CN109946964B - 一种基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法，针对一类可重复运行的复杂非线性系统，考虑到系统中存在未知变量、控制增益及扰动的情况下，充分利用实际系统中未知变量的已知边界条件和非严格重复规律，将经典自适应迭代学习控制方法与已知边界条件结合，设计一种学习控制方法，解决系统中的多种非严格重复问题。本发明可以使一类复杂非线性系统在有限时间内，渐近收敛到非严格重复的目标轨迹，并具备一定的鲁棒性。

Description

一种基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法

技术领域

本发明涉及的是一种学习控制领域的方法，具体是一种基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法。

背景技术

非严格重复问题是指在可反复运行的系统中，每次迭代时，系统的某些状态并非严格一致的问题。由于迭代学习控制理论的主旨是充分利用被控系统的可重复运行特性，通过对测得的误差和理想值进行比较，在迭代中不断进行自我学习，修正误差，因此，非严格重复问题严重桎梏迭代学习控制理论的发展。目前，针对系统中出现的非严格重复问题进行的讨论主要有非严格重复的初态、非严格重复的参考轨迹、非严格重复的系统变量等。针对这些非严格重复问题的讨论主要出现在线性系统的迭代学习控制中并取得了较好的效果，针对非线性系统中存在的各种非严格重复问题的讨论较少，并且由于非线性系统本身的复杂性，要同时考虑非严格重复问题和控制方法的鲁棒性、快速收敛性比较困难。

发明内容

发明目的：针对现有技术存在的问题，本发明的目的是提供一种基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法，以解决系统中存在未知变量、控制增益及扰动的情况下，如何充分利用实际系统中未知变量的已知边界条件和非严格重复规律，将经典自适应迭代学习控制方法与已知边界条件结合，设计学习控制方法，并同时解决系统中的多种非严格重复问题，实现对目标轨迹的鲁棒渐近跟踪。

技术方案：本发明所述的一种基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法，包括步骤：

(1)针对一类复杂非线性系统模型进行矩阵变换，将高阶内模的未知初值和未知控制增益、未知扰动设计为一个未知矩阵Θ(t)如下公式所示：

其中，Φ⁽ⁱ⁾(t)，i＝1,…,p为高阶内模中分解出的未知时变初值，d^(l)(t)，l＝1,…,n为系统扰动，B(t)为未知控制增益，m_i，i＝1,…,p为高阶内模的阶次。

将未知矩阵Θ(t)表示成如下公式所示：

Θ(t)＝[Ψ(t),B(t)]

其中，

(2)设计一种基于多种非严格重复问题的学习控制方法，同时解决高阶内模生成的系统未知和非严格重复的系统初态定位以及跟踪参考轨迹，学习控制方法如下公式所示：

其中，

代表系统非严格重复的跟踪参考轨迹；

和

分别代表未知控制增益B(t)和未知矩阵Ψ(t)的第k次估计矩阵；Υ_k(t)是由高阶内模系数和系统已知函数向量组成的矩阵；

(3)将

和

一起更新，得到如下估计矩阵学习更新律：

其中，“proj”是一个算子，通过算子“proj”对初次估计矩阵

和系统边界条件进行比较，若初次估计矩阵

中的第i行第j列元素η_i,j超过边界条件则将其回调至系统边界，否则保持原估计值；

是系统未知量的边界。初次估计矩阵

的学习更新律如下公式所示：

其中，e_k-1(t+1)是跟踪误差向量；

是已知矩阵向量；P_k-1(t)是正定学习增益矩阵，如下公式所示：

有益效果

与现有技术相比，本发明具有以下优点：当复杂非线性系统中存在未知变量、控制增益及扰动的情况下，充分利用被控系统中未知变量的已知边界条件和非严格重复规律，将经典自适应迭代学习控制方法与已知边界条件结合，在系统中存有多种非严格重复问题时，所设计的学习控制方法，不仅能实现对目标轨迹的渐近跟踪，还具有一定的鲁棒性。

附图说明

图1为本发明的一种基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法流程图；

图2a和2b分别是本发明实施例一的未知参数

和

按高阶内模规律变化的情况，说明了满足非严格重复的两个未知参数沿迭代轴的每次变化都和之前的迭代情况相关；

图2c是本发明实施例一的未知参数

的变化情况，说明了高阶内模规律也可以描述严格重复的变化规律；

图2d是本发明实施例一中的非严格重复规律未知的系统状态初值

和

图2e是本发明实施例一中的非严格重复的参考轨迹

图2f是本发明实施例一中的非严格重复的参考轨迹

图2g是本发明实施例一中的状态跟踪最大绝对值误差

和

的渐近收敛曲线；

图3是本发明实施例二中的最大绝对值误差在100次运行中的渐近收敛曲线；

图4是是本发明实施例三中的最大绝对值误差在100次运行中的渐近收敛曲线。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步的说明。

如图1～图4，一种基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法，针对一类可重复运行的复杂非线性系统，考虑到系统中存在未知变量、控制增益及扰动的情况下，充分利用实际系统中未知变量的已知边界条件和非严格重复规律，将经典自适应迭代学习控制方法与已知边界条件结合，解决系统中的多种非严格重复问题。所考虑的复杂非线性系统既可以是单输入单输出系统，也可以是多输入多输出系统。所考虑的非严格重复问题，既可以是非严格重复规律已知，也可以是非严格重复规律未知；由于严格重复问题也是一种特殊的非严格重复问题，因此还可以是严格重复的。

如图1所示，本发明的一种基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法，包括步骤：

(1)针对一类非线性系统模型进行分析，将系统中所有未知设计为一个未知矩阵；本发明的应用对象是一类复杂非线性离散时间系统，系统一般模型可以表示如下：

其中，x_k(t)∈Rⁿ是系统状态，k是系统迭代运行的次数；u_k(t)∈Rⁿ是控制输入；

是系统中非严格重复的未知参数；ξ⁽ⁱ⁾(x_k(t),t)∈Rⁿ是系统的已知函数向量；B(t)∈R^n×n是系统的未知控制增益；D(t)∈Rⁿ是外部扰动。

此外，对于上述复杂非线性系统模型进行学习控制方法设计需要满足如下先验条件：

条件1：系统函数向量ξ⁽ⁱ⁾(x_k(t),t)满足线性增长条件，即

||ξ⁽ⁱ⁾(x_k(t),t)||≤a₁+a₂||x_k(t)||,i＝1,2,…,p

其中，a₁和a₂为正常数。

条件2：系统中的未知参数满足高阶内模规律，即

其中，

是已知的高阶内模系数。

条件3：系统中的所有未知量均有界，且边界已知。

条件4：系统未知控制增益方向保持恒定，且满足B(t)＞0。

在系统迭代运行过程中，系统中的一些变量不能保证每次迭代时都和上一次迭代时一致，这种问题称为非严格重复问题。非严格重复问题可以分为非严格重复规律已知和未知两种。

高阶内模是一种用来描述非严格重复规律的数学方法。

在一个实施例中，满足m_i阶内模的变量，第k+1次迭代时的变量值和第k次、第k-1次，直至第k-m_i+1次迭代时的变量值相关。

在另一个实施例中，高阶内模也可描述在迭代中严格重复的变量，此时，亦可称之为一阶内模。即，每次迭代时的变量值都不变。

非严格重复规律未知的典型问题就是每次迭代时状态初值的定位偏差问题。由于实际系统的控制精度无法保证每次迭代时状态初值x_k(0)都严格定位到某一点(比如零点)，因此，在实际系统中，每次迭代时的x_k(0)都会或多或少发生偏移，且偏移量在有限范围内随机变化。

控制目标是设计合适的学习控制方法，使得在有限时间t∈{0,1,…,T-1}内，当迭代次数k→∞时，系统跟踪误差渐近收敛到零。

为了将系统中的全部未知组合成一个未知矩阵，首先对高阶内模的时域-迭代域变化规律进行解耦。

定义矩阵向量

可得：

定义矩阵

并将上述步骤反复k次，可得：

定义矩阵(B⁽ⁱ⁾)^k的最后一行向量为

有：

可见，系统中时变-迭代变化的未知参数被解耦成仅时变的高阶内模未知初值部分和仅迭代变化的已知部分。

定义跟踪误差向量为：

由于系统扰动可被表示成如下公式：

其中，I⁽¹⁾＝[1,0,…,0]^T∈Rⁿ，I⁽²⁾＝[0,1,0,…,0]^T∈Rⁿ，……，I⁽ⁿ⁾＝[0,…,0,1]^T∈Rⁿ；再将非线性系统模型(1)和系统未知参数的分解结果(6)代入跟踪误差可得：

其中，未知矩阵向量

由高阶内模的初值组成，是时变向量，与迭代次数无关；已知矩阵向量

由高阶内模的系数组成，既随迭代次数的变化而变化，也随时间的变化而变化。

将未知矩阵向量Φ⁽ⁱ⁾(t)和扰动组合到一起，新的未知矩阵向量如下公式所示：

此时，跟踪误差可表示成：

其中，

为已知矩阵向量。

将系统中的所有未知向量组合成一个未知矩阵向量，所述未知矩阵向量如下公式所示：

则跟踪误差可表示为：

其中，

是已知矩阵向量。

(2)设计一种新型学习控制方法；

设计第k次迭代时的控制输入为：

其中，

代表系统非严格重复的跟踪参考轨迹；

和

分别代表未知控制增益B(t)和未知矩阵Ψ(t)的第k次估计矩阵；

(3)将

和

一起更新，得到如下估计矩阵学习更新律：

其中，“proj”是一个算子，通过算子“proj”对初次估计矩阵

和系统边界条件进行比较，若初次估计矩阵

中的第i行第j列元素η_i,j超过边界条件则将其回调至系统边界，否则保持原估计值；

是系统未知量的边界。初次估计矩阵

的学习更新律如下公式所示：

其中，e_k-1(t+1)是跟踪误差向量；P_k-1(t)是正定学习增益矩阵，如下公式所示：

由于本发明中的新型学习控制方法适用于多种非线性系统，首先选择了下面的带有三个高阶内模生成的未知参数以及非严格重复规律未知的状态初值和跟踪参考轨迹的复杂非线性系统作为实施例一进行了仿真实验，来阐明该发明所设计的方法的有效性。

实施例一：被控非线性系统的系统方程如下：

其中，

是非严格重复的未知参数，且变化规律满足高阶内模；

是满足线性增长的系统函数向量。未知参数

在区间[-1.4,+1.4]中有界变化；

的有界变化区间为[-3,+3]；

的有界变化区间为[-0.1,+0.1]；外部扰动的有界变化区间为[-0.1,+0.1]。系统在离散时间区间{0,1,…,100}中迭代运行。

的迭代变化规律分别满足不同的高阶内模，具体如下公式所示：

由上式可见，未知参数

和

分别满足二阶内模，而

则满足一阶内模，即，未知参数

仅随时间变化而变化，与迭代轴变量k无关。

的未知初值如下公式所示：

的未知初值如下公式所示：

的未知初值如下公式所示：

未知控制增益

扰动

系统跟踪参考轨迹为：

其中

为两个任意常数，随迭代次数变化而变化。

系统状态初值

和

在区间[-0.5,0)∪(0,0.5]内沿迭代轴随机变化。

定义最大绝对值误差为

本实施例中，由于系统为二输入二输出，由公式(20)可知，未知参数

和

的非严格重复规律满足二阶内模，

则满足一阶内模，因此公式(10)中n＝2，m₁＝m₃＝2，m₂＝1，即有

P_k-1(t)∈R^16×16。

本实施例中，被控非线性系统含有时变扰动，如式(8)所示，d⁽¹⁾(t)＝0.1cos(0.05t)，d⁽²⁾(t)＝0.1sin(0.01t)。根据公式(17)，取学习增益矩阵初值为

将所发明的基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法在离散时间区间{0,1,…,100}中运行100次。运行结果如图2a～2g所示。

图2a和2b分别说明了未知参数

和

按高阶内模规律变化的情况。其中x轴为迭代轴，y轴为离散时间轴，z轴为未知参数幅值。由图2a和2b可知，两个未知参数沿迭代轴的每次变化都和之前的迭代情况相关。

图2c给出了未知参数

的变化情况。由于

仅随时间变化而变化，因此给出的是二维曲线。图中x轴为离散时间轴，y轴为未知参数幅值。

图2d表示随机变化的系统状态初值

和

其中图2d的上图是

下图是

由图2d可见，非线性系统的状态初值随迭代的变化而随机有界变化。

图2e和2f分别表示沿时间轴和迭代轴变化的参考轨迹

和

图中，x轴为迭代轴，y轴为离散时间轴，z轴为参考轨迹幅值。

图2g表示100次迭代运行内，状态跟踪最大绝对值误差

和

其中图2g的上图是

下图是

由图2g可见，在有限时间范围内，最大绝对值跟踪误差渐近收敛。

通过图2a～2g可以看出，针对复杂的多输入多输出非线性系统存在高阶内模规律变化的未知参数、非严格重复规律未知的初态定位和非严格重复参考轨迹的情况下，同时考虑未知控制增益和扰动的存在，所发明的基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法能保证跟踪误差渐近收敛，在存在未知增益和扰动的情况下，输出轨迹仍趋近期望轨迹，控制系统具备鲁棒性。

实施例二：为了更好的考察所提出的基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法的适用范围，考虑到迭代域严格重复是非严格重复的一种特殊情况，将所设计的学习控制方法应用于下面的永磁直线电机的控制问题：

其中，v_k(t)代表永磁直线电机的动子角速度，系统非线性函数分别为

和

系统未知参数迭代域严格重复，具体如下：θ⁽¹⁾＝0.8237，θ⁽²⁾＝θ⁽³⁾＝θ⁽⁴⁾＝-0.014，控制增益b＝0.0014，扰动d(t)＝-0.07sin(0.001πt)。系统跟踪参考轨迹为

其中系数

在区间(0,1]中随迭代变化而随机取值。

此时，系统未知参数边界已知，分别为θ⁽ⁱ⁾∈[-2,2]，i＝1,2,3,4，b∈(0,1]，d(t)＝[-0.1,0.1]。采用所发明的一种基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法，学习增益矩阵初值设计成

图3表示100次迭代运行内，状态跟踪的最大绝对值误差max|e_k|的学习收敛性情况。

由图3可以看出，当仅含有严格重复的未知变量的复杂非线性系统跟踪非严格重复的参考轨迹时，采用所发明的基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法仍能很好的实现跟踪误差的渐近收敛。

实施例三：针对带有多种非严格重复问题的单输入单输出系统，考虑系统方程如下：

其中，未知参数θ_k(t)随时域-迭代域变化而变化，且变化范围已知，变化规律同实施例一中的

未知控制增益B(t)＝(1+sin(0.5t))，扰动d(t)＝0.1cos(0.05t)。系统跟踪参考轨迹同实施例一中的

被控系统在有限时间区间t∈{0,1,…,100}内迭代运行。

根据公式(17)，取学习增益矩阵初值

将所发明的一种基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法在离散时间区间{0,1,…,100}中迭代运行100次，状态跟踪的最大绝对值误差的学习收敛性情况如表1和图4所示。

表1.不同迭代次数时的最大绝对值误差

	k＝4	k＝13	k＝27	k＝32
					max|e<sub>k</sub>|	0.0157	0.0042	0.0056	0.0057

通过图4和表1可以看出，本发明的基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法不仅可用于多输入多输出系统，同样可用于单输入单输出系统，具有很好的渐近收敛效果和鲁棒性。

以上阐述的是本发明给出的三个实施例表现出的精确跟踪效果。本发明针对一类带有多种非严格重复问题的复杂非线性系统模型给出了求解学习控制律的方法，目的是说明简介清楚，但需要指出，本发明不只限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所设计范围的前提下对其可做种种变形加以实施。

Claims (4)

1.一种基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法，其特征在于，包括步骤：

(1)针对一类复杂非线性系统模型进行矩阵变换，根据高阶内模的未知初值、未知控制增益、未知扰动按如下公式设计未知矩阵Θ(t)：

Θ(t)＝[Ψ(t),B(t)]

其中，Φ⁽ⁱ⁾(t)，i＝1,…,p为高阶内模中分解出的未知时变初值，d^(l)(t)，l＝1,…,n为系统扰动，B(t)为未知控制增益，m_i，i＝1,…,p为高阶内模的阶次；

(2)按照如下公式设计一种基于多种非严格重复问题的学习控制模型：

其中，

代表系统非严格重复的跟踪参考轨迹；

和

分别代表未知控制增益B(t)和未知矩阵Ψ(t)的第k次估计矩阵；Υ_k(t)是由高阶内模系数和系统已知函数向量组成的矩阵；

(3)将

和

一起估计，得到如下估计矩阵：

其中，“proj”是一个算子，通过算子“proj”对初次估计矩阵

和系统边界条件进行比较，若初次估计矩阵

中的第i行第j列元素η_i,j超过边界条件则将其回调至系统边界，否则保持原估计值；

是系统未知量的边界；

所述初次估计矩阵

的学习更新律如下公式所示：

其中，e_k-1(t+1)是跟踪误差向量；

是已知矩阵向量；P_k-1(t)是正定学习增益矩阵，如下公式所示：

(4)为学习控制方法选择合适的正定学习增益矩阵初值，控制系统反复运行；

上述学习控制方法应用于下面的永磁直线电机的控制问题：

其中，v_k(t)代表永磁直线电机的动子角速度，

和

跟踪参考轨迹为

其中系数

在区间(0,1]中随迭代变化而随机取值；系统未知参数边界已知，分别为θ⁽ⁱ⁾∈[-2,2]，i＝1,2,3,4，控制增益b∈(0,1]，扰动d(t)＝[-0.1,0.1]。

2.根据权利要求1所述的基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法，其特征在于：步骤(1)中，被控系统中能同时存在多种非严格重复问题，包括满足高阶内模规律的非严格重复条件和规律未知的非严格重复问题。

3.根据权利要求1所述的基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法，其特征在于：步骤(1)中，被控系统中同时存在多种系统未知情况，包括满足高阶内模规律的未知参数、未知控制增益和未知扰动。

4.根据权利要求2所述的基于非严格重复问题的复杂非线性系统学习控制方法，其特征在于：步骤(1)中，一类复杂非线性系统为多输入多输出系统或单输入单输出系统。

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