CN110196960B - 一种基于二维fft的各态历经风场高效模拟方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于二维FFT的各态历经风场高效模拟方法。基于谱表示法的模拟效率在很大程度上取决于三角函数的叠加。传统的快速傅里叶变换（FFT）算法仅从频率的角度加快求和运算，对于具有大量模拟点的各态历经风场模拟，其效率仍需要进一步加强。在本发明中，提出了一种二维FFT算法，从频率和空间两个角度来加快三角函数的求和，进而显著提高模拟效率。桥梁主梁风速场模拟的数值算例表明，该方法表现良好。

Description

一种基于二维FFT的各态历经风场高效模拟方法
技术领域
本发明属于工程领域的随机信号模拟，更具体的说涉及一种基于二维FFT的各态历经风场高效模拟方法。
背景技术
蒙特卡罗模拟已被广泛应用于工程界，以考虑非线性，系统随机性，随机稳定性等。尽管有许多模拟方法可用，但由于其准确性和简单性，谱表示法可能是工程实践中最流行的模拟方法。对于各态历经随机过程的模拟，Deodatis提出了一种使用双指标频率的各态历经多元随机过程的模拟方法。在Yang引入的快速傅里叶变换(FFT)的帮助下，模拟效率可以大大提高。
虽然Deodatis方法在工程实践中被广泛地用于模拟各态历经样本，但对于大型结构，如高层建筑、大跨度桥梁和屋盖，往往需要数百个或更多的模拟点，因此有必要发展更有效的模拟算法。传统的模拟面临两个难题。当谱矩阵的维度变得较大时，矩阵分解效率降低。另一方面，在模拟很长的各态历经样本时，即使使用FFT也仍然存在大量的求和运算。因此提出一种基于二维FFT的各态历经风场的高效模拟方法在工程实践中具有重要意义。
发明内容
本发明提出了一种基于二维FFT的各态历经风场高效模拟方法，所提出的方法具有以下优点：该方法将FFT技术应用于频率和空间两个维度，显著提高了模拟效率。而且由于没有引入任何假定，所提方法可以适用于任意各态历经多元随机过程的模拟。
为了实现上述目的，本发明技术方案如下：所述的基于二维FFT的各态历经风场的高效模拟方法主被广泛地用于工程实践中，模拟各态历经样本，例如大型结构，如高层建筑、大跨度桥梁和屋盖；所述的高效模拟方法步骤如下：
(1)分解给定的功率谱矩阵，得到求和形式的风场模拟公式；
(2)使用FFT计算频率维度的求和；
(3)使用FFT计算空间维度的求和，完成风场的高效模拟。
优选的，(1)一个任意平稳风场x(t)＝[x1(t),x2(t),…,x(n(t)]T的功率谱矩阵被给定为
Figure BDA0002037915900000021
分解以上功率谱矩阵可得
S(ω)＝H(ω)HT*(ω) (2)
可得传统的风场模拟公式为：
Figure BDA0002037915900000022
式中，Δω是频率步长；N为频率离散点数；Hjk(ω)是矩阵H(ω)的元素；ωkl是双指标频率；φkl是在[0,2π]均匀分布的随机相位角。
(1)使用FFT计算频率维度的求和；
式(3)可改写为
Figure BDA0002037915900000023
式中q＝0,1,...,M-1；M为时间离散点数；Gjk(qΔt)表示为
Figure BDA0002037915900000024
式中Fjk(lΔω)表示为：
Figure BDA0002037915900000025
显然，频率维度的求和式可以通过FFT计算。
(2)使用FFT计算空间维度的求和，完成风场的高效模拟。
进一步，式(4)可以改写为
Figure BDA0002037915900000026
其中
Figure BDA0002037915900000027
基于公式
Figure BDA0002037915900000028
和分解后的相干矩阵是下三角矩阵的事实，公式(7)可以表达如下：
Figure BDA0002037915900000031
其中hjq(kΔω)表达如下：
Figure BDA0002037915900000032
从公式(8)可以看出
Figure BDA0002037915900000033
是hjq(kΔω)的傅里叶变换式，因此它可以通过FFT计算。然而为了构造FFT，遗漏了最后一个元素过程xn(pΔt)的最后一项，即k＝n项。该项需要单独计算，即：
Figure BDA0002037915900000034
然后将其加到公式(8)的结果中。
本发明的有益效果：
本发明提出了一种基于二维FFT的各态历经风场高效模拟算法，风场的高效模拟在结构风振响应分析中具有重要意义。所提出的方法具有以下优点：该方法将FFT技术应用于频率和空间两个维度，显著提高了模拟效率。而且由于没有引入任何假定，所提方法可以适用于任意各态历经多元随机过程的模拟。
附图说明
图1是桥梁主梁风场模拟点分布示意图；
图2是从模拟样本估计的相关函数和目标值对比示意图。
具体数值算例
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，下面结合附图与实例对本发明作进一步详细说明，但所举实例不作为对本发明的限定。
实施例1：为了评估所提出算法的表现，以某桥梁主梁上的各态历经平稳风速场模拟为例。考虑主跨1000m、两边跨500m的大跨度悬索桥桥面风速场，仅求垂直于桥轴线的风速的纵向分量。尽管所提方法适用于任意风场的模拟，为了简单起见，假设模拟点沿水平轴y均匀分布，且距离增量Δ＝20m。图1展示了需要模拟101个模拟点的风场。
假设所有点的自谱是相同的。用Kaimal双边谱作为模拟点的目标谱且定义如下：
Figure BDA0002037915900000041
其中桥面离地高度为z＝60m；桥面平均风速为U(z)＝40m/s；切向速度为u*＝kU(z)/ln(z/z0)且k＝0.4；地面粗糙度为z0＝0.01m；
Figure BDA0002037915900000042
使用Davenport提出的以下相干函数：
Figure BDA0002037915900000043
其中，yj和yk分别是点j和k的坐标，并且Cy＝10是指数衰减因子，
Figure BDA0002037915900000044
是两个模拟点的平均风速。当模拟点均匀地分布在水平线上时，由式(12)导出的相干矩阵的Cholesky分解可以通过以下方式显式地计算：
Figure BDA0002037915900000045
Figure BDA0002037915900000046
为了模拟各态历经风速场，用于模拟的时间和频率参数给出为：截止频率ωu＝4πrad/s；频率数N＝2048；时间间隔Δt＝0.25s；周期103424s。
图2对比了部分模拟风速样本的估计和目标相关函数。结果表明，模拟风速的估计相关函数与目标值有较好的一致性。因此，所提出的方法对各态历经风场的模拟具有较好的精度。
谱表示方法的模拟效率取决于两部分：谱矩阵的Cholesky分解和三角函数的求和，本发明对三角函数的求和进行加快。为了展示其效率的提升，在本算例模拟中分别采用传统的一维(1D)FFT和提出的2D FFT算法。两种算法的计算时间被总结在表1中。可以看到所提的2D FFT算法的计算速度比传统的1D FFT算法快约10倍。
表1基于不同算法的计算时间(s)
Figure BDA0002037915900000047
本发明提出了一种基于二维FFT的各态历经风场高效模拟算法，风场的高效模拟在结构风振响应分析中具有重要意义。所提出的方法具有以下优点：该方法将FFT技术应用于频率和空间两个维度，显著提高了模拟效率。而且由于没有引入任何假定，所提方法可以适用于任意各态历经多元随机过程的模拟。
上述仅以实施例来进一步说明本发明的技术内容，以便于读者更容易理解。本文中所定义的一般原理可以在不脱离本发明的精神或范围的情况下，在其他实施例中实现。因此，本发明将不会被限制于本文所示的这些实施例，任何依本发明所做的技术延伸或再创造，均受本发明的保护。

Claims (1)

1.一种基于二维FFT的各态历经风场的高效模拟方法，其特点在于：所述的基于二维FFT的各态历经风场的高效模拟方法用于工程实践中，模拟各态历经样本，包括高层建筑、大跨度桥梁和屋盖；所述的高效模拟方法步骤如下：
步骤(1).分解给定的功率谱矩阵，得到求和形式的风场模拟公式；
步骤(2).使用FFT计算频率维度的求和；
步骤(3).使用FFT计算空间维度的求和，完成风场的高效模拟；
所述步骤(1)的具体过程为：
一个任意平稳风场x(t)＝[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T的功率谱矩阵被给定为
Figure FDA0003946363310000011
分解以上功率谱矩阵可得
S(ω)＝H(ω)HT*(ω) (2)
可得传统的风场模拟公式为：
Figure FDA0003946363310000012
式中，Δω是频率步长；N为频率离散点数；Hjk(ω)是矩阵H(ω)的元素；ωkl是双指标频率；φkl是在[0,2π]均匀分布的随机相位角；
所述步骤(2)的具体过程为：式(3)可改写为
Figure FDA0003946363310000013
式(4)中q＝0,1,...,M-1；M为时间离散点数；Gjk(qΔt)表示为
Figure FDA0003946363310000014
式中Fjk(lΔω)表示为：
Figure FDA0003946363310000015
频率维度的求和式(5)通过FFT计算；
所述步骤(3)的具体过程为：
进一步，(4)式可以改写为
Figure FDA0003946363310000021
其中
Figure FDA0003946363310000022
基于公式
Figure FDA0003946363310000023
和分解后的相干矩阵是下三角矩阵，公式表达如下：
Figure FDA0003946363310000024
其中hjq(kΔω)表达如下：
Figure FDA0003946363310000025
从公式(8)看出
Figure FDA0003946363310000026
是hjq(kΔω)的傅里叶变换式，它通过FFT计算，当k＝n，xn(pΔt)需要单独计算，即：
Figure FDA0003946363310000027
然后将其加到公式(8)的结果中。
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