CN109979248B - 一种基于动态规划的飞行冲突解脱方法 - Google Patents

一种基于动态规划的飞行冲突解脱方法 Download PDF

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CN109979248B CN201910339191.7A CN201910339191A CN109979248B CN 109979248 B CN109979248 B CN 109979248B CN 201910339191 A CN201910339191 A CN 201910339191A CN 109979248 B CN109979248 B CN 109979248B
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Abstract

本发明公开了一种基于动态规划的飞行冲突解脱方法，首先，将飞行冲突解脱问题的整个过程，按不同飞机状态的改变划分成与飞机架数相同的阶段，以便按已划分阶段的次序去求每个阶段的解，使用不同的状态变量来表示每个阶段开始时全体飞机所处的飞行状态，每架飞机采取改变航向角的策略，来避免冲突的发生；然后，按照已划分的次序保持其余的飞机航向角不变，对相应阶段的飞机求出最优的航向角，然后交替地固定，以迭代地形式反复进行，完成两轮迭代；最后，引入混合整数线性规划，在上一步结果的基础上进行求解。本发明能大大降低了不必要的搜索范围，方法不复杂，提供了一种搜索速度非常迅速，且结果可靠的飞行冲突解脱方法。

Description

一种基于动态规划的飞行冲突解脱方法
技术领域
本发明涉及一种基于动态规划的飞行冲突解脱方法，属于航空领域，飞行冲突解脱是保证航空安全的核心所在。
背景技术
随着经济的迅猛发展，以及IT和电子商务的快速发展，民用航空运输业也进入了高速发展时期航空运输量增长迅猛。为了提高空域资源的利用率，更好的解决飞行冲突解脱问题十分重要。目前已经出现了针对该问题的大量研究文献，当前，从空间几何关系角度，主要是通过改变飞机飞行途中的速率和航向角的方式来实现冲突解脱，极少数情况下采用改变海拔高度的方式来完成冲突解脱。
近年来，对于基于几何关系的飞行冲突解脱方法，Antonio Alonso-Ayuso等人在建立了分别通过速率和航向角的改变的方式解脱冲突的数学模型后，由于求解困难，通过引入一系列的二元变量将角度离散化的方式，将该模型转化为一个混合整数线性规划问题，[Alonso-Ayuso A,Escudero L F,Martín-Campo,F.Javier.Multiobjectiveoptimization for aircraft conflict resolution.A metaheuristic approach[J].European Journal of Operational Research,2016,248(2):691-702.]；Cafieri等人提出了一种先通过速率的改变最大程度的解决冲突对数的基础上，再通过改变航向角的方式来解决剩余的冲突对数，最终在冲突解决完成后各个飞机返回原定飞行航线，[Cafieri S,Omheni R.Mixed-integer nonlinear programming for aircraft conflict avoidanceby sequentially applying velocity and heading angle changes[J].EuropeanJournal of Operational Research,2017,260(1):283-290.]；但上述文献中在面临飞机架数较多时存在求解时间慢，求解效率低的问题。
因此现有的飞行冲突解脱方法仍存在缺陷，需要改进。
发明内容
为了解决现有的飞行冲突解脱方法存在的不足，本发明提出一种基于动态规划的飞行冲突解脱方法。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于动态规划的飞行冲突解脱方法，包括以下步骤：
步骤一：将飞行冲突解脱问题的整个过程，按不同的飞机进行编号，划分成与飞机架数相同的阶段；使用不同的状态变量来表示每个阶段开始时全体飞机所处的飞行状态；每架飞机采取改变航向角的策略，来避免冲突的发生；
步骤二：按照已划分的阶段，采用逐步求解的方式求出各个阶段的解，完成整个阶段的求解后；再次按已划分阶段的次序进行第二轮求解，将第一轮求得的解进行优化；
步骤三：引入一个混合整数线性规划(MILP)问题，每架飞机采取航向角和速率同时改变的策略来避免冲突；将步骤二的预处理的基础上，对该MILP问题进行求解，完成飞行冲突解脱。
进一步，步骤一中划分阶段的策略、状态变量表示的内容及可采用的冲突解脱方法，具体内容如下：
步骤一、将每架飞机看为二维平面上的圆并进行编号，每个编号对应一个阶段，以便逐次按阶段求解每个阶段的解；每个阶段的状态变量包含飞机的初始位置坐标(x0,y0)、终点位置坐标(xi,yi)、飞行速率v，原始航向角
Figure BDA0002040144350000025
可由初始位置和终点位置由三角函数关系求得；采用航向角的改变来实现冲突解脱，左右最大可偏转角符合空管所规定(不大于
Figure BDA0002040144350000021
)。
进一步，步骤二通过以下子步骤来实现：
(2.1)将可采用的航向角等分为n份，由第一架飞机开始，仅当前求解的阶段的航向角可变，保持其余飞机的航向角不变，对n个等分的航向角使用阶段指标sk来衡量，并引入二元变量gk来判断每个航向角是否可行，通过两架飞机的最小距离是否大于最小安全准则来判别是否存在冲突，将阶段指标和二元变量的和的最小作为目标值，求出一个可以解决最多冲突对数的航向角作为第一架飞机新的航向角，其中sk和gk为：
Figure BDA0002040144350000022
Figure BDA0002040144350000023
Figure BDA0002040144350000024
分别为新的航向角和原始航向角；
(2.2)按照次序为每个阶段的飞机都找到一个新的航向角；
(2.3)完成整个阶段后，将求解出的航向角作为新的航向角，重复步骤(2.1)和步骤(2.2)，进行第二轮求解，将第一轮求得的解进行优化。
进一步，步骤三通过以下子步骤来实现：
(3.1)关于混合整数线性规划问题，每架飞机采取航向角和速率同时改变的策略来避免冲突，将飞机看作为二维平面上的圆，航向角的左右最大偏转符合空管所规定(不大于
Figure BDA0002040144350000031
)，速率的改变后需符合空管所规定(满足圆速率的94％-103％)。只需要保证两架飞机的相对速度与水平线的夹角，大于两架飞机两条公切线与水平线的夹角中较大的那个，或小于公切线与水平线夹角中较小的那个，就可以保证冲突解脱。目标函数为最小的航向角和速率的改变。引入一系列的二元变量β*来实现航向角的离散化，每一个β对应一个角度，只需要让每一架飞机对应的一系列二元变量中有且仅有一个为1，其对应的航向角就是新的航向角。并引入另外一个二元变量b和两个非负的连续变量c和k，将形如c·b的非线性化部分线性化，具体如下：
Figure BDA0002040144350000032
M为大于c的常数；
(3.2)对航向角和速率的搜索域进行定义，航向角的左右最大可偏转角应不大于步骤(2.3)优化后的航向角的改变量的绝对值，速率的改变量仍满足原问题的要求，目标函数仍为最小的航向角和速率的改变；
(3.3)在定义好的搜索域内对该混合整数线性规划问题进行求解，将解出的新的速率和航向角作为最终的速率和航向角，完成飞行冲突解脱，具体的MILP模型为：
Figure BDA0002040144350000033
s.t.
Figure BDA0002040144350000034
Figure BDA0002040144350000035
Figure BDA0002040144350000036
Figure BDA0002040144350000037
Figure BDA0002040144350000038
Figure BDA0002040144350000039
Figure BDA00020401443500000310
Figure BDA00020401443500000311
Figure BDA00020401443500000312
Figure BDA0002040144350000041
Figure BDA0002040144350000042
Figure BDA0002040144350000043
Figure BDA0002040144350000044
Figure BDA0002040144350000045
Figure BDA0002040144350000046
Figure BDA0002040144350000047
Figure BDA0002040144350000048
Figure BDA0002040144350000049
Figure BDA00020401443500000410
Figure BDA00020401443500000411
Figure BDA00020401443500000412
Figure BDA00020401443500000413
Figure BDA00020401443500000414
Figure BDA00020401443500000415
其中，F,f分别表示飞机的集合与单独的一架飞机；kr,kl,Kr,Kl分别表示航向角右偏的具体航向角、左偏的具体航向角、右偏的具体航向角集合、左偏的具体航向角集合；
Figure BDA00020401443500000416
均为取值0-1的比例系数，分别代表速率增、速率减、航向角右偏移、航向角左偏移；
Figure BDA00020401443500000417
分别表示速率增的最大值、速率减的最大值、原始航向角、步骤(2.3)求解出的航向角、航向角右偏移后的值、航向角左偏移后的值；
Figure BDA00020401443500000418
pcij,
Figure BDA00020401443500000419
均为二元变量，
Figure BDA00020401443500000420
分别表示航向角右偏移、航向角左偏移和β的合集，pcij表示与飞机i和飞机j有关的二元变量，
Figure BDA00020401443500000421
分别表示4种冲突解脱的情况；
Figure BDA00020401443500000422
Bij,Cij,Dij,Eij均为简化方程的中间变量，无具体意义；M*是一系列足够大的数；
Figure BDA00020401443500000423
分别表示具体的速率增加后的值和速率降低后的值；lij,gij分别表示飞机i和飞机j两个公切线与水平线的夹角中小的那一个和大的那一个。
本发明的有益效果是，本发明使用动态规划的思想来求解，从而使飞行冲突解脱问题的求解效率更高，在解决飞机架数较多的问题时可以迅速的求出可行解，更具有实时性。
附图说明
图1为本发明方法的流程示意图；
图2为本发明方法应用于9架、13架和15架飞机冲突解脱的求解时间对比图；
图3为本发明方法应用于9架、13架和15架飞机冲突解脱的目标函数对比图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步描述。
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白,以下结合实施例,对本发明进行进一步详细说明。应当理解,此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明,并不用于限定本发明。
参照图1，一种基于动态规划的飞行冲突解脱方法，包括以下步骤：
步骤一：将飞行冲突解脱问题的整个过程，按不同的飞机进行编号，划分成与飞机架数相同的阶段；使用不同的状态变量来表示每个阶段开始时全体飞机所处的飞行状态；每架飞机采取改变航向角的策略，来避免冲突的发生；
步骤二：按照已划分的阶段，采用逐步求解的方式求出各个阶段的解，完成整个阶段的求解后；再次按已划分阶段的次序进行第二轮求解，将第一轮求得的解进行优化；
步骤三：引入一个混合整数线性规划(MILP)问题，每架飞机采取航向角和速率同时改变的策略来避免冲突；将步骤二的预处理的基础上，对该MILP问题进行求解，完成飞行冲突解脱。
进一步，步骤一中划分阶段的策略、状态变量表示的内容及可采用的冲突解脱方法，具体内容如下：
步骤一、将每架飞机看为二维平面上的圆并进行编号，每个编号对应一个阶段，以便逐次按阶段求解每个阶段的解；每个阶段的状态变量包含飞机的初始位置坐标(x0,y0)、终点位置坐标(xi,yi)、飞行速率v，原始航向角
Figure BDA0002040144350000051
可由初始位置和终点位置由三角函数关系求得；采用航向角的改变来实现冲突解脱，左右最大可偏转角符合空管所规定(不大于
Figure BDA0002040144350000052
)。
进一步，步骤二通过以下子步骤来实现：
(2.1)将可采用的航向角等分为n份，由第一架飞机开始，仅当前求解的阶段的航向角可变，保持其余飞机的航向角不变，对n个等分的航向角使用阶段指标sk来衡量，并引入二元变量gk来判断每个航向角是否可行，通过两架飞机的最小距离是否大于最小安全准则来判别是否存在冲突，将阶段指标和二元变量的和的最小作为目标值，求出一个可以解决最多冲突对数的航向角作为第一架飞机新的航向角，其中sk和gk为：
Figure BDA0002040144350000053
Figure BDA0002040144350000054
Figure BDA0002040144350000055
分别为新的航向角和原始航向角；
(2.2)按照次序为每个阶段的飞机都找到一个新的航向角；
(2.3)完成整个阶段后，将求解出的航向角作为新的航向角，重复步骤(2.1)和步骤(2.2)，进行第二轮求解，将第一轮求得的解进行优化。
进一步，步骤三通过以下子步骤来实现：
(3.1)关于混合整数线性规划问题，每架飞机采取航向角和速率同时改变的策略来避免冲突，将飞机看作为二维平面上的圆，航向角的左右最大偏转符合空管所规定(不大于
Figure BDA0002040144350000061
)，速率的改变后需符合空管所规定(满足圆速率的94％-103％)。只需要保证两架飞机的相对速度与水平线的夹角，大于两架飞机两条公切线与水平线的夹角中较大的那个，或小于公切线与水平线夹角中较小的那个，就可以保证冲突解脱。目标函数为最小的航向角和速率的改变。引入一系列的二元变量β*来实现航向角的离散化，每一个β对应一个角度，只需要让每一架飞机对应的一系列二元变量中有且仅有一个为1，其对应的航向角就是新的航向角。并引入另外一个二元变量b和两个非负的连续变量c和k，将形如c·b的非线性化部分线性化，具体如下：
Figure BDA0002040144350000062
M为大于c的常数；
(3.2)对航向角和速率的搜索域进行定义，航向角的左右最大可偏转角应不大于步骤(2.3)优化后的航向角的改变量的绝对值，速率的改变量仍满足原问题的要求，目标函数仍为最小的航向角和速率的改变；
(3.3)在定义好的搜索域内对该混合整数线性规划问题进行求解，将解出的新的速率和航向角作为最终的速率和航向角，完成飞行冲突解脱，具体的MILP模型为：
Figure BDA0002040144350000063
s.t.
Figure BDA0002040144350000071
Figure BDA0002040144350000072
Figure BDA0002040144350000073
Figure BDA0002040144350000074
Figure BDA0002040144350000075
Figure BDA0002040144350000076
Figure BDA0002040144350000077
Figure BDA0002040144350000078
Figure BDA0002040144350000079
Figure BDA00020401443500000710
Figure BDA00020401443500000711
Figure BDA00020401443500000712
Figure BDA00020401443500000713
Figure BDA00020401443500000714
Figure BDA00020401443500000715
Figure BDA00020401443500000716
Figure BDA00020401443500000717
Figure BDA00020401443500000718
Figure BDA00020401443500000719
Figure BDA00020401443500000720
Figure BDA00020401443500000721
Figure BDA00020401443500000722
Figure BDA00020401443500000723
Figure BDA00020401443500000724
其中，F,f分别表示飞机的集合与单独的一架飞机；kr,kl,Kr,Kl分别表示航向角右偏的具体航向角、左偏的具体航向角、右偏的具体航向角集合、左偏的具体航向角集合；
Figure BDA00020401443500000725
均为取值0-1的比例系数，分别代表速率增、速率减、航向角右偏移、航向角左偏移；
Figure BDA00020401443500000726
分别表示速率增的最大值、速率减的最大值、原始航向角、步骤(2.3)求解出的航向角、航向角右偏移后的值、航向角左偏移后的值；
Figure BDA00020401443500000727
pcij,
Figure BDA00020401443500000728
均为二元变量，
Figure BDA00020401443500000729
分别表示航向角右偏移、航向角左偏移和β的合集，pcij表示与飞机i和飞机j有关的二元变量，
Figure BDA0002040144350000081
分别表示4种冲突解脱的情况；
Figure BDA0002040144350000082
Bij,Cij,Dij,Eij均为简化方程的中间变量，无具体意义；M1～M8是一系列足够大的数，均大于等于10000；
Figure BDA0002040144350000083
分别表示具体的速率增加后的值和速率降低后的值；lij,gij分别表示飞机i和飞机j两个公切线与水平线的夹角中小的那一个和大的那一个。
具体实施例
以下根据本发明的方法介绍一种具体的实施例
步骤一：将飞行冲突解脱问题的整个过程，按不同的飞机进行编号，划分成与飞机架数相同的阶段；使用不同的状态变量来表示每个阶段开始时全体飞机所处的飞行状态；每架飞机采取改变航向角的策略，来避免冲突的发生；
步骤二：按照已划分的阶段，采用逐步求解的方式求出各个阶段的解，完成整个阶段的求解后；再次按已划分阶段的次序进行第二轮求解，将第一轮求得的解进行优化；
步骤三：引入一个混合整数线性规划(MILP)问题，每架飞机采取航向角和速率同时改变的策略来避免冲突；将步骤二的预处理的基础上，对该MILP问题进行求解，完成飞行冲突解脱。
步骤一中划分阶段的策略、状态变量表示的内容及可采用的冲突解脱方法，具体内容如下：
步骤一、将每架飞机看为二维平面上的圆并进行编号，每个编号对应一个阶段，划分成9个阶段、13个阶段和15个阶段，以便逐次按阶段求解每个阶段的解；每个阶段的状态变量包含飞机的初始位置坐标(x0,y0)、终点位置坐标(xi,yi)、飞行速率v(v＝400NM/h)，原始航向角
Figure BDA0002040144350000084
可由初始位置和终点位置由三角函数关系求得；采用航向角的改变来实现冲突解脱，左右最大可偏转角不大于
Figure BDA0002040144350000085
步骤二通过以下子步骤来实现：
(2.1)将可采用的航向角等分为41份，由第一架飞机开始，仅当前求解的阶段的航向角可变，保持其余飞机的航向角不变，对41个等分的航向角使用阶段指标sk来衡量，并引入二元变量gk来判断每个航向角是否可行，通过两架飞机的最小距离是否大于最小安全准则来判别是否存在冲突，将阶段指标和二元变量的和的最小作为目标值，求出一个可以解决最多冲突对数的航向角作为第一架飞机新的航向角，其中sk和gk为：
Figure BDA0002040144350000091
Figure BDA0002040144350000092
Figure BDA0002040144350000093
分别为新的航向角和原始航向角；
(2.2)按照次序为每个阶段的飞机都找到一个新的航向角；
(2.3)完成整个阶段后，将求解出的航向角作为新的航向角，重复步骤(2.1)和步骤(2.2)，进行第二轮求解，将第一轮求得的解进行优化。
步骤三通过以下子步骤来实现：
(3.1)关于混合整数线性规划问题，每架飞机采取航向角和速率同时改变的策略来避免冲突，将飞机看作为二维平面上的圆，航向角的左右最大偏转不大于
Figure BDA0002040144350000094
速率的改变后满足圆速率的94％-103％。只需要保证两架飞机的相对速度与水平线的夹角，大于两架飞机两条公切线与水平线的夹角中较大的那个，或小于公切线与水平线夹角中较小的那个，就可以保证冲突解脱。目标函数为最小的航向角和速率的改变。引入一系列的二元变量β*来实现航向角的离散化，每一个β对应一个角度，只需要让每一架飞机对应的一系列二元变量中有且仅有一个为1，其对应的航向角就是新的航向角。并引入另外一个二元变量b和两个非负的连续变量c和k，将形如c·b的非线性化部分线性化，具体如下：
Figure BDA0002040144350000095
M为大于c的常数；
(3.2)对航向角和速率的搜索域进行定义，航向角的左右最大可偏转角应不大于步骤(2.3)优化后的航向角的改变量的绝对值，速率的改变量仍满足原问题的要求，目标函数仍为最小的航向角和速率的改变；
(3.3)在定义好的搜索域内对该混合整数线性规划问题进行求解，9架、13架和15架飞机的最终目标函数分别为：0.886962、1.675和2.042621，求解时间分别为：0.802s、1.82s和5.791s，将新的速率和航向角作为最终的速率和航向角，完成飞行冲突解脱。
本方法应用于9架、13架和15架飞机冲突解脱和原始混合整数线性规划方法在求解时间的对比如图2所示，原始方法分别需要20.234s、520.147s和1000s，而本方法分别需要0.802s、1.82s和5.791s，具有十分显著的改善。
本方法应用于9架、13架和15架飞机冲突解脱和原始混合整数线性规划方法在目标函数的对比如图3所示，原始方法的目标函数分别为0.9、1.477473和1.749274，本方法分别为0.8869621、1.675和2.042621，对比目标函数的值可知本方法在结果上与原始方法求出的解误差较小，而可以大幅度提高求解的时间。
以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点，但本发明并不仅仅限于说明书和实施方式所列运用,它完全可以被适用于各种适合本发明的领域,对于熟悉本领域的人员而言,可容易地实现另外的修改,因此在不背离权利要求及等同范围所限制的一般概念下,本发明并不限于特定的细节和这里示出的实施例。

Claims (2)

1.一种基于动态规划的飞行冲突解脱方法，其特征在于：所述飞行冲突解脱方法包括以下步骤：
(1)将飞行冲突解脱问题的整个过程，按不同的飞机进行编号，划分成与飞机架数相同的阶段；使用不同的状态变量来表示每个阶段开始时全体飞机所处的飞行状态；每架飞机采取改变航向角的策略，来避免冲突的发生；
(2)按照已划分的阶段，采用逐步求解的方式求出各个阶段的解，完成整个阶段的求解后；再次按已划分阶段的次序进行第二轮求解，将第一轮求得的解进行优化；
(3)引入一个混合整数线性规划问题，每架飞机采取航向角和速率同时改变的策略来避免冲突；对该混合整数线性规划问题进行求解，完成飞行冲突解脱；
所述步骤(1)具体为：将每架飞机看为二维平面上的圆并进行编号，每个编号对应一个阶段，以便逐次按阶段求解每个阶段的解；每个阶段的状态变量包含飞机的初始位置坐标(x0,y0)、终点位置坐标(xi,yi)、飞行速率v，由初始位置和终点位置按三角函数关系求得原始航向角
Figure FDA0002595809260000011
采用航向角的改变来实现冲突解脱，左右最大可偏转角不大于
Figure FDA0002595809260000012
所述步骤(2)通过以下子步骤来实现：
(2.1)将航向角等分为n份，由第一架飞机开始，仅当前求解的阶段的航向角可变，保持其余飞机的航向角不变，对n个等分的航向角使用阶段指标sk来衡量，并引入二元变量gk来判断每个航向角是否可行，通过两架飞机的最小距离是否大于最小安全准则来判别是否存在冲突，将阶段指标和二元变量的和的最小值作为目标值，求出一个可以解决最多冲突对数的航向角作为第一架飞机新的航向角，其中sk和gk为：
Figure FDA0002595809260000013
Figure FDA0002595809260000014
Figure FDA0002595809260000015
分别为新的航向角和原始航向角；
(2.2)按照次序为每个阶段的飞机都找到一个新的航向角；
(2.3)完成整个阶段后，将求解出的航向角作为新的航向角，重复步骤(2.1)和步骤(2.2)，进行第二轮求解，将第一轮求得的解进行优化；
所述步骤(3)通过以下子步骤来实现：
(3.1)关于混合整数线性规划问题，每架飞机采取航向角和速率同时改变的策略来避免冲突，将飞机看作为二维平面上的圆，航向角的左右最大偏转不大于
Figure FDA0002595809260000021
速率的改变满足圆速率的94％-103％；只需要保证两架飞机的相对速度与水平线的夹角，大于两架飞机两条公切线与水平线的夹角中较大的那个，或小于公切线与水平线夹角中较小的那个，就可以保证冲突解脱；目标函数为最小的航向角和速率的改变；引入一系列的二元变量β*来实现航向角的离散化，每一个β对应一个角度，只需要让每一架飞机对应的一系列二元变量中有且仅有一个为1，其对应的航向角就是新的航向角；并引入另外一个二元变量b和两个非负的连续变量c和k，将形如c·b的非线性化部分线性化，具体如下：
Figure FDA0002595809260000022
M为大于c的常数；
(3.2)对航向角和速率的搜索域进行定义，航向角的左右最大可偏转角应不大于步骤(2.3)优化后的航向角的改变量的绝对值，速率的改变量仍满足圆速率的94％-103％，目标函数仍为最小的航向角和速率的改变；
(3.3)在定义好的搜索域内对该混合整数线性规划问题进行求解，将解出的新的速率和航向角作为最终的速率和航向角，完成飞行冲突解脱。
2.根据权利要求1所述的飞行冲突解脱方法，其特征在于，所述混合整数线性规划问题为：
Figure FDA0002595809260000023
s.t.
Figure FDA0002595809260000024
Figure FDA0002595809260000025
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Figure FDA00025958092600000313
Figure FDA00025958092600000314
Figure FDA00025958092600000315
其中，F,f分别表示飞机的集合与单独的一架飞机；kr,kl,Kr,Kl分别表示航向角右偏的具体航向角、左偏的具体航向角、右偏的具体航向角集合、左偏的具体航向角集合；
Figure FDA00025958092600000316
均为取值0-1的比例系数，分别代表速率增、速率减、航向角右偏移、航向角左偏移；
Figure FDA00025958092600000317
分别表示速率增的最大值、速率减的最大值、原始航向角、航向角、航向角右偏移后的值、航向角左偏移后的值；
Figure FDA00025958092600000318
pcij,
Figure FDA00025958092600000319
均为二元变量，
Figure FDA00025958092600000320
分别表示航向角右偏移、航向角左偏移和β的合集，pcij表示与飞机i和飞机j有关的二元变量，
Figure FDA00025958092600000321
分别表示4种冲突解脱的情况；
Figure FDA00025958092600000322
Bij,Cij,Dij,Eij均为简化方程的中间变量；M1～M8是一系列足够大的数，均大于等于10000；
Figure FDA00025958092600000323
分别表示具体的速率增加后的值和速率降低后的值；lij,gij分别表示飞机i和飞机j两个公切线与水平线的夹角中小的那一个和大的那一个。
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