CN109981274A - 一种基于泡利群的量子超密编码酉算子构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于泡利群的量子超密编码酉算子构造方法，涉及量子通信编码。其首先根据量子态原粒子数确定需要酉操作的粒子数，进而根据量子态原粒子数的奇偶性，运用不同数学构造规则对酉算子构造进行变换，得到符合条件的乘法子群，最后对乘法子群进行筛选，剔除存在偶数个Z门的子群，并保留被操作的粒子的张量积为正交的子群，得到最终正确的酉算子集合。本发明的方法相较与现有方法，提供了切实可行的操作步骤和筛选条件，可以高效且准确地构造出所有的适合超密编码的酉算子集合。本发明的方法适用于实现量子通信中的超密编码。

Description

一种基于泡利群的量子超密编码酉算子构造方法

技术领域

本发明属于量子通信领域，涉及量子通信编码，尤其涉及一种基于泡利群的量子超密编码酉算子构造方法。

背景技术

据发明人了解，1992年，Bennett和Wiesner首次提出了量子超密编码(QuantumSuperdense Coding)。利用纠缠态作为量子通道，可以提高量子信道的经典信息容量。在经典信道中，若要发送2比特经典信息，那么需要发送至少2个用于信息编码的粒子或物理实体。而如果发送者和接收者共享一个纠缠态，那么发送者可以仅仅发送一个量子比特，就能实现传送2比特的经典信息信息，效率较高。此外，保密性好也是量子超密编码的一个主要特点。

一个典型的量子单向通信过程如图1所示，发送方首先使用超密编码将经典信息编码为量子态，并通过量子信道将其传输给接收方。最后，接收端获取传输状态并对其进行测量以获得经典信息(即，量子解码)。由于具有信息容量大、保密性好的特点，量子超密编码得到了越来越多人的关注。

然而，量子超密编码中的关键技术酉操作都是拼凑出来的，严重的制约了量子超密编码的发展。2013年，C.Shukla等人对于量子对话中群理论进行研究，找到了完成量子对话酉操作构建的充分条件，并且针对3粒子GHZ态、4粒子W态、5粒子cluster态等作为信息载体列出适用的酉操作集合。

经过发明人的研究，发现C.Shukla等人找到的酉算子集合并不完整，而且C.Shukla等人并没有提出一个确切的可行的规律或者方法来构造这些酉算子集合。

2016年，袁晓敏^[1]等人，根据两条粗略的构造规则构造了部分合适的乘法群，然后给出一个约束条件来找到最终正确的酉算子集合，但是，袁晓敏等人并没有给出具体的数学形式公式来构造，并且约束条件少，会大大增加工作量。此外，由于不涉及位置变换，可能存在结果缺失的问题。

[1]袁晓敏.量子密钥协商和量子联合远程制备研究[D].南京信息工程大学。

发明内容

本发明所要解决的是针对量子超密编码中，酉算子集合构造方法可行性低，所构造的集合不完整的问题，提出一个可行的、高效的量子超密编码酉算子构造方法，以构造正确的酉算子集合，实现在量子通信中的超密编码。

本发明所采用的技术方案为：

一种基于泡利群的量子超密编码酉算子构造方法，包括如下步骤：

步骤一、根据给定的量子态原粒子数t，确定要进行酉操作的粒子个数n，n为非零自然数； 表示向上取整，将n个粒子中的任一粒子的酉操作写成1列，1列包括上、下两个酉操作集合，构成2×n矩阵，设所述矩阵的第一行元素为A行元素，第二行元素为B行元素；

步骤二、确定在酉算子构造中不需要处理的列的个数；

若n-2＞0，取矩阵中的任意n-2列，并将n-2列中的酉操作集合均填充为G₁，G₁为在酉算子构造中不需要处理的酉操作集合，G₁＝{I,X,Y,Z}，I,X,Y,Z表示量子门，之后进入步骤三；

i为虚数；

若n-2≤0，即矩阵中不存在不需要处理的列，则直接进入步骤四；

步骤三、调整酉算子构造中不需要处理的列的位置；

将矩阵中要操作的两列，列在矩阵的最右边，将不需要处理的列列在所述矩阵的左边，之后进入步骤四；

步骤四、根据规则变换所述矩阵中要操作的列，依此构造出符合条件的所有乘法子群；

对变换后得到的所有乘法子群进行一次筛选，筛选条件为：乘法子群中不允许存在由偶数个Z门张量得来的酉算子；

具体地：当给定的量子态原粒子数t为奇数，即t＝2n-1，则步骤四中，通过规则：

对要操作的列进行变换，此时，存在(1)和(2)两种变换情况；

当给定的量子态原粒子数t为偶数，即t＝2n，则步骤四中，通过规则：

对要操作的列进行变换，此时，只存在一种情况。

上述公式中，表示第A行第k_n-1列的酉操作集合，表示第B行第k_n-1列的酉操作集合，表示第A行第k_n列的酉操作集合，表示第B行第k_n列的酉操作集合，k_n-1＝n-1，k_n＝n。

步骤五、对步骤四筛选得到的乘法子群进行二次筛选，筛选条件为：被操作的粒子的张量积必须是正交的；

筛选得到的乘法子群就是最终正确的酉算子集合，从而得出具体量子态的超密编码方案。

本发明的有益效果在于：

本发明所提出的酉算子构造方法通过具体数学形式的规则以及切实可行的构造乘法群的步骤，并且通过具体的两个筛选条件从构造的乘法群中筛选出符合条件的所有正确的酉算子集合，大大减少了工作量，同时能够更加高效、准确地构造出所有的适合超密编码的基于泡利群的酉算子集合，实现在量子通信中的超密编码。

附图说明

图1为典型的量子单向通信过程示意图；

图2为本发明的构造方法流程示意图；

图3为本发明的乘法子群分解形式；

图4为实施例一中乘法子群的图形化表示；

图5和6为实施例二中乘法子群在两种不同情况下的图形化表示；

图7为实施例三中乘法子群的图形化表示；

图8和图9为实施例四中乘法子群在两种不同情况下的图形化表示。

具体实施方式

如图2所示的基于泡利群的量子超密编码酉算子构造方法，包括如下步骤：

步骤一、根据给定的量子态原粒子数t，确定要进行酉操作的粒子个数n，n为非零自然数。 表示向上取整，要进行酉操作的粒子数为n个，那对应任一个粒子的酉操作我们可以写成1列，这样总共有n列，列与列之间是张量的关系(互不干扰)，每一列对应要操作的那一个粒子，每一列存在两行，这两行酉操作集合的并，形成一个子群(群的特性：相同元素自动合并，即不会出现重复的元素)，就是可操作在这个粒子上的酉算子集合。

步骤二、确定在酉算子构造中不需要处理的列的个数。

若n-2＞0，取n列中的任意n-2列，并将n-2列中的酉操作集合均填充为G₁，G₁＝{I,X,Y,Z}，G₁为酉算子构造中不需要处理的酉操作集合(即，自始至终被填充的列中的酉操作集合都是G₁，亦即，填充了G₁的列不需要处理)，之后进入步骤三。I,X,Y,Z为量子门，矩阵变换形式如表1所示，表1中，i表示虚数单位。

若n-2≤0，即不存在不需要处理的列，则直接进入步骤四。

表1量子门I,X,Y,Z分别对应的矩阵变换形式

步骤三、调整酉算子构造中不需要处理的列的位置。

虚拟设置一条虚线，变换要操作的两列，并列在所述虚线右边，将不需要处理的列列在所述虚线的左边，之后进入步骤四。

该步骤中设置的虚线没有任何含义，就是将阵列划分为两个部分，一部分是全是G₁这种形式另一部分是不全是G₁的形式，举个例子，如

步骤四、根据规则变换要操作的列，依此构造出符合条件的所有乘法子群。对变换后得到的所有乘法子群进行一次筛选，筛选条件为：乘法子群中不允许存在由偶数个Z门张量得来的酉算子。

当给定的量子态原粒子数t为奇数时，即t＝2n-1，则步骤四中，通过规则

对要操作的列进行变换，此时，存在(1)和(2)两种填充情况。

当给定的量子态原粒子数t为偶数时，即t＝2n，则步骤四中，通过规则

对要操作的列进行变换。

上述公式中，表示第A行第k_n-1列的酉操作集合，表示第B行第k_n-1列的酉操作集合，表示第A行第k_n列的酉操作集合，表示第B行第k_n列的酉操作集合，k_n-1＝n-1，k_n＝n。

对得到的所有乘法子群进行一次筛选，筛选条件为：乘法子群中不允许存在由偶数个Z门张量得来的酉算子。这里是因为两个Z门作用在一个量子态上，会出现而一开始，为了确保此集合是乘法群，作为乘法群里面的单位元是必须存在的。这样一来，假设一个酉算子集合是本来照形式是可以编码两个信息，但是和作用效果相同，所以这个集合里面有效的元素就一个，也就只能编码一个信息，这样就不能达到最大编码了。所以要实现超密编码，在构造的时候就要避免出现偶数个门的情况。

步骤五、对步骤四筛选得到的乘法子群进行二次筛选，筛选条件为：被操作的粒子的张量积必须是正交的。这里正交也是确保酉算子集合里面每个操作的有效性，不能出现相同作用效果的操作，不然就不能进行超密编码。

二次筛选得到的乘法子群就是最终正确的酉算子集合，从而得出具体量子态的超密编码方案。

图3给出了本发明的步骤三中，调整不需要处理的列的位置后，构造出的乘法子群的分解形式。t是原粒子数，n是要操作的粒子数(根据公式得到)，指图3的第一行第k_n-1列(也可以说是第A行第k_n-1列)中酉操作集合。指图3的第二行第k_n-1列(也可以说是第B行第k_n-1列)中酉操作集合。是指：如果则在酉算子构造中，需要处理的列的个数为2，列在虚线右边；不需要处理(即图3中需要填充G₁的列)列在虚线的左边，其个数为Num(G₁)＝n-2，位置取n列中的任意n-2列。

下面选择具有代表性的量子态(Bell态，GHZ态，cluster态)，并结合附图举例说明所提基于泡利群的酉算子构造方法。

实施例一

2粒子Bell态

步骤一、确定要操作的粒子个数，步骤如下：

即操作一个粒子。

步骤二、确定在酉算子构造中不需要处理的列的个数。

n＝1，总共只有一列。不存在不需要处理的列，换句话说，就是对于n＝1时，写成图3形式，每一行都不存在完整的G₁，但是存在两行合并后形成G₁，也就是上下两行是通过分裂一个G₁得到的。也就是：n＝1，G₁＝{I,X,Y,Z},分裂成两行，即{I,X}U{Y,Z}或者{I,Y}U{X,Z}或者{I,Z}U{X,Y},反正最后上下两行进行群元素合并的时候，合并结果都是G₁(不影响结果)。

步骤三、省却。

步骤四、根据规则变换要操作的列，构造出符合条件的所有乘法子群

即一种情况，G₁＝{I,X,Y,Z}，图形化表示方式如图4所示。

对得到的乘法子群进行第一次筛选：子群中不允许存在由偶数个Z门张量得来的酉算子。G₁中不存在偶数个Z门的情况。

步骤五、接着步骤四，对乘法子群进行第二次筛选：被操作的粒子的张量积必须是正交的

对第一个粒子或者第二个粒子操作是一样的，所以位置选择没有起到筛选作用。

最终，可以发现对于Bell态来说，基于泡利群，可以得到正确的酉算子集合有且只有一个，如表2示用来实现量子超密编码。

表2 Bell态实现量子超密编码

实施例二

3粒子GHZ态

步骤一、确定要操作的粒子个数，步骤如下：

即操作两个粒子。

步骤二、确定在酉算子构造中不需要处理的列的个数。

n＝2，所以Num(G₁)＝2-2＝0，即两列均需处理。

步骤三、省却。

步骤四、根据规则变换要操作的列，构造出符合条件的所有乘法子群

其中，(1)中的一种情况的图形化表示方式如图5所示，(2)中的一种情况的图形化表示方式如图6所示；即存在以下15种编码方案：

属于第(1)种情况，属于第(2)种情况。

对得到的乘法子群进行第一次筛选：子群中不允许存在由偶数个Z门张量得来的酉算子。

对于3粒子GHZ态，对2个粒子操作可以达到最大编码，若两个酉操作的内积结果中有偶数个Z时，两者作用相同，即群元素中和元素的效果相同。这样，可以排除

步骤五、接着步骤四，对乘法子群进行第二次筛选：被操作的粒子的张量积必须是正交的。对于3粒子GHZ，位置选择上无论怎么选择被操作的粒子的张量积都是正交的。

所以，最终得出所有的正确的酉算子集合有并且经过验证，这些都是符合量子通信中超密编码的两个充分条件的。表3是其中一个酉算子集合操作3粒子GHZ态得到的结果。

表3用3粒子GHZ态实现超密编码

实施例三

4粒子cluster态

步骤一、确定要操作的粒子个数，步骤如下：

即操作两个粒子。

步骤二、确定在酉算子构造中不需要处理的列的个数。n＝2，所以Num(G₁)＝2-2＝0，即两列均需处理。

步骤三、省却。

步骤四、根据规则变换要操作的列，构造出符合条件的所有乘法子群。

即一种情况：图形化表示方式如图7所示。

对得到的乘法子群进行第一次筛选：子群中不允许存在由偶数个Z门张量得来的酉算子

当酉算子集合里面存在偶数个Z门的时候，和的作用效果相同，只能得到8个互相正交的量子态。

步骤五、接着步骤四，对乘法子群进行第二次筛选：被操作的粒子的张量积必须是正交的被操作的粒子在粒子1、2中选一个，3、4中选一个操作，可以达到最大编码。

所以最终得出所有的正确的酉算子集合是如表4所示。

表4用4粒子cluster态实现超密编码

实施例四

5粒子cluster态

步骤一、确定要操作的粒子个数，步骤如下：

即操作3个粒子。

步骤二、确定在酉算子构造中不需要处理的列的个数。

Num(G₁)＝3-2＝1，不需要处理的列的个数为1列，此时，酉操作集合填充为G₁的列的位置有三种选择(第一列，第二列或者第三列)。

步骤三、调整酉算子构造中不需要处理的列的位置，将要操作的两列，列在右边，将不需要处理的列列在左边。

步骤四、根据规则变换要操作的列，构造出符合条件的所有乘法子群

其中，(1)中的一种情况的图形化表示方式如图8所示，(2)中的一种情况的图形化表示方式如图9所示。

即存在以下45种编码方案，在这里，我们不考虑位置关系(将G₁放在最后一个位置)，则列出了15种：

这里，属于第(1)种情况，属于第(2)种情况。

对得到的乘法子群进行第一次筛选：子群中不允许存在由偶数个Z门张量得来的酉算子。

的作用效果和的作用效果相同，所以，从步骤一得到的集合里面排除了

步骤五、接着步骤四，对乘法子群进行第二次筛选：被操作的粒子的张量积必须是正交的被操作的量子位的选择保证其对应的张量积是两两正交的就可以了，这里选择很多，就不一一列举。

最终，可以发现是可以用于超密编码里的正确的酉算子集合。变换G₁的位置，我们还可以得到也是正确的酉算子集合，如下所示：

表5中展示了这一种情况。

表5用5粒子cluster态实现超密编码

另外需要指出的是，实施例二、三和四中，分别在表2、3和4中对最终的酉算子集合的结果进行了列举而不是穷举，对于本领域技术人员来说，可以通过本发明的方法得到其他酉算子集合的结果。

步骤四中，剔除存在偶数个Z门的子群的原因在于：举个例子，3-qubit GHZ态需要2-qubit酉算子，元素和元素有类似的作用效果，所以含有元素的子群全部剔除。

步骤五中，如果将被操作的量子位上的量子态不是正交的，那么操作这些量子位就不能用最少粒子实现最大编码；

对于4-qubit cluster态如果我们操作第一个和第二个粒子，那么被操作的量子位上的量子态集合为{|00>，|00>，|11>，|11>}。显然集合里的元素不正交，所以这样的编码方法不能获得超密编码。但是当我们操作第一个和第三个量子位的时候，被操作的量子位上的量子态集合为{|00>，|01>，|10>，|11>}。这种编码方法是可取的。总结来说，对于|c₄>来说，其中一个操作粒子必须选自粒子1或2，另一个操作粒子必须选自粒子3或4。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术方法范围内，可轻易想到的替换或变换方法，都应该涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于泡利群的量子超密编码酉算子构造方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一、根据给定的量子态原粒子数t，确定要进行酉操作的粒子个数n，n为非零自然数； 表示向上取整，将n个粒子中的任一粒子的酉操作写成1列，1列包括上、下两个酉操作集合，构成2×n矩阵，设所述矩阵的第一行元素为A行元素，第二行元素为B行元素；

步骤二、确定在酉算子构造中不需要处理的列的个数；

若n-2＞0，取矩阵中的任意n-2列，并将n-2列中的酉操作集合均填充为G₁，G₁为在酉算子构造中不需要处理的酉操作集合，G₁＝{I,X,Y,Z}，I,X,Y,Z表示量子门，之后进入步骤三；

i为虚数；

若n-2≤0，即矩阵中不存在不需要处理的列，则直接进入步骤四；

步骤三、调整酉算子构造中不需要处理的列的位置；

将矩阵中要操作的两列，列在矩阵的最右边，将不需要处理的列列在所述矩阵的左边之后进入步骤四；

步骤四、根据规则变换所述矩阵中要操作的列，依此构造出符合条件的所有乘法子群；

对变换后得到的所有乘法子群进行一次筛选，筛选条件为：乘法子群中不允许存在由偶数个Z门张量得来的酉算子；

步骤五、对步骤四筛选得到的乘法子群进行二次筛选，筛选条件为：被操作的粒子的张量积必须是正交的；

二次筛选得到的乘法子群就是最终正确的酉算子集合，从而得出具体量子态的超密编码方案。

2.根据权利要求1所述的基于泡利群的量子超密编码酉算子构造方法，其特征在于，

给定的量子态原粒子数t为奇数，即t＝2n-1，则步骤四中，通过以下规则

对要操作的列进行变换，其中，表示第A行第k_n-1列的酉操作集合，表示第B行第k_n-1列的酉操作集合，表示第A行第k_n列的酉操作集合，表示第B行第k_n列的酉操作集合，k_n-1＝n-1，k_n＝n；此时，存在(1)和(2)两种填充情况。

3.根据权利要求1所述的基于泡利群的量子超密编码酉算子构造方法，其特征在于，

给定的量子态原粒子数t为偶数，即t＝2n，则步骤四中，通过以下规则

对要操作的列进行变换，其中，表示第A行第k_n-1列的酉操作集合，表示第B行第k_n-1列的酉操作集合，表示第A行第k_n列的酉操作集合，表示第B行第k_n列的酉操作集合，k_n-1＝n-1，k_n＝n。