CN109300547B - 一种心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型状态变迁的研究方法 - Google Patents

一种心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型状态变迁的研究方法 Download PDF

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Abstract

一种心脏Hodgkin‑Huxley浦肯野纤维模型状态变迁的研究方法，通过在心脏Hodgkin‑Huxley浦肯野纤维模型添加外部电流Iext，研究模型的雅克比矩阵方程的平衡点、特征值，从而判断其属于局部活动、边缘混沌、局部被动的区域分类，相应的区域分别出现心脏跳动的正常、危险、振荡、甚至停止现象。本发明分析Hodgkin‑Huxley动力学模型以及它们与外部刺激和平衡电位之间状态相互转换迁移的机理，可为人体心脏康复和健康维持提供一定的可借鉴参考方法，对探索神经活动规律和人体健康具有一定意义。

Description

一种心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型状态变迁的研究 方法
技术领域
本发明属于细胞神经网络领域，涉及心脏浦肯野纤维非线性活动特性的研究。
背景技术
人类时时刻刻都在感知、在思考与运动。譬如我们的心脏搏动，肌肉驱动我们行走，眼睛在观察，耳朵在聆听，大脑在思考，那么到底是什么样的机制在驱动我们的生命运转呢？但又是什么可能会让生命突然停止活动？
浦肯野(J.E.Purkinje)是在羊的心脏发现的，也称为束细胞，是一种特殊的心肌纤维，属心脏传导系统的组成成分，组成房室束及其分支，分布于心室的心内膜下层。浦肯野纤维窦房结细胞与浦肯野细胞组成了心内特殊传导系统，可自动产生节律性兴奋，又称自律细胞，它与窦房结相互交替作用，控制心房心室的收缩。浦肯野纤维是快反应细胞，它在自动去极化的过程中，是通过钠离子增加和钾离子的衰减，对不同于窦房结细胞的实现去极化。
心脏性猝死(Sudden Cardiac Death，SCD)是目前直接威胁人类生命的"头号杀手"，心室颤动(Ventricular Fibrillation，VF)是其最主要的原因，同时也是SCD急救中最常见的心电图表现。然而VF起始和维持的电生理机制至今仍未完全明确。Purkinje(浦肯野)纤维是心脏传导系统中极其重要且特殊的组成部分，早在20世纪70年代的研究已经发现，浦肯野纤维在室性心律失常的发生及维持中起着关键作用。随着近年来各类电生理标测技术以及导管消融技术的发展，浦肯野纤维在VF发生和维持中的作用机制日益获得重视。
国际卫生组织认定60～100次/分钟为正常心跳频率，心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型(简称HH模型)的平衡电压会随着不同平衡电位参数值变化而变化，并且显示出不同心脏波形状态，以及心脏所处的正常、危险、停止等形态。对于心脏具有先天或突发性疾病所处的平衡电位时，可以通过外加微弱电流或其它波形信号进行的刺激来激活心跳或改善心脏活动状态。
发明内容
本发明的目的提出一种心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型状态变迁的研究方法，分析在外部电流激励作用下，系统震荡波形变化，以及局部活动和边缘混沌等现象迁移的规律。
本发明通过以下技术方案实现的。
本发明所述的一种心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型状态变迁的研究方法，包括以下步骤：
(S1)以心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型的电流分布模型为研究对象，分析各变量的物理意义与动力学表述：
Figure BDA0001835538200000021
其中Cm＝12μF/cm2，a＝40mV为钠离子平衡电位，b＝-100mV为钾离子平衡电位，V为跨膜电压，Im为跨膜电流。m为分别为钠离子激活变量，h为钠离子抑制变量，n为钾离子激活变量；
(S2)在复平面上平衡点Q处对动力学系统的局部活动、边缘混沌和局部被动三个区域进行划分准则描述；
(S3)依照(S2)划分准则，对非线性心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型在平衡点处局部活动、边缘混沌和局部被动三个区域进行划分；
(S4)在(S3)三个区域中观察心脏所处的波形及计算心跳频率，并验证平衡点在不同区域时正常、危险、停止等跳动现象；
(S5)在心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型添加外界刺激电流Iext，当钠离子电位a及钾离子电位b处于平衡电位时，研究不同外部电流Iext对心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型局部活动、边缘混沌、局部被动三个区域相互漂移影响，以及对应的心脏非线性活动变化。
本发明的具体推理设计步骤如下：
在心肌神经细胞中，浦肯野细胞膜充满电荷的金属离子浓度很大，大多数是钠离子(Na+)，钾离子(K+)和少量的氯离子(CL-)，细胞膜分离的液体含有不同浓度，这样产生电位差形成内部和外部的细胞间运动。
步骤1、心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型的电流分布模型：
心脏浦肯野纤维薄膜总电流(Im)是由离子电流和流入薄膜容量的电流之和得出的。根据欧姆定律、法拉第定律和基尔霍夫定律，Hodgkin-Huxley模型方程如下：
Figure BDA0001835538200000022
其中Im为跨膜电流，V为跨膜电压，Cm＝12μF/cm2，a＝40mV为钠离子平衡电位，b＝-100mV为钾离子平衡电位，且m、h、n分别为钠离子激活变量、钠离子抑制变量和钾离子激活变量。变量m、h、n均由一阶偏微分动力学方程组成：
Figure BDA0001835538200000023
所有数学表达式αm(V)、βm(V)、αh(V)、βh(V)、αn(V)、βn(V)都是跨膜电压V的非负函数，定义为：
Figure BDA0001835538200000031
步骤2、复平面在平衡点Q处的边缘混沌、局部被动、局部活动数学定义与判断准则。
先引入一个复数s＝x+iy，即复数s的实部Re[s]＝x，虚部Im[s]＝y，假设该复数在平衡点Q处对应的有理复函数为YQ(s)，YQ(s)用多项式可以表示为：
Figure BDA0001835538200000032
其中zi(i＝1,2,…,α)为α个零点，pi(i＝1,2,…,β)为β个极点。对于具有一个变量状态s的细胞单元，在平衡点Q的有理复函数YQ(s)，满足以下不同条件，即可以判断不同的存在状态：
第一种状态：局部活动；对于具有一个变量状态s的细胞单元，在平衡点Q的有理函数YQ(s)，满足下列四个条件中的至少一项：
(1)所有YQ(s)至少存在一个极点pi(i＝1,2,…,β)，其实部在Re[s]＞0右半平面；
(2)YQ(s)在虚轴上有一个重根极点；
(3)YQ(s)在虚轴上存在一个极点s＝iωP，当取s→iωP时，定义
Figure BDA0001835538200000033
则KQ(iωP)是一个负实数，或是一个复数；
(4)对于角频率ω∈(-∞,∞)，均有实部Re[YQ(iω)]＜0成立；
则这个状态称为在平衡点Q是局部活动的。
第二种状态：边缘混沌；在非耦合的反应扩散系统中，如果系统是满足局部活动条件，并且是渐近稳定的，则这个状态称为在一个或更多平衡点Q下是边缘混沌的；
第三种状态：局部被动；对于具有一个变量状态s的细胞单元，在平衡点Q的有理函数YQ(s)，须同时满足下列四个条件：
(1)在所有YQ(s)不存在任何一个极点pi(i＝1,2,…,β)的实部在Re[s]＞0右半平面，即全部实部均在s平面的左部；
(2)YQ(s)在虚轴上没有重根极点；
(3)YQ(s)在虚轴上存在一个极点s＝iωP，当取s→iωP时，定义
Figure BDA0001835538200000041
则KQ(iωP)一定是一个正实数；
(4)对于所有角频率ω∈(-∞,∞)，均有实部Re[YQ(iω)]≥0成立，此时s＝iω不是极点；
则这个状态称为在平衡点Q是局部被动的。
步骤3、心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型三个区域的划分。
依照步骤2的区域判别准则，对心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型的状态划分为局部活动、边缘混沌和局部被动三个区域(参见图1)。
对公式(1)中的心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型，则平衡电压V会随着不同平衡电位(a,b)参数值变化而变化，细胞膜达到平衡点Q时，即电流Im＝0。
设此时膜两侧的电位V＝Vm，为了明确Im与V的关系，则有：
Figure BDA0001835538200000042
Figure BDA0001835538200000043
Figure BDA0001835538200000044
Figure BDA0001835538200000045
令：
Figure BDA0001835538200000051
通过解四阶动力学方程(5)-(9)式可以得到其平衡点Q，对其做雅克比矩阵HJacobi如公式(10)所示，可以得到矩阵在相应平衡点下的特征值λi(i＝1,2,3,4)。
Figure BDA0001835538200000052
对心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型，细胞单元公式(4)变为有理阻抗函数YQ(s；Vm)(11)：
Figure BDA0001835538200000053
且有理阻抗函数(11)YQ(s；Vm)的四个极点解pi(i＝1,2,3,4)与雅克比矩阵(10)的四个特征值λi(i＝1,2,3,4)相等，相应的参数a0,a1,a2,a3与b0,b1,b2,b3,b4可以从雅克比矩阵(10)和局部活动理论推导获得。
步骤4、不同平衡电位(a,b)参数下心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型波形。
在步骤3所划分的三个区域中，对心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型选择不同平衡电位(a,b)参数值，观察心脏所处的波形，并分别计算有周期运动时的心跳频率，验证心脏在对应区域正常、危险、停止等跳动现象。
步骤5、外界刺激电流Iext作用下心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型状态漂移。
在心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型添加外界刺激电流Iext(正负值)，即对公式(1)中的心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型外加一个常量Iext，则平衡电压V会随着不同的电流Iext的变化而变化，细胞膜达到平衡点Q时，即电流Im+Iext＝0。
设此时膜两侧的电位V＝Vm，为了明确Im与V的关系，则有：
Figure BDA0001835538200000061
当钠离子电位a及钾离子电位b处于平衡电位时，按照步骤3中类似的通过解四阶动力学方程(5)-(9)式可以得到其平衡点Q，公式(10)雅克比矩阵HJacobi求解得到相应平衡点下的特征值λi(i＝1,2,3,4)，研究不同外部电流Iext对心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型局部活动、边缘混沌、局部被动三个区域相互漂移作用，即局部活动与边缘混沌的相互演变漂移，局部被动与边缘混沌的相互演变漂移，正常心跳频率与不正常心跳频率的相互演变漂移，以及对应的心脏活动波形变化。
心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型中，当外加电流参数值Iext选择或平衡电位(a,b)参数不同时，系统会表现出明显不同的非线性动力学特征，极大地影响心脏活动状态，其对应的反应就是心脏跳动的快、慢、强、弱，甚至停止。本发明分析Hodgkin-Huxley动力学模型处在局部被动、局部活动、边缘混沌时的条件，以及它们之间相互转换的机理，对探索神经活动规律和人体健康具有一定参考意义，可为人体心脏康复和健康维持提供一定的可借鉴参考方法。
附图说明
图1为a∈[35,60],b∈[84,109]时，心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型局部被动、边缘混沌和局部活动三个区域划分。
图2为图1中分别选取的几个不同位置参数点。其中①点(a,b)＝(40,100)，②点(a,b)＝(45,102)，③点(a,b)＝(40,100.85)，④点(a,b)＝(42,97)。
图3为图2中①点(a,b)＝(40,100)，心脏HH模型中(V,m,h,n)在5秒时间内的波形变化，可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000062
心脏正常跳动，①点属于局部活动区域。
图4为图2中②点(a,b)＝(45,102)，心脏HH模型中(V,m,h,n)在5秒时间内的波形变化，波形曲线为一条直线，心脏停止跳动，②点属于局部被动区域，但非常接近边缘混沌区域。
图5为图2中③点(a,b)＝(40,100.85)，心脏HH模型中(V,m,h,n)在5秒时间内的波形变化，波形曲线为一条直线，心脏停止跳动，③点属于边缘混沌区域，但非常接近局部活动区域和局部被动区域。
图6为图2中④点(a,b)＝(42,97)，心脏HH模型中(V,m,h,n)在5秒时间内的波形变化，可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000071
心脏跳动超过人体正常心跳频率，④点属于局部活动区域。
图7为图2中①点(a,b)＝(40,100)，在外界电流刺激Iext＝-2.1μA时，心脏HH模型中(V,m,h,n)在5秒时间内的波形变化，可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000072
心脏跳动过快，①点仍属于局部活动区域。
图8为图2中①点(a,b)＝(40,100)，在外界电流刺激Iext＝0.75μA时，心脏HH模型中(V,m,h,n)在5秒时间内的波形变化，可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000073
心脏跳动过慢，①点仍属于局部活动区域。
图9为图2中①点(a,b)＝(40,100)，在外界电流刺激Iext＝0.85μA时，心脏HH模型中(V,m,h,n)在5秒时间内的波形变化，波形曲线为一条直线，心脏停止跳动，①点此时满足边缘混沌所有条件，判断为漂移到边缘混沌区域。
图10为图2中①点(a,b)＝(40,100)，在外界电流刺激Iext＝1μA时，心脏HH模型中(V,m,h,n)在5秒时间内的波形变化，波形曲线为一条直线，心脏停止跳动，①点此时满足局部被动所有条件，判断为漂移到局部被动区域。
图11为图2中②点(a,b)＝(45,102)，在外界电流刺激Iext＝-1μA时，心脏HH模型中(V,m,h,n)在5秒时间内的波形变化，可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000074
心脏跳动正常，②点此时判断为漂移到局部活动区域。
图12为图2中③点(a,b)＝(40,100.85)，在外界电流刺激Iext＝-1μA时，心脏HH模型中(V,m,h,n)在5秒时间内的波形变化，可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000075
心脏跳动正常，③点此时判断为漂移到局部活动区域。
图13为图2中③点(a,b)＝(40,100.85)，在外界电流刺激Iext＝0.2μA时，心脏HH模型中(V,m,h,n)在5秒时间内的波形变化，波形曲线为一条直线，心脏停止跳动，③点此时满足局部被动所有条件，判断为漂移到局部被动区域。
图14为图2中④点(a,b)＝(42,97)，在外界电流刺激Iext＝2.8μA时，心脏HH模型中(V,m,h,n)在5秒时间内的波形变化，可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000081
心脏跳动正常，④点此时判断为漂移到局部活动区域。
具体实施方式
本发明将通过以下实施例作进一步说明。
实施例1：心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型的状态分布。
取a∈[35,60],b∈[84,109]，根据本发明步骤3，判断参数(a,b)为坐标下的边缘混沌、局部活动、局部被动状态分布(如图1所示)，同时表1中列出了在参数(a,b)取为具体的值时所对应的平衡点、特征值及所处的三个状态(■表示局部被动状态，
Figure BDA0001835538200000084
表示边缘混沌状态，
Figure BDA0001835538200000085
表示局部活动状态)，每一个取值均对应图2中的①②③④这四个点。
表1参数(a,b)在不同取值时所对应的平衡点、特征值及所处的状态
■：局部被动
Figure BDA0001835538200000086
边缘混沌
Figure BDA0001835538200000087
局部活动
Figure BDA0001835538200000082
实施例2：心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型的波形曲线及心脏活动状态。
(1)选择图2中①点(a,b)＝(40,100)，即表1中的编号①，画出心脏HH模型中(V,m,h,n)波形变化曲线(如图3)，从图中可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000083
心脏正常跳动；同时①点在本发明的步骤3中满足局部活动条件(1)：在所有YQ(s)至少存在一个极点pi(i＝1,2,…,β)，其实部在Re[s]＞0右半平面(即特征值λi,i＝1,2,3,4至少有一个大于0)，因此①点属于局部活动区域。
(2)选择图2中②点(a,b)＝(45,102)，即表1中的编号②，画出心脏HH模型中(V,m,h,n)波形变化曲线(如图4)，波形曲线为一条直线，心脏停止跳动；同时②点在本发明的步骤3中满足局部被动中的所有条件，因此②点属于局部被动区域，但非常接近边缘混沌区域。
(3)选择图2中③点(a,b)＝(40,100.85)，即表1中的编号③，画出心脏HH模型中(V,m,h,n)波形变化曲线(如图5)，波形曲线为一条直线，心脏停止跳动；同时③点在本发明的步骤3中满足边缘混沌中的所有条件，因此③点属于边缘混沌区域，但非常接近局部活动区域和局部被动区域。
(4)选择图2中④点(a,b)＝(42,97)，即表1中的编号④，画出心脏HH模型中(V,m,h,n)波形变化曲线(如图6)，从图中可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000091
心脏跳动过快；同时④点在本发明的步骤3中满足局部活动条件(1)：在所有YQ(s)至少存在一个极点pi(i＝1,2,…,β)，其实部在Re[s]＞0右半平面(即特征值λi,i＝1,2,3,4至少有一个大于0)，因此④点属于局部活动区域。
实施例3：心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型在外加电流作用下状态漂移。
针对表1所列出的①②③④这四个点，增加外加电流刺激Iext(正负值均可)进行状态分析。表2为心脏HH模型状态的漂移改变情况比较。
表2外加电流刺激Iext对心脏HH模型状态的漂移改变(平衡点、特征值及所处的状态)
■：局部被动
Figure BDA0001835538200000093
边缘混沌
Figure BDA0001835538200000094
局部活动
Figure BDA0001835538200000092
Figure BDA0001835538200000101
(1)选择图2中①点(a,b)＝(40,100)，即表1和表2中的编号①，在外界电流刺激Iext＝-2.1μA时，画出心脏HH模型中(V,m,h,n)波形变化曲线(如图7)，可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000102
心脏跳动过快；同时表2中①点在本发明的步骤3中满足局部活动条件(1)：在所有YQ(s)至少存在一个极点pi(i＝1,2,…,β)，其实部在Re[s]＞0右半平面(即特征值λi,i＝1,2,3,4至少有一个大于0)，因此①点仍然属于局部活动区域，但从实施例2(1)中的心脏跳动正常
Figure BDA0001835538200000103
状态漂移到心脏跳动过快状态。
(2)选择图2中①点(a,b)＝(40,100)，即表1和表2中的编号①，在外界电流刺激Iext＝0.75μA时，画出心脏HH模型中(V,m,h,n)波形变化曲线(如图8)，从图中可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000104
心脏跳动过缓；同时①点在本发明的步骤3中满足局部活动条件(1)：在所有YQ(s)至少存在一个极点pi(i＝1,2,…,β)，其实部在Re[s]＞0右半平面(即特征值λi,i＝1,2,3,4至少有一个大于0)，因此①点仍然属于局部活动区域，但从实施例2(1)中的心脏跳动正常
Figure BDA0001835538200000105
状态漂移到心脏跳动过慢状态。
(3)选择图2中①点(a,b)＝(40,100)，即表1和表2中的编号①，在外界电流刺激Iext＝0.85μA时，画出心脏HH模型中(V,m,h,n)波形变化曲线(如图9)，波形曲线为一条直线，心脏停止跳动；同时①点本发明的步骤3中满足边缘混沌中的所有条件，因此①点属于边缘混沌区域，已从实施例2(1)中的心脏跳动正常
Figure BDA0001835538200000111
Figure BDA0001835538200000112
状态(局部活动区域)漂移到边缘混沌区域。
(4)选择图2中①点(a,b)＝(40,100)，即表1和表2中的编号①，在外界电流刺激Iext＝1μA时，画出心脏HH模型中(V,m,h,n)波形变化曲线(如图10)，波形曲线为一条直线，心脏停止跳动；同时①点本发明的步骤3中满足局部被动中的所有条件，因此①点属于局部被动区域，已从实施例2(1)中的心脏跳动正常
Figure BDA0001835538200000113
Figure BDA0001835538200000114
状态(局部活动区域)漂移到局部被动区域。
(5)选择图2中②点(a,b)＝(45,102)，即表1和表2中的编号②，在外界电流刺激Iext＝-1μA时，画出心脏HH模型中(V,m,h,n)波形变化曲线(如图11)，可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000115
心脏跳动正常；同时表2中②点在本发明的步骤3中满足局部活动条件(1)：在所有YQ(s)至少存在一个极点pi(i＝1,2,…,β)，其实部在Re[s]＞0右半平面(即特征值λi,i＝1,2,3,4至少有一个大于0)，因此②点属于局部活动区域，已从原来实施例2(2)中的局部被动区域漂移到局部活动区域。
(6)选择图2中③点(a,b)＝(40,100.85)，即表1和表2中的编号③，在外界电流刺激Iext＝-1μA时，画出心脏HH模型中(V,m,h,n)波形变化曲线(如图12)，可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000116
心脏跳动正常；同时表2中③点在本发明的步骤3中满足局部活动条件(1)：在所有YQ(s)至少存在一个极点pi(i＝1,2,…,β)，其实部在Re[s]＞0右半平面(即特征值λi,i＝1,2,3,4至少有一个大于0)，因此③点属于局部活动区域，已从原来实施例2(3)中的边缘活动区域漂移到局部活动区域。
(7)选择图2中③点(a,b)＝(40,100.85)，即表1和表2中的编号③，在外界电流刺激Iext＝0.2μA时，画出心脏HH模型中(V,m,h,n)波形变化曲线(如图13)，波形曲线为一条直线，心脏停止跳动；同时③点本发明的步骤3中满足局部被动中的所有条件，因此③点属于局部被动区域，已从原来实施例2(3)中的边缘混沌区域漂移到局部被动区域。
(8)选择图2中④点(a,b)＝(42,97)，即表1和表2中的编号④，在外界电流刺激Iext＝2.8μA时，画出心脏HH模型中(V,m,h,n)波形变化曲线(如图14)，可测出心跳频率为
Figure BDA0001835538200000121
心脏跳动正常；同时表2中④点在本发明的步骤3中满足局部活动条件(1)：在所有YQ(s)至少存在一个极点pi(i＝1,2,…,β)，其实部在Re[s]＞0右半平面(即特征值λi,i＝1,2,3,4至少有一个大于0)，因此④点仍然属于局部活动区域，从实施例2(4)中的心脏跳动过快
Figure BDA0001835538200000122
状态漂移到心脏跳动正常状态。
本发明仿真结果表明，虽然只是简单地添加外部电流Iext(正负代表电流的不同方向)，但却能使心脏活动状态漂移到新的活动区域，波形出现不同的形态，标志着心脏此时处于正常(国际卫生组织认定60～100次/分钟为正常心跳频率)、停止或危险(过快或过慢)的状态。特别是心脏有可能处于局部被动或边缘混沌区域，此时借助外部电流Iext将能把心脏状态迁移到局部活动区域，使心脏跳动波形恢复到正常活动范围，以达到改变心脏活动状态的目的。当然外界不正常的微小刺激也可能使正常的心跳变得过快或过慢或停止，这些都是要绝对禁止的。本发明也可为人体心脏康复和健康维持提供一定的可借鉴参考。

Claims (1)

1.一种心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型状态变迁的研究方法，其特征是包括以下步骤：
(S1)以心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型的电流分布模型为研究对象，分析各变量的物理意义与非线性动力学表述：
Figure FDA0003067791630000011
其中Cm＝12μF/cm2，a＝40mV为钠离子平衡电位，b＝-100mV为钾离子平衡电位，V为跨膜电压，Im为跨膜电流，m为分别为钠离子激活变量、h为钠离子抑制变量，n为钾离子激活变量；
(S2)在复平面上平衡点Q处对动力学系统的局部活动、边缘混沌和局部被动三个区域进行划分准则描述；
(S3)依照(S2)划分准则，对非线性心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型在平衡点处局部活动、边缘混沌和局部被动三个区域进行划分；
(S4)在(S3)三个区域中观察心脏所处的波形及计算心跳频率，并验证平衡点在不同区域时正常、危险、停止跳动现象；
(S5)在心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型添加外界刺激电流Iext，当钠离子电位a及钾离子电位b处于平衡电位时，研究不同外部电流Iext对心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型局部活动、边缘混沌、局部被动三个区域相互漂移影响，以及对应的心脏非线性活动变化；
步骤(S2)所述的复平面在平衡点Q处的局部活动、边缘混沌、局部被动、数学定义与判断准则，按以下步骤：
先引入一个复数s＝x+iy，即复数s的实部Re[s]＝x，虚部Im[s]＝y，假设该复数在平衡点Q处对应的有理复函数为YQ(s)，YQ(s)用多项式可以表示为：
Figure FDA0003067791630000012
其中zi,i＝1,2,…,α为α个零点，pj,j＝1,2,…,β为β个极点；对于具有一个变量状态s的细胞单元，在平衡点Q的有理复函数YQ(s)，满足以下不同条件，即可以判断不同的存在状态：
第一种状态：局部活动；对于具有一个变量状态s的细胞单元，在平衡点Q的有理函数YQ(s)，满足下列四个条件中的至少一项：
(1)所有YQ(s)至少存在一个极点pj,j＝1,2,…,β，其实部在Re[s]＞0右半平面；
(2)YQ(s)在虚轴上有一个重根极点；
(3)YQ(s)在虚轴上存在一个极点s＝iωP，当取s→iωP时，定义
Figure FDA0003067791630000021
则KQ(iωP)是一个负实数，或是一个复数；
(4)对于角频率ω∈(-∞,∞)，均有实部Re[YQ(iω)]＜0成立；
则这个状态称为在平衡点Q是局部活动的；
第二种状态：边缘混沌；在非耦合的反应扩散系统中，如果系统是满足局部活动条件，并且是渐近稳定的，则这个状态称为在一个或更多平衡点Q下是边缘混沌的；
第三种状态：局部被动；对于具有一个变量状态s的细胞单元，在平衡点Q的有理函数YQ(s)，须同时满足下列四个条件：
(1)在所有YQ(s)不存在任何一个极点pj,j＝1,2,…,β的实部在Re[s]＞0右半平面，即全部实部均在s平面的左部；
(2)YQ(s)在虚轴上没有重根极点；
(3)YQ(s)在虚轴上存在一个极点s＝iωP，当取s→iωP时，定义
Figure FDA0003067791630000022
则KQ(iωP)一定是一个正实数；
(4)对于所有角频率ω∈(-∞,∞)，均有实部Re[YQ(iω)]≥0成立，此时s＝iω不是极点；
则这个状态称为在平衡点Q是局部被动的；
步骤(S3)所述的心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型三个区域的划分：
依照步骤(S2)的区域判别准则，对心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型的状态划分为局部活动、边缘混沌和局部被动三个区域；
对心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型，平衡电压V会随着不同平衡电位(a,b)参数值变化而变化，细胞膜达到平衡点Q时，即电流Im＝0；
设此时膜两侧的电位V＝Vm，为了明确Im与V的关系，则有：
Figure FDA0003067791630000031
Figure FDA0003067791630000032
Figure FDA0003067791630000033
Figure FDA0003067791630000034
令：
Figure FDA0003067791630000035
通过解四阶非线性动力学方程(3)-(7)式可以得到其平衡点Q，对其做雅克比矩阵HJacobi如公式(8)所示，可以得到矩阵在相应平衡点下的特征值λk,k＝1,2,3,4；
Figure FDA0003067791630000036
对心脏Hodgkin-Huxley浦肯野纤维模型，细胞单元公式(2)变为有理阻抗函数YQ(s；Vm)公式(9)：
Figure FDA0003067791630000041
且有理阻抗函数(9)YQ(s；Vm)的四个极点解pk,k＝1,2,3,4与雅克比矩阵(8)的四个特征值λk,k＝1,2,3,4相等，相应的参数a0,a1,a2,a3与b0,b1,b2,b3,b4可以从雅克比矩阵(8)和局部活动理论推导获得。
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* Cited by examiner, † Cited by third party
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US20100210893A1 (en) * 2003-12-05 2010-08-19 Pilla Arthur A Apparatus and method for electromagnetic treatment of plant, animal, and human tissue, organs, cells, and molecules
CN105631223A (zh) * 2016-01-07 2016-06-01 天津大学 基于cpg的心肺节律同步控制实验平台
CN108596333A (zh) * 2018-03-15 2018-09-28 江西理工大学 一种基于Hodgkin-Huxley模型的心脏浦肯野纤维忆阻微扰电路设计方法

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