CN109308457A - 一种高浓度下多粒子三维追踪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种高浓度下多粒子三维追踪方法，包括以下步骤，使用数字全息显微镜获取样品全息图像，计算背景图并在样品全息图像中扣除背景图；然后进行重构，得到重构后的样品全息图像；通过光强阈值和寻找局部光强最大，得到粒子三维位置；使用最邻近算法将粒子位置连接成轨迹；选取第一轨迹L₁和第二轨迹L₂；对第一轨迹L₁和第二轨迹L₂进行轨迹归属判断；若判断为同一条轨迹，则补全第一轨迹和第二轨迹之间缺失的粒子位置；设置纠错距离，对第一轨迹L₁和第二轨迹L₂的归属是否正确进行判断；本发明对轨迹进行归属判定、补全和校正，有效地提升了正确率，增加了轨迹信息量，提升了高密度下三维粒子追踪技术的适用性。

Description

一种高浓度下多粒子三维追踪方法

技术领域

本发明涉及粒子追踪的研究领域，特别涉及一种高浓度下多粒子三维追踪方法。

背景技术

粒子追踪技术广泛使用于多种科学和工程领域，如海洋、流体学、气象学、化学、高分子、生物学等。追踪的粒子类型多样，如微生物、细胞、病毒、纳米和胶体粒子等。尺寸从数十纳米到数毫米不等，粒子的运动速度从每秒数纳米到每秒数十厘米不等。由于粒子定位技术固有的缺陷，如粒子位置丢失，噪声干扰，互相干扰等因素，对高浓度下的粒子追踪所得的轨迹往往是不连续的，并伴随着大量信息丢失，严重限制了粒子追踪技术的进一步应用。

现有的粒子追踪方法主要有最近邻法和位置预测法，附带的优化方法主要有贪婪算法和全局优化法等。最近邻法和位置预测法都不能完全适合粒子的复杂运动行为，而贪婪算法和全局优化法都不是精确的方法，可能导致系统性的轨迹错判。三维情况具有更高的复杂度,使这些方法更难以适应，并且这些方法都没有考虑对各种干扰进行排除，鲁棒性差。目前还不存在高浓度下三维粒子追踪方法，由于粒子的高密度和复杂运动行为，这种限制在三维粒子追踪方面尤其显著。因此,建立一种高浓度下粒子的三维追踪、不连续粒子轨迹的归属判定算法，以及辅助的补全和校正方法是有必要的。

发明内容

本发明的主要目的在于克服现有技术的缺点与不足，提供一种高浓度下多粒子三维追踪方法。

本发明的目的通过以下的技术方案实现：

一种高浓度下多粒子三维追踪方法，包括以下步骤：

S1、制备样品，使用数字全息显微镜获取样品中粒子的全息图像，计算背景图并在粒子全息图像中扣除背景图，得到扣除背景图后的粒子全息图像；

S2、对扣除背景图后的粒子全息图像进行重构，得到重构后的粒子全息图像；

S3、通过光强阈值和寻找局部光强最大，得到粒子三维位置；

S4、使用最邻近算法将粒子位置连接成轨迹；

S5、选取第一轨迹L₁和第二轨迹L₂；

S6、对第一轨迹L₁和第二轨迹L₂进行轨迹归属判断；若判断为同一条轨迹，则补全第一轨迹和第二轨迹之间缺失的粒子位置；若判断为不是同一条轨迹，则不予处理；

S7、设置纠错距离，对第一轨迹L₁和第二轨迹L₂的归属是否正确进行判断。

进一步地，所述全息图像，其记录帧率为20帧每秒至100帧每秒之间；

进一步地，步骤S1中，所述背景图，由计算多帧全息图像的平均光强获得，计算如下：

式中，I_b(x,y)为背景图中(x,y)位置处像素的灰度值，N为全息图的总帧数，t为时间，I_t(x,y)为t时刻原始的全息图中(x,y)位置处像素的灰度值，扣除背景后的全息图中各像素点的光强值I_s(x,y)：

I_s(x,y)＝I_t(x,y)-I_b(x,y)。

进一步地，所述步骤S2，具体过程为：使用Rayleigh-Sommerfeld算法重建全息光场，得到设定范围内所有粒子对应的光强信息，计算公式如下：

U(r,z)＝FT^-1(FT(I_s(r,0)·H(q,-z)))，

其中，h(r,-z)为传播算子，r为粒子的初始横向坐标，z为粒子的初始轴向坐标；i为虚数单位；k为波数；R为光传播距离；I_s为粒子的光强；FT^-1为傅里叶逆变换；FT为傅里叶变换；H(q,-z)为h(r,-z)的傅里叶变换。

进一步地，所述步骤S3，具体过程为：设定光强阈值下限T，通过光强阈值下限T，过滤低于光强阈值的噪声；在于所观察粒子尺度相近的立方体内，逐点寻找光强最大值的三维位置，即寻峰尺度为W，其中光强阈值依照具体使用的粒子和光源而有不用，寻峰尺度与具体使用的粒子大小一致。

进一步地，所述步骤S4，具体过程为：设两个相连帧中各有一个点，两点的空间距离为d_p，位移阈值为d_o，当时，两点属于同一轨迹，连续设点计算，得到一系列轨迹。

进一步地，所述步骤S5，具体过程为：选取第一轨迹L₁为任意选择，即每一条轨迹有且仅有一次机会被选择为第一轨迹；选取第二轨迹L₂，在所有轨迹中筛选满足时间限制和空间限制的轨迹；

设第二轨迹L₂的第一点所在帧为f₂，第一轨迹的最后一点所在帧为f₁，不连续帧数F，F≥1；

则时间限制为1≤f₂-f₁≤F；

设第一轨迹L₁的最后一点与第二轨迹L₂的空间距离为d_L，单帧最大位移为maxd₀，maxd₀≥0，多帧最大位移为maxd₁，maxd₁≥0，

则空间限制为d_L≤maxd₀+(f₂-f₁-1)maxd₁。

进一步地，步骤S6中，所述轨迹归属判断，具体过程为：设有参数为向量帧数n，n应当小于等于任意一条轨迹所包含的帧数，其中n是自定义的，n≥2；

读取第一轨迹L₁的最后n个点的位置和第二轨迹L₂的前n个点的位置；

定义向量的起点是第一轨迹的倒数第n个点的空间位置，终点是第一轨迹L₁的最后一个点的空间位置；

定义向量的起点是第一轨迹L₁的最后一个点的空间位置，终点是第二轨迹L₂的第一个点的空间位置；

定义向量的起点是第二轨迹L₂的第一个点的空间位置，终点是第二轨迹L₂的第n个点的空间位置；

计算向量和的归一化点乘：

计算向量和的归一化点乘：

设有参数为点乘阈值s，当D_AB+D_AC≥s时，认为第一轨迹L₁和第二轨迹L₂属于同一条轨迹，即第二轨迹L₂是第一轨迹L₁的后续；当D_AB+D_AC＜s时,认为第一轨迹L₁和第二轨迹L₂不属于同一条轨迹，即第二轨迹L₂不是第一轨迹L₁的后续；

若第一轨迹L₁与多个轨迹满足归属关系，则其中D_AB+D_AC最大的两条轨迹属于同一条轨迹。

进一步地，步骤S6中，所述补全第一轨迹L₁和第二轨迹L₂之间缺失的粒子位置，具体过程为：设第一轨迹L₁和第二轨迹L₂之间点的位置丢失的帧为缺失区域，使用Rayleigh-Sommerfeld算法，使光强阈值下限T和寻峰尺度W以迭代方式逐步减小，从而计算和寻找丢失的点的位置；

每次计算和寻找两帧中的点的位置，从丢失区域的两端开始计算；设寻峰范围：D_x、D_y、D_z，其中D_x＝D_y，设上一帧的轨迹中的点的位置为(x₃,y₃,z₃)，则在本帧的(x₃±D_x,y₃±D_y,z₃±D_z)范围内使用迭代方法寻找光强局部最大点；

所述迭代方法，设初始光强阈值下限T₀，初始寻峰尺度W₀，光强阈值迭代量ΔT，寻峰尺度迭代量ΔW，寻峰尺度多次迭代量ΔW_n；使寻峰尺度W从初始寻峰尺度W₀多次降低寻峰尺度迭代量ΔW，至寻峰尺度W的降低量不少于寻峰尺度多次迭代量ΔW_n，使光强阈值下限T从初始光强阈值下限T₀降低光强阈值迭代量ΔT一次，然后再进行多次上述寻峰尺度W的降低过程；每次降低后使用降低后的光强阈值和降低后的寻峰尺度寻找一次点的位置，寻找到点的位置，则本帧迭代结束，进行下一帧的迭代和寻找；

设寻峰半径最低值minW，光强阈值最低值minT，当迭代中的降低后的光强阈值小于光强阈值最低值minT或降低后的寻峰尺度小于寻峰半径最低值minW，本帧迭代结束，没有找到轨迹中的点，即第一轨迹L₁和第二轨迹L₂是不相连的。

进一步地，所述对第一轨迹L₁和第二轨迹L₂的归属是否正确进行判断，具体过程为：设纠错距离wrong_d，当丢失区域的每一帧计算和寻找结束，若丢失区域为偶数，则选取居中两帧；若丢失区域为奇数，则选取居中帧和居中帧的后一帧；计算所选取的两帧里找到的点的空间距离，若大于纠错距离，则第二轨迹L₂不是第一轨迹L₁的后续；若小于纠错距离，则第二轨迹L₂是第一轨迹L₁的后续。

本发明与现有技术相比，具有如下优点和有益效果：

本发明使用数字全息显微镜及重建和寻找局部光强最大的方法获取粒子的三维位置，使用最近邻法获取粒子运动轨迹，随后使用基于点乘的轨迹归属判定算法、迭代补全算法和校正算法对轨迹进行归属判定、补全和校正，有效地提升了正确率，增加了轨迹信息量，提升了高密度下三维粒子追踪技术的适用性。

附图说明

图1是本发明所述一种高浓度下多粒子三维追踪方法的方法流程框图；

图2是本发明实施例中大肠杆菌全息图像的示意图；

图3是本发明实施例中大肠杆菌背景图的示意图；

图4是本发明实施例中大肠杆菌扣除背景图的全息图像的示意图；

图5是本发明实施例中大肠杆菌的运动轨迹示意图；

图6是本发明实施例中选取第二轨迹的时间限制示意图；

图7是本发明实施例中选取第二轨迹的空间限制示意图；

图8是本发明实施例中向量向量和向量的示意图；

图9是本发明实施例中计算的帧的顺序示意图；

图10是本发明实施例中迭代方法示意图；

图11是本发明实施例中纠错过程示意图。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。

实施例

一种高浓度下多粒子三维追踪方法，如图1所示，包括以下步骤：

第一步：制备样品，使用数字全息显微镜获取样品中粒子的全息图像，如图2所示，所述数字全息显微镜包括LED光源、物镜系统、sCMOS相机；所述样品为固态、液态、气态或三种物态的悬浮、混合物；所述样品全息图像，其记录帧率为20帧每秒至100帧每秒之间；计算背景图，如图3所示，并在粒子全息图像中扣除背景图，得到扣除背景图后的粒子全息图像如图4所示；

这里的样品选择为大肠杆菌菌液；

所述背景图，由计算多帧全息图像的平均光强获得，计算如下：

式中，I_b(x,y)为背景图中(x,y)位置处像素的灰度值，N为全息图像的总帧数，t为时间，I_t(x,y)为t时刻原始全息图像中(x,y)位置处像素的灰度值，扣除背景后的全息图像中各像素点的光强值I_s(x,y)：

I_s(x,y)＝I_t(x,y)-I_b(x,y)。

第二步：对扣除背景图后的全息图像进行重构，得到重构后的全息图像；具体过程为：使用Rayleigh-Sommerfeld算法重建全息光场，得到设定范围内所有粒子对应的光强信息，计算公式如下：

U(r,z)＝FT^-1(FT(I_s(r,0)·H(q,-z)))，

其中，h(r,-z)为传播算子，r为粒子的初始横向坐标，z为粒子的初始轴向坐标；i为虚数单位；k为波数；R为光传播距离；I_s为粒子的光强；FT^-1为傅里叶逆变换；FT为傅里叶变换；H(q,-z)为h(r,-z)的傅里叶变换。

第三步：通过光强阈值和寻找局部光强最大，得到粒子三维位置；设定光强阈值下限T，通过光强阈值下限T，过滤低于光强阈值的噪声；在于所观察粒子尺度相近的立方体内，逐点寻找光强最大值的三维位置，即寻峰尺度为W，其中光强阈值依照具体使用的粒子和光源而有不用，寻峰尺度与具体使用的粒子大小一致；。

第四步：使用最邻近算法将粒子位置连接成轨迹，即：设两个相连帧中各有一个点，两点的空间距离为d_p，位移阈值为d_o，当时，两点属于同一轨迹，连续设点计算，得到一系列轨迹，如图5所示；

第五步：选取第一轨迹L₁和第二轨迹L₂；具体过程为：选取第一轨迹L₁为任意选择，即每一条轨迹有且仅有一次机会被选择为第一轨迹L₁；选取第二轨迹L₂，在所有轨迹中筛选满足时间限制和空间限制的轨迹；

设第二轨迹L₂的第一点所在帧为f₂，第一轨迹L₁的最后一点所在帧为f₁，不连续帧数F，F≥1；

则时间限制为1≤f₂-f₁≤F，如图6所示；

设第一轨迹L₁的最后一点与第二轨迹L₂的空间距离为d_L，单帧最大位移为maxd₀，maxd₀≥0，多帧最大位移为maxd₁，maxd₁≥0，

则空间限制为d_L≤maxd₀+(f₂-f₁-1)maxd₁，如图7所示。

第六步：对第一轨迹L₁和第二轨迹L₂进行轨迹归属判断；所述轨迹归属判断，具体过程为：设有参数为向量帧数n，n应当小于等于任意一条轨迹所包含的帧数，其中n是自定义的，n≥2；

读取第一轨迹L₁的最后n个点的位置和第二轨迹L₂的前n个点的位置；

定义向量的起点是第一轨迹L₁的倒数第n个点的空间位置，终点是第一轨迹L₁的最后一个点的空间位置；

定义向量的起点是第一轨迹L₁的最后一个点的空间位置，终点是第二轨迹L₂的第一个点的空间位置；

定义向量的起点是第二轨迹L₂的第一个点的空间位置，终点是第二轨迹L₂的第n个点的空间位置；如图8所示；

计算向量和的归一化点乘：

计算向量和的归一化点乘：

设有参数为点乘阈值s，当D_AB+D_AC≥s时，认为第一轨迹和第二轨迹属于同一条轨迹，即第二轨迹L₂是第一轨迹L₁的后续；当D_AB+D_AC＜s时,认为第一轨迹和第二轨迹L₂不属于同一条轨迹，即第二轨迹L₂不是第一轨迹L₁的后续；

若第一轨迹与多个轨迹满足归属关系，则其中D_AB+D_AC最大的两条轨迹属于同一条轨迹。

若判断为同一条轨迹，则补全第一轨迹L₁和第二轨迹L₂之间缺失的粒子位置；具体过程为：设第一轨迹L₁和第二轨迹L₂之间点的位置丢失的帧为缺失区域，使用Rayleigh-Sommerfeld算法，使光强阈值下限T和寻峰尺度W以迭代方式逐步减小，从而计算和寻找丢失的点的位置；

每次计算和寻找两帧中的点的位置，从丢失区域的两端开始计算，如图9所示；比如，丢失区域为第11至第15帧,则第一次计算第11和第15帧,第二次计算第12和第14帧,第三次计算第13帧，逐渐进行到中间；设寻峰范围：D_x、D_y、D_z，其中D_x＝D_y，设上一帧的轨迹中的点的位置为(x₃,y₃,z₃)，则在本帧的(x₃±D_x,y₃±D_y,z₃±D_z)范围内使用迭代方法寻找光强局部最大点；

所述迭代方法，如图10所示，设初始光强阈值下限T₀，初始寻峰尺度W₀，光强阈值迭代量ΔT，寻峰尺度迭代量ΔW，寻峰尺度多次迭代量ΔW_n；使寻峰尺度W从初始寻峰尺度W₀多次降低寻峰尺度迭代量ΔW，至寻峰尺度W的降低量不少于寻峰尺度多次迭代量ΔW_n，使光强阈值下限T从初始光强阈值下限T₀降低光强阈值迭代量ΔT一次，然后再进行多次上述寻峰尺度W的降低过程；每次降低后使用降低后的光强阈值和降低后的寻峰尺度寻找一次点的位置，寻找到点的位置，则本帧迭代结束，进行下一帧的迭代和寻找；

设寻峰半径最低值minW，光强阈值最低值minT，当迭代中的降低后的光强阈值小于光强阈值最低值minT或降低后的寻峰尺度小于寻峰半径最低值minW，本帧迭代结束，没有找到轨迹中的点，即第一轨迹L₁和第二轨迹L₂是不相连的。

第七步：设置纠错距离，对第一轨迹L₁和第二轨迹L₂的归属是否正确进行判断；如图11所示，具体过程为：设纠错距离wrong_d，当丢失区域的每一帧计算和寻找结束，若丢失区域为偶数，则选取居中两帧；若丢失区域为奇数，则选取居中帧和居中帧的后一帧；计算所选取的两帧里找到的点的空间距离d_finish，若空间距离d_finish大于纠错距离wrong_d，则第二轨迹L₂不是第一轨迹L₁的后续；若空间距离d_finish小于纠错距离wrong_d，则第二轨迹L₂是第一轨迹L₁的后续。

上述实施例为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述实施例的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种高浓度下多粒子三维追踪方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、制备样品，使用数字全息显微镜获取样品中粒子的全息图像，计算背景图并在粒子全息图像中扣除背景图，得到扣除背景图后的粒子全息图像；

S2、对扣除背景图后的粒子全息图像进行重构，得到重构后的粒子全息图像；

S3、通过光强阈值和寻找局部光强最大，得到粒子三维位置；

S4、使用最邻近算法将粒子位置连接成轨迹；

S5、选取第一轨迹L₁和第二轨迹L₂；

S6、对第一轨迹L₁和第二轨迹L₂进行轨迹归属判断；若判断为同一条轨迹，则补全第一轨迹和第二轨迹之间缺失的粒子位置；若判断为不是同一条轨迹，则不予处理；

S7、设置纠错距离，对第一轨迹L₁和第二轨迹L₂的归属是否正确进行判断。

2.根据权利要求1所述的一种高浓度下多粒子三维追踪方法，其特征在于，步骤S1中，所述全息图像，其记录帧率为20帧每秒至100帧每秒之间。

3.根据权利要求1所述的一种高浓度下多粒子三维追踪方法，其特征在于，步骤S1中，所述背景图，由计算多帧全息图像的平均光强获得，计算如下：

式中，I_b(x,y)为背景图中(x,y)位置处像素的灰度值，N为全息图像的总帧数，t为时间，I_t(x,y)为t时刻原始的全息图像中(x,y)位置处像素的灰度值，扣除背景后的全息图像中各像素点的光强值I_s(x,y)：

I_s(x,y)＝I_t(x,y)-I_b(x,y)。

4.根据权利要求1所述的一种高浓度下多粒子三维追踪方法，其特征在于，所述步骤S2，具体过程为：使用Rayleigh-Sommerfeld算法重建全息光场，得到设定范围内所有粒子对应的光强信息，计算公式如下：

U(r,z)＝FT^-1(FT(I_s(r,0)·H(q,-z)))，

其中，h(r,-z)为传播算子，r为粒子的初始横向坐标，z为粒子的初始轴向坐标；i为虚数单位；k为波数；R为光传播距离；I_s为粒子的光强；FT^-1为傅里叶逆变换；FT为傅里叶变换；H(q,-z)为h(r,-z)的傅里叶变换。

5.根据权利要求1所述的一种高浓度下多粒子三维追踪方法，其特征在于，所述步骤S3，具体过程为：设定光强阈值下限T，通过光强阈值下限T，过滤低于光强阈值的噪声；在于所观察粒子尺度相近的立方体内，逐点寻找光强最大值的三维位置，即寻峰尺度为W，其中光强阈值依照具体使用的粒子和光源而有不用，寻峰尺度与具体使用的粒子大小一致。

6.根据权利要求5所述的一种高浓度下多粒子三维追踪方法，其特征在于，步骤S6中，所述补全第一轨迹L₁和第二轨迹L₂之间缺失的粒子位置，具体过程为：设第一轨迹L₁和第二轨迹L₂之间点的位置丢失的帧为缺失区域，使用Rayleigh-Sommerfeld算法，使光强阈值下限T和寻峰尺度W以迭代方式逐步减小，从而计算和寻找丢失的点的位置；

每次计算和寻找两帧中的点的位置，从丢失区域的两端开始计算；设寻峰范围：D_x、D_y、D_z，其中D_x＝D_y，设上一帧的轨迹中的点的位置为(x₃,y₃,z₃)，则在本帧的(x₃±D_x,y₃±D_y,z₃±D_z)范围内使用迭代方法寻找光强局部最大点；

所述迭代方法，设初始光强阈值下限T₀，初始寻峰尺度W₀，光强阈值迭代量ΔT，寻峰尺度迭代量ΔW，寻峰尺度多次迭代量ΔW_n；使寻峰尺度W从初始寻峰尺度W₀多次降低寻峰尺度迭代量ΔW，至寻峰尺度W的降低量不少于寻峰尺度多次迭代量ΔW_n，使光强阈值下限T从初始光强阈值下限T₀降低光强阈值迭代量ΔT一次，然后再进行多次上述寻峰尺度W的降低过程；每次降低后使用降低后的光强阈值和降低后的寻峰尺度寻找一次点的位置，寻找到点的位置，则本帧迭代结束，进行下一帧的迭代和寻找；

设寻峰半径最低值minW，光强阈值最低值minT，当迭代中的降低后的光强阈值小于光强阈值最低值minT或降低后的寻峰尺度小于寻峰半径最低值minW，本帧迭代结束，没有找到轨迹中的点，即第一轨迹L₁和第二轨迹L₂是不相连的。

7.根据权利要求6所述的一种高浓度下多粒子三维追踪方法，其特征在于，步骤S6中，所述对第一轨迹L₁和第二轨迹L₂的归属是否正确进行判断，具体过程为：设纠错距离wrong_d，当丢失区域的每一帧计算和寻找结束，若丢失区域为偶数，则选取居中两帧；若丢失区域为奇数，则选取居中帧和居中帧的后一帧；计算所选取的两帧里找到的点的空间距离，若大于纠错距离，则第二轨迹L₂不是第一轨迹L₁的后续；若小于纠错距离，则第二轨迹L₂是第一轨迹L₁的后续。

8.根据权利要求1所述的一种高浓度下多粒子三维追踪方法，其特征在于，所述步骤S4，具体过程为：设两个相连帧中各有一个点，两点的空间距离为d_p，位移阈值为d_o，当时，两点属于同一轨迹，连续设点计算，得到一系列轨迹。

9.根据权利要求1所述的一种高浓度下多粒子三维追踪方法，其特征在于，所述步骤S5，具体过程为：选取第一轨迹L₁为任意选择，即每一条轨迹有且仅有一次机会被选择为第一轨迹L₁；选取第二轨迹L₂，在所有轨迹中筛选满足时间限制和空间限制的轨迹；

设第二轨迹L₂的第一点所在帧为f₂，第一轨迹L₁的最后一点所在帧为f₁，不连续帧数F，F≥1；

则时间限制为1≤f₂-f₁≤F；

设第一轨迹L₁的最后一点与第二轨迹L₂的空间距离为d_L，单帧最大位移为maxd₀，maxd₀≥0，多帧最大位移为maxd₁，maxd₁≥0，

则空间限制为d_L≤maxd₀+(f₂-f₁-1)maxd₁。

10.根据权利要求1所述的一种高浓度下多粒子三维追踪方法，其特征在于，步骤S6中，所述轨迹归属判断，具体过程为：设有参数为向量帧数n，n应当小于等于任意一条轨迹所包含的帧数，其中n是自定义的，n≥2；

读取第一轨迹L₁的最后n个点的位置和第二轨迹L₂的前n个点的位置；

定义向量的起点是第一轨迹L₁的倒数第n个点的空间位置，终点是第一轨迹L₁的最后一个点的空间位置；

定义向量的起点是第一轨迹L₁的最后一个点的空间位置，终点是第二轨迹L₂的第一个点的空间位置；

定义向量的起点是第二轨迹L₂的第一个点的空间位置，终点是第二轨迹L₂的第n个点的空间位置；

计算向量和的归一化点乘：

计算向量和的归一化点乘：

设点乘阈值s，当D_AB+D_AC≥s时，认为第一轨迹L₁和第二轨迹L₂属于同一条轨迹，即第二轨迹L₂是第一轨迹L₁的后续；当D_AB+D_AC＜s时,认为第一轨迹L₁和第二轨迹L₂不属于同一条轨迹，即第二轨迹L₂不是第一轨迹L₁的后续；

若第一轨迹L₁与多个轨迹满足归属关系，则其中D_AB+D_AC最大的两条轨迹属于同一条轨迹。