CN110136074A - 基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，包括：根据隐写后不同同态值的像素的各同态索引出现的概率及载密HDR图像中不同同态值的像素数目，得出待检测图像在不同同态值不同同态索引下的像素数目期望值；将不同同态值不同同态索引下的像素数目的期望值与真实值进行比较得出多个偏差；将偏差的平方和作为最小二乘估计的目标函数；对目标函数求最小值，并将最小值对应的p值作为隐密像素比率的估计；根据隐写算法各同态值的像素的可嵌入比特数、待检测HDR图像各同态值的像素数目及隐密像素比率的估计，得出嵌入消息长度的估计。本发明对基于同态表示的HDR图像隐写算法的隐密像素比率和嵌入消息长度具有较高的估计精度。
Description
技术领域
本发明涉及图像隐写分析技术领域，特别涉及一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法。
背景技术
信息隐藏是指将秘密消息嵌入图像、文本、音频或视频等数字媒体中，但不改变载体的感官质量，然后通过公开信道进行传输，从而实现隐蔽通信的一种技术。数字图像因其应用广泛、冗余丰富、处理方便等特点成为广泛使用的载体类型之一。根据像素动态范围，即像素亮度的最大值和最小值的比值，可将图像分为低动态范围(Low Dynamic Range,LDR)图像和高动态范围(High Dynamic Range,HDR)图像。
与LDR图像相比，HDR图像色彩更丰富，层次感更强，能够记录实际场景中更绚丽的颜色和更细微的细节，达到更接近现实的光影效果。近年来，随着技术的进步和行业发展的需要，HDR图像得到了越来越多的关注，在摄影录像、电影特效、视频监控、卫星气象、医学诊断、军事应用等领域都有广泛的应用。根据信息嵌入后载体图像是否可恢复，现有的以HDR图像为载体的隐写主要可分为两类：有损HDR图像隐写和无损HDR图像隐写。
有损HDR图像隐写，又被称为不可逆HDR图像隐写。此类隐写嵌入信息后，提取者虽然能够正确提取秘密信息，但无法完全正确地恢复载体图像。2009年，Cheng和Wang(ChengY M,Wang C M.A Novel Approach to Steganography in High-Dynamic-Range Images[J].IEEE MultiMedia,2009,16(3):70-80)提出了第一个HDR图像隐写算法，即有损HDR图像隐写。在隐写嵌入过程中，该算法采用了two-sided方法和L-sided方法，能够得到较高的适应性和嵌入容量。每个像素嵌入的比特数量由相邻像素值之间的加权相关性确定。2017年，Lin等人(Lin Y T,Wang C M,Chen W S,et al.A novel data hiding algorithm forhigh dynamic range images[J].IEEE Transactions on Multimedia,2017,19(1):196-211)提出了一种新的针对OpenEXR格式HDR图像的隐写算法。该算法使用比特反转嵌入策略和比特编码与分解方案，将秘密消息嵌入每个像素的10比特尾数字段中，同时保持1比特符号和5比特指数字段不变。该算法能够在最小化像素失真的同时，实现较高的嵌入容量。
无损HDR图像隐写，又称为可逆HDR图像隐写和无失真HDR图像隐写。此类隐写嵌入信息后，提取者不仅能够正确提取秘密信息，而且可完全恢复载体图像。2011年，Yu等人(YuC M,Wu K C,Wang C M.A distortion-free data hiding scheme for high dynamicrange images[J].Displays,2011,32(5):225-236)提出了第一种针对RGBE格式HDR图像的无失真隐写算法，即基于定长编码的HDR图像隐写算法，该算法通过利用每个像素的不同同态表示将秘密消息嵌入到RGBE格式图像中，并且，具有相同同态值的像素可以嵌入相同比特数的信息，因此这是一个定长编码方案；当应用色调映射运算符时，该算法的载密HDR图像与载体图像的RGB颜色值完全相同；然而，因为没有充分利用所有同态表示，该方案的嵌入容量仍有待提高的空间。为了进一步提高Yu定长编码隐写算法的嵌入容量，几种改进方案被相继提出。2012年，Wang(Wang Z H,Lin T Y,Chang C C,et al.A novel distortion-free data hiding scheme for high dynamic range images[C].In:Proceedings of2012 Fourth International Conference on Digital Home(ICDH),IEEE,2012:33-38)提出了一种基于笛卡尔积编码的HDR图像隐写算法，该算法首先把图像的像素分成非重叠的n元组；然后计算分组中所有像素的同态表示集合(Homogeneous Representation Group,HRG)的笛卡尔积S；最后，通过对S中的元素进行编码嵌入秘密信息；该算法的嵌入容量大于Yu等的逐像素定长编码的嵌入容量，且分组长度n越大，嵌入容量越大，但嵌入效率越低。2013年，Chang(Chang C C,Nguyen T S,Lin C C.Distortion-free data embeddingscheme for high dynamic range images[J].Journal of Electronic Science andTechnology,2013,11(1):20-26)对Wang的算法进行了改进，提出了一种新的基于笛卡尔积编码的HDR图像隐写算法，该算法根据嵌入的信息长度自适应选取足够的像素作为一个分组进行嵌入，这样可以使得嵌入容量最大化。2016年，Chang(Chang C C,Nguyen T S,Lin CC.A new distortion-free data embedding scheme for high-dynamic range images[J].Multimedia Tools and Applications,2016,75(1):145-163)等提出了基于变长编码的HDR图像隐写算法，即变长编码隐写算法，该算法改进了Yu的定长编码方案的同态索引编码表，有效地利用了每个像素的所有同态表示，提高了定长编码算法的嵌入容量。
上述隐写算法中，有损HDR图像隐写具有嵌入容量较高的优点，但由于接收者无法完全正确恢复载体图像，难以适用于医学影像、军事应用等对载体图像的精度要求极高的领域。无损HDR图像隐写虽然嵌入容量较低，但由于接收者在提取秘密信息后能够完全还原载体图像。其不仅适用于摄影录像、电影特效、视频监控等应用，而且可用于医学影像和军事应用，应用范围更为广泛。因此，本发明着重研究无损HDR图像隐写的隐写分析。
作为隐写的逆向分析技术，隐写分析技术的主要目的在于检测秘密信息的存在性、估计嵌入率和对秘密信息进行定位，进而提取秘密信息。对于传统图像载体，学者们已经提出了大量的隐写检测算法，部分算法甚至能够估计嵌入信息长度或者提取隐密信息。但是，目前还没有对HDR图像的隐写分析进行相关研究。鉴于此，本发明针对现有的基于无损HDR图像隐写算法均通过修改像素的同态表示来嵌入信息的特点，提出了基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法。
发明内容
本发明鉴于目前还没有针对HDR图像(高动态范围图像)的隐写分析方法的问题，提出了一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，该算法对基于同态表示的HDR图像隐写算法的隐密像素比率和嵌入消息长度具有较高的估计精度。
为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案：
一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，包括以下步骤：
步骤1：根据隐写后不同同态值的像素的各同态索引出现的概率及载密HDR图像中不同同态值对应的像素数目得出载密HDR图像在不同同态值不同同态索引下的像素数目期望值；
步骤2：将所述期望值与不同同态值不同同态索引下的像素数目真实值进行比较，得出多个偏差；
步骤3：将所述偏差的平方和作为最小二乘估计的目标函数；
步骤4：对所述目标函数求最小值，并将所述最小值对应的p的取值作为隐密像素比率的估计。
进一步地，所述步骤1具体为：
根据下式得出载密HDR图像在不同同态值不同同态索引下的像素数目期望值
其中，表示载密HDR图像中HV为i并且HI为j的像素数目，HV为一个像素的同态值，HI为一个像素的同态索引，Q(i,j)表示载密HDR图像中HV为i的像素的HI为j的概率，所述概率为关于隐密像素比率p的函数。
进一步地，所述步骤2具体为：
根据下式得出i和j的不同取值下的多个偏差ε(i,j)：
进一步地，所述步骤3具体为：
将所述多个偏差ε(i,j)的平方和作为最小二乘估计的目标函数S(p)：
进一步地，所述步骤4具体为：
对目标函数S(p)关于p求导，可得：
令求S(p)的最小值；将所述最小值对应的p值作为隐密像素比率的估计
进一步地，在所述步骤1之前还包括：
对待检测HDR图像进行隐写检测，确定待检测HDR图像是否通过隐写算法嵌入了秘密信息，若是，则待检测HDR图像为载密HDR图像。
进一步地，所述对待检测HDR图像进行隐写检测，确定待检测HDR图像是否通过隐写算法嵌入了秘密信息包括：
根据待检测HDR图像的RGBE格式的非零像素的HI值判断待检测HDR图像是否包含隐写算法嵌入的秘密信息，若存在任一非零像素的HI值不为0，则待检测HDR图像中含有隐写算法嵌入的秘密信息。
进一步地，在步骤4之后还包括：
步骤5：根据隐写算法在不同同态值下的像素可嵌入比特数及载密HDR图像中不同同态值对应的像素数目，得出载密HDR图像使用所述隐写算法时的嵌入容量C；
步骤6：根据所述嵌入容量C及载密HDR图像中的隐密像素比率p得出所述载密HDR图像嵌入的秘密信息长度。
进一步地，所述步骤5具体为：
根据下式得出载密HDR图像使用所述隐写算法时的嵌入容量C：
其中，βi为隐写算法在不同HV下的像素可嵌入比特数，2≤i≤7，HV为一个像素的同态值，2≤HV≤7，Hi为载密HDR图像中HV为i的像素数目。
进一步地，所述步骤6具体为：
根据下式得出载密HDR图像嵌入的秘密信息长度L：
其中，p为载密HDR图像中的隐密像素比率。
与现有技术相比，本发明具有的有益效果：
本发明利用载体图像中通常采用同态索引为0的像素值、而隐写将用不同的同态索引表示秘密信息的特点，通过检测图像中是否存在非零HI值的像素，来判断秘密信息的存在性。根据待检测图像中同态索引异常的像素数量与隐密像素比率间的关系，利用最小二乘法估计出隐写算法的隐密像素比率。通过隐写检测实验表明，载密HDR图像嵌入的秘密信息越多，提出的隐写检测算法的检测正确率越高，当嵌入的秘密信息长度达到7比特，本发明能以超过99％的概率正确检测出载密HDR图像。隐密像素比率估计实验表明，本发明对隐密像素比率的估计误差的绝对值小于0.005，相对均值小于1.6％。
附图说明
图1为本发明实施例的一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法的基本流程图；
图2为本发明实施例的另一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法的基本流程图；
图3为本发明实施例的一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法的隐写检测正确率示意图；
图4为本发明实施例的一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法的3幅测试图像(色调映射后的图像)，其中(a)部分为bristolb图像，(b)部分为forestpath图像，(c)部分为synagogue图像；
图5为本发明实施例的一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法的估计误差的中值曲线图；
图6为本发明实施例的一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法的估计误差的均值曲线图；
图7为本发明实施例的一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法的平均绝对误差曲线图；
图8为本发明实施例的另一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法的平均相对误差曲线图；
图9为本发明实施例的一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法的IQR曲线图；
图10为本发明实施例的一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法的相对IQR曲线图。
具体实施方式
下面结合附图和具体的实施例对本发明做进一步的解释说明：
实施例一：
如图1所示，一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，包括以下步骤：
步骤S101：根据隐写后不同同态值的像素的各同态索引出现的概率及载密HDR图像中不同同态值对应的像素数目得出载密HDR图像在不同同态值不同同态索引下的像素数目期望值；
步骤S102：将所述期望值与不同同态值不同同态索引下的像素数目真实值进行比较，得出多个偏差；
步骤S103：将所述偏差的平方和作为最小二乘估计的目标函数；
步骤S104：对所述目标函数求最小值，并将所述最小值对应的p的取值作为隐密像素比率的估计。
具体地，所述步骤S101为：
根据下式得出载密HDR图像在不同同态值不同同态索引下的像素数目期望值
其中，表示载密HDR图像中HV为i并且HI为j的像素数目，HV为一个像素的同态值，HI为一个像素的同态索引，Q(i,j)表示载密HDR图像中HV为i的像素的HI为j的概率，所述概率为关于隐密像素比率p的函数。
具体地，所述步骤S102为：
根据下式得出i和j的不同取值下的多个偏差ε(i,j)：
具体地，所述步骤S103为：
将所述多个偏差ε(i,j)的平方和作为最小二乘估计的目标函数S(p)：
具体地，所述步骤S104为：
对目标函数S(p)关于p求导，可得：
令求S(p)的最小值；将所述最小值对应的p值作为隐密像素比率的估计
具体地，在所述步骤S101之前还包括：
对待检测HDR图像进行隐写检测，确定待检测HDR图像是否通过隐写算法嵌入了秘密信息，若是，则待检测HDR图像为载密HDR图像。
进一步地，所述对待检测HDR图像进行隐写检测，确定待检测HDR图像是否通过隐写算法嵌入了秘密信息包括：
根据待检测HDR图像的RGBE格式的非零像素的HI值判断待检测HDR图像是否包含隐写算法嵌入的秘密信息，若存在任一非零像素的HI值不为0，则待检测HDR图像中含有隐写算法嵌入的秘密信息。
具体地，在步骤S104之后还包括：
步骤S105：根据隐写算法在不同同态值下的像素可嵌入比特数及载密HDR图像中不同同态值对应的像素数目，得出载密HDR图像使用所述隐写算法时的嵌入容量C；
步骤S106：根据所述嵌入容量C及载密HDR图像中的隐密像素比率p得出所述载密HDR图像嵌入的秘密信息长度。
具体地，所述步骤S105为：
根据下式得出载密HDR图像使用所述隐写算法时的嵌入容量C：
其中，βi为隐写算法在不同HV下的像素可嵌入比特数，2≤i≤7，HV为一个像素的同态值，2≤HV≤7，Hi为载密HDR图像中HV为i的像素数目。
具体地，所述步骤S106为：
根据下式得出载密HDR图像嵌入的秘密信息长度L：
其中，p为载密HDR图像中的隐密像素比率。
本发明利用载体图像中通常采用同态索引为0的像素值、而隐写将用不同的同态索引表示秘密信息的特点，通过检测图像中是否存在非零HI值的像素，来判断秘密信息的存在性。根据待检测图像中同态索引异常的像素数量与隐密像素比率间的关系，利用最小二乘法估计出隐写算法的隐密像素比率。
实施例二：
如图2所示，另一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，包括：
步骤S201：对待检测HDR图像进行隐写检测，确定待检测HDR图像是否通过隐写算法嵌入了秘密信息，若是，则待检测HDR图像为载密HDR图像，具体为：
根据待检测HDR图像的RGBE格式的非零像素的HI值判断待检测HDR图像是否包含隐写算法嵌入的秘密信息，若存在任一非零像素的HI值不为0，则待检测HDR图像中含有隐写算法嵌入的秘密信息，详细过程如下：
作为一种可实施方式，本实施例中，所述隐写算法为定长编码隐写算法、变长编码隐写算法及笛卡尔积编码隐写算法共三种基于同态表示的高动态范围图像(HDR图像)隐写算法(Homogeneous Representations Based Steganography,HRBS)。
通过公式(1)把待检测HDR图像的RGBE格式的非零像素P(r,g,b,e)转化为RGB格式的彩色像素Q(R,G,B)：
其中，r、g、b和e是8位整数值，分别表示红色、绿色、蓝色主颜色分量和指数分量的值；R、G和B是浮点数，分别表示像素的红色、绿色和蓝色分量值；max(R,G,B)表示三个颜色分量R、G和B中的最大值；和表示分别向上取整和向下取整；
令v表示像素Q的3个颜色分量R、G、B中的最大值，即：
v＝max(R,G,B) (2)
同时，将v分解为一个规范化小数和一个2的整数次幂相乘的形式，即：
v＝m×2k (3)
其中，0.5<m≤1，k为指数；
根据公式(2)和(3)，可得公式(4)：
max(R,G,B)＝m×2k (4)
将公式(4)代入公式(1)得：
e＝k+128 (5)
联合公式(3)、(5)得：
把公式(6)代入公式(1)，得到与式(1)等价的RGB与RGBE转换表达式：
利用式(7)得出r、g、b的取值范围：
令max(r,g,b)表示像素P的r、g、b三个颜色分量的最大值，联合公式(7)，得：
将公式(2)和0.5<m≤1代入公式(8)得：
即
max(r,g,b)≥128 (9)
也就是说，在通过公式(1)或(2)转换得到的载体RGBE格式图像中，任何非零像素P(r,g,b,e)都满足式(9)。因为r、g、b的取值不能超过255，而乘法操作会使得像素的某个颜色分量值大于255，所以隐写时只能通过除法操作得到像素P的其他同态表示。这将使得r,g,b中的最大值小于128，也就是像素P(r,g,b,e)的其它同态表示均不满足式(9)。因此，若一个像素P(r,g,b,e)满足式(10)，则该像素一定通过隐写算法嵌入了秘密信息。
max(r,g,b)<128 (10)
当然了，若像素满足式(9)，由于秘密信息的嵌入也有可能不改变像素的同态表示，因此无法判断该像素是否嵌入秘密信息。
同样地，若待检测HDR图像的RGBE像素满足逻辑表达式(11)，也就是说，图像中存在非零像素满足不等式(10)，则图像中必定存在隐写算法嵌入的秘密信息。反之，若图像不满足逻辑表达式(11)，也就是说，图像中所有非零像素均满足式(9)，则无法判断图像中是否嵌入秘密信息。根据式(11)或(12)对三种隐写载密HDR图像进行隐写检测，只需依次扫描图像所有像素，因此时间复杂度为O(N)，其中N为待检测HDR图像的像素数目。
其中，W为待检测HDR图像。
由于像素P的所有同态表示都是通过除法操作得到的，因此非零像素的原始表示的指数分量一定是该像素所有同态表示中最小的。而HRG(一个像素的同态表示集合)中的所有同态表示是根据指数分量的升序进行排序的，从而可以得到，待检测HDR图像中所有非零像素同态表示的HI值均为0。因此，逻辑表达式(11)等价于根据RGBE图像像素的HI值来判断待检测图像是否含隐写嵌入的秘密信息：只要图像W满足逻辑表达式(12)，即只要有一个非零像素的HI不为0，就可以肯定图像中含隐写算法嵌入的秘密信息。
当在RGBE格式像素中嵌入伪随机信息时，如果嵌入1比特信息，嵌入信息的状态有2种：0或1；如果嵌入2比特信息，嵌入信息的状态有4种：00、01、10、11；以此类推，如果嵌入L比特信息，嵌入信息的状态有2L种，嵌入信息的每一种状态对应所有被嵌入像素的一组同态表示组合。根据逻辑表达式(12)，被嵌入像素的所有同态表示组合中，只有一种同态表示组合不会被隐写检测出来，即所有被嵌入像素维持原值不变，此时所有被嵌入像素的HI均为0。也就是说，利用隐写算法嵌入L比特信息生成的载密HDR图像无法根据式(11)正确检测的概率仅为而能够根据式(12)正确检测的概率为：
上式表明，根据式(11)或(12)对三种隐写载密HDR图像的检测正确率期望值只与嵌入的消息长度有关，且在相等嵌入信息长度下对三种隐写算法的检测正确率期望值也是相等的。
步骤S202：根据隐写后不同同态值的像素的各同态索引出现的概率及载密HDR图像中不同同态值对应的像素数目得出载密HDR图像在不同同态值不同同态索引下的像素数目期望值；
具体地，所述步骤S202为：
根据式(14)得出载密HDR图像在不同同态值不同同态索引下的像素数目期望值
其中，表示载密HDR图像中HV为i并且HI为j的像素数目，HI为一个像素的同态索引，Q(i,j)表示载密HDR图像中HV为i的像素的HI为j的概率，所述概率为关于所述隐密像素比率p的函数。
步骤S203：将所述期望值与不同同态值不同同态索引下的像素数目真实值进行比较，得出多个偏差；
具体地，所述步骤S203为：
根据式(15)得出i和j的不同取值下的多个偏差ε(i,j)：
步骤S204：将所述偏差的平方和作为最小二乘估计的目标函数；
具体地，所述步骤S204为：
将所述多个偏差ε(i,j)的平方和作为最小二乘估计的目标函数S(p)：
步骤S205：对所述目标函数求最小值，并将所述最小值对应的p的取值作为所述隐密像素比率的估计；
具体地，所述步骤S205为：
对目标函数S(p)关于p求导，可得：
令求S(p)的最小值；将所述最小值对应的p值作为隐密像素比率的估计
步骤S206：根据隐写算法在不同同态值下的像素可嵌入比特数及载密HDR图像中不同同态值对应的像素数目，得出载密HDR图像使用所述隐写算法时的嵌入容量C；
具体地，所述步骤S206为：
根据式(18)得出载密HDR图像使用所述隐写算法时的嵌入容量C：
其中，βi为隐写算法在不同HV下的像素可嵌入比特数，2≤i≤7，HV为一个像素的同态值，2≤HV≤7，Hi为载密HDR图像中HV为i的像素数目。
步骤S207：根据所述嵌入容量C及载密HDR图像中的隐密像素比率p得出所述载密HDR图像嵌入的秘密信息长度；
具体地，所述步骤S207为：
根据式(19)得出载密HDR图像嵌入的秘密信息长度L：
其中，p为载密HDR图像中的隐密像素比率。
值得说明的是，HDR图像的像素可以分为两类，可嵌入像素和不可嵌入像素，可嵌入像素是指同态值HV满足2≤HV≤7的像素，除此之外的像素即为不可嵌入像素。因为不同HDR图像中可嵌入像素的比例和可嵌入像素中不同同态值像素的比例都是不同的，而且即使对于同态值相同的像素，逐像素固定长度编码隐写和其它两种隐写可利用的同态表示数量也可能有所不同，所以不同图像和同一幅图像使用不同隐写算法的嵌入容量很可能都不相等。
令p表示待检测图像中的隐密像素比率，即被嵌入信息的像素占所有可嵌入像素的比例，取值范围为0到1。当隐密像素比率为0时，表示没有嵌入任何信息；当隐密像素比率为1时，表示图像已经满嵌，无法再继续嵌入信息。
下面针对三种隐写算法：定长编码隐写算法、变长编码隐写算法和笛卡尔积编码隐写算法，分别分析隐写后非零同态索引像素数量期望值与隐密信息比率间的关系，并根据隐写后非零同态索引像素数量与期望值近似相等的特点，利用最小二乘法分别推导出相应的隐密像素比率估计方程。
作为一种可实施方式，当隐写算法为定长编码隐写算法时，步骤S202至步骤S207具体为：
Yu的定长编码隐写算法(基于定长编码的HDR图像隐写算法；Yu C M,Wu K C,WangC M.A distortion-free data hiding scheme for high dynamic range images[J].Displays,2011,32(5):225-236)将同态值为HV的像素的不同同态表示用固定长度为的比特数进行编码。一个像素的不同同态表示的编码长度，即为该像素的可嵌入比特数。如：HV取值为2和3的像素的可嵌入比特数为1；HV取值为4～7的像素的可嵌入比特数为2。每个像素的不同同态表示用取值为0～HV-1的同态索引表示。定长编码隐写算法不同同态值的像素的不同同态索引的具体编码方案用表1所示的同态索引编码表(HIET)表示。其中“NP”表示无法在HV为1的像素的同态表示中嵌入信息，“NA”表示未对相应的同态索引进行编码。如表1所示，不同HV值的像素可嵌入的比特数不同，2≤HV≤3的像素可嵌入1比特，4≤HV≤7的像素可嵌入2比特。
表1 定长编码隐写算法的同态索引编码表
令表示载密HDR图像中HV为i并且HI为j的像素数目。当嵌入的秘密信息是伪随机比特且与载体图像相互独立时，的数学期望值可如下计算得到：
其中，Qf为定长编码隐写算法的概率转移矩阵；Qf(i,j)表示载密HDR图像中HV为i的像素的HI为j的概率，是隐密像素比率p的函数；根据表1所示的定长编码隐写算法的同态索引编码表，Qf的取值如表2所示。当2≤i≤3时，即像素可嵌入1比特，则像素的HI修改为1的概率Qf(i,1)为仍然为0的概率Qf(i,0)为当4≤i≤7时，即像素可嵌入2比特，则像素的HI修改为1、2、3的概率均为仍然为0的概率Qf(i,0)为
表2 定长编码隐写算法的概率转移矩阵Qf
当伪随机选取可嵌入像素嵌入伪随机信息时，隐写后的期望值虽然等于Hi×Qf(i,j)，但是在实际的某一次嵌入中，的实际值与Hi×Qf(i,j)却可能并不绝对相等，而是存在较小的偏差：
根据i和j的不同取值，可以得到20个偏差。
利用最小二乘法进行参数估计具有准确性和鲁棒性高的优点，选择最小二乘法，将式(15-1)得到的20个偏差εf(i,j)的平方和作为最小二乘估计的目标函数：
其中，目标函数Sf(p)是关于隐密像素比率p的函数；若p的取值使得Sf(p)最小，则该p的取值可看作为隐密像素比率p的估计；对式(16-1)关于p求导，可得：
其中，
即载密HDR图像中HV为i的像素的HI取值为0到
由于Sf(p)的二阶导数Sf(p)上的极值点必为极小值点。令求解该方程可以得到Sf(p)上仅存在一个极小值点，其所对应的p值使得目标函数Sf(p)取最小值，该p值即为隐密像素比率的估计：
一幅图像使用定长编码隐写算法的嵌入容量Cf，即最多能嵌入的比特数，可如下计算得到：
其中，Hi为载密HDR图像中HV为i的像素数目；当隐写者根据隐写密钥伪随机地选取比率为p的可嵌入像素，并利用定长编码隐写算法嵌入秘密信息时，每一个可嵌入像素被嵌入信息的概率应等于隐密像素比率p，因而嵌入的秘密信息长度为
作为一种可实施方式，当隐写算法为变长编码隐写算法时，步骤S202至步骤S207具体为：
Chang的变长编码隐写算法(基于变长编码的HDR图像隐写算法；Chang C C,Nguyen T S,Lin C C.Distortion-free data embedding scheme for high dynamicrange images[J].Journal of Electronic Science and Technology,2013,11(1):20-26)利用霍夫曼编码对像素的不同同态表示进行编码。每个像素的可嵌入比特数不仅与其HV有关，而且与嵌入的秘密信息有关，取值为或不同HV值的像素的不同同态索引的具体编码方案用表3所示的同态索引编码表(HIET)表示。其中“NP”表示HV为1的像素的同态表示无法用于嵌入信息。在定长编码隐写算法中，每个可嵌入像素的可嵌入比特数是固定的；而在变长编码隐写算法中，每个可嵌入像素的可嵌入比特数是不定的，与嵌入的具体秘密信息有关，如表3所示。当嵌入伪随机的秘密信息时，HV为2到7的像素的可嵌入比特数分别为1、1.5、2、2.25、2.5、2.75。
表3 变长编码隐写算法的同态索引编码表
令表示载密HDR图像中HV为i并且HI为j的像素数目。当嵌入的秘密信息是伪随机比特且与载体图像相互独立时，根据表3所示的同态索引编码表，的数学期望值可如下计算得到：
其中，Qv为变长编码隐写算法的概率转移矩阵；Qv(i,j)表示载密HDR图像中HV为i的像素的HI为j的概率，是隐密像素比率p的函数；根据表3所示的变长编码隐写算法的同态索引编码表，Qv的取值如表4所示。
表4 变长编码隐写算法的概率转移矩阵Qv
当伪随机选取可嵌入像素嵌入伪随机信息时，隐写后的期望值虽然等于Hi×Qv(i,j)，但是在实际的某一次嵌入中，的实际值与Hi×Qv(i,j)却可能并不绝对相等，而是存在较小的偏差：
根据i和j的不同取值，可以得到27个偏差。
同样利用最小二乘法进行参数估计具有准确性和鲁棒性高的优点，选择最小二乘法将式(15-2)得到的27个偏差εv(i,j)的平方和作为最小二乘估计的目标函数：
其中，目标函数Sv(p)是关于隐密像素比率p的函数；若p的取值使得Sv(p)最小，则该p的取值可看作为隐密像素比率p的估计。对式(18-2)关于p求导，可得：
其中，
即载密HDR图像中HV为i的像素的HI取值为0到i-1。
由于Sv(p)的二阶导数Sv(p)上的极值点必为极小值点。令求解该方程可以得到Sv(p)上仅存在一个极小值点，其所对应的p值使得目标函数Sv(p)取最小值，该p值即为隐密像素比率的估计：
其中，ai(2≤i≤7)为比例系数，取值分别为2、1.5、2、1.75、1.75、1.75。
使用变长编码隐写算法嵌入秘密信息时，图像的嵌入容量Cv为：
Cv＝H2+1.5H3+2H4+2.25H5+2.5H6+2.75H7 (18-2)其中，Hi为载密HDR图像中HV为i的像素数目。
当隐写者根据隐写密钥伪随机地选取比率为p的可嵌入像素，并利用变长编码隐写算法嵌入秘密信息时，每一个可嵌入像素被嵌入信息的概率应等于隐密像素比率p，因而嵌入的秘密信息长度为：
Lv＝pH2+1.5pH3+2H4+2.25pH5+2.5pH6+2.75pH7＝p×Cv (19-2)。
作为一种可实施方式，当隐写算法为笛卡尔积编码隐写算法时，步骤S202至步骤S207具体为：
Chang的笛卡尔积编码隐写算法(基于笛卡尔积编码的HDR图像隐写算法；Chang CC,Nguyen T S,Lin C C.A new distortion-free data embedding scheme for high-dynamic range images[J].Multimedia Tools and Applications,2016,75(1):145-163)的嵌入方式与前两种算法都不相同，它根据嵌入的信息长度L自适应选取足够的像素数目n作为一个分组进行嵌入，通过对分组中所有像素HRG的笛卡尔积中的元素进行编码来嵌入消息比特。该算法充分利用了HRG中的每一种同态表示，在嵌入过程中不需要用到同态索引编码表。笛卡尔积编码隐写算法的嵌入容量是针对HDR图像的隐写算法中最高的，在隐密像素数目n足够大的情况下，每个像素P的嵌入比特数可以达到其理论上界log2HVP，其中HVP为被嵌入像素P的同态值。
令表示载密HDR图像中HV为i并且HI为j的像素数目。当嵌入的秘密信息是伪随机比特且与载体图像相互独立时，的数学期望值可如下计算得到：
其中Qc为笛卡尔编码隐写算法的概率转移矩阵；Qc(i,j)表示载密HDR图像中HV为i的像素的HI为j的概率，是隐密像素比率p的函数；假设图像像素分组长度n足够大，并且嵌入的是伪随机的秘密信息；那么，如果一个像素被嵌入信息，则该像素的HI被修改为0、1、……、i-1的概率是相等的，即当j ≥1时Qc(i,j)的取值为因为如果一个像素不被嵌入信息，它的HI仍然为0，所以Qc(i,0)的取值为Qc(i,j)的取值如表5所示。
表5 笛卡尔积编码隐写算法的概率转移矩阵Qc
当伪随机选取可嵌入像素嵌入伪随机信息时，隐写后的期望值虽然等于Hi×Qc(i,j)，但是在实际的某一次嵌入中，的实际值与Hi×Qc(i,j)却可能并不绝对相等，而是存在较小的偏差：
根据i和j的不同取值，可以得到27个偏差。
同样利用最小二乘法进行参数估计具有准确性和鲁棒性高的优点，选择最小二乘法将式(15-3)得到的27个偏差εc(i,j)的平方和作为最小二乘估计的目标函数：
其中，目标函数Sc(p)是关于隐密像素比率p的函数。若p的取值使得Sc(p)最小，则该p的取值可看作为隐密像素比率p的估计。对式(16-3)关于p求导，并利用式化简可得：
由于Sc(p)的二阶导数Sc(p)上的极值点必为极小值点。令求解该方程可以得到Sc(p)上仅存在一个极小值点，其所对应的p值使得目标函数Sc(p)取最小值，该p值即为隐密像素比率的估计：
使用笛卡尔积编码隐写算法嵌入信息时，图像的嵌入容量Cc为：
其中，Hi为载密HDR图像中HV为i的像素数目；
类似地，当隐写者根据隐写密钥伪随机地选取比率为p的可嵌入像素，再利用笛卡尔积编码隐写算法嵌入秘密信息时，每一个可嵌入像素被嵌入信息的概率也应等于隐密像素比率p，因而嵌入的秘密信息长度为：
为验证本发明的效果，提供如下实验数据。
为了描述方便，三种隐写算法，即定长编码隐写算法、变长编码隐写算法和笛卡尔积编码隐写算法，分别简记为FLCS、VLCS、CPCS。本实施例实验平台为运行于2.50GHz i5-2450M CPU、8GB RAM的笔记本电脑上的MATLAB R2017a。
三种隐写算法的载体为Radiance RGBE格式的高动态范围图像(HDR图像)。高动态范围图像的获取一般有两种方式，一种为利用专用设备采集高动态范围图像，这种设备比较昂贵，用得比较少；另一种为利用普通数码相机通过多次曝光拍照，再进行合成得到HDR图像，这种方法成本低，易于实现，是比较常用的方式。本实施例载体图像库中的HDR图像就是采用第二种方式得到的。
由于没有现有的RGBE图像库，查阅了2000年以来的HDR图像色调映射的论文，从论文作者的主页上下载了近100幅RGBE图像，这些图像都是采用相机多次曝光拍照，再用软件HDRShop合成得到的HDR图像。这些原始的RGBE图像大小不一，最大的为6144×6144，最小的为346×512。为了消除图像大小对算法性能的影响，通过缩放和裁剪操作，得到了250幅512×512的RGBE图像，构成本文的载体图像库。由于一幅HDR图像的局部可能是低动态范围的，在裁剪时主要保留了同时具有高亮度区域和低亮度区域的子图像，以确保裁剪后的图像也是HDR图像。
为了测试本发明方法的有效性，本实施例以载体图像库中的250幅RGBE图像为载体生成了下列两个测试载密HDR图像库。
(1)隐写检测载密HDR图像库(DetDB)。分别用FLCS、VLCS、CPCS隐写算法在250幅载体图像中嵌入1、2、……、12比特的伪随机信息，得到3×12＝36组载密HDR图像。对于每幅载体图像和每个信息长度，都分别用FLCS、VLCS、CPCS隐写算法伪随机嵌入10次，共生成36×10＝360组，250×360＝90000幅载密HDR图像。
(2)隐密像素比率估计图像库(EstDB)。分别用FLCS、VLCS、CPCS隐写算法在250幅载体图像中伪随机选取比率为p＝0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1的可嵌入像素，在其中嵌入伪随机信息，得到3×10＝30组载密HDR图像。对于每幅载体图像和每个隐密像素比率，都分别用FLCS、VLCS、CPCS隐写算法伪随机嵌入10次，共生成30×10＝300组，250×300＝75000幅载密HDR图像。
a.隐写检测实验
利用步骤S201对隐写检测载密HDR图像库DetDB中的载密HDR图像进行检测。由式(13)可知，本发明对三种隐写算法的检测正确率期望值只与嵌入信息长度有关，且在相等的嵌入信息长度下对三种隐写算法的检测正确率期望值也是相等的。因此，这里将在嵌入信息长度为1、2、……、12比特的情况下，分别统计提出的隐写检测算法对所有隐写算法生成的载密HDR图像的检测正确率，如图3所示。为了对比，图3中也给出了根据(13)式得到的检测正确率的期望值。很明显可以看到，实验结果与期望值几乎完全一致。当嵌入比特数L＝7时，检测正确率已达到99％。这表明本发明能够有效检测出HDR图像是否通过隐写算法嵌入消息。
b.隐密像素比率估计实验
隐密像素比率估计实验包括有效性实验和性能测试两个部分。
1)隐密像素比率估计的有效性测试
为了测试隐密像素比率估计算法的有效性，从载体图像库中选择3幅图像进行测试。由于RGBE格式HDR图像无法直接显示，先利用式(2)将3幅RGBE图像(为描述方便，将RGBE格式HDR图像简写为RGBE图像)bristolb、forestpath和synagogue转换为RGB图像，然后使用软件HDR Darkroom进行了色调映射再显示，如图4所示。
为了得到用于测试的载密HDR图像，分别采用FLCS、VLCS、CPCS隐写算法在3幅标准测试图像(bristolb、forestpath、synagogue)中随机嵌入隐密像素比率p为0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1的随机信息，从而得到3×3×10＝90幅载密HDR图像，即每种隐写算法各30幅载密HDR图像。
针对3幅载体图像和每种隐写算法生成的载密HDR图像，分别利用相应的隐密像素比率估计式(21-1)、(21-2)和(21-3)，估计含有的隐密像素比率结果如表6所示。实验结果表明，本发明提出的基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法的准确性很高，绝对误差不超过0.01。
表6 3幅标准测试图像的隐密像素比率估计结果
根据隐密像素比率p和嵌入消息长度L的关系式(15-1)、(15-2)和(15-3)可以计算出相应的嵌入消息长度的估计值图像bristolb通过FLC隐写算法得到的载密HDR图像的嵌入消息长度的估计，如表7所示。实验结果表明，本发明对嵌入消息长度估计的准确性也很高。这是因为隐密像素比率和嵌入消息长度之间只相差一个比例系数C，所以隐密像素比率估计的准确性就代表了嵌入消息长度估计的准确性。因此，在后续的实验中，只对隐密像素比率估计的结果进行分析，不再计算嵌入消息长度。
表7 图像bristolb使用FLC隐写算法的载密HDR图像的嵌入消息长度估计
2)隐密像素比率估计的性能测试
本测试在载密HDR图像库EstDB上，分析比较了FLCS、VLCS、CPCS隐写的隐密像素比率估计算法的估计误差。由于定量分析的误差分布往往是重尾的，中值和四分位距(IQR)比均值和标准差更适用于对其进行评估。然而，由于在计算估计误差的四分位距时，不考虑小于第25个百分位点的和大于第75个百分位点的估计误差，因此，为了更加全面地对估计误差进行评估，本测试除了采用中值和四分位距外，也采用均值来度量估计误差；同时，为了评估误差的绝对值和相对值的分布情况，本测试还采用平均绝对误差、平均相对误差和相对四分位距来度量估计误差。上述估计误差性能评价指标的计算方法和物理意义如表8所示。
令p表示隐密像素比率的真实值，表示隐密像素比率的第i个估计值，一共有T个估计值，则第i个估计值的误差上述评价估计误差的6种性能指标的计算方法和物理意义如表8所示。其中，函数Prt(x)，0≤x≤100，表示把T个估计误差从小到大排序，第x个百分位点的估计误差值。
表8 估计误差的性能指标的计算方法与物理意义
在载密HDR图像库EstDB上，分别采用本发明对载体图像和FLCS、VLCS、CPCS隐写算法生成的载密HDR图像中的隐密像素比率进行估计，并计算在不同隐密像素比率下的估计误差的中值、四分位距、相对四分位距、均值、绝对均值和相对均值，如图5～10所示。总体来看，当隐密像素比率p＝0时，三种隐写算法对隐密像素比率的估计误差均为0；而在其它隐密像素比率下，估计误差也比较小。
从图5～10可以看出，在不同隐密像素比率下，对FLCS、VLCS、CPCS三种隐写的隐密像素比率的估计误差中值和均值在区间[-0.0005,0.0005]内围绕0随机上下浮动。对三种隐写的隐密像素比率估计误差的中值和均值相差不大，取值都很小且其数学期望应该为0。图7、图8为隐密像素比率估计的平均绝对误差和平均相对误差，体现了估计误差的总体偏差。从图中可以看出，对三种隐写的隐密像素比率估计误差的绝对均值随着隐密像素比率的增大而增大；而估计误差的相对均值随着隐密像素比率的增大而减小。对三种隐写的隐密像素比率估计的总体偏差的绝对值和相对值几乎相同，即隐密像素比率估计算法对三种隐写算法的估计性能相当。图9、图10为隐密像素比率估计误差的IQR和相对IQR，体现了估计误差的分散程度。从图中可以看出，对三种隐写的隐密像素比率估计误差的分散程度与图7、图8表现出的总体偏差的变化趋势几乎完全相同。
总之，从上述实验结果可以看出，本发明提出的基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法对FLCS、VLCS、CPCS隐写算法均有很高的性能。在本实施例的载密HDR图像库EstDB上，FLCS、VLCS、CPCS隐写算法的隐密像素比率估计的平均绝对误差小于0.005，平均相对误差小于1.6％，IQR小于0.008，相对IQR小于2.7％。
针对一类基于同态表示的高动态范围图像(HDR图像)隐写算法，本发明基于非零同态索引(HI)值进行隐写检测，并针对三种典型的隐写算法，提出了基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法。实验结果表明，本发明的隐写检测正确率随着嵌入比特数的增加而增加，当嵌入比特数N＝7时，检测正确率已达到99％；本发明提出的基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法对隐密像素比率的估计误差的绝对均值小于0.005，相对均值小于1.6％。
以上所示仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。
Claims (10)
1.一种基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：根据隐写后不同同态值的像素的各同态索引出现的概率及载密HDR图像中不同同态值对应的像素数目得出载密HDR图像在不同同态值不同同态索引下的像素数目期望值；
步骤2：将所述期望值与不同同态值不同同态索引下的像素数目真实值进行比较，得出多个偏差；
步骤3：将所述偏差的平方和作为最小二乘估计的目标函数；
步骤4：对所述目标函数求最小值，并将所述最小值对应的p的取值作为隐密像素比率的估计。
2.根据权利要求1所述的基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，其特征在于，所述步骤1具体为：
根据下式得出载密HDR图像在不同同态值不同同态索引下的像素数目期望值
其中，表示载密HDR图像中HV为i并且HI为j的像素数目，HV为一个像素的同态值，HI为一个像素的同态索引，Q(i,j)表示载密HDR图像中HV为i的像素的HI为j的概率，所述概率为关于隐密像素比率p的函数。
3.根据权利要求1所述的基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，其特征在于，所述步骤2具体为：
根据下式得出i和j的不同取值下的多个偏差ε(i,j)：
4.根据权利要求3所述的基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，其特征在于，所述步骤3具体为：
将所述多个偏差ε(i,j)的平方和作为最小二乘估计的目标函数S(p)：
5.根据权利要求4所述的基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，其特征在于，所述步骤4具体为：
对目标函数S(p)关于p求导，可得：
令求S(p)的最小值；将所述最小值对应的p值作为隐密像素比率的估计
6.根据权利要求2所述的基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，其特征在于，在所述步骤1之前还包括：
对待检测HDR图像进行隐写检测，确定待检测HDR图像是否通过隐写算法嵌入了秘密信息，若是，则待检测HDR图像为载密HDR图像。
7.根据权利要求6所述的基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，其特征在于，所述对待检测HDR图像进行隐写检测，确定待检测HDR图像是否通过隐写算法嵌入了秘密信息包括：
根据待检测HDR图像的RGBE格式的非零像素的HI值判断待检测HDR图像是否包含隐写算法嵌入的秘密信息，若存在任一非零像素的HI值不为0，则待检测HDR图像中含有隐写算法嵌入的秘密信息。
8.根据权利要求1所述的基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，其特征在于，在步骤4之后还包括：
步骤5：根据隐写算法在不同同态值下的像素可嵌入比特数及载密HDR图像中不同同态值对应的像素数目，得出载密HDR图像使用所述隐写算法时的嵌入容量C；
步骤6：根据所述嵌入容量C及载密HDR图像中的隐密像素比率p得出所述载密HDR图像嵌入的秘密信息长度。
9.根据权利要求8所述的基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，其特征在于，所述步骤5具体为：
根据下式得出载密HDR图像使用所述隐写算法时的嵌入容量C：
其中，βi为隐写算法在不同HV下的像素可嵌入比特数，2≤i≤7，HV为一个像素的同态值，2≤HV≤7，Hi为载密HDR图像中HV为i的像素数目。
10.根据权利要求8所述的基于最小二乘法的高动态范围图像隐密像素比率估计算法，其特征在于，所述步骤6具体为：
根据下式得出载密HDR图像嵌入的秘密信息长度L：
其中，p为载密HDR图像中的隐密像素比率。
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