CN110083061A - 一种轮式移动机器人控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种轮式移动机器人控制方法。其特点是，包括如下步骤：步骤一：建立轮式移动机器人运动学模型；步骤二：建立双闭环系统并且通过非奇异终端滑模与广义二型模糊结合的方法对移动机器人的位置轨迹和角度进行跟踪，具体是双闭环系统的外环对移动机器人的位置轨迹进行跟踪，而双闭环系统的内环对移动机器人的角度进行跟踪，两者都将滑模面作为模糊系统的控制输入，将模糊系统的输出作为滑模趋近律参数，并且设计内环收敛速度快于外环收敛速度。本发明提出了一种轮式移动机器人控制方法，具体是一种双闭环控制系统，通过广义二型模糊控制与滑模控制结合的方法，提高抗外界干扰能力，增强系统稳定性。

Description

一种轮式移动机器人控制方法

技术领域

本发明涉及一种轮式移动机器人控制方法。

背景技术

移动机器人可通过自身移动完成许多危险任务，有效代替人力，如排雷、海底勘测、无人车驾驶、煤矿井下工作等，在军事、海洋、人类生活等诸多领域都拥有巨大实用价值。同时，机器人研究技术日趋成熟，其制作及应用已成为衡量国家科技创新能力和高端制造业能力的重要标志。本发明研究的轮式移动机器人(wheeled mobile robot,WMR)是典型的多输入多输出非完整系统，其通过两个后轮的差速驱动来控制机器人运动速度和行驶方向。双后轮在差速驱动时，WMR表现为非协调系统；同时，由于WMR受结构与非结构不确定性因素影响，控制难度增加，因而被各国学者高度重视并广泛研究。

研究人员提出诸多方法对WMR的轨迹进行跟踪，如滑模控制、神经网络控制、自适应控制，模糊控制等。其中，自适应控制具有结构相似性和参数可变性，对系统内、外环境变化具有很强的自动适应能力，对结构性不确定性系统是很好的选择；滑模控制因其系统的变结构特性，迫使系统按照“滑动模态”轨迹运动，使其具有响应迅速和强鲁棒性等优点。但此过程中伴随的抖振现象不可忽视，虽然可通过边界层避免抖振的产生，但需要估算不确定性的界值来保证系统的稳定。然而，在实际应用上，一般很难做到精确估计界值，从而导致控制增益较小不能有效弥补系统不确定性，控制增益较大虽可对系统不确定性要求降低，但依然存在抖振现象的问题。

自适应控制无法解决非结构不确定性问题；滑模控制在系统稳定过程中伴随的抖振现象不可忽视，虽然可通过边界层避免抖振的产生，但需要估算不确定性的界值来保证系统的稳定。然而，在实际应用上，一般很难做到精确估计界值，从而导致控制增益较小不能有效弥补系统不确定性，控制增益较大虽可对系统不确定性要求降低，但依然存在抖振现象的问题。

采用单一的控制方法对WMR进行跟踪控制，虽然有结构简单易操作的优点，但是在复杂的实际应用过程中，总会存在各种性能上的不足。因此，许多学者提出将不同控制方法结合对WMR进行跟踪控制，以达到更好的控制效果。例如采用自适应神经元位置控制器方法,有效解决了控制初始阶段误差突变的问题并降低了系统输入抖振；采用径向基神经网络滑模控制动态逼近控制器参数，使系统处于或最接近最优状态；采用PID与终端滑模控制相结合，使系统在有限时间内收敛至稳定状态，并对外界扰动有一定抗干扰能力，但是依然没有考虑抖振问题。

发明内容

本发明的目的是提供一种轮式移动机器人控制方法，能够显著提高抗外界干扰能力，增强系统稳定性，并在更短的时间内收敛至平衡状态，跟踪上理想轨迹。

一种轮式移动机器人控制方法，其特别之处在于，包括如下步骤：

步骤一：建立轮式移动机器人运动学模型；

步骤二：建立双闭环系统并且通过非奇异终端滑模与广义二型模糊结合的方法对移动机器人的位置轨迹和角度进行跟踪，具体是双闭环系统的外环对移动机器人的位置轨迹进行跟踪，而双闭环系统的内环对移动机器人的角度进行跟踪，两者都将滑模面作为模糊系统的控制输入，将模糊系统的输出作为滑模趋近律参数，并且设计内环收敛速度快于外环收敛速度从而保证系统稳定性，同时削弱系统抖振从而令移动机器人有更好的运动性能。

步骤一中运动学模型具体如下：

首先将轮式移动机器人的状态由两个驱动轮轴中点O在坐标系的位置及航向角θ表示，令轮式移动机器人位置表示为M＝[x，y，θ]^T，姿态表示为N＝[ν，ω]^T，其中，[x，y]为轮式移动机器人的位置，θ为轮式移动机器人前进方向与x轴夹角，ν为轮式移动机器人线速度，ω为轮式移动机器人角速度，在运动学模型中，[x，y，θ]^T是控制输入；

轮式移动机器人的运动学方程为：

再通过设计控制律N＝[ν，ω]^T，实现轮式移动机器人的位置[x，y]^T的跟踪及夹角θ的跟踪；

由该轮式移动机器人运动学方程可知，轮式移动机器人运动学模型为

在坐标系内的位置与姿态误差定义为：

其中，x_d与y_d分别表示X轴与Y轴理想轨迹，θ_d表示理想角速度，e₁，e₂，e₃分别为X轴方向位置跟踪误差、Y轴方向位置跟踪误差和角度跟踪误差。

步骤二具体如下：

步骤1：定义位置跟踪误差：

定义角度跟踪误差：e₃＝θ-θ_d；

求导得到：

步骤2：设计位置跟踪滑模面：s₁＝e₁ ^λ，s₂＝e₂ ^λ；

设计角度跟踪滑模面：s₃＝e₃ ^λ；

其中，λ＝p/q，且p，q都是正奇数，满足1＜p/q＜2；e₁，e₂，e₃分别为X轴方向位置跟踪误差、Y轴方向位置跟踪误差和角度跟踪误差，s₁，s₂，s₃分别为X轴方向位置滑模面设计、Y轴方向位置滑模面设计和角度滑模面设计；

对位置滑模面求导：

对角度滑模面求导：

步骤3：设计位置跟踪趋近律：

设计角度跟踪趋近律：

其中，k₁＞0，k₂＞0，k₃＞0，η₃＞0，Q₁＝e₁ ^λ-1，Q₂＝e₂λ^-1，Q₃＝e₃ ^λ-1

结合滑模面求导结果与趋近律设计，最终，得到位置控制律：

实际位置控制律：

角度控制律：

步骤4：将设计的滑模面s₁，s₂，s₃作为二型模糊系统的输入选择上、下隶属函数为：

其中，i＝1，2，3.s_i表示滑模面，和表示上下隶属函数；次隶属函数的表达式为：

其中，γ决定次隶属函数形状，当γ＝1时，次隶属函数为对称三角行；当γ＝0时，次隶属函数为矩形；α为广义二型模糊的截面，和为α截面的上下隶属函数；

步骤5：将二型模糊系统的输出作为滑模趋近律的输入，动态调节趋近律参数，降低系统抖振，保证系统稳定。

本发明提出了一种轮式移动机器人控制方法，具体是一种双闭环控制系统，通过广义二型模糊控制与滑模控制结合的方法，提高抗外界干扰能力，增强系统稳定性。本发明方法设计非奇异终端滑模面，令系统在有限时间内收敛至平衡状态，并采用广义二型模糊对滑模趋近律增益进行调节，削弱输出抖振，与一型模糊相比，二型模糊对系统中的不确定性有更强的处理能力，可对趋近律增益产生更好的调节效果。

本发明方法还具有如下优点：显著提高抗外界干扰能力，增强系统稳定性，并在更短的时间内收敛至平衡状态，跟踪上理想轨迹。且通过二型广义模糊对滑模趋近律的调节，削弱输出抖振。

附图说明

图1是轮式移动机器人的运动模型示意图；

图2是WMR的双闭环控制结构图；

图3是广义二型模糊集的次隶属函数示意图；

图4是区间二型模糊集隶属函数示意图；

图5是广义二型模糊逻辑结构框图；

图6是基于GT2FLC与NTSMC控制的WMR轨迹跟踪控制结构图。

具体实施方式

针对非完整移动机器人轨迹跟踪控制问题，本发明提出一种基于双环运动学控制结构、广义二型模糊与非奇异终端滑模控制结合的控制算法。设计双环跟踪控制器，外环采用指数趋近律，对位置状态进行快速跟踪；内环采用双幂次趋近律，令姿态收敛速度快于位置跟踪速度，保证闭环系统稳定性。同时，双环均采用非奇异终端滑模控制方法，利用滑模控制的强鲁棒性，实现系统在有限时间内快速收敛并具有较强抗干扰能力；采用广义二型模糊对趋近律增益调节，增强对随机扰动的适应能力并削弱滑模输入的抖振。设计Lyapunov函数，证明系统的稳定；仿真结果显示，本文设计的方法在随机扰动情下，控制器输出平稳，位置和姿态实现快速、无误差跟踪。

本发明提出的方法能够在外界干扰情况下，更快的跟踪理想轨迹，并且通过下面三种性能指标，定量的评估跟踪性能：

性能指标可以表示为：

表2外部扰动为d₁＝0.1×cos t，d₂＝0.1×sin t的X轴轨迹跟踪误差性能指标

表3外部扰动为d₁＝0.1×cos t，d₂＝0.1×sin t的Y轴轨迹跟踪误差性能指标

表4外部扰动为d₁＝0.1×cos t，d₂＝0.1×sin t的姿态角跟踪误差性能指标

实施例1：

1、建立轮式移动机器人(WMR)运动学模型：

(1)对WMR进行简单描述；

WMR因其结构灵活性、功能多样性而被广泛应用。其可以根据不同的应用情景进行针对性设计，依据需要完成的任务进行功能规划，本文就WMR得应用最广泛的轨迹跟踪问题进行研究。

WMR的本质是具有自主导航能力的控制系统，其对特定轨迹的跟踪能力显然十分重要。然而，在实际工程中，特别是在障碍较多的地方，通过搜索或者拟合出的路径很多时候是不符合理想情况下的运动学或动力学模型的，因此在WMR的轨迹跟踪设计上考虑外界扰动对移动机器人的可行性、安全性及自主性都有重大意义。本文对研究对象做以下几点假设：

1)WMR在二维平面运动；

2)整个车体是关于纵向轴线对称的；

3)车轮在二维平面运动时，只存在滚动运动，与接触面没有相对滑动(横向与纵向)，或者滑动可忽略。

4)WMR的质心与驱动中心结合。

(2)建立模型；

本文所用的轮式移动机器人简化模型如图1所示，该机器人两个车轮较大，为驱动轮；两个车轮较小，为从动轮。

如图1所示，WMR的状态由两个驱动轮轴中点O在坐标系的位置及航向角θ表示，令WMR位置表示为M＝[x，y，θ]^T，姿态表示为N＝[ν，ω]^T，其中，[x，y]为WMR的位置，θ为WMR前进方向与x轴夹角，ν为WMR线速度，ω为WMR角速度。在运动学模型中，[x，y，θ]^T是控制输入。

WMR的运动学方程为：

由(1)可知，本文研究对象WMR共有两个自由度，模型输出3个变量，所以此模型为欠驱动模型，只能实现2个变量的主动跟踪，剩余一个变量为随动状态。本文通过设计控制律N＝[ν，ω]^T，实现WMR的位置[x，y]^T的跟踪及夹角θ的跟踪。

由(1)可知，WMR运动学模型为

在坐标系内的位置与姿态误差定义为：

其中，x_d与y_d分别表示是X轴与Y轴理想轨迹，θ_d表示理想角速度。

2、双闭环非奇异终端滑模控制器设计：

(1)建立双闭环结构框图；

设计的闭环系统为内外环构成的双控制系统。外环是位置控制子系统，内环是姿态控制子系统。外环产生中间控制信号θ_d，传递给内环，内环再通过NTSMC实现对θ_d的跟踪。双闭环系统控制结构图如图2。

1)在进行内环设计时，控制器中要对θ_d求导，实现，因此要求θ_d只能为连续值，所以控制律u₁和u₂为连续。在进行滑模面设计时，注意不能设计切换函数。

2)在姿态角控制律中，我们可以用如下二阶微分控制器实现对外环产生的中间指令信号θ_d的求导。

n(t)是需要微分的输入信号；x₁跟踪信号，x₂是x₁的一阶导数的估计，设微分器的初值x(1)＝0，x(2)＝0.

3)在双闭环设计中，θ对θ_d的跟踪性能会对外环稳定性造成影响，进而使整个双闭环系统的稳定性受到影响。对于这种情况，文献[27-30]给出了严格的解决方法，并且，文献[27]提出对于滑模设计方案，可通过控制律增益的设计来保证闭环系统稳定的方法。同时，为保证内环稳定性，本节使用了工程上常用的解决办法，即令内环收敛速度大于外环，通过让快θ速跟踪θ_d，来保证闭环系统的稳定性。本文通过GT2FLC方法，动态调节控制律增益参数，保证闭环系统的稳定并具有较强抗随机扰动能力。

(2)设计双闭环控制器外环控制律(位置控制律设计)：

步骤1：取理想轨迹[x_d，y_d]^T，实际跟踪轨迹[x，y]^T，则得到轨迹跟踪误差方程：

其中，

令

步骤2：设计X轴方向与Y轴方向的非奇异终端滑模面：

针对X轴轨迹跟踪，设计s₁＝e₁ ^λ

(8)

针对Y轴轨迹跟踪，设计s₂＝e₂ ^λ

(9)

其中，λ＝p/q，且p，q都是正奇数，满足1＜p/q＜2，根据(8)和(9)，我们得到：

步骤3：对滑模面求导：

步骤4：设计X轴方向与Y轴方向的趋近律：

设计趋近律：

其中，k₁＞0，k₂＞0，Q₁＝e₁ ^λ-1，Q₂＝e₂ ^λ-1.

步骤5：根据(11)和(12)，可得控制律：

步骤6：对所涉及的位置控制系统进行稳定性证明：

Lyapunnov函数V₁设计如下：

则：

由(15)可知，X轴方向的位置跟踪误差收敛至零。

Lyapunnov函数V₂设计如下：

则：

由(17)可知，Y轴方向的位置跟踪误差收敛至零。

步骤7：计算实际位置控制律：

由公式(7)可得：

其中，当θ的值域满足理想条件时，则有在实际应用中，θ与θ_d不可能完全相等，所以我们取跟踪角度为理想值，保证闭环系统稳定。

由公式(7)，得到实际位置控制律：

(3)设计双闭环控制器内环控制律(角度控制律设计)；

步骤1：WMR的理想姿态角为θ_d，实际跟踪姿态角为θ。姿态跟踪误差方程如下

e₃＝θ-θ_d (21)

步骤2：设计姿态角滑模面：

令：s₃＝e₃ ^λ

(22)

其中，λ＝p/q，且p，q都是正奇数，满足1＜p/q＜2，然后可得：

步骤3：对设计的滑模面求导：

步骤4：设计角度的趋近律

其中，k₃＞0η₃＞0Q₃＝e₃ ^λ-1

步骤5：由(23)和(24)，得到角速度控制律：

步骤6：对角速度控制系统进行稳定性证明；

Lyapunnov函数V₃设计如下：

则：

即所以角速度误差收敛至零。

3、应用广义二型模糊方法调节趋近律参数：

(1)简单介绍广义二型模糊集(基本概念介绍及公式描述)；

广义二型模糊控制逻辑(GT2FLC)是一种不依赖于被控对象精确数学模型的无模型控制器。此外，它具有很强的处理不确定性的能力。近年来，GT2FLC的研究在应用和理论方面受到了广泛的关注[31-37]。在本节中，将在这里概述GT2FLC的一些基本概念。

如图3所示，广义二型模糊集(GT2FS)的隶属度函数(MF)具有三维结构，广义二型模糊集表示为：

其中，x为主变量，u为次变量。X为主变量x的定义域，为次隶属度。次隶属度的支撑域称为不确定性的迹(FOU)，表示为即：

FOU被它的上、下隶属函数所包含，其上、下隶属函数分别为

即：

GT2FS的垂直切片表示为：

其中，为本身为一型模糊集的次隶属函数，是的次隶属度；H_x为主隶属函数，也是次隶属函数定义域。当恒为1时，GT2FS就变化成区间二型模糊集。图3所示为次隶属函数为梯形形状的六个垂直切片。为了简化计算GT2FS，刘提出α平面表示GT2FS[30]。为的α截集，即：

GT2FS的一个平面为即：

如图4为区间二型模糊集的上下隶属函数，当α＝0时，α平面为即：

最终，我们将GT2FS看作为α平面的并集，即：

(2)设计广义二型模糊控制器：

通常，广义二型模糊控制器由五部分组成，即：模糊器、模糊推理机、规则库、降型器和解模糊器。如图5所示：

1)模糊器：模糊器是GT2FLC的前件，它通过隶属函数将精确输入转化为GT2FS的模糊输入。通常，我们用高斯型函数、三角形函数或者梯形函数作为上隶属函数(UMF)及下隶属函数(LMF)；用三角形函数或者梯形函数作为次隶属函数。

2)模糊规则：GT2FLC的模糊规则可以表示为：

Rⁿ：如果s_i属于那么k_i属于

其中，是广义二型模糊集也称前件，s_i是广义二型模糊控制的输入。是后件，k_i是最终输出。

3)模糊推理机：对于输入s_i，截面为α的点火区间表示为：

其中，和是α平面每个的隶属度。

4)降型器：本文选择集的中心方法作为降型方法，表述为：

Y_cos，α＝[k_lα，k_rα] (42)

其中，和为后件；L和R是开关点，可通过EKM或EIASC等算法算出。

5)解模糊：通过解模糊，我们得到最终输出，中心解模糊表示为：

其中，α＝{0，1/H，…，(H-1)/H，1}；H+1是α平面的数量。

(3)应用广义二型模糊控制调节滑模趋近律：

步骤1：得到基于广义二型模糊控制与非奇异终端滑模控制结合的WMR轨迹跟踪框图

步骤2：广义二型模糊器具体设计方法

滑模由于其变结构特性而具有极强的鲁棒性，但此种控制带来的抖振现象不可忽视。本节采用GT2FLC方法，动态调节滑模趋近律参数。一方面，可通过GT2FLC方法削弱抖振；另一方面让系统内环趋近律增益大于外环，使内环收敛速度快于外环，保证系统的稳定性，从而使WMR具有更好的运动性能。，

本文设计三个模糊控制器分别调节X轴轨迹跟踪控制律参数、Y轴轨迹跟踪控制律参数以及姿态角控制律参数。模糊控制器的输入变量分别为s₁、s₂和s₃。输出变量分别为k₁、k₂和k₃。模糊域可分为四个GT2FSs，分别为零(ZR)、正小(PS)、正中(PM)、正大(PB)，表示对期望位置的偏离度。上隶属函数和下隶属函数是高斯型函数，次隶属函数是梯形函数。GT2FS的上隶属函数和下隶属函数由向量sMF决定，次隶属函数由元素γ决定。令和分别是LMF和UMF的隶属度，则和可以表示为：

其中，i＝1，2，3.次隶属函数的表达式为：

其中，γ决定次隶属函数形状，当γ＝1时，次隶属函数为对称三角行；当γ＝0时，次隶属函数为矩形。

根据控制经验，当|s|＞1时，应增大s₁，s₂，s₃趋近律增益，让WMR从初始位置快速趋近滑模面；当0＜|s|＜1时，应减小趋近律增益的值，降低WMR趋近速度，削弱系统自身抖振。

GT2FLC规则表如表1所示.

表1模糊控制规则

4、仿真证明：

本节的控制对象如式(1)，位置控制律如式(15)，姿态控制律如式(20)，取位置指令为：X_d＝t，y_d＝sin 0.5t+0.5×t+1.x轴的外部扰动为：

d₁＝0.1×cos t，y轴的外部扰动为d₂＝0.1×sin t.位置初始值为：[0 0 0]。为了更好显示本文方法(GT2FLC-NTSMC)的有效性，将本文方法与IT2FLC-NTSMC、T1FLC-NTSMC与NTSMC三种方法就行对比。

显然，传统的NTSMC方法有很大的抖振，T1FLC-NTSMC，IT2FLC-NTSMC以及GT2FLC-NTSMC方法在不同程度上削弱抖振，其中，GT2FLC-NTSMC方法的效果最明显，几乎消除抖振，令WMR具有更好的运动性能。

为了更好的评估轨迹的跟踪性能，本文使用以下三种性能指标：平方误差积分(ISE)、误差绝对值积分(IAE)和时间积分乘以误差绝对值(ITAE)对GT2FLC-NTSMC、IT2FLC-NTSMC、TIFLC-NTSMC及NTSMC的轨迹跟踪情况进行评估：

性能指标可以表示为：

表2外部扰动为d₁＝0.1×cos t，d₂＝0.1×sin t的X轴轨迹跟踪误差性能指标

表3外部扰动为d₁＝0.1×cos t，d₂＝0.1×sin t的Y轴轨迹跟踪误差性能指标

表4外部扰动为d₁＝0.1×cos t，d₂＝0.1×sin t的姿态角跟踪误差性能指标

表2，3和4陈列了ISE、IAE和ITAE三种性能指标对WMR的跟踪情况。显然，GT2FLC-NTSMC比T1FLC-NTSMC,IT2FLC-NTSMC以及NTSMC在处理不确定上有着更好的性能。

本发明提出了一中基于GT2FLC和NTSMC的双闭环轮式移动机器人的轨迹跟踪方法。双环均采用非奇异终端滑模控制方法，利用滑模控制的强鲁棒性，实现系统在有限时间内快速收敛。采用GT2FLC控制器对双环趋近律动态调节，加强对随机扰动的适应能力并削弱滑模输入的抖振。最后，将本文提出的方法与IT2FLC-NTSMC、T1FLC和NTSMC三种方法在WMR的轨迹跟踪效果上进行对比，仿真结果显示出本发明所提出方法的有效性。

Claims (3)

1.一种轮式移动机器人控制方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一：建立轮式移动机器人运动学模型；

步骤二：建立双闭环系统并且通过非奇异终端滑模与广义二型模糊结合的方法对移动机器人的位置轨迹和角度进行跟踪，具体是双闭环系统的外环对移动机器人的位置轨迹进行跟踪，而双闭环系统的内环对移动机器人的角度进行跟踪，两者都将滑模面作为模糊系统的控制输入，将模糊系统的输出作为滑模趋近律参数，并且设计内环收敛速度快于外环收敛速度从而保证系统稳定性，同时削弱系统抖振从而令移动机器人有更好的运动性能。

2.如权利要求1所述的一种轮式移动机器人控制方法，其特征在于：

步骤一中运动学模型具体如下：

首先将轮式移动机器人的状态由两个驱动轮轴中点O在坐标系的位置及航向角θ表示，令轮式移动机器人位置表示为M＝[x，y，θ]^T，姿态表示为N＝[v，ω]^T，其中，[x,y]为轮式移动机器人的位置，θ为轮式移动机器人前进方向与x轴夹角，v为轮式移动机器人线速度，ω为轮式移动机器人角速度，在运动学模型中，[x，y，θ]^T是控制输入；

轮式移动机器人的运动学方程为：

再通过设计控制律N＝[ν，ω]^T，实现轮式移动机器人的位置[x，y]^T的跟踪及夹角θ的跟踪；

由该轮式移动机器人运动学方程可知，轮式移动机器人运动学模型为

在坐标系内的位置与姿态误差定义为：

其中，x_d与y_d分别表示X轴与Y轴理想轨迹，θ_d表示理想角速度，e₁,e₂,e₃分别为X轴方向位置跟踪误差、Y轴方向位置跟踪误差和角度跟踪误差。

3.如权利要求1所述的一种轮式移动机器人控制方法，其特征在于：

步骤二具体如下：

步骤1：定义位置跟踪误差：

定义角度跟踪误差：e₃＝θ-θ_d；

求导得到：

步骤2：设计位置跟踪滑模面：s₁＝e₁ ^λ，s₂＝e₂ ^λ；

设计角度跟踪滑模面：s₃＝e₃ ^λ；

其中，λ＝p/q，且p,q都是正奇数，满足1＜p/q＜2；e₁,e₂,e₃分别为X轴方向位置跟踪误差、Y轴方向位置跟踪误差和角度跟踪误差，s₁,s₂,s₃分别为X轴方向位置滑模面设计、Y轴方向位置滑模面设计和角度滑模面设计；

对位置滑模面求导：

对角度滑模面求导：

步骤3：设计位置跟踪趋近律：

设计角度跟踪趋近律：

其中，k₁＞0，k₂＞0,k₃＞0，η₃＞0，Q₁＝e₁ ^λ-1,Q₂＝e₂ ^λ-1，Q₃＝e₃ ^λ-1结合滑模面求导结果与趋近律设计，最终，得到位置控制律：

实际位置控制律：

角度控制律：

步骤4：将设计的滑模面s₁,s₂,s₃作为二型模糊系统的输入选择上、下隶属函数为：

其中，i＝1，2，3.s_i表示滑模面，和表示上下隶属函数；次隶属函数的表达式为：

其中，γ决定次隶属函数形状，当γ＝1时，次隶属函数为对称三角行；当γ＝0时，次隶属函数为矩形；α为广义二型模糊的截面，和为α截面的上下隶属函数；

步骤5：将二型模糊系统的输出作为滑模趋近律的输入，动态调节趋近律参数，降低系统抖振，保证系统稳定。