备工厂盈利，即LgCg；
(2)单位时间内系统因普通设备离开而产生的费用，分为两部分，包括单位时间内等待离开系统设备个数×单个设备等待离开的费用LaCa和因为工厂待修设备饱和而不能服务的设备×单个设备止步的费用LeCe；
(3)系统因待修设备等待时间而产生的费用，普通设备等待维修时间×单位时间排队设备的花费，即TdCd；
(4)系统雇佣维修工的费用，维修工数量×单个维修工工资，即cCc；
(5)由于维修车辆会抢占保养车辆的位置，因此无需额外增设，所以场地费用只需考虑保养车辆数量；维修厂场地费用，保养车辆上限×单个工位费用，即NCN；
系统总盈利C为：
C＝Ts(LnCn+LgCg-LaCa-LeCe)-TdCd-cCc-NCN (69)。
2.根据权利要求1所述的优化维修排队系统的方法，其中，所述关键状态的转移频度包括：
(1)维修普通设备频度Ln
(2)维修特殊设备频度Lg
(3)等待离开的设备频度La
(4)止步的设备频度Le
3.根据权利要求1所述的优化维修排队系统的方法，其中，
所述计算普通设备待修时间根据状态改变的原因将Td划分为4个部分组成：
Td＝Td1+Td2+Td3+Td4 (24)
普通设备维修完毕前的等待时间Td1，由(n,g,0)状态转移到(n-1,g,0)状态：
其中，i＝2(G+1)n+2g+1，j＝2(G+1)(n-1)+2g+1；
n＝c-kg+1表示有普通设备待修；
特殊设备维修完毕前的等待时间Td2，由(n,g,0)状态转移到(n,g-1,0)状态：
其中，i＝2(G+1)n+2g+3，j＝2(G+1)n+2g+1；
普通设备等待离开前的等待时间Td3，由(n,g,0)状态先转移到(n-1,g,1)状态，再由(n-1,g,1)状态转移到(n-1,g,0)状态，由于μ3→∞，(n-1,g,1)状态转移到(n-1,g,0)状态时间忽略不计，
其中，i＝2(G+1)n+2g+1，j＝2(G+1)(n-1)+2g+2；
普通设备止步前的等待时间Td4，由(N,g,0)状态转移到(N+1,g,0)状态，再由(N+1,g,0)状态转移到(N,g,0)状态，由于μ4→∞，(N+1,g,0)状态转移到(N,g,0)状态时间忽略不计，
其中，i＝2(G+1)N+2g+1，j＝2(G+1)N+2g+2。
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