CN110068498A - 沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法 - Google Patents

沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法，包括以下步骤：对待测样品进行动态力学频率扫描试验；获得试验数据作试验复平面图；根据试验复平面图特征，引用常相角元件构建非理想固体模型；推导非理想固体模型的复柔量和复模量表达式，并建立储能模量和损耗模量的复平面关系式；根据试验复平面图与非理想固体模型的储能模量—损耗模量的复平面关系式的对应关系，求解元件参数值；将元件参数值代入非理想固体模型的复模量表达式，获得任意给定角频率条件下的储能模量和损耗模量值。根据模型和元件参数值可分析沥青混合料的力学性能，本发明提出的流变模型简单，元件个数少，但与实际试验结果的符合性高，且具有实际物理意义。

Description

沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法
技术领域
本发明属材料黏弹性研究技术领域，尤其涉及一种沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法。
背景技术
对黏弹性材料的研究方法通常有瞬变试验或动态试验。瞬变试验通常包括蠕变试验和应力松弛试验。蠕变试验是指对材料施加一个小的应力并保持不变，记录应变随时间的变化；应力松弛试验是指对材料施加一个应变并保持不变，记录应力随时间的变化。动态试验则对材料施加的应力或应变不是恒定的，是随时间变化的，即施加随时间成正弦变化的应力或应变，研究相应的应变或应力响应。
为形象和深入地理解黏弹性，很早就有人提出流变模型来分析材料的黏弹性。在流变模型中，弹性用弹簧描述，黏性用黏壶描述。流变模型即是将理想弹簧和理想黏壶通过串联或并联组合起来，模拟材料的黏弹性。目前简单基本流变模型有Maxwell模型、Kelvin-Voigt模型、标准固体模型(Standard solid model)、标准液体模型(Standard liquidmodel)和Burgers模型等。
对材料黏弹性的研究，当采用蠕变试验或应力松弛试验方法时，通常是根据应力或应变随时间的关系曲线，选择合适的流变模型，使试验结果与流变模型能达到较好的拟合，再求解出流变模型中元件参数值。通过元件参数值来分析材料的黏弹性性。
实践表明，诸多黏弹性材料的实际蠕变或应力松弛试验结果与简单基本模型的符合性并不高。因此，提出了广义Maxwell模型、广义Kelvin-Voigt模型，即多个Maxwell元件或Kelvin-Voigt元件进行串联或并联，能与实际数据达到较好的拟合结果，但元件参数值可能不具备物理意义。
对材料黏弹性的研究，当采用动态试验方法时，目前，在高分子与复合材料中广泛应用的主要是通过获得的温度谱或频率谱。温度谱通常是指材料在固定频率和应变水平下，动态力学性能随温度的变化规律。频率谱通常是指材料在固定温度和应变水平下，动态力学性能随频率的变化规律。利用这些试验，得到复模量、储能模量、损耗模量、相角随温度或频率的关系，但通常不涉及流变模型及元件参数值的求解。
沥青混合料是一种典型黏弹性材料，沥青混合料路面在车载重复作用下，一部分变形可恢复，一部分变形不可恢复，这与沥青混合料的黏弹性直接相关。因此，建立有效的流变模型对分析和研究沥青混料路面的使用性能非常重要，也是道路设计和研究人员关心的问题。
在沥青混合料的动态试验方法方面，主要有单轴压缩动态模量试验，按一定的温度和加载频率对试件施加偏移正弦波或半正矢波轴向压力，测量试件可恢复的轴向应变，可获得线性黏弹性范围内的单轴压缩动态模量和相角等，加载频率范围通常是(0.01～25)Hz。不涉及其流变模型及元件参数值的求解。单轴压缩动态模量试验虽有成熟的标准，但试验需要大型设备，前期试样制备要求高，试验过程中试样安装要求高。
沥青混合料黏弹性的流变模型主要采用Burgers模型、广义Maxwell模型、广义Kelvin-Voigt模型、2S2P1D模型等。如早期广泛应用的Burgers模型，有时存在与实际数据符合性不高问题，不能较好描述蠕变过程中整个时间范围内的应变规律。广义模型包含的元件参数较多时，才能获得与实际数据较高的符合性。2S2P1D模型(2 springs,2fractional derivative elements,1dashpot)，即包含2个弹簧元件、2个分数阶导数元件和1个黏壶元件，虽能较好地描述沥青混合料的黏弹性，但流变模型复杂，元件参数值求解非常困难。复杂的模型也难以被工程界使用。
发明内容
基于此，本发明的目的在于提供一种沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法。
为达到上述目的，本发明的解决方案是：
一种沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法，包括以下步骤：
对待测样品进行动态力学频率扫描试验；获得试验数据作试验复平面图；
根据试验复平面图的特征，引用常相角元件构建非理想固体模型；
推导出非理想固体模型的复柔量和复模量的表达式，并建立储能模量和损耗模量的复平面关系式；
根据试验复平面图与非理想固体模型的储能模量—损耗模量的复平面关系式的对应关系，求解元件参数值；
将元件参数值代入非理想固体模型的复模量表达式，获得任意给定角频率ω条件下的储能模量E′和损耗模量E″值。
在其中一个实施例中，引用常相角元件构建非理想固体模型，所述非理想固体模型由第一弹簧元件和常相角元件并联后再与第二弹簧元件串联组成。
在其中一个实施例中，所述对待测样品进行动态力学频率扫描试验，获得试验数据作试验复平面图，包括：采用动态力学分析仪以三点弯曲试验方法对待测样品施加不大于10μm的变形振幅，采用频率扫描的应变控制加载工作模式；获得不同频率点对应的储能模量和损耗模量数据；根据试验数据作复平面图。
在其中一个实施例中，所述采用频率扫描的应变控制加载工作模式，包括：频率扫描变化按对数平均分布。
在其中一个实施例中，所述根据试验数据作复平面图，包括：根据获得的不同频率点的储能模量作为横坐标，损耗模量作为纵坐标作复平面图，并对该复平面图进行多点拟合作圆，获得储能模量-损耗模量的变化规律曲线。
在其中一个实施例中，所述推导出非理想固体模型的复模量表达式，并建立储能模量和损耗模量的复平面关系式，包括：在正弦微扰作用下对常相角元件的复模量进行定义；根据二元件并联时，各元件受到的应变相等，应力有相加规律；串联时，各元件受到的应力相等，应变有相加规律，推导出非理想固体模型的复柔量和复模量表达式；分离非理想固体模型的复模量E*表达式的实部和虚部，得到非理想固体模型的储能模量E′和损耗模量E″的表达式；根据非理想固体模型的储能模量E′和损耗模量E″的表达式，建立储能模量—损耗模量的复平面关系式。
在其中一个实施例中，所述根据试验复平面图与非理想固体模型的储能模量—损耗模量的复平面关系式的对应关系，求解元件参数值，包括：根据试验复平面图与非理想固体模型的储能模量—损耗模量的复平面关系式的对应关系，解关于储能模量—损耗模量的复平面关系式的权重系数；根据非理想固体模型的储能模量或损耗模量表达式，获得黏壶系数ηp与权重系数的关系式，解关于黏壶系数ηp的一元二次方程，得到某个角频率ω对应的根，取其中符合实际物理意义的1个根，并取每个角频率ω对应根的平均值，近似求解出黏壶系数ηp。
上述一种沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法，通过引用常相角元件构建非理想固体模型，根据试验复平面图与非理想固体模型的储能模量—损耗模量的复平面关系式对应的关系，求解元件参数值；将元件参数值代入非理想固体模型的复模量表达式，获得任意给定角频率条件下的储能模量和损耗模量值。本发明的主要优点有：采用的关键试验仪器动态力学分析仪(DMA)是材料试验领域普遍使用的、成熟的商业化仪器，试验步骤和操作简单；提出的流变模型简单，元件个数少，但与实际试验结果的符合性高，且具有实际物理意义；根据复模量表达式可计算出任意角频率下的复模量等力学参数。根据模型和元件参数值可分析沥青混合料的力学性能。
附图说明
图1是本发明流程图。
图2是动态力学试验中三点弯曲试验示意图。
图3是标准固体模型图。
图4是标准固体模型的动态力学响应的复平面图。
图5是本发明的非理想固体模型图。
图6是本发明的非理想固体模型的动态力学响应的复平面图。
图7是本发明的一个实例的复平面图。
图8是本发明的一个实例图7复平面图的半圆拟合图。
具体实施方式
以下结合附图所示实施例对本发明作进一步的说明。
请参阅图1，一个实施例中，一种沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法，包括以下步骤：
S100，对待测样品进行动态力学频率扫描试验；获得试验数据作试验复平面图；
S110，根据试验复平面图的特征，引用常相角元件(黏壶黏度为ηp)构建非理想固体模型；
S120，推导出非理想固体模型的复柔量和复模量表达式，并建立储能模量和损耗模量的复平面关系式；
S130，根据试验复平面图与非理想固体模型的储能模量—损耗模量的复平面关系式的对应关系，求解元件参数值；
S140，将元件参数值代入非理想固体模型的复模量表达式，获得任意给定角频率(ω)条件下的储能模量E′和损耗模量E″值。
本实施例中，待测样品试验采用恒定的试验温度。
在一个实施例中，引用常相角元件(黏壶黏度为ηp)构建非理想固体模型，所述非理想固体模型由第一弹簧元件(弹性模量为Ep)和常相角元件(黏壶黏度为ηp)并联后再与第二弹簧元件(弹性模量为E)串联组成。
在一个实施例中，所述对待测样品进行动态力学频率扫描试验，获得试验数据作试验复平面，包括：采用动态力学分析仪以三点弯曲试验方法对待测样品施加不大于10μm的变形振幅，采用频率扫描的应变控制加载工作模式试验；获得不同频率点对应的储能模量和损耗模量数据；根据试验数据作复平面图。
进一步地，在其一个实施例中，所述采用频率扫描的应变控制加载工作模式，频率扫描变化按对数平均分布。
在一个实施例中，所述根据试验数据作复平面图，包括：根据获得的不同频率点的储能模量为横坐标，损耗模量为纵坐标作复平面图，并对该复平面图进行多点拟合作圆，获得储能模量-损耗模量的变化规律曲线。
在一个实施例中，所述推导出非理想固体模型的复模量表达式，并建立储能模量和损耗模量的复平面关系式，包括：
a)所述的非理想固体模型中的常相角元件(CPE)，是一种介于理想弹簧和理想黏壶之间的力学元件，在正弦微扰作用下对常相角元件(CPE)的复模量定义为：
当n为1时，常相角元件(CPE)即退化为理想黏壶，复模量即为复模量表达式同理想黏壶的表达式，复模量依赖于角频率ω；ηp的单位为理想黏壶的单位，即Pa·s。
当n为0时，常相角元件(CPE)即退化为理想弹簧，复模量即为复模量表达式同理想弹簧的表达式，复模量独立于角频率ω；ηp的单位为理想弹簧的单位，即Pa。
当n大于0，小于1时，常相角元件(CPE)的ηp的单位为Pa·sn，即模量单位Pa与时间单位s的n次方的乘积。
虚数单位i可写为
根据棣莫弗(De Moivre)公式，in写为：
即，常相角元件(CPE)的复模量定义为：
式中，n为常相角指数，n大于等于0，小于等于1；ω为角频率；i为虚数单位，ηp为黏壶黏度。
b)根据二元件并联时，各元件受到的应变相等，应力有相加规律，串联时，各元件受到的应力相等，应变有相加规律，推导出非理想固体模型的复柔量和复模量表达式，推导如下：
请参阅图3和图5，理想弹簧与理想黏壶并联通常称为Kelvin-Voigt模型。而第一弹簧元件Ep和常相角元件(CPE)并联，本发明称之为非理想Kelvin-Voigt元件。根据二元件的并联关系，非理想Kelvin-Voigt元件的复模量即为第一弹簧元件Ep和常相角元件(CPE)二者的复模量之和，即：
根据复模量和复柔量的倒数关系，非理想Kelvin-Voigt元件的复柔量为：
因理想弹簧的复模量独立于角频率ω，故在正弦微扰作用下，非理想固体模型中第二弹簧元件E的复模量为E，复柔量为
非理想固体模型也可看作是非理想Kelvin-Voigt元件和第二弹簧E串联，根据二元件的串联关系，所述的非理想固体模型的复柔量D*即为非理想Kelvin-Voigt元件和弹簧E二者的复柔量之和，所述的非理想固体模型的复柔量D*为：
根据复柔量D*和复模量E*的倒数关系，所述的非理想固体模型的复模量E*为：
c)对式(3)进行整理，分离非理想固体模型的复模量E*表达式的实部和虚部，得到非理想固体模型的储能模量E′和损耗模量E″的表达式：
d)根据非理想固体模型的储能模量E′和损耗模量E″的表达式，建立储能模量—损耗模量的复平面关系式；
根据式(4)和式(5)，经复杂的推导，非理想固体模型的储能模量E′和损耗模量E″的关系式为：
其中式(6)中φ定义为：
根据式(5)，获得的ηp与其他参数(ω、E″、E、Ep、和n)的关系为：
在一个实施例中，所述根据试验复平面图与非理想固体模型的储能模量—损耗模量的复平面关系式的对应关系，求解元件参数值，包括：根据试验复平面图与非理想固体模型的储能模量—损耗模量的复平面关系式的对应关系，求解储能模量—损耗模量的复平面关系式的权重系数；为简便，选择非理想固体模型的损耗模量E″的表达式，获得黏壶系数ηp与权重系数的关系式，解关于黏壶系数ηp的一元二次方程，得到某个角频率ω对应的根，取其中符合实际物理意义的1个根，并取每个角频率ω对应根的平均值，近似求解出黏壶系数ηp。
本实施例中，根据式(6)得到的非理想固体模型的复平面曲线特征求解出权重系数E、Ep和n方法如下：
非理想固体模型的储能模量—损耗模量的复平面图与实轴有2个交点，交点坐标分别为(E,0)，将试验获得的复平面图与实轴的交点坐标数据代入上述交点坐标，依次求解E、Ep。
根据圆心纵坐标或半径和已求解出的E、Ep，先求解出偏转角φ，再根据式(7)，求解n。
其次，根据式(8)，角频率ω和对应的损耗模量E″以及已求解出的E、Ep和n，解关于ηp的一元二次方程，得到某个角频率ω对应的根，取其中符合实际物理意义的1个根，并取每个角频率ω对应根的平均值，近似求解出ηp。
根据求解出元件参数值E、Ep、n和ηp，代入式(4)和式(5)，可获得任意给定角频率ω条件下的储能模量E′和损耗模量E″值。该结果可用于了解和分析给定角频率ω条件下的沥青混合料黏弹性力学性能。
下面用沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法来说明本发明实施例中的实施方式，详见下文描述：
试验和分析程序如图1所示，三点弯曲示意图如图2所示。
采用广泛使用的70号A级沥青，沥青用量为7.5％，集料为石灰岩石屑。
表1实施例的集料颗粒级配。
筛孔尺寸(mm) 2.36 1.18 0.6 0.3 0.15 0.075
通过率(％) 100 85.8 53.3 37.6 18.5 12.8
按《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》JTG E 20-2011中的T 0703沥青混合料试件制作方法(轮碾法)，利用沥青混合料用轮碾成型机成型300mm×300mm×50mm的试件，按规定放置冷却后，先切割成长方体小块，再精切割成尺寸大致为60mm×15mm×5.5mm的长方体试件。
采用的动态力学分析仪为TA Instruments公司的DMA Q800，采用三点弯曲(Clamp:3-Point Bending)变形加载，三点弯曲跨径为50mm。采用频率扫描的应变控制加载工作模块(Module:DMA Multi-Frequency-Strain)，频率扫描范围(200～0.02)Hz，即覆盖4个数量级频率范围，从高频到低频进行扫描，扫描中频率变化按每个数量级进行对数平均分布，每个数量级尽量分布多的频率点，该型号仪器每个数量级最多分布12点。为保证线性黏弹性范围，应变控制工作模式中的变形应足够小，实施例中变形振幅选择为4μm。
上述步骤中的变形振幅为4μm时，根据可计算出，应变ε0＝0.00528％，可知，应变非常小。式中，d为变形振幅，d＝2μm；L为跨径，L＝50mm；h为试件高度，h＝5.5mm。
为保证试件内外温度一致，在试验加载前，固定试验温度，试样保温不少于30min。
实施例的三点弯曲试验如图2所示。实施例是对上述沥青混合料在35℃条件下的黏弹性。试验程序设置如表2所示。
表2实施例DMA Multi-Frequency-Strain设置程序。
步骤顺序 步骤
1 数据存储关闭(Data storage off)
2 马达驱动关闭(Motor drive off)
3 平衡到35.00℃(Equilibrate at 35.00℃)
4 等温30min(Isothermal for 30min)
5 数据存储开启(Data storage on)
6 马达驱动开启(Motor drive on)
7 频率扫描(Frequency sweep)
上述试验获得的不同频率的储能模量E′、损耗模量E″结果见表3。
根据上述试验获得试验结果，以不同频率点对应的储能模量E′作为横坐标，损耗模量E″作为纵坐标作复平面图，见图7。对储能模量—损耗模量复平面图，利用Origin软件的非线性隐函数曲线拟合功能得到圆方程。
根据表3，实施例的圆方程为：(x-6824.3)2+(y+9077.2)2＝11350.92。对拟合圆的精度进行核对，方法为：相对误差采用每个频率实测点(E′，E″)距圆心(6824.3，-9077.2)的距离与圆半径(11350.9MPa)的相对误差，结果见表3。
表3实施例的试验结果及圆的拟合精度。
由表3可知，拟合圆的相对误差非常小，表明试验实测数据高度符合圆曲线的规律。
标准固体模型(Standard solid model)的流变模型如图3所示，由1个弹簧元件(弹性模量为Ep)和1个理想黏壶元件(黏壶系数为ηp)并联后再与1个弹簧元件(弹性模量为E)串联组成。其复平面图如图4所示，特征是一个半圆，且圆心在实轴上。实施例的圆方程圆心(6824.3，-9077.2)在第四象限，与实轴有2个交点，可见，实施例复平面图与标准固体模型的复平面图特征不一致。表明标准固体模型不适用于实施例。故需对标准固体模型提出改进。
本发明巧妙采用常相角元件(constant phase element，CPE)代替标准固体模型的理想黏壶元件，不改变其他元件，提出非理想固体模型，如图5所示，其复平面图如图6所示。由图6可知，非理想固体模型的复平面图是一个圆心在第四象限的半圆，与实施例复平面图特征一致。上述两模型的主要差别仅仅是：标准固体模型的理想黏壶的复模量为：而非理想固体模型中常相角元件(CPE)的复模量为n为常相角指数，n大于等于0，小于等于1。
实施例的非理想固体模型中元件参数值E、Ep、n和ηp的求解按下列方法和步骤：弹簧元件E、Ep的求解。参阅图8，实施例半圆与实轴的2交点坐标分别是：(9.1，0)，(13639.5，0)。如图6所示，2交点坐标分别为：(E,0)。即可先求解出E、再求解出Ep。即E＝13639.5MPa，Ep＝9.08MPa。
常相角指数(n)的求解：实施例半圆的圆心坐标为(6824.3，-9077.2)，圆半径为11350.9。根据图6，圆心C点的纵坐标或圆半径和已经求解出的E、Ep，求解出偏转角φ，再根据求解出n。即φ＝0.927rad.，φ＝53.1deg.,n＝0.410。
常相角元件黏度ηp的求解。将不同角频率ω和对应的损耗模量E″以及已经求解出的E、Ep、n代入式(7)，解关于ηp的一元二次方程，得到某个角频率ω对应的根，取其中符合实际物理意义的1个根，并取每个角频率ω对应根的平均值，近似求解出ηp。
表4不同加载频率对应的ηp的根。
由表4可知，不同频率对应的ηp1根相差甚大，且这些根可能没有物理意义。因此，取ηp2根作为有效值，但对ηp2根，每个频率对应的也不完全相同，只能取平均值。平均值为ηp2＝175.7MPa﹒s0.410。
实施例的非标准固体模型元件参数值汇总见表5。
表5实施例的非标准固体模型元件参数值汇总。
根据表5求解出的实施例的E、Ep、ηp和n元件参数值，代入式(4)和式(5)，可获得实施例混合料在任意给定角频率ω条件下的储能模量E′和损耗模量E″值。
实际应用中，例如，车辆轮胎与沥青混合料路面的作用频率可根据车速和轮胎外直径计算出。如当车速为50km/h，轮胎外直径为60cm时，可得轮胎与路面的作用频率f＝7.4Hz，根据ω＝2πf，角频率ω＝46.3rad./s。将该角频率值和表5中元件参数值代入式(4)和式(5)，即可得到实施例混合料在该车速条件下的储能模量E′和损耗模量E″值，可用于车载作用下的沥青混合料路面的力学分析。
上述对实施例的描述是为了便于该技术领域的普通技术人员能理解和应用本发明。熟悉本领域技术的人员显然可以容易地对这些实施例做出各种修改，并把在此说明的一般原理应用到其他实施例中而不必经过创造性的劳动。因此，本发明不限于这里的实施例，本领域技术人员根据本发明的揭示，不脱离本发明范畴所做出的改进和修改都应该在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
对待测样品进行动态力学频率扫描试验；获得试验数据作试验复平面图；
根据试验复平面图的特征，引用常相角元件构建非理想固体模型；
推导出非理想固体模型的复柔量和复模量的表达式，并建立储能模量和损耗模量的复平面关系式；
根据试验复平面图与非理想固体模型的储能模量—损耗模量的复平面关系式的对应关系，求解元件参数值；
将元件参数值代入非理想固体模型的复模量表达式，获得任意给定角频率ω条件下的储能模量E′和损耗模量E″值。
2.根据权利要求1所述的沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法，其特征在于，引用常相角元件构建非理想固体模型，所述非理想固体模型由第一弹簧元件和常相角元件并联后再与第二弹簧元件串联组成。
3.根据权利要求1所述的沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法，其特征在于，所述对待测样品进行动态力学频率扫描试验，获得试验数据作试验复平面图，包括：
采用动态力学分析仪以三点弯曲试验方法对待测样品施加不大于10μm的变形振幅，采用频率扫描的应变控制加载工作模式；
获得不同频率点对应的储能模量和损耗模量数据；
根据试验数据作复平面图。
4.根据权利要求3所述的沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法，其特征在于，所述采用频率扫描的应变控制加载工作模式，包括：频率扫描变化按对数平均分布。
5.根据权利要求3所述的沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法，其特征在于，所述根据试验数据作复平面图，包括：
根据获得的不同频率点的储能模量作为横坐标，损耗模量作为纵坐标作复平面图，并对该复平面图进行多点拟合作圆，获得储能模量-损耗模量的变化规律曲线。
6.根据权利要求1所述的沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法，其特征在于，所述推导出非理想固体模型的复模量表达式，并建立储能模量和损耗模量的复平面关系式，包括：
在正弦微扰作用下对常相角元件的复模量进行定义；
根据二元件并联时，各元件受到的应变相等，应力有相加规律；串联时，各元件受到的应力相等，应变有相加规律，推导出非理想固体模型的复柔量和复模量表达式；
分离非理想固体模型的复模量E*表达式的实部和虚部，得到非理想固体模型的储能模量E′和损耗模量E″的表达式；
根据非理想固体模型的储能模量E′和损耗模量E″的表达式，建立储能模量—损耗模量的复平面关系式。
7.根据权利要求1所述的沥青混合料黏弹性的动态力学分析方法，其特征在于，所述根据试验复平面图与非理想固体模型的储能模量—损耗模量的复平面关系式的对应关系，求解元件参数值，包括：
根据试验复平面图与非理想固体模型的储能模量—损耗模量的复平面关系式的对应关系，解关于储能模量—损耗模量的复平面关系式的权重系数；
根据非理想固体模型的储能模量或损耗模量表达式，获得黏壶系数ηp与权重系数的关系式，解关于黏壶系数ηp的一元二次方程，得到某个角频率ω对应的根，取其中符合实际物理意义的1个根，并取每个角频率ω对应根的平均值，近似求解出黏壶系数ηp。
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