CN109635395A - 一种双连续相复合材料弹性模量的计算方法 - Google Patents

Abstract

本申请属于材料性能的理论计算技术领域，特别涉及一种双连续相复合材料弹性模量的计算方法。方法包括：步骤一：基于Kelvin模型建立双连续相复合材料中骨架材料的力学模型；步骤二：从骨架材料的力学模型中提取单根支柱，以该支柱的一个端点为原点建立局部直角坐标系；步骤三：基于弹性地基梁理论对所述单根支柱进行分析，计算得到双连续相复合材料弹性模量。本申请的双连续相复合材料弹性模量的计算方法，不仅能够描述双连续结构的空间分布，而且可以更准确地预测双连续相复合材料的弹性模量。

Description

一种双连续相复合材料弹性模量的计算方法

技术领域

本申请属于材料性能的理论计算技术领域，特别涉及一种双连 续相复合材料弹性模量的计算方法。

背景技术

基于细观力学方法(如稀疏方法、自洽法和Mori-Tanaka法 等)，人们对于传统复合材料的等效力学性能的预测已取得较好的结果， 但对于具有互穿结构的双连续相复合材料，用传统的细观力学方法描述 较为困难。现有的互穿结构多相复合材料的细观力学模型，基于 Mori-Tanaka方法、等应力法和等应变法，可以从理论上预测这类材料的 弹性模量，但是预测结果与实验值差异较大。目前，尚未出现一套完备 的理论方法适用于双连续相复合材料弹性模量的预测。

因此，希望有一种技术方案来克服或至少减轻现有技术的至少 一个上述缺陷。

发明内容

本申请的目的是提供了一种双连续相复合材料弹性模量的计 算方法，以解决现有技术存在的至少一个问题。

本申请的技术方案是：

一种双连续相复合材料弹性模量的计算方法，包括：

步骤一：基于Kelvin模型建立双连续相复合材料中骨架材料 的力学模型；

步骤二：从骨架材料的力学模型中提取单根支柱，以该支柱的 一个端点为原点建立局部直角坐标系；

步骤三：基于弹性地基梁理论对所述单根支柱进行分析，计算 得到双连续相复合材料弹性模量。

可选地，所述双连续相复合材料具有开孔泡沫骨架。

可选地，基于Kelvin模型建立双连续相复合材料中骨架材料 的力学模型为十四面体泡沫模型。

可选地，所述弹性地基梁理论包括：

地基表面上任一点所受的单位面积上的压力与相应的地基竖 向位移成正比

q＝ky

其中，q为单位面积的地基所受的压力，y为地基竖向位移，k 为地基系数。

可选地，计算所述双连续相复合材料弹性模量包括：建立所述 支柱的挠度方程：

其中，w(Y)为支柱的挠度，L为支柱BC的长度，E为骨架材 料的弹性模量，I为支柱BC的截面惯性矩。

可选地，基于弹性地基梁理论，得到所述支柱受到的地基反力 为：

q(Y)＝kw(Y)

其中，k是地基系数。

可选地，根据所述支柱的挠度方程以及所述支柱受到的地基反 力，得到所述支柱的挠度函数：

w(Y)＝m(Y)M_x+f(Y)F_z。

可选地，对所述支柱进行受力分析，计算得到所述支柱的应变 能：

并根据所述支柱的应变能，获得双连续相复合材料的总应变 能。

可选地，结合双连续相复合材料外部载荷以及单胞尺寸得到外 力功：

Q＝8L²σ_zzw_C-8q_Cw_CL

其中，q_C＝kw_C。

可选地，根据所述支柱的挠度函数、所述总应变能以及所述外 力功计算双连续相复合材料的等效弹性模量。

发明至少存在以下有益技术效果：

本申请的双连续相复合材料弹性模量的计算方法，不仅能够描 述双连续结构的空间分布，而且可以更准确地预测双连续相复合材料的 弹性模量。

附图说明

图1是本申请双连续相复合材料弹性模量的计算方法的十四 面体弹性地基模型示意图；

图2是本申请双连续相复合材料弹性模量的计算方法的模型 受力分析图；

图3是本申请双连续相复合材料弹性模量的计算方法的周期 性单胞示意图；

图4是本申请双连续相复合材料弹性模量的计算方法的含弹 性地基斜支柱BC的受力示意图；

图5是本申请双连续相复合材料弹性模量的计算方法的弹性 模量随基体弹性模量的变化曲线图。

具体实施方式

为使本申请实施的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结 合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行更加详细 的描述。在附图中，自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件 或具有相同或类似功能的元件。所描述的实施例是本申请一部分实施例， 而不是全部的实施例。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，旨 在用于解释本申请，而不能理解为对本申请的限制。基于本申请中的实 施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有 其他实施例，都属于本申请保护的范围。下面结合附图对本申请的实施 例进行详细说明。

在本申请的描述中，需要理解的是，术语“中心”、“纵向”、 “横向”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、 “顶”、“底”、“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本申请和简化描述，而不是 指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造 和操作，因此不能理解为对本申请保护范围的限制。

下面结合附图1至图5对本申请做进一步详细说明。

本申请提供了一种双连续相复合材料弹性模量的计算方法，包 括：

本申请采用最接近真实结构的Kelvin模型来描述双连续相复 合材料中的骨架材料。同时，结合Kelvin泡沫模型，提出一种表征具有 开孔泡沫骨架的双连续相复合材料的力学模型，即十四面体弹性地基梁 模型，如图1所示。

根据E.Winkler在1867年提出的Winkler地基模型进行理论 推导。该模型给出了地基表面上任一点所受的单位面积上的压力与相应 的地基竖向位移成正比，即：q＝ky。其中，q为单位面积的地基所受的 压力，y为地基竖向位移，k为地基系数，如图2所示。

本申请的力学模型具有载荷和结构的对称性，故可以从模型中 提取出单根支柱进行分析。

在本申请的一个实施方式中，如图3和图4所示，以支柱的一 个端点为原点建立局部直角坐标系XYZ。根据力学相关知识，容易得到 支柱BC的挠度方程为：

其中，w(Y)为支柱的挠度，L为支柱BC的长度，E为骨架材 料的弹性模量，I为支柱BC的截面惯性矩。

基于Winkler弹性地基梁理论，支柱受到的地基反力具有如下 形式：

q(Y)＝kw(Y) (2)

其中，k是地基系数，其取值与梁宽有关。根据式(1)和(2)得：

w⁽⁴⁾(Y)-β⁴w(Y)＝0 (3)

其中，k/EI＝β⁴，上式通解形式为：

w(Y)＝C₁e^βY+C₂e^-βY+C₃sinβY+C₄cosβY (4)

支柱BC的位移边界条件可表示为：

利用位移边界条件，可确定式(4)中的待定系数为：

其中，H_i(i＝1，2，……，8)的表达式为

而

从而挠度函数(3)可表示为：

w(Y)＝m(Y)M_x+f(Y)F_z (8)

其中，

假设C点在xyz坐标系中的位移为(0,u_C,w_C)，由于C相对于B 没有转动，因而在XYZ坐标系中，C相对B的位移为 根据支柱BC的受力示意图，C端 轴向位移为：

C端相对于B端绕X轴转角为0，从而：

w'(L)＝m'(L)M_x+f'(L)F_z＝0 (11)

C端相对于B端绕X轴的弯曲变形为：

解方程组(9)，(10)和(11)，可得：

其中，m_L＝m(L)，m'_L＝m'(L)，f_L＝f(L)，f'_L＝f'(L).引入中间 变量t₁，t₂，t₃，则上式可简化为：

其中，

支柱BC的应变能可表示为：

对式(8)求二阶导并代入上式，得：

其中，

由于图3中所取代表单元的水平支柱没有变形，其余三个斜支 柱的变形与BC类似，因而总应变能为支柱BC应变能的4倍，即：

U＝4U_BC (17)

外力做功分为两部分，一部分由外部载荷产生，另一部分由弹 性地基的反力产生。如图3所示，水平支柱虽然对应变能没有贡献，但 是由于其发生了刚体位移，所以弹性地基反力对其做负功。四根支柱发 生弯曲变形，弹性地基反力也应对其做负功。最后，结合外部载荷以及 单胞尺寸可得到外力功的表达式为：

Q＝8L²σ_zzw_C-8q_Cw_CL (18)

其中，q_C＝kw_C。

把(2)和(8)代入(17)，得：

其中，

由最小势能原理有：

解方程(19)，得：

其中， 而

根据单胞几何尺寸，z方向应变为：

因此，双连续相复合材料沿z方向的等效弹性模量为：

所有参数均和地基系数k相关，故地基系数的合理取值决定 了整个理论预测是否合理。地基系数和梁宽有关，若梁宽为b1，则有：

k＝k₁b₁ (24)

b₁与梁的形状有关，其值可根据模型几何尺寸给出，即：

其中，R为骨架材料体积含量，C为常数，且与支柱截面形 状有关。截面为圆形、正方形和正三角形时，C的取值分别为1.128，1， 1.519。k₁定义为单位面积梁下沉单位长度时所受的地基反力，可由下式 确定，即：

k₁＝E_f/H (26)

其中，E_f为弹性地基的弹性模量，即本文中填充基体的弹性 模量，H为弹性地基的厚度。在本文模型中，H与模型的特征尺度L和截 面形状系数C相关，可表示为：

其中，h为待定系数，取决于双连续相复合材料的制备工艺。

本申请基于实验数据确定公式中的待定系数h。在本申请的 一个实施方式中，实验材料为由相对密度9％的铝泡沫骨架和复合泡沫塑 料复合成的双连续相复合材料。实验所用的双连续相复合材料制备工艺 相同，故可根据实验结果反推出公式中的常数h，由于实验存在一定的分 散性，所以h应取拟合值的平均值，如下表所示。

图5给出了在铝泡沫骨架材料体积分数R为0.09时，双连 续相复合材料的等效弹性模量随基体材料弹性模量的变化规律。由图5 可知，随基体材料弹性模量的增加，双连续相复合材料的等效弹性模量 近似地呈线性增加关系。图中也给出了现有的其他理论分析结果，显然 与实验值相比偏高较多，除模型的原因外，分析中假设双连续相复合材 料的各组分之间为理想结合，难以反映实际材料中存在的各种缺陷，因 而导致理论估计值偏高。

通过对比可见，本申请按Kelvin泡沫模型和弹性地基梁理 论给出的双连续相复合材料弹性模量的半经验理论预测更为准确。

本申请的双连续相复合材料弹性模量的计算方法，不仅能够 描述双连续结构的空间分布，而且可以更准确地预测双连续相复合材料 的弹性模量。

以上所述，仅为本申请的具体实施方式，但本申请的保护范 围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本申请揭露的技术 范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本申请的保护范围之内。 因此，本申请的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (10)

1.一种双连续相复合材料弹性模量的计算方法，其特征在于，包括：

步骤一：基于Kelvin模型建立双连续相复合材料中骨架材料的力学模型；

步骤二：从骨架材料的力学模型中提取单根支柱，以该支柱的一个端点为原点建立局部直角坐标系；

步骤三：基于弹性地基梁理论对所述单根支柱进行分析，计算得到双连续相复合材料弹性模量。

2.根据权利要求1所述的双连续相复合材料弹性模量的计算方法，其特征在于，所述双连续相复合材料具有开孔泡沫骨架。

3.根据权利要求2所述的双连续相复合材料弹性模量的计算方法，其特征在于，基于Kelvin模型建立双连续相复合材料中骨架材料的力学模型为十四面体泡沫模型。

4.根据权利要求1所述的双连续相复合材料弹性模量的计算方法，其特征在于，所述弹性地基梁理论包括：

地基表面上任一点所受的单位面积上的压力与相应的地基竖向位移成正比

q＝ky

其中，q为单位面积的地基所受的压力，y为地基竖向位移，k为地基系数。

5.根据权利要求1所述的双连续相复合材料弹性模量的计算方法，其特征在于，计算所述双连续相复合材料弹性模量包括：建立所述支柱的挠度方程：

其中，w(Y)为支柱的挠度，L为支柱BC的长度，E为骨架材料的弹性模量，I为支柱BC的截面惯性矩。

6.根据权利要求5所述的双连续相复合材料弹性模量的计算方法，其特征在于，基于弹性地基梁理论，得到所述支柱受到的地基反力为：

q(Y)＝kw(Y)

其中，k是地基系数。

7.根据权利要求6所述的双连续相复合材料弹性模量的计算方法，其特征在于，根据所述支柱的挠度方程以及所述支柱受到的地基反力，得到所述支柱的挠度函数：

w(Y)＝m(Y)M_x+f(Y)F_z。

8.根据权利要求7所述的双连续相复合材料弹性模量的计算方法，其特征在于，对所述支柱进行受力分析，计算得到所述支柱的应变能：

并根据所述支柱的应变能，获得双连续相复合材料的总应变能。

9.根据权利要求8所述的双连续相复合材料弹性模量的计算方法，其特征在于，结合双连续相复合材料外部载荷以及单胞尺寸得到外力功：

Q＝8L²σ_zzw_C-8q_Cw_CL

其中，q_C＝kw_C。

10.根据权利要求9所述的双连续相复合材料弹性模量的计算方法，其特征在于，根据所述支柱的挠度函数、所述总应变能以及所述外力功计算双连续相复合材料的等效弹性模量。