CN109558666B - 一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于古建筑力学分析技术领域，具体涉及一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法，包括以下步骤：S1、基于响应面法，以参数组合的规范值为中心，以某幅度的前后范围确定待拟合参数变化区间，各区间的端点值即为参数最大、最小值，以此找出响应值的最大、最小值；S2、建立待分析结构的有限元模型；S3、确定待反分析问题的参数个数及其允许变化的范围并采用BBD方法设计参数值；通过对原始试验数据均一化处理再构造响应面函数，提出改进的响应面法，并将改进的响应面与遗传算法融合的一种新方法，两种算法融合后可快速找到满足工程精度要求的最优参数，尤其解决了古建筑有限元分析中物理参数值不确定的问题。

Description

一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法

技术领域

本发明属于古建筑力学分析技术领域，具体涉及一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法。

背景技术

古塔是我国宝贵的物质文化遗产，但因建造年代久远且大多经历了地震、风雨侵蚀甚至人为破坏，保存至今的古塔均存在一定程度的损伤，对其进行损伤检测及修缮加固迫在眉睫。结构的材料力学参数是进行结构分析的基础，也是定量评估结构损伤的依据，但古塔的物理力学参数原始数据大多无史料查阅，一般可通过现场实测或现场取样实验室测试获得。但受测试受现场工作条件限制及现场取样扰动影响，试验结果往往存在较大误差。近年来，基于现场振动测试的无损检测技术得到广泛重视。为了获得古塔物理力学参数，可通过现场振动测试结合古塔动力特性反分析获得。为研究古塔的动力特性，王铁成等利用ANSYS软件建立了古塔有限元模型并进行模态分析；陈太聪等应用环境随机激振方法，布置动力传感器测试金鳌洲塔的动力特性，并与有限元分析结果进行对比。

优化反分析法目前广泛应用于非线性反分析领域，其中响应面算法和遗传算法具有较好的全局收敛性，适用于解决古塔的动力特性与力学参数之间的非线性问题。利用响应面法可以构建待反演参数和响应值之间的近似显式函数，函数构建以数理统计理论为基础，具有较强的可操作性。田润泽等基于响应面的基本原理，利用响应面函数建立结构力学参数与结构变形之间的非线性映射关系。遗传算法是根据“优胜劣汰”原理模拟自然界遗传机理并通过选择、交叉、变异三个算子的操作来寻求最优解的方法，具有很好的全局寻优性。李培贤等将遗传算法与模式搜索进行对比，证明了遗传算法可以获得更高的反分析精度并能显著提高计算效率。综上，若将响应面法和遗传算法融合，响应面法可为遗传算法拟合精度较高的适应度函数，遗传算法也能提高参数优化的效率和精度。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法，以解决上述背景技术中提出的精度低，计算慢的问题。

为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：包括以下步骤：

S1、基于响应面法，以参数组合的规范值为中心，以某幅度的前后范围确定待拟合参数变化区间，各区间的端点值即为参数最大、最小值，以此找出响应值的最大、最小值；

S2、建立待分析结构的有限元模型；

S3、确定待反分析问题的参数个数及其允许变化的范围并采用BBD方法设计参数值；

S4、将上述试验参数组合值依次输入有限元软件，计算结构对应的响应值，整理参数值与响应值；

S5、在响应面数值模型拟合前，对这些参数值和响应值的原始数据进行均一化处理，使每个参数值和响应值都严格映射到区间[0，1]，构建参数值与响应值之间的响应面数值模型；

S6、利用最小二乘法联结上述模型的响应面估计值与试验对应的实测值，建立参数反分析的目标函数如下：

式中：F(x′₁,x′₂,…,x′_k)为反分析目标函数；F′_i(x′₁,x′₂,…,x′_k)为第i个改进的响应面函数估计

值，

T′为归一化的实测响应值，/>

T为实测响应值；

S7、遗传算法计算设置：将参数值和响应值的种群区间均设置为[0，1]，并以各参数中心值组合为初始种群；对上述目标函数取最小值，建立遗传算法的适应度函数，并以待反分析问题的精度要求为参数寻优的约束条件；

式中：F_min(x′₁,x′₂,…,x′_k)为遗传算法适应度函数；ε为待反分析问题的精度；

S8、收敛准则及终止条件：根据第7步的约束条件和规定的适应度函数，运用遗传算法的选择，交叉，变异操作算子在[0，1]区间内不断迭代计算，直到找到满足精度要求的最小适应度函数值，输出最优参数组合，程序运行终止。

优选的，S1中，含交叉项的二次多项式响应面模型一般形式如下：

式中：

为响应面函数；x_i、x_j为参数变量；α₀、α_j、α_ij分别为常数项待定系数、一次项待定系数、二次项待定系数。

优选的，S5中，转换函数如下:

式中：y′、y、y_max、y_min分别为均一化的响应估计值、原响应值、原响应值的最大值、原响应值的最小值；x′、x、x_max、x_min分别为数值均一化参数值、原参数值、原参数值的最大值、原参数值的最小值。

优选的，响应面数值模型为，

式中：

为均一化的响应面函数；x′_i、x′_j为均一化的参数变量。/>

优选的，响应面数值模型评价指标包括复相关系数R²、修正的复相关系数

和预报平方和PRESS。

优选的，所述复相关系数R²是[0，1]区间的变化量：

式中：n为样本数；y′_i为第i个均一化的响应值；

为第i个响应面函数的估计值；

为均一化的响应均值；SSY为响应值与响应均值差的平方和；SSE为响应值与响应估值差的平方和；SSR为响应估计值与响应均值差的平方和。

优选的，所述修正的复相关系数

与参数个数带来的影响有关：

式中：n为试验点个数；k为试验点的参数个数。

优选的，所述预报平方和PRESS是试验数据与预测数据的差值的平方和：

式中：y′_i为第i个均一化的响应值；

为第i个响应面函数的估计值。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

(1)本发明提出的融合改进响应面-遗传算法，是通过对原始试验数据均一化处理再构造响应面函数，提出改进的响应面法，并将改进的响应面与遗传算法融合的一种参数反分析新方法，两种算法融合后可快速找到满足工程精度要求的最优参数，尤其解决了古建筑有限元分析中物理参数值不确定的问题。

(2)运用反分析得到的五花寺塔最优参数组合值进行正分析，并分析计算频率值与实测频率值的相对误差，古塔的1阶振动频率相对误差为2.3％，2阶振动频率相对误差为3.2％，均能满足参数反分析精度要求，说明该方法可用于砖石古塔的材料力学参数反分析。

(3)该方法使待分析的原始数据去量纲化，将待反分析的参数和响应值区间规范化，提高了响应面函数模型的可靠度，缩短了反分析的时间，为遗传算法参数寻优提供了便利条件。

本发明提供的方法对于类似的砖石结构建筑物，尤其是我国遗存的古代建筑物的保护和健康监测具有很好的借鉴意义。

附图说明：

图1是古塔实体模型图；

图2是参数反分析流程图；

图3是ANSYS软件仿真图；

图4是古塔参数值和响应值的设计区间表格；

图5是改进响应面数值模型的方差分析表格；

图6是古塔的计算频率与实测频率相对误差表格。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例，基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例

本发明提供一种技术方案：根据响应面法的基本原理：假定参数或设计点是n维向量x∈Eⁿ，是待求功能函数的自变量，二者存在的函数关系为y＝y(x)，若给定参数值或设计点值xj，通过实体或数值试验就能得到相应的响应值y_j＝y(x_j)，即对应一个参数值或样本点的一个响应值。根据问题的复杂程度，可选取不同的多项式函数作为响应面数值模型，其中含交叉项的二次多项式响应面模型一般形式如下：

式中：

为响应面函数；x_i、x_j为参数变量；α₀、α_j、α_ij分别为常数项待定系数、一次项待定系数、二次项待定系数。

由式(1)可知，响应面法是将参数值和响应值的原始数据拟合，因此无法消除数据之间的属性差别，各类数据的区间长度也不统一，会对拟合结果造成较大误差。为了消除这种误差，本发明对响应面法提出改进，以参数组合的规范值为中心，以某幅度的前后范围(如±30％)确定待拟合参数变化区间，各区间的端点值即为参数最大、最小值，以此找出响应值的最大、最小值。在响应面数值模型拟合前，对这些参数值和响应值的原始数据进行均一化处理，使每个参数值和响应值都严格映射到区间[0，1]，转换函数如下:

式中：y′、y、y_max、y_min分别为均一化的响应估计值、原响应值、原响应值的最大值、原响应值的最小值；x′、x、x_max、x_min分别为数值均一化参数值、原参数值、原参数值的最大值、原参数值的最小值。

将式(2)、式(3)代入式(1)中，得到改进的响应面模型：

式中：

为均一化的响应面函数；x′_i、x′_j为均一化的参数变量。

为了评估根据式(4)拟合得到的近似响应面函数的可靠度，可采用以下评价指标：

1)复相关系数R²：复相关系数R²是[0，1]区间的变化量，其值越接近于1，说明误差影响越小，若复相关系数R²＝1，说明该响应面函数可以准确地表述待分析参数和响应量之间的函数关系。

/>

式中：n为样本数；y′_i为第i个均一化的响应值；

为第i个响应面函数的估计值；

为均一化的响应均值；SSY为响应值与响应均值差的平方和；SSE为响应值与响应估值差的平方和；SSR为响应估计值与响应均值差的平方和。

2)修正的复相关系数

修正的复相关系数考虑了参数个数带来的影响，修正的复相关系数/>

与复相关系数R²之间相差很大的话，说明响应面近似模型中存在不重要的参数。

式中：n为试验点个数；k为试验点的参数个数。

3)预报平方和PRESS：预报平方和PRESS是试验数据与预测数据的差值的平方和，如果回归方程的拟合效果好，则PRESS应接近于零。

改进的响应面法可以快速高效地对待求参数优化，但若待反演的参数过多有可能降低响应面函数参数优化效率和可靠度，而基于Fortran语言的遗传算法程序则具有良好的多目标优化功能。

遗传算法作为一种全局优化方法，是借鉴生物界进化规律演变而来的随机化搜索方法。该方法能自动获取参数优化的搜索空间，自适应地调整搜索方向，不需要确定的规则。遗传算法是一种群体性操作，以种群中全部个体为对象。选择、交叉和变异是遗传算法的三种操作算子，种群选取是否合理，决定了计算的成败。另外，遗传算法在进化搜索中基本不利用外部信息，仅以适应度函数为依据，利用种群中每个个体的适应度值进行搜索，适应度值与遗传到下一代的概率值基本成正比关系，即适应度越高的个体遗传到下一代的概率越大。

响应面法和遗传算法近年来被广泛应用于各研究领域中，本发明将响应面法进行改进，并与遗传算法相融合，提出了融合改进响应面-遗传算法。该反分析算法的具体步骤如下：

1)建立待分析结构的有限元模型。

2)确定待反分析问题的参数个数及其允许变化的范围并采用BBD方法设计参数值。

3)将上述试验参数组合值依次输入有限元软件，计算结构对应的响应值，整理参数值与响应值。

4)利用式(2)、式(3)将上述参数值与响应值作均一化处理，使其均映射到区间[0，1]，代入式(4)构建参数值与响应值之间的响应面数值模型。

5)利用最小二乘法联结上述模型的响应面估计值与试验对应的实测值，建立参数反分析的目标函数如下：

式中：F(x′₁,x′₂,…,x′_k)为反分析目标函数；F′_i(x′₁,x′₂,…,x′_k)为第i个改进的响应面函数估计

值，

T′为归一化的实测响应值，/>

T为实测响应值。

6)遗传算法计算设置：将参数值和响应值的种群区间均设置为[0，1]，并以各参数中心值组合为初始种群；对上述目标函数取最小值，建立遗传算法的适应度函数(式(9))，并以待反分析问题的精度要求为参数寻优的约束条件(式(10))。

式中：F_min(x′₁,x′₂,…,x′_k)为遗传算法适应度函数；ε为待反分析问题的精度。

7)收敛准则及终止条件：根据第6步的约束条件和规定的适应度函数，运用遗传算法的选择，交叉，变异操作算子在[0，1]区间内不断迭代计算，直到找到满足精度要求的最小适应度函数值，输出最优参数组合，程序运行终止。

为了验证融合改进响应面-遗传算法参数反分析的效果，下面以宜阳五花寺塔为工程背景，对该塔的弹性模量、密度等物理力学参数进行反分析。

五花寺塔是一座宋代佛塔，九级八角砖石混合结构，塔身高约35m，塔基周长为32m，除塔基0.8m为条石砌筑，塔身均为青砖砌筑。此塔塔身的第1、2层为砖砌楼阁式结构，3层以上为密檐式结构。根据五花寺塔的实际尺寸，为了精确模拟古塔的动力特性，选择SOLID65单元作为模型的实体单元，用ANSYS有限元软件建立古塔的三维模型，并在塔基底座处设置固定端约束。古塔实体模型采用智能网格划分，共生成246560个单元，65481个节点，如图1。

古塔动力特性与其材料力学参数密切相关，为保证反分析的有效性，本例选取弹性模量、密度和泊松比这三个参数进行反分析，如图2：

其中，古塔模型的参数初始值依据现行《砌体结构设计规范》(GB50003-2011)或相关文献确定，弹性模量为1100MPa，密度为2100Kg/m3，泊松比0.15。以古塔的弹性模量、密度及泊松比作为试验因子，用BBD方法在各参数规范值的±35％范围内设计了三因子三水平的试验设计方案，得到17组参数，中心点重复利用了5次，如下图所示，图中每个点代表一组参数，其x、y、z坐标分别为弹性模量E、密度D、泊松比P。

将图3中的参数样本值依次输入ANSYS软件，计算古塔的动力特性，选取古塔的1阶和2阶模态频率值作为参数反分析的响应值，设计参数和对应模态频率的数值区间如图4。

依据式(2)、(3)及表1，对设计参数的原始数据与对应的响应值作均一化处理，使它们映射到区间[0，1]，以得到去量纲化的试验参数值和响应值。将均一化处理的参数样本和1阶、2阶频率响应值利用公式(5)拟合，古塔的1阶和2阶频率改进的响应面模型如下：

为了评价该数值模型的可靠度，对响应面模型进行方差分析，结果列表如下图5(表2):

由图5(表2)可知，复相关系数R²≈1，说明该数值模型基本能表述材料力学参数和古塔动力特性之间的响应关系；校正系数R² _adj＝0.9996，说明模型可以解释99.9％的试验所得模态频率值，另外，R²与R² _adj几乎相等，说明响应面近似模型中不存在不重要的参数；PRESS＝2.6×10-3，非常接近于零，表明拟合效果较好。以上评价指标的均反映了该响应面模型的可靠性比较高，可作为参数反分析的目标函数。

为验证该模型的预测值与五花寺塔的实际动力特性是否一致，对该塔实地考察并做了环境激振试验，得到五花寺塔的1阶和2阶振动频率实测值：f₁₀＝0.977Hz、f₂₀＝4.395Hz。对古塔的1阶和2阶实测频率进行均一化处理后分别代入公式(8)，得到古塔参数反分析的目标函数：

F(x′₁,x′₂,…,x_k′)＝f′₁(x′₁,x′₂,…,x′_k)+f′₂(x′₁,x′₂,…,x′_k) (13)

式中：f′₁、f′₂分别为1阶频率的反分析目标函数、2阶频率的反分析目标函数。

依据式(9)，对式(13)取最小值，即得到了古塔的遗传算法参数优化适应度函数。该算例的参数反分析要求古塔估计频率值与实测频率值的相对误差不超过±0.04，将ε＝0.04代入式(9)，得到遗传算法的约束函数，并以此作为遗传算法程序寻优的终止条件，经76代进化后，找到了最优参数组合：E′＝0.07，D′＝0.37,P′＝0.07，将E′、D′、P′的值代入公式(2)，得到具有物理意义的参数组合：E＝770MPa，D＝1910Kg/m3，P＝0.105。

将反分析得到的最优参数值和规范值依次输入ANSYS软件进行正分析，得到了古塔的1阶和2阶动力特性值，分别计算它们与对应实测频率值的相对误差，得到图6(表3)。

由图6(表3)可知，将按照规范取值的参数组合输入有限元计算，得到的古塔计算频率值与实测频率值相对误差较大，不满足精度要求；将融合改进响应面-遗传算法得到的参数优化值代入有限元软件计算，得到的计算频率值与实测频率值相对误差减小，相对误差均满足工程精度要求，说明经反分析得到的古塔材料力学参数反映了古塔当前状态。

与常规的算法相比，融合改进响应面-遗传算法减小了影响因子定义域区间，降低了参数离散性，避免了遗传算法容易收敛到局部最优解的缺点，提高了计算效率，改善了稳定性差的缺陷。

综合上所述：为了反分析砖石古塔的材料力学参数，将均一化原理、响应面法和遗传算法三者结合，提出了融合改进响应面-遗传算法，首先基于ANSYS软件建立古塔的三维有限元模型，采用BBD方法设计了影响因子实验点，根据有限元模型计算各参数对应的古塔动力特性；提出改进的响应面方法，建立了待修正参数与响应量的显式响应面模型；最后根据古塔现场实测动力特性，利用最小二乘法建立了反分析目标函数，采用遗传算法搜索最佳参数组合，确定古塔力学参数，以宜阳五花寺塔为例，反演分析了砖石塔的弹性模量、密度等力学参数，计算结果表明，基于融合改进响应面-遗传算法的古塔力学参数反分析法，可快速高效地获得反分析参数结果，且结果精度较高。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (8)

1.一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、基于响应面法，以参数组合的规范值为中心，以某幅度的前后范围确定待拟合参数变化区间，各区间的端点值即为参数最大、最小值，以此找出响应值的最大、最小值；

S2、建立待分析结构的有限元模型；

S3、确定待反分析问题的参数个数及其允许变化的范围并采用BBD方法设计参数值；

S4、将试验参数组合值依次输入有限元软件，计算结构对应的响应值，整理参数值与响应值；

S5、在响应面数值模型拟合前，对这些参数值和响应值的原始数据进行均一化处理，使每个参数值和响应值都严格映射到区间[0，1]，构建参数值与响应值之间的响应面数值模型；

S6、利用最小二乘法联结上述模型的响应面估计值与试验对应的实测值，建立参数反分析的目标函数如下：

式中：F(x′₁,x′₂,…,x′_k)为反分析目标函数；F_i′(x′₁,x′₂,…,x′_k)为第i个改进的响应面函数估计值，

T′为归一化的实测响应值，/>

T为实测响应值；

S7、遗传算法计算设置：将参数值和响应值的种群区间均设置为[0，1]，并以各参数中心值组合为初始种群；对上述目标函数取最小值，建立遗传算法的适应度函数，并以待反分析问题的精度要求为参数寻优的约束条件；

式中：F_min(x′₁,x′₂,…,x′_k)为遗传算法适应度函数；ε为待反分析问题的精度；

S8、收敛准则及终止条件：根据第7步的约束条件和规定的适应度函数，运用遗传算法的选择，交叉，变异操作算子在[0，1]区间内不断迭代计算，直到找到满足精度要求的最小适应度函数值，输出最优参数组合，程序运行终止。

2.根据权利要求1所述的一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法，其特征在于：S1中，含交叉项的二次多项式响应面模型一般形式如下：

式中：

为响应面函数；x_i、x_j为参数变量；α₀、α_j、α_ij分别为常数项待定系数、一次项待定系数、二次项待定系数。

3.根据权利要求1所述的一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法，其特征在于：S5中，转换函数如下:

/>

式中：y′、y、y_max、y_min分别为均一化的响应估计值、原响应值、原响应值的最大值、原响应值的最小值；x′、x、x_max、x_min分别为数值均一化参数值、原参数值、原参数值的最大值、原参数值的最小值。

4.根据权利要求1所述的一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法，其特征在于：响应面数值模型为，

式中：

为均一化的响应面函数；x_i′、x_j′为均一化的参数变量。

5.根据权利要求4所述的一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法，其特征在于：响应面数值模型评价指标包括复相关系数R²、修正的复相关系数

和预报平方和PRESS。

6.根据权利要求5所述的一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法，其特征在于：所述复相关系数R²是[0，1]区间的变化量：

式中：n为样本数；y_i′为第i个均一化的响应值；

为第i个响应面函数的估计值；/>

为均一化的响应均值；SSY为响应值与响应均值差的平方和；SSE为响应值与响应估值差的平方和；SSR为响应估计值与响应均值差的平方和。

7.根据权利要求5所述的一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法，其特征在于：所述修正的复相关系数

与参数个数带来的影响有关：

式中：n为试验点个数；k为试验点的参数个数。

8.根据权利要求5所述的一种基于遗传算法的古塔力学参数反分析方法，其特征在于：所述预报平方和PRESS是试验数据与预测数据的差值的平方和：

式中：y_i′为第i个均一化的响应值；

为第i个响应面函数的估计值。/>

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