CN110210094B - 一种基于惩罚凹凸过程的fbmc信号papr降低方法 - Google Patents

一种基于惩罚凹凸过程的fbmc信号papr降低方法 Download PDF

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CN110210094B CN201910436608.1A CN201910436608A CN110210094B CN 110210094 B CN110210094 B CN 110210094B CN 201910436608 A CN201910436608 A CN 201910436608A CN 110210094 B CN110210094 B CN 110210094B
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Abstract

本发明提出了一种基于惩罚凹凸过程的FBMC信号PAPR降低方法，该方法包括如下步骤：首先根据FBMC系统的参数构建优化问题，即以发送符号为变量，以数据子载波上的符号形变和自由子载波上的发送功率为约束，最小化一帧FBMC信号的PAPR；其次对优化问题进行等价转化，获得满足惩罚凹凸过程算法框架的等价问题；然后根据基于惩罚凹凸过程的两层迭代算法对优化问题进行求解，其中外层迭代更新惩罚参数，内层迭代固定惩罚参数并根据凹凸过程和块坐标下降法对惩罚问题进行求解；最后输出计算结果，得到拥有较低PAPR的FBMC发送信号；本发明利用了惩罚凹凸过程来优化降低FBMC信号的PAPR，相比于传统的启发式迭代算法，该方法能够在误码率小幅上升的情况下显著降低FBMC信号的PAPR。

Description

一种基于惩罚凹凸过程的FBMC信号PAPR降低方法
技术领域
本发明涉及一种FBMC信号PAPR降低方法，尤其涉及在发送信号满足一定形变约束的情况下，利用惩罚凹凸过程来最小化一帧FBMC信号PAPR的方法。
背景技术
FBMC是一种基于脉冲成型，也即子载波滤波的多载波调制方式。根据Heisenberg-Gabor不确定性原理，一个脉冲的时域和频域宽度无法同时减小。为了降低带外频谱泄露，FBMC采用频域宽度较窄的成型脉冲，而相应的脉冲时域宽度会增大。FBMC所采用的成型脉冲的时域宽度通常为数个符号周期，相邻的符号间会存在交叠，故FBMC是一种非正交的波形。
类似于传统的OFDM，FBMC信号具有较高的PAPR，需要在发送端进行降低以提高功率放大器的效率。然而，由于FBMC的符号间存在交叠，在降低一个符号区间内信号的PAPR时，相邻符号区间内信号的PAPR也会受到影响，故为传统OFDM设计的逐符号PAPR降低算法不再适用于FBMC系统。在为FBMC设计PAPR降低方法时，需要考虑符号间的交叠。
传统的针对FBMC的PAPR降低方法以启发式算法为主。本发明提出了一种通过引入信号畸变并优化发送符号来最小化一帧FBMC信号PAPR的方法。由于优化时以数据子载波上的符号形变和自由子载波上的发送功率为约束，信号畸变引起的误码率性能恶化被控制在一定程度下；所提出的算法在满足约束的情况下求解以最小化信号PAPR为目标函数的优化问题，相比于启发式算法能够更有效地降低FBMC信号PAPR。
发明内容
本发明的目的是针对FBMC提出一种基于优化的PAPR降低方法，该方法能够处理FBMC的符号间交叠，且能够比传统的启发式算法更有效地降低FBMC信号PAPR。
为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案如下：一种基于惩罚凹凸过程的FBMC信号PAPR降低方法，其特征在于，具体包括如下步骤：
1、根据FBMC系统的参数构建优化问题，即以发送符号为变量，以数据子载波上的符号形变和自由子载波上的发送功率为约束，最小化一帧FBMC信号的PAPR。FBMC系统的子载波数为N，其中实际用来传输数据的数据子载波的集合为
Figure BDA0002070703940000011
原型滤波器的重叠因子为β，过采样系数为l，一帧信号包含M个FBMC符号，采用OQAM符号调制，故整帧信号长度为K＝(M+β-1/2)lN。根据这些参数，可以构建以下优化问题：
Figure BDA0002070703940000021
Figure BDA0002070703940000022
Figure BDA0002070703940000023
Figure BDA0002070703940000024
其中s＝[s1,s2,…,sK]T表示时域信号，am＝[am,1,am,2,…,am,N]T表示第m个符号区间的实数频域发送符号，a0,m表示原始的没有形变的频域传输符号，常数γ为数据子载波上的符号形变门限，而η为自由子载波上的功率门限；矩阵D是一个具有对角结构的选择矩阵，其中，若子载波n是一个数据子载波，也即
Figure BDA0002070703940000025
则有Dn,n＝1，否则Dn,n＝0。而
Figure BDA0002070703940000026
是FBMC调制矩阵，其中
Figure BDA0002070703940000027
和
Figure BDA0002070703940000028
分别表示
Figure BDA0002070703940000029
和
Figure BDA00020707039400000210
的零矩阵；H是一个βlN×N的脉冲成形矩阵，其第p行q列的元素为
Figure BDA00020707039400000211
其中h(p)表示原型滤波器的第p个时域抽头系数；而Φm是一个对角相位矩阵，描述符号区间m中各载波上传输符号的相位旋转，并且可表示为Φm＝diag[jm+0(-1)°,jm+1(-1)m,…,jm+N-1(-1)m(N-1)]；
2、对优化问题进行等价转化，获得一个满足惩罚凹凸过程算法框架的等价问题。引入辅助变量
Figure BDA00020707039400000212
其中r是
Figure BDA00020707039400000213
的紧上界，
Figure BDA00020707039400000214
和t分别满足
Figure BDA00020707039400000215
引入辅助变量
Figure BDA00020707039400000216
满足以下等式：
Figure BDA00020707039400000217
原问题(1.30)可以等价转化为：
Figure BDA00020707039400000218
Figure BDA0002070703940000031
Figure BDA0002070703940000032
Figure BDA0002070703940000033
Figure BDA0002070703940000034
Figure BDA0002070703940000035
(1.31),(1.36), (1.43)其中
Figure BDA0002070703940000036
表示变量集合；
3、以一个可行解对变量
Figure BDA0002070703940000037
进行初始化。初始化外层迭代次数u＝0和惩罚参数ρ0＞0，并设定惩罚增长参数α＞1和容错精度δO；
4、对于第u+1次外层迭代，从第u次外层迭代的结果出发，固定惩罚参数ρu，采用凹凸过程和块坐标下降法求解以下惩罚问题：
Figure BDA0002070703940000038
s.t.(1.38)-(1.42)； (1.45)
5、判断惩罚项的值是否小于阈值δO。若是，则输出最终结果；否则，更新惩罚参数ρu+1＝αρu和迭代次数u＝u+1，并重复步骤4和5。
所述步骤4具体包含以下步骤：
(4.1)以第u次外层迭代计算结果对变量
Figure BDA0002070703940000039
进行初始化。初始化内层迭代次数i＝0；
(4.2)根据凹凸过程理论，在第i+1次内层迭代中将非凸约束(1.39)和(1.42)分别近似为以下凸约束：
Figure BDA00020707039400000310
Figure BDA00020707039400000311
其中I是单位对角矩阵，
Figure BDA00020707039400000312
表示取实部运算，(·)H表示共轭转置，
Figure BDA00020707039400000313
表示变量
Figure BDA00020707039400000314
第i次内层迭代的计算结果。约束(1.40)则等价转化为
Figure BDA00020707039400000315
综上，在第i+1次内层迭代，问题(1.44)近似为
Figure BDA0002070703940000041
s.t.(1.38),(1.41),(1.46)-(1.48)， (1.50)
考虑到FBMC符号间的相互交叠，将问题(1.49)中的变量分为以下2β+2块：
Figure BDA0002070703940000042
Figure BDA0002070703940000043
Figure BDA0002070703940000044
如此，则第i+1次内层迭代可以分为以下2β+2步：
(4.2.1)在第
Figure BDA0002070703940000045
步中，固定其他变量的情况下，根据以下闭式解更新变量块
Figure BDA0002070703940000046
Figure BDA0002070703940000047
(4.2.2)在第2β+1步中，固定其他变量的情况下更新变量块
Figure BDA0002070703940000048
将这一步分解成两个并行的子问题并分别求解。
第一个子问题以{s,rk}为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure BDA0002070703940000049
其中λk的值通过检验约束(1.38)的互补松弛条件得到。
第二个子问题以
Figure BDA00020707039400000410
为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure BDA00020707039400000411
其中λ的值通过检验约束(1.48)的互补松弛条件得到；
(4.2.3)在第2β+2步中，固定其他变量的情况下更新
Figure BDA00020707039400000412
将这一步分解成三个并行的子问题并分别求解。
第一个子问题以
Figure BDA00020707039400000413
为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure BDA00020707039400000414
Figure BDA0002070703940000051
Figure BDA0002070703940000052
其中λ的值通过检验约束(1.46)的互补松弛条件得到。
第二个子问题以
Figure BDA0002070703940000053
为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure BDA0002070703940000054
其中λm的值通过检验约束(1.47)的互补松弛条件得到。
第三个子问题以
Figure BDA0002070703940000055
为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure BDA0002070703940000056
其中λm的值通过检验约束(1.41)的互补松弛条件得到。
(4.3)判断内层迭代是否达到最大迭代次数Nmax。若是，则输出计算结果；否则，更新迭代次数i＝i+1，并重复步骤(4.2)和(4.3)。
本发明具有的有益效果是：充分考虑了FBMC符号间交叠的特点，描述并建立了通过优化发送数据最小化FBMC信号PAPR的优化问题，通过求解该问题能够有效降低FBMC信号的PAPR；优化问题以数据子载波上的符号形变和自由子载波上的发送功率为约束，避免了误码率性能大幅上升；另外，内层循环中所有变量都通过拉格朗日乘子法或闭式解进行更新，复杂度低于传统的内点法。
附图说明
图1是FBMC信号PAPR随迭代次数的变化图；
图2是惩罚项的值随迭代次数的变化图；
图3是不同PAPR降低方案的PAPR性能图；
图4是不同PAPR降低方案的误码率性能图。
具体实施方式
为了使本发明的技术方案和优点变得更加清晰，接下来将结合附图对技术方案的具体实施方式作更加详细地说明：
假定FBMC系统含有N＝64个子载波，其中随机选取52个作为数据子载波，其集合表示为
Figure BDA0002070703940000057
剩下的12个是自由子载波。一帧FBMC信号含有M＝10个FBMC符号，采用OQAM符号调制。重叠因子设为β＝4，过采样率设为l＝4。针对这样的系统本发明提出一种基于惩罚凹凸过程的PAPR降低方法，具体包括如下步骤：
1、根据FBMC系统的参数构建优化问题，即以发送符号为变量，以数据子载波上的符号形变和自由子载波上的发送功率为约束，最小化一帧FBMC信号的PAPR。根据以上介绍的参数，可以构建以下优化问题：
Figure BDA0002070703940000061
Figure BDA0002070703940000062
Figure BDA0002070703940000063
Figure BDA0002070703940000064
其中s＝[s1,s2,...,sK]T表示时域信号，am＝[am,1,am,2,...,am,N]T表示第m个符号区间的实数频域发送符号，a0,m表示原始的没有形变的频域传输符号。矩阵D是一个具有对角结构的选择矩阵，其中，若子载波n是一个数据子载波，也即
Figure BDA0002070703940000065
则有Dn,n＝1，否则Dn,n＝0。而
Figure BDA0002070703940000066
是FBMC调制矩阵，其中
Figure BDA0002070703940000067
和
Figure BDA0002070703940000068
分别表示
Figure BDA0002070703940000069
和
Figure BDA00020707039400000610
的零矩阵；H是一个βlN×N的脉冲成形矩阵，其第p行q列的元素为
Figure BDA00020707039400000611
其中h(p)表示原型滤波器的第p个时域抽头系数；Φm是一个对角相位矩阵，描述符号区间m中各载波上传输符号的相位旋转，并可表示为Φm＝diag[jm+0(-1)0,jm+1(-1)m,…,jm+N-1(-1)m(N-1)]。γ＝5×10-3表示数据子载波上的符号形变门限，η＝3×10-2表示自由子载波上的功率门限；
2、对优化问题进行等价转化，获得一个满足惩罚凹凸过程算法框架的等价问题。引入辅助变量
Figure BDA00020707039400000612
其中r是
Figure BDA00020707039400000613
的紧上界，
Figure BDA00020707039400000614
和t分别满足
Figure BDA00020707039400000615
则原优化问题可以等价转化为
Figure BDA0002070703940000071
Figure BDA0002070703940000072
(1.60)-(1.62), (1.67)
为了使内循环算法的求解更加方便，需要使每个变量最多仅出现在一个不等式约束中，故引入辅助变量
Figure BDA0002070703940000073
满足以下等式：
Figure BDA0002070703940000074
如此，问题(1.65)可以进一步等价转化为：
Figure BDA0002070703940000075
Figure BDA0002070703940000076
Figure BDA0002070703940000077
Figure BDA0002070703940000078
Figure BDA0002070703940000079
Figure BDA00020707039400000710
(1.60),(1.68), (1.75)
其中
Figure BDA00020707039400000711
表示变量集合；
3、以一个可行解对变量
Figure BDA00020707039400000712
进行初始化。初始化外层迭代次数u＝0和惩罚参数ρ0＝10-3，并设定惩罚增长参数α＝2和容错精度δO＝10-10；
4、对于第u+1次外层迭代，从第u次外层迭代的结果出发，固定惩罚参数ρu，采用凹凸过程和块坐标下降法求解以下惩罚问题：
Figure BDA00020707039400000713
s.t.(1.70)-(1.74)； (1.77)
5、判断惩罚项的值是否小于阈值δO。若是，则输出最终结果；否则，更新惩罚参数ρu+1＝αρu和迭代次数u＝u+1，并重复步骤4和5。
所述步骤4具体包含以下步骤：
(4.1)以第u次外层迭代计算结果对变量
Figure BDA00020707039400000714
进行初始化。初始化内层迭代次数i＝0；
(4.2)根据凹凸过程理论，在第i+1次内层迭代中将非凸约束(1.71)和(1.74)分别近似为以下凸约束：
Figure BDA0002070703940000081
Figure BDA0002070703940000082
其中
Figure BDA0002070703940000083
表示变量
Figure BDA0002070703940000084
在第i次内层迭代的计算结果。约束(1.72)则等价转化为
Figure BDA0002070703940000085
综上，在第i+1次内层迭代，问题(1.76)近似为
Figure BDA0002070703940000086
s.t.(1.70),(1.73),(1.78)-(1.80)。 (1.82)
在内循环中，变量以块坐标下降的形式进行迭代更新。在第i+1次内层迭代中，考虑到FBMC符号间的相互交叠，将问题(1.81)中的变量分为以下2β+2块：
Figure BDA0002070703940000087
Figure BDA0002070703940000088
Figure BDA0002070703940000089
如此，则第i+1次内层迭代可以分为以下2β+2步：
(4.2.1)在第
Figure BDA00020707039400000810
步中，固定其他变量的情况下，更新变量块
Figure BDA00020707039400000811
变量块
Figure BDA00020707039400000812
中的变量不在不等式约束中，可直接检验目标函数对变量块
Figure BDA00020707039400000813
中变量的一阶最优条件获得以下闭式解：
Figure BDA00020707039400000814
(4.2.2)在第2β+1步中，固定其他变量的情况下更新变量块
Figure BDA00020707039400000815
将这一步分解成两个并行的子问题，并分别利用拉格朗日乘子法求解。
第一个子问题以{s,rk}为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure BDA0002070703940000091
其中λk的值通过检验约束(1.70)的互补松弛条件得到。具体过程为：首先定义约束(1.70)对应的函数为
Figure BDA0002070703940000092
如果
Figure BDA0002070703940000093
得到满足，则乘子的最优值为λk＝0；如果
Figure BDA0002070703940000094
则需要寻找一个正的λk，确保
Figure BDA0002070703940000095
成立，我们可以通过一维的二分搜索法求解得到对应的λk。
第二个子问题以
Figure BDA0002070703940000096
为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure BDA0002070703940000097
其中λ的值通过检验约束(1.80)的互补松弛条件得到；
(4.2.3)在第2β+2步中，固定其他变量的情况下更新
Figure BDA0002070703940000098
将这一步分解成三个并行的子问题并分别求解。
第一个子问题以
Figure BDA0002070703940000099
为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure BDA00020707039400000910
Figure BDA00020707039400000911
Figure BDA00020707039400000912
其中λ的值通过检验约束(1.78)的互补松弛条件得到。
第二个子问题以
Figure BDA00020707039400000913
为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure BDA00020707039400000914
其中λm的值通过检验约束(1.79)的互补松弛条件得到。
第三个子问题以
Figure BDA00020707039400000915
为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure BDA00020707039400000916
其中λm的值通过检验约束(1.73)的互补松弛条件得到。
(4.3)判断内层迭代是否达到最大迭代次数Nmax＝100。若是，则输出计算结果；否则，更新迭代次数i＝i+1，并重复步骤(4.2)和(4.3)。
图1和图2展现了所提优化算法的收敛情况。图1显示了PAPR值随外循环次数的变化情况。从图中可以观察到PAPR的值会随着外循环迭代次数增加而下降，且会在20次迭代以内收敛。图2显示了惩罚项的值随外循环次数的变化情况。如图所示，惩罚项的值会在30次迭代以内下降到10-8以下，证明了所提的基于惩罚凹凸过程的算法可以有效地处理优化问题中的复杂约束。
图3和图4比较了不同PAPR降低方法的性能，其中Original对应原始FBMC信号，Proposed是本发明提出的PAPR降低方法，ICF和TR是进行对比的两种启发式PAPR降低方法。图3显示了不同方案下PAPR的互补累积分布函数(CCDF)，而图4显示了误码率性能。从图中仿真结果可以观察到，本发明提出的方法可以同时在PAPR性能和误码率性能上优于ICF方法。在与TR方法比较时，该方法能够以很小的误码率性能恶化为代价，大幅度地降低信号的PAPR。
本发明是一种基于惩罚凹凸过程的FBMC信号PAPR降低方法。针对FBMC信号使用的一种基于优化的PAPR降低方法，我们要求将作为发明进行保护。以上所述仅为特定应用场合的具体实施方式，但本发明的真实精神和范围不局限于此，任何熟悉本领域的技术人员可以修改、等同替换、改进等，实现不同应用场合的信道估计方法。本发明由权利要求书及其等效技术方案来限定。

Claims (2)

1.一种基于惩罚凹凸过程的FBMC信号PAPR降低方法，其特征在于，具体包括如下步骤：
1)根据FBMC系统的参数构建优化问题，即以发送符号为变量，以数据子载波上的符号形变和自由子载波上的发送功率为约束，最小化一帧FBMC信号的PAPR；FBMC系统的子载波数为N，其中实际用来传输数据的数据子载波的集合为
Figure FDA0002763423120000011
原型滤波器的重叠因子为β，过采样系数为l，一帧信号包含M个FBMC符号，采用OQAM符号调制，故整帧信号长度为K＝(M+β-1/2)lN；根据这些参数，可以构建以下优化问题：
Figure FDA0002763423120000012
Figure FDA0002763423120000013
Figure FDA0002763423120000014
Figure FDA0002763423120000015
其中s＝[s1,s2,...,sK]T表示时域信号，am＝[am,1,am,2,…,am,N]T表示第m个符号区间的实数频域发送符号，a0,m表示原始的没有形变的频域传输符号；常数γ为数据子载波上的符号形变门限，而η为自由子载波上的功率门限；矩阵D是一个具有对角结构的选择矩阵，其中，若子载波n是一个数据子载波，也即
Figure FDA0002763423120000016
则有Dn,n＝1，否则Dn,n＝0；而
Figure FDA0002763423120000017
是FBMC调制矩阵，其中
Figure FDA0002763423120000018
和
Figure FDA0002763423120000019
分别表示
Figure FDA00027634231200000110
和
Figure FDA00027634231200000111
的零矩阵；H是一个βlN×N的脉冲成形矩阵，其第p行q列的元素为
Figure FDA00027634231200000112
其中h(p)表示原型滤波器的第p个时域抽头系数；而Φm是一个对角相位矩阵，描述符号区间m中各载波上传输符号的相位旋转，并且可表示为Φm＝diag[jm+0(-1)0,jm+1(-1)m,…,jm+N-1(-1)m(N-1)]；
2)对优化问题进行等价转化，获得一个满足惩罚凹凸过程算法框架的等价问题；引入辅助变量
Figure FDA0002763423120000021
其中r是
Figure FDA0002763423120000022
的紧上界，
Figure FDA0002763423120000023
和t分别满足
Figure FDA0002763423120000024
引入辅助变量
Figure FDA0002763423120000025
满足以下等式：
Figure FDA0002763423120000026
Figure FDA0002763423120000027
的优化问题等价转化为：
Figure FDA0002763423120000028
Figure FDA0002763423120000029
Figure FDA00027634231200000210
Figure FDA00027634231200000211
Figure FDA00027634231200000212
Figure FDA00027634231200000213
Figure FDA00027634231200000214
Figure FDA00027634231200000215
其中
Figure FDA00027634231200000216
表示变量集合；
3)以一个可行解对变量
Figure FDA00027634231200000217
进行初始化；初始化外层迭代次数u＝0和惩罚参数ρ0＞0，并设定惩罚增长参数α＞1和容错精度δO；
4)对于第u+1次外层迭代，从第u次外层迭代的结果出发，固定惩罚参数ρu，采用凹凸过程和块坐标下降法求解以下惩罚问题：
Figure FDA00027634231200000218
Figure FDA00027634231200000219
Figure FDA00027634231200000220
Figure FDA00027634231200000221
Figure FDA0002763423120000031
Figure FDA0002763423120000032
5)判断惩罚项的值是否小于阈值δO；若是，则输出最终结果；否则，更新惩罚参数ρu+1＝αρu和迭代次数u＝u+1，并重复步骤4)和5)。
2.根据权利要求1所述的一种基于惩罚凹凸过程的FBMC信号PAPR降低方法，其特征在于，所述步骤4)具体包含以下步骤：
(4.1)以第u次外层迭代计算结果对变量
Figure FDA0002763423120000033
进行初始化；初始化内层迭代次数i＝0；
(4.2)根据凹凸过程理论，在第i+1次内层迭代中将非凸约束
Figure FDA0002763423120000034
和
Figure FDA0002763423120000035
分别近似为以下凸约束：
Figure FDA0002763423120000036
Figure FDA0002763423120000037
其中I是单位对角矩阵，
Figure FDA0002763423120000038
表示取实部运算，(·)H表示共轭转置，
Figure FDA0002763423120000039
表示变量
Figure FDA00027634231200000310
第i次内层迭代的计算结果；
Figure FDA00027634231200000311
则等价转化为
Figure FDA00027634231200000312
综上，在第i+1次内层迭代，
Figure FDA00027634231200000313
近似为
Figure FDA00027634231200000314
Figure FDA00027634231200000315
Figure FDA00027634231200000316
Figure FDA00027634231200000317
Figure FDA00027634231200000318
Figure FDA0002763423120000041
考虑到FBMC符号间的相互交叠，将
Figure FDA0002763423120000042
中的变量分为以下2β+2块：
Figure FDA0002763423120000043
Figure FDA0002763423120000044
Figure FDA0002763423120000045
如此，则第i+1次内层迭代可以分为以下2β+2步：
(4.2.1)在第
Figure FDA0002763423120000046
步中，固定其他变量的情况下，根据以下闭式解更新变量块
Figure FDA0002763423120000047
Figure FDA0002763423120000048
(4.2.2)在第2β+1步中，固定其他变量的情况下更新变量块
Figure FDA0002763423120000049
将这一步分解成两个并行的子问题并分别求解；
第一个子问题以{s,rk}为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure FDA00027634231200000410
其中λk的值通过检验约束
Figure FDA00027634231200000411
的互补松弛条件得到；
第二个子问题以
Figure FDA00027634231200000412
为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure FDA00027634231200000413
其中λ的值通过检验约束
Figure FDA00027634231200000414
的互补松弛条件得到；
(4.2.3)在第2β+2步中，固定其他变量的情况下更新
Figure FDA00027634231200000415
将这一步分解成三个并行的子问题并分别求解；
第一个子问题以
Figure FDA0002763423120000051
为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure FDA0002763423120000052
Figure FDA0002763423120000053
Figure FDA0002763423120000054
其中λ的值通过检验约束
Figure FDA0002763423120000055
的互补松弛条件得到；
第二个子问题以
Figure FDA0002763423120000056
为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure FDA0002763423120000057
其中λm的值通过检验约束
Figure FDA0002763423120000058
的互补松弛条件得到；
第三个子问题以
Figure FDA0002763423120000059
为变量，通过拉格朗日乘子法得到解
Figure FDA00027634231200000510
其中λm的值通过检验约束
Figure FDA00027634231200000511
的互补松弛条件得到；
(4.3)判断内层迭代是否达到最大迭代次数Nmax；若是，则输出计算结果；否则，更新迭代次数i＝i+1，并重复步骤(4.2)和(4.3)。
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