CN109885979A - 基于非线性规划的输油点模型 - Google Patents

Abstract

本发明涉及空中加油领域，尤其涉及基于非线性规划的输油点模型，建立多个输油点(节点)的模型，列出各个节点之间的递推关系，简化问题使问题清晰化，再研究低节点的情况，推导出当运输机能完成运输任务时节点数的最小值，得出的结果为节点最少两个，运用非线性规划的算法，求解出此时这两个节点的位置和飞机使用数量。建立复杂模型通过特殊情况推广到一般情况极大的简化了运算难度，对故障情况进行量化便于分析与求解，通过极限的思想，证明解的存在性极大的简化了运算步骤，对未知的关键数据代数化极大的增加了模型的实用性，可以通过具体数值明显观察到模型的优越性。

Description

基于非线性规划的输油点模型

技术领域

本发明涉及空中加油领域，尤其涉及基于非线性规划的输油点模型。

背景技术

在遇到自然灾害进行救援时，为减轻灾害的影响，提高救援速度，多会选择飞机这种交通方式，由于多种因素，比如每架飞机的储油量不同，加上受灾害地点一般燃料缺乏，若航程过远，飞机一般都会涉及到空中加油问题。

为精确计算出飞机航行所需要的油量，避免飞机的油量储备不足或储备过多，不能最大程度的携带物资，设计一种基于非线性规划的输油点模型，准确计算飞机在空中的加油量和加油点。

发明内容

本发明的目的在于提供基于非线性规划的输油点模型，以解决上述技术问题。

本发明为解决上述技术问题，采用以下技术方案实现：

基于非线性规划的输油点模型，模型参数：飞机在距离目标岛屿615海里的基地，飞机在正常载荷条件下最大航程为680海里，飞机的最大燃料容量为155kg，安装空中加油设备后，最大油负荷增加到170kg；

1.1计算可控区域：

m为单位海里的耗油量

l为可控区域的长度，为输油机能保证往返的最大距离，运用极限的思想，此时输油机的油全部用于航行，可以保证在可控区域内总能通过一定数量的输油机，使运输机的储油量一直为155kg；

1.2建立节点模型：

节点即为输油点，为了研究输油机的数量，通过节点与输油机数量间的关系建立节点模型；

在可控区域内建立n个节点x₁,x₂,…,x_n，只考虑运输机驶向小岛的单向情况(返回时与该情形对称)，由于运输机与输油机满足比例关系，为了便于计算，假设运输机只有一架，建立x_i→x_i+1的情况模型：

建立运输机储油量的递推关系，x_i点运输机的储油量减去从x_i点运动到x_i+1点运输机消耗的油量加上运输机在x_i+1点的加油量等于运输机在x_i+1点的储油量：

O_i+1＝O_i-|x_i+1-x_i|m+c_i+1 i＝1,2,…,n且O₀＝155 (1-1)

确定加油量的界限，λ_i架输油机在x_i点给运输机加油的量不会超过运输机的油箱容量，即

c_i＝min{λ_i(170-2m|x_i-x₀|),m|x_i-x_i-1|}i＝1,2,…,n且x₀＝0 (1-2)

完成航行任务的条件，运输机在x_i点的储油量必须能使它航行到x_i+1点，即运输机在x_i点的储油量大于等于从x_i点运动到x_i+1点航程的消耗油量

O_i≥m|x_i+1-x_i|i＝1,2,…,n (1-3)

O_n≥2m(615-x_n) (1-4)

建立目标函数，使任务执行过程中，在运输机数量一定的情况下，输油机的使用数量达到最少

1.3确定节点个数：

当节点为一个的情形：节点必须在可控区域内，故节点距离基地最远为l，通过计算可控区域的距离加上满油状态下运输机航行的距离与运输机完成运输任务所需距离的大小得到l+680＜2×615，故在一个节点的情形下运输机不可能完成任务；

当节点为两个的情形：节点必须在可控区域内，使两个节点分别在去往小岛和返回基地时的可控区域的最远点，节点距离基地最远为l，通过计算可控区域的距离加上满油状态下运输机航行的距离与运输机完成运输任务所需距离的大小得到2l+680＞2×615，故在两个节点的情形下运输机能完成任务，则此情形下必有最优解；

现将航行路程展开得到距离为1230的路程，设x₁为第一次加油的节点，x₂为第二次加油的节点，x为x₀到x₁之间的距离，y为x₁到x₂之间的距离，z为x₂到x₃之间的距离，x₁和x₂分别在两个可控区域内，λ₁架输油机在x₁点给运输机第一次加油，λ₂架输油机在x₂点给运输机第二次加油：

通过可得到以下非线性规划模型的约束条件

λ₁＞0,λ₂＞0,x＞0,y＞0,z＞0 (1-6)

由总路程和x y z之间的关系得到

x+y+z＝1230 (1-7)

由于x₁和x₂分别在两个可控区域内得到

y的最大值不会超过满油状态下运输机的航程

y≤680 (1-9)

λ₁架输油机在x₁点给运输机第一次加油的量不会超过运输机航行所消耗的油量和输油机所提供的油量

c₁＝min[λ₁(170-2xm),xm] (1-10)

运输机在x₁点加完油后能行驶到x₂点，即运输机在x₁点的储油量大于等于它从x₁到x₂行驶所消耗的油量

155-xm+c₁≥ym (1-11)

λ₂架输油机提供的油能恰使运输机回去，即运输机在x₂点加完油后回到基地时储油量刚好为0，此时λ₂最小得到

λ₂(170-2zm)＝zm-(155-xm+c₁-ym) (1-12)

为了简化求解过程，将c₁换成两组等式和约束条件

1.4设计程序：

分别设计程序，程序一取情况(1-13)，程序二取情况(1-14)，运行程序得到结果如表(1)所示：

表(1)程序运行结果

注：f为运输机的数量

考察最后结果得到目标函数最小值为1.4044f，第一个节点的位置在距基地275.0000海里处，第二个节点位置在距基地275.0000海里处，在不考虑返程时重复使用输油机得到输油机数量最少为[2.8088f]+2，若运输机数量为10，此时输油机使用数量为30。

情况，假设运输机与加油机发生故障时，加油过程中发生漏油，

假设到达第一次加油点时故障的概率约为0.5，即1-e^-λx≤0.5在x＝275.0000成立

λ≤0.0025

故取每个工作部分失败的概率服从指数分布参数λ＝0.02；到达第一次加油点时漏油的量约为5kg，即kx(1-e^-λx)≤5在x＝275.0000成立

k≤0.004

故取漏油的量和故障的概率成正相关且系数为k＝0.001，则单位海里漏油的量为k(1-e^-λx)；

类似上述问题，将航行路程展开得到距离为1230的路程，设x₁为第一次加油的节点，x₂为第二次加油的节点，x为x₀到x₁之间的距离，y为x₁到x₂之间的距离，z为x₂到x₃之间的距离，x₁和x₂分别在两个可控区域内，λ₁架输油机在x₁点给运输机第一次加油，λ₂架输油机在x₂点给运输机第二次加油；

通过可得到以下非线性规划模型的约束条件：

λ₁＞0,λ₂＞0,x＞0,y＞0,z＞0 (2-1)

由总路程和x y z之间的关系得到

x+y+z＝1230

由于x₁和x₂分别在两个可控区域内得到

y的最大值不会超过满油状态下运输机的航程

y≤680

λ₁架输油机在x₁点给运输机第一次加油的量不会超过运输机航行所消耗的油量和输油机所提供的油量，在此情形下考虑漏油情况得到

c₁＝min{λ₁(170-2x(m+k(1-e^-λx))),xm} (2-3)

运输机在x₁点加完油后能行驶到x₂点，即运输机在x₁点的储油量大于等于它从x₁到x₂行驶所消耗的油量

155-xm+c₁≥ym (2-4)

λ₂架输油机提供的油能恰使运输机回去，即运输机在x₂点加完油后回到基地时储油量刚好为0，在此情形下考虑漏油情况，此时λ₂最小得到

λ₂(170-2z(m+k(1-e^-λx))＝zm-(155-xm+c₁-ym)

为了简化求解过程，将c₁换成两组等式和约束条件

分别设计程序，程序三取情况(2-5)，程序四取情况(2-6)，运行程序得到结果如表(2)所示

表(2)程序运行结果

注：f为运输机的数量

考察最后结果得到目标函数最小值为1.4818f，第一个节点的位置在距基地275.0000海里处，第二个节点位置在距基地275.0000海里处，得到输油机数量最少为[2.9636f]+2；只要在此基础上增加输油机的个数，就可以使由故障带来的影响变得充分小至忽略不计。

针对优选的情况，在1.3的基础上，对模型进行改进：

3.1目标函数的下界

3.1.1利用微分思想得到输油机的个数

考虑任意两个相邻的节点D+0和D+Δx取其中点

假设a₁架输油机在D+Δx处加油为一个运输机从D+0到D+Δx所消耗的油量

a₁[170-2(D+Δx)m]＝Δxm (3-1)

考虑等价情况，

b₁架输油机在处加油为一个运输机从D+0到所消耗的油量

b₂架输油机在D+Δx处加油为一个运输机从到D+Δx所消耗的油量

由于上两种情况为等价情况，即两种方案的效果一样，现讨论a₁与b₁+b₂的大小关系

又因为两个点都在可控区域内，则原式大于等于零。

由此我们得到结论：节点越多，使用的输油机个数越少；

3.1.2利用极限思想得到输油机的个数

由3.1.1得到在[x₀,x_n]内节点数越多，目标函数值越小，现讨论其下界，将区域分割成n个等份：

设D＝|y_n-y₀|,λ_i是节点y_i的输油机数量，f是运输机的数量

假设λ_i架输油机的输油量恰是f架运输机从y_i-1到y_i消耗的油量，

由关系式(3-4)求n个节点上输油机数量的总和

代入1.3中的结果，D＝275.0000，说明当运输机数量充分大的时候，此时单侧情况下输油机总量约为0.6687f，则在完成运输任务，在不考虑返回时重复使用输油机，则输油机的总量约为1.3374f。

3.2目标函数的实际分析

在3.1中，做出了一种假设：飞机数量允许小数表示，即当运输机的数量非常大时，上述分析完全成立，在实际情况中，运输机的数量显然有限，那么如何刻画输油机的数量，便成了求解问题的关键。

3.2.1优化分析

在1.3解出的x区间内，设置n个节点：

假设在D_i点，都会有λ_i架输油机给f架运输机空中加油，加油量刚好是运输机消耗的油量，输油机的数量为整数，可得：

由目标函数知该数越小越好，不妨取λ_i＝1(i＝1,2,…,n-1)，

λ_i＝1(i＝1,2,…,n-1)

初始位置时，λ₁架输油机在保证往返的情况下将剩余的油全部加给D₁处的运输机且油量刚好等于运输机通过d₁段行驶的航程所消耗的油量

λ₁(170-2md₁)＝fmd₁

λ_i架输油机在保证往返的情况下将剩余的油全部加给D_i处的运输机且油量刚好等于运输机通过d_i段行驶的航程所消耗的油量

λ_i(170-2m(D_i+d_i+1))＝fmd_i+1(i＝1,2,…,n-2) (3-5)

由路程关系得到

假设D_n-1点在1.3的x区域内，D_n点在1.3的x区域外，则保证D_n-1为x区域内最后一个节点

D_n-1≤275.0000＜D_n

则由分析可得到最后结果，单侧情况下输油机的数量N为

在返回时不重复使用输油机的情况下，考虑双侧的情况，现对y路段进行平移，不妨向左进行平移，使

此时，总的飞机使用量为N′

3.2.2优化结果比较

现假设运输机的数量f＝10，用以直观的观察优化结果，用程序(3-5)运行得到表格(3)

表(3)优化模型程序运行结果

方案一：通过表格(3)和3.2.1得到在10架运输机的条件下最少需要15架输油机；

方案二：由3.1结果得到在10架运输机的条件下最少需要30架输油机。

本发明的有益效果是：

1.建立复杂模型通过特殊情况推广到一般情况极大的简化了运算难度；

2.对故障情况进行量化便于分析与求解；

3.通过极限的思想，证明解的存在性极大的简化了运算步骤；

4.对未知的关键数据代数化极大的增加了模型的实用性，可以通过具体数值明显观察到模型的优越性。

附图说明

图(1)为x_i→x_i+1的情况模拟图；

图(2)为运输机第二次加油模拟图；

图(3)为优化示意图；

图(4)可行区域内简化模型示意图；

图(5)求解的范围示意图。

具体实施方式

为了使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体实施例，进一步阐述本发明，但下述实施例仅仅为本发明的优选实施例，并非全部。基于实施方式中的实施例，本领域技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得其它实施例，都属于本发明的保护范围。下述实施例中的实验方法，如无特殊说明，均为常规方法，下述实施例中所用的材料、试剂等，如无特殊说明，均可从商业途径得到。

本发明涉及的基于非线性规划的输油点模型的假设与约定：

1.假设不考虑运输机加油过程中的时间且运动过程看作匀速直线运动；

2.假设运输机与加油机发生故障时，管道对接发生漏油；

3.每个工作部分失败的概率服从指数分布；

4.假设不计运输机改造成输油机的时间消耗；

5.假设漏油的量和故障的概率成正相关，漏油程度与设备寿命有关。

基于非线性规划的输油点模型，飞机在距离目标岛屿615海里的基地，飞机在正常载荷条件下最大航程为680海里，飞机的最大燃料容量为155kg，安装空中加油设备后，最大油负荷增加到170kg；在本发明中，飞机距离岛的距离，飞机在正常载荷条件下的最大航程，飞机的最大燃料容量，飞机的最大油负荷，均可根据实际情况进行改变，对应带入下式即可；

1.1计算可控区域：

m为单位海里的耗油量

l为可控区域的长度，为输油机能保证往返的最大距离，运用极限的思想，此时输油机的油全部用于航行，可以保证在可控区域内总能通过一定数量的输油机，使运输机的储油量一直为155kg；

1.2建立节点模型：

节点即为输油点，为了研究输油机的数量，通过节点与输油机数量间的关系建立节点模型；

在可控区域内建立n个节点x₁,x₂,…,x_n，只考虑运输机驶向小岛的单向情况(返回时与该情形对称)，由于运输机与输油机满足比例关系，为了便于计算，假设运输机只有一架，建立模型如图(1)所示：

建立运输机储油量的递推关系，x_i点运输机的储油量减去从x_i点运动到x_i+1点运输机消耗的油量加上运输机在x_i+1点的加油量等于运输机在x_i+1点的储油量：

O_i+1＝O_i-|x_i+1-x_i|m+c_i+1 i＝1,2,…,n且O₀＝155 (1-1)

确定加油量的界限，λ_i架输油机在x_i点给运输机加油的量不会超过运输机的油箱容量，即

c_i＝min{λ_i(170-2m|x_i-x₀|),m|x_i-x_i-1|}i＝1,2,…,n且x₀＝0 (1-2)

完成航行任务的条件，运输机在x_i点的储油量必须能使它航行到x_i+1点，即运输机在x_i点的储油量大于等于从x_i点运动到x_i+1点航程的消耗油量

O_i≥m|x_i+1-x_i|i＝1,2,…,n (1-3)

O_n≥2m(615-x_n) (1-4)

建立目标函数，使任务执行过程中，在运输机数量一定的情况下，输油机的使用数量达到最少

1.3确定节点个数：

当节点为一个的情形：节点必须在可控区域内，故节点距离基地最远为l，通过计算可控区域的距离加上满油状态下运输机航行的距离与运输机完成运输任务所需距离的大小得到l+680＜2×615，故在一个节点的情形下运输机不可能完成任务；

当节点为两个的情形：节点必须在可控区域内，使两个节点分别在去往小岛和返回基地时的可控区域的最远点，节点距离基地最远为l，通过计算可控区域的距离加上满油状态下运输机航行的距离与运输机完成运输任务所需距离的大小得到2l+680＞2×615，故在两个节点的情形下运输机能完成任务，则此情形下必有最优解；

现将航行路程展开得到距离为1230的路程，设x₁为第一次加油的节点，x₂为第二次加油的节点，x为x₀到x₁之间的距离，y为x₁到x₂之间的距离，z为x₂到x₃之间的距离，x₁和x₂分别在两个可控区域内，λ₁架输油机在x₁点给运输机第一次加油，λ₂架输油机在x₂点给运输机第二次加油，如图(2)所示：

通过可得到以下非线性规划模型的约束条件

λ₁＞0,λ₂＞0,x＞0,y＞0,z＞0 (1-6)

由总路程和x y z之间的关系得到

x+y+z＝1230 (1-7)

由于x₁和x₂分别在两个可控区域内得到

y的最大值不会超过满油状态下运输机的航程

y≤680 (1-9)

λ₁架输油机在x₁点给运输机第一次加油的量不会超过运输机航行所消耗的油量和输油机所提供的油量

c₁＝min[λ₁(170-2xm),xm] (1-10)

运输机在x₁点加完油后能行驶到x₂点，即运输机在x₁点的储油量大于等于它从x₁到x₂行驶所消耗的油量

155-xm+c₁≥ym (1-11)

λ₂架输油机提供的油能恰使运输机回去，即运输机在x₂点加完油后回到基地时储油量刚好为0，此时λ₂最小得到

λ₂(170-2zm)＝zm-(155-xm+c₁-ym) (1-12)

为了简化求解过程，将c₁换成两组等式和约束条件

1.4设计程序：

分别设计程序，程序一取情况(1-13)，程序二取情况(1-14)，运行程序得到结果如表(1)所示：

表(1)程序运行结果

注：f为运输机的数量

考察最后结果得到目标函数最小值为1.4044f，第一个节点的位置在距基地275.0000海里处，第二个节点位置在距基地275.0000海里处，在不考虑返程时重复使用输油机得到输油机数量最少为[2.8088f]+2，若运输机数量为10，此时输油机使用数量为30。

建立多个输油点(节点)的模型，列出各个节点之间的递推关系，简化问题使问题清晰化，再研究低节点的情况，推导出当运输机能完成运输任务时节点数的最小值，得出的结果为节点最少两个，运用非线性规划的算法，求解出此时这两个节点的位置和飞机使用数量，由于运输机的油箱容量有限，将输油量分成两个情况分别做出程序，观察结果得到，运输机驶向小岛的第一个加油点距基地275.0016海里，返回基地的第二个加油点距基地275.0073海里，分别派遣两架输油机给运输机输油，则能保证运输机完成运输任务。

现假设运输机与加油机发生故障时，加油过程中发生漏油，由表分析得该故障用指数分布描述更符合实际情况

零件故障常见分布表

现假设到达第一次加油点时故障的概率约为0.5，即1-e^-λx≤0.5在x＝275.0000成立

λ≤0.0025

故取每个工作部分失败的概率服从指数分布参数λ＝0.02；到达第一次加油点时漏油的量约为5kg，即kx(1-e^-λx)≤5在x＝275.0000成立

k≤0.004

故取漏油的量和故障的概率成正相关且系数为k＝0.001，则单位海里漏油的量为k(1-e^-λx)；

类似上述问题，将航行路程展开得到距离为1230的路程，设x₁为第一次加油的节点，x₂为第二次加油的节点，x为x₀到x₁之间的距离，y为x₁到x₂之间的距离，z为x₂到x₃之间的距离，x₁和x₂分别在两个可控区域内，λ₁架输油机在x₁点给运输机第一次加油，λ₂架输油机在x₂点给运输机第二次加油。

通过可得到以下非线性规划模型的约束条件

λ₁＞0,λ₂＞0,x＞0,y＞0,z＞0 (2-1)

由总路程和x y z之间的关系得到

x+y+z＝1230

由于x₁和x₂分别在两个可控区域内得到

y的最大值不会超过满油状态下运输机的航程

y≤680

λ₁架输油机在x₁点给运输机第一次加油的量不会超过运输机航行所消耗的油量和输油机所提供的油量，在此情形下考虑漏油情况得到

c₁＝min{λ₁(170-2x(m+k(1-e^-λx))),xm} (2-3)

运输机在x₁点加完油后能行驶到x₂点，即运输机在x₁点的储油量大于等于它从x₁到x₂行驶所消耗的油量

155-xm+c₁≥ym (2-4)

λ₂架输油机提供的油能恰使运输机回去，即运输机在x₂点加完油后回到基地时储油量刚好为0，在此情形下考虑漏油情况，此时λ₂最小得到

λ₂(170-2z(m+k(1-e^-λx))＝zm-(155-xm+c₁-ym)

为了简化求解过程，将c₁换成两组等式和约束条件

分别设计程序，程序三取情况(2-5)，程序四取情况(2-6)，运行程序得到结果如表(2)所示

表(2)程序运行结果

注：f为运输机的数量

考察最后结果得到目标函数最小值为1.4818f，第一个节点的位置在距基地275.0000海里处，第二个节点位置在距基地275.0000海里处，得到输油机数量最少为[2.9636f]+2；只要在此基础上增加输油机的个数，就可以使由故障带来的影响变得充分小至忽略不计。

结合文献对故障情形的分析及分布函数意义，选用最符合实际情况的分布函数，得到故障概率服从指数分布，假设故障会导致输油机漏油，通过估计故障带来的总体影响，确定指数分布中参数的值，从而使故障可量化，通过非线性规划的算法进行求解，最终通过改变输油机的数量，降低了由于故障带来的影响。

在1.3的基础上，对模型进行改进：

3.1目标函数的下界

3.1.1利用微分思想得到输油机的个数

考虑任意两个相邻的节点D+0和D+Δx取其中点如图(3)所示：假设a₁架输油机在D+Δx处加油为一个运输机从D+0到D+Δx所消耗的油量

a₁[170-2(D+Δx)m]＝Δxm (3-1)

考虑等价情况，

b₁架输油机在处加油为一个运输机从D+0到所消耗的油量

b₂架输油机在D+Δx处加油为一个运输机从到D+Δx所消耗的油量

由于上两种情况为等价情况，即两种方案的效果一样，现讨论a₁与b₁+b₂的大小关系

又因为两个点都在可控区域内，则原式大于等于零。

由此我们得到结论，节点越多，使用的输油机个数越少；

3.1.2利用极限思想得到输油机的个数

由3.1.1得到在[x₀,x_n]内节点数越多，目标函数值越小，现讨论其下界，如图(4)所示将区域分割成n个等份：

设D＝|y_n-y₀|,λ_i是节点y_i的输油机数量，f是运输机的数量

假设λ_i架输油机的输油量恰是f架运输机从y_i-1到y_i消耗的油量，

由关系式(3-4)求n个节点上输油机数量的总和

代入1.3中的结果，D＝275.0000，说明当运输机数量充分大的时候，此时单侧情况下输油机总量约为0.6687f，则在完成运输任务，在不考虑返回时重复使用输油机，则输油机的总量约为1.3374f。

3.2目标函数的实际分析

在3.1本文做出了一种假设，那就是飞机数量允许小数表示，即当运输机的数量非常大时，上述分析完全成立，在实际情况中，运输机的数量显然有限，那么如何刻画输油机的数量，便成了求解问题的关键。

3.2.1优化分析

在1.3解出的x区间内，设置n个节点，如图(5)所示：

假设在D_i点，都会有λ_i架输油机给f架运输机空中加油，加油量刚好是运输机消耗的油量，输油机的数量为整数，可得：

由目标函数知该数越小越好，不妨取λ_i＝1(i＝1,2,…,n-1)，

λ_i＝1(i＝1,2,…,n-1)

初始位置时，λ₁架输油机在保证往返的情况下将剩余的油全部加给D₁处的运输机且油量刚好等于运输机通过d₁段行驶的航程所消耗的油量

λ₁(170-2md₁)＝fmd₁

λ_i架输油机在保证往返的情况下将剩余的油全部加给D_i处的运输机且油量刚好等于运输机通过d_i段行驶的航程所消耗的油量

λ_i(170-2m(D_i+d_i+1))＝fmd_i+1(i＝1,2,…,n-2) (3-5)

由路程关系得到

假设D_n-1点在1.3的x区域内，D_n点在1.3的x区域外，则保证D_n-1为x区域内最后一个节点

D_n-1≤275.0000＜D_n

则由分析可得到最后结果，单侧情况下输油机的数量N为

在返回时不重复使用输油机的情况下，考虑双侧的情况，现对y路段进行平移，不妨向左进行平移，使

此时，总的飞机使用量为N′

3.2.2优化结果比较

现假设运输机的数量f＝10，用以直观的观察优化结果，用程序(3-5)运行得到表格(3)

表(3)优化模型程序运行结果

方案一：通过表格(3)和3.2.1得到在10架运输机的条件下最少需要15架输油机；

方案二：由3.1结果得到在10架运输机的条件下最少需要30架输油机。

对比两种方案结果可知模型优化后减少了15架输油机的使用，在此情况下方案一节省了方案二一半输油机的使用量。这个结果说明优化后的模型能极大的减少输油机的使用量。

用极限的思想无限分割问题1中的x区域，建立n个等距节点，通过和式的极限得到定积分的值从而确定目标函数的下界，发现该函数可以进一步优化，考虑到上述思想的局限性，即忽略运输机数量必是整数的客观事实，故对该区域重新划分，使在每个节点的输油机的数量是整数，建立优化模型，通过节点间的路程关系，赋予运输机数量具体值，对比问题1的运算结果，更清晰的体现出该模型的优点。

符号说明及名词定义

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的仅为本发明的优选例，并不用来限制本发明，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (3)

1.基于非线性规划的输油点模型，其特征在于：

模型参数：飞机在距离目标岛屿615海里的基地，飞机在正常载荷条件下最大航程为680海里，飞机的最大燃料容量为155kg，安装空中加油设备后，最大油负荷增加到170kg；

1.1 计算可控区域：

m为单位海里的耗油量

l为可控区域的长度，为输油机能保证往返的最大距离，运用极限的思想，此时输油机的油全部用于航行，可以保证在可控区域内总能通过一定数量的输油机，使运输机的储油量一直为155kg；

1.2 建立节点模型：

节点即为输油点，为了研究输油机的数量，通过节点与输油机数量间的关系建立节点模型；

在可控区域内建立n个节点x₁,x₂,…,x_n，只考虑运输机驶向小岛的单向情况(返回时与该情形对称)，由于运输机与输油机满足比例关系，为了便于计算，假设运输机只有一架，建立x_i→x_i+1的情况模型：

建立运输机储油量的递推关系，x_i点运输机的储油量减去从x_i点运动到x_i+1点运输机消耗的油量加上运输机在x_i+1点的加油量等于运输机在x_i+1点的储油量：

O_i+1＝O_i-|x_i+1-x_i|m+c_i+1 i＝1,2,…,n且O₀＝155 (1-1)

确定加油量的界限，λ_i架输油机在x_i点给运输机加油的量不会超过运输机的油箱容量，即

c_i＝min{λ_i(170-2m|x_i-x₀|),m|x_i-x_i-1|}i＝1,2,…,n且x₀＝0 (1-2)

完成航行任务的条件，运输机在x_i点的储油量必须能使它航行到x_i+1点，即运输机在x_i点的储油量大于等于从x_i点运动到x_i+1点航程的消耗油量

O_i≥m|x_i+1-x_i|i＝1,2,…,n (1-3)

O_n≥2m(615-x_n) (1-4)

建立目标函数，使任务执行过程中，在运输机数量一定的情况下，输油机的使用数量达到最少

1.3 确定节点个数：

当节点为一个的情形：节点必须在可控区域内，故节点距离基地最远为l，通过计算可控区域的距离加上满油状态下运输机航行的距离与运输机完成运输任务所需距离的大小得到l+680＜2×615，故在一个节点的情形下运输机不可能完成任务；

当节点为两个的情形：节点必须在可控区域内，使两个节点分别在去往小岛和返回基地时的可控区域的最远点，节点距离基地最远为l，通过计算可控区域的距离加上满油状态下运输机航行的距离与运输机完成运输任务所需距离的大小得到2l+680＞2×615，故在两个节点的情形下运输机能完成任务，则此情形下必有最优解；

现将航行路程展开得到距离为1230的路程，设x₁为第一次加油的节点，x₂为第二次加油的节点，x为x₀到x₁之间的距离，y为x₁到x₂之间的距离，z为x₂到x₃之间的距离，x₁和x₂分别在两个可控区域内，λ₁架输油机在x₁点给运输机第一次加油，λ₂架输油机在x₂点给运输机第二次加油，建立运输机第二次加油模型：

通过可得到以下非线性规划模型的约束条件

λ₁＞0,λ₂＞0,x＞0,y＞0,z＞0 (1-6)

由总路程和x y z之间的关系得到

x+y+z＝1230 (1-7)

由于x₁和x₂分别在两个可控区域内得到

y的最大值不会超过满油状态下运输机的航程

y≤680 (1-9)

λ₁架输油机在x₁点给运输机第一次加油的量不会超过运输机航行所消耗的油量和输油机所提供的油量

c₁＝min[λ₁(170-2xm),xm] (1-10)

运输机在x₁点加完油后能行驶到x₂点，即运输机在x₁点的储油量大于等于它从x₁到x₂行驶所消耗的油量

155-xm+c₁≥ym (1-11)

λ₂架输油机提供的油能恰使运输机回去，即运输机在x₂点加完油后回到基地时储油量刚好为0，此时λ₂最小得到

λ₂(170-2zm)＝zm-(155-xm+c₁-ym) (1-12)

为了简化求解过程，将c₁换成两组等式和约束条件

1.4 设计程序：

分别设计程序，程序一取情况(1-13)，程序二取情况(1-14)，运行程序得到结果如表(1)所示：

表(1)程序运行结果

注：f为运输机的数量

考察最后结果得到目标函数最小值为1.4044f，第一个节点的位置在距基地275.0000海里处，第二个节点位置在距基地275.0000海里处，在不考虑返程时重复使用输油机得到输油机数量最少为[2.8088f]+2，若运输机数量为10，此时输油机使用数量为30。

2.根据权利要求1所述的基于非线性规划的输油点模型，其特征在于：假设运输机与加油机发生故障时，加油过程中发生漏油，

假设到达第一次加油点时故障的概率约为0.5，即1-e^-λx≤0.5在x＝275.0000成立

λ≤0.0025

故取每个工作部分失败的概率服从指数分布参数λ＝0.02；到达第一次加油点时漏油的量约为5kg，即kx(1-e^-λx)≤5在x＝275.0000成立

k≤0.004

故取漏油的量和故障的概率成正相关且系数为k＝0.001，则单位海里漏油的量为k(1-e^-λx)；

将航行路程展开得到距离为1230的路程，设x₁为第一次加油的节点，x₂为第二次加油的节点，x为x₀到x₁之间的距离，y为x₁到x₂之间的距离，z为x₂到x₃之间的距离，x₁和x₂分别在两个可控区域内，λ₁架输油机在x₁点给运输机第一次加油，λ₂架输油机在x₂点给运输机第二次加油；

通过可得到以下非线性规划模型的约束条件：

λ₁＞0,λ₂＞0,x＞0,y＞0,z＞0 (2-1)

由总路程和x y z之间的关系得到

x+y+z＝1230

由于x₁和x₂分别在两个可控区域内得到

y的最大值不会超过满油状态下运输机的航程

y≤680

λ₁架输油机在x₁点给运输机第一次加油的量不会超过运输机航行所消耗的油量和输油机所提供的油量，在此情形下考虑漏油情况得到

c₁＝min{λ₁(170-2x(m+k(1-e^-λx))),xm} (2-3)

运输机在x₁点加完油后能行驶到x₂点，即运输机在x₁点的储油量大于等于它从x₁到x₂行驶所消耗的油量

155-xm+c₁≥ym (2-4)

λ₂架输油机提供的油能恰使运输机回去，即运输机在x₂点加完油后回到基地时储油量刚好为0，在此情形下考虑漏油情况，此时λ₂最小得到

λ₂(170-2z(m+k(1-e^-λx))＝zm-(155-xm+c₁-ym)

为了简化求解过程，将c₁换成两组等式和约束条件

分别设计程序，程序三取情况(2-5)，程序四取情况(2-6)，运行程序得到结果如表(2)所示：

表(2)程序运行结果

注：f为运输机的数量；

考察最后结果得到目标函数最小值为1.4818f，第一个节点的位置在距基地275.0000海里处，第二个节点位置在距基地275.0000海里处，得到输油机数量最少为[2.9636f]+2；只要在此基础上增加输油机的个数，就可以使由故障带来的影响变得充分小至忽略不计。

3.根据权利要求1所述的基于非线性规划的输油点模型，其特征在于：在1.3的基础上，对模型进行改进：

3.1 目标函数的下界

3.1.1 利用微分思想得到输油机的个数

考虑任意两个相邻的节点D+0和D+Δx取其中点

假设a₁架输油机在D+Δx处加油为一个运输机从D+0到D+Δx所消耗的油量

a₁[170-2(D+Δx)m]＝Δxm (3-1)

考虑等价情况，

b₁架输油机在处加油为一个运输机从D+0到所消耗的油量

b₂架输油机在D+Δx处加油为一个运输机从到D+Δx所消耗的油量

由于上两种情况为等价情况，即两种方案的效果一样，现讨论a₁与b₁+b₂的大小关系

又因为两个点都在可控区域内，则原式大于等于零；

由此得到结论：节点越多，使用的输油机个数越少；

3.1.2 利用极限思想得到输油机的个数

由3.1.1得到在[x₀,x_n]内节点数越多，目标函数值越小，现讨论其下界，将区域分割成n个等份：

设λ_i是节点y_i的输油机数量，f是运输机的数量

假设λ_i架输油机的输油量恰是f架运输机从y_i-1到y_i消耗的油量，

由关系式(3-4)求n个节点上输油机数量的总和

代入1.3中的结果，D＝275.0000，说明当运输机数量充分大的时候，此时单侧情况下输油机总量约为0.6687f，则在完成运输任务，在不考虑返回时重复使用输油机，则输油机的总量约为1.3374f；

3.2 目标函数的实际分析

在3.1中，做出了一种假设：飞机数量允许小数表示，即当运输机的数量非常大时，上述分析完全成立，在实际情况中，运输机的数量显然有限，那么如何刻画输油机的数量，便成了求解问题的关键；

3.2.1 优化分析

在1.3解出的x区间内，设置n个节点：

假设在D_i点，都会有λ_i架输油机给f架运输机空中加油，加油量刚好是运输机消耗的油量，输油机的数量为整数，可得：

由目标函数知该数越小越好，不妨取λ_i＝1(i＝1,2,…,n-1)，

λ_i＝1(i＝1,2,…,n-1)

初始位置时，λ₁架输油机在保证往返的情况下将剩余的油全部加给D₁处的运输机且油量刚好等于运输机通过d₁段行驶的航程所消耗的油量

λ₁(170-2md₁)＝fmd₁

λ_i架输油机在保证往返的情况下将剩余的油全部加给D_i处的运输机且油量刚好等于运输机通过d_i段行驶的航程所消耗的油量

λ_i(170-2m(D_i+d_i+1))＝fmd_i+1(i＝1,2,…,n-2) (3-5)

由路程关系得到

假设D_n-1点在1.3的x区域内，D_n点在1.3的x区域外，则保证D_n-1为x区域内最后一个节点

D_n-1≤275.0000＜D_n

则由分析可得到最后结果，单侧情况下输油机的数量N为

在返回时不重复使用输油机的情况下，考虑双侧的情况，现对y路段进行平移，不妨向左进行平移，使

此时，总的飞机使用量为N′

3.2.2 优化结果比较

现假设运输机的数量f＝10，用以直观的观察优化结果，用程序(3-5)运行得到表格(3)

表(3)优化模型程序运行结果

方案一：通过表格(3)和3.2.1得到在10架运输机的条件下最少需要15架输油机；

方案二：由3.1结果得到在10架运输机的条件下最少需要30架输油机。