CN109255172A - 基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法 - Google Patents

基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法 Download PDF

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Abstract

本发明提供的一种基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，包括步骤S1:建立多阶段系统的故障树和贝叶斯网络；S2:获得多阶段系统的各个阶段的最小路集，并对最小路集进行排序；S3:对最小路集进行不交化处理，得到不交化后的路集；S4:得到化简后的路集；对化简后的路集进行排序，得到多阶段系统的路集组合；S5:计算元件在多阶段系统的路集组合的任意阶段的累积失效分布、各阶段可靠条件下的寿命概率分布和任意阶段的可靠度；本发明避免了传统贝叶斯网络方法因阶段状态离散过多造成的条件概率表规模大、存储空间需求大、运算量大的问题以及PMS‑BDD方法对变量排序有严格要求的限制与难以求解含有多种分布类型元件的系统可靠性问题。

Description

基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法
技术领域
本发明涉及多阶段系统可靠性建模领域，具体涉及一种基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法。
背景技术
多阶段系统(Phased-Mission Systems，PMS)广泛存在于航空航天、汽车等大型复杂设备中。大型复杂设备功能的完成往往由一系列阶段任务组成，如地球同步轨道卫星在转移轨道阶段需经历多次变轨阶段，如太阳捕获阶段、地球捕获阶段、地球指示阶段等。PMS各阶段之间属于串联关系，任意阶段任务失败整个系统任务将失败。PMS各阶段任务不同，因此各阶段系统构成、元件配置、任务持续时间也不尽相同，加之阶段内以及阶段间通常存在元件共用即同一个元件可能在阶段内多个位置使用或者在多个阶段被使用，这使得PMS各阶段不是彼此独立存在即存在相关性。PMS各个阶段处于的物理环境通常不同，因此各阶段元件受到的应力水平也不尽相同，即同一元件在各阶段的失效率可能不同，如何求解共用元件在各阶段的可靠度以及如何对PMS进行可靠性建模与求解一直是PMS可靠性领域的研究热点之一。
现有PMS可靠性分析方法可分为三类：静态模型法、动态模型法以及蒙特卡洛仿真方法。静态模型法主要有可靠性框图方法、故障树方法、贝叶斯网络方法(BayesianNetworks,BN)、二元决策图法、多元决策图法等。静态模型方法假设元件失效具有独立性，但实际系统在阶段内以及阶段间可能存在元件共用，这使得静态分析法受到很大限制。结合阶段代数与二元决策图(Binary Decision Diagram，BDD)的PMS-BDD方法很好的解决了阶段间的相关性以及元件共用问题，但BDD对变量排序有严格要求，不同的变量排序产生的节点规模相差极大，以及PMS-BDD方法难以求取含有多种失效分布类型元件的系统可靠度；贝叶斯网络方法利用节点间的条件概率关系能很好地表示元件在阶段内以及阶段间的共用性，并有成熟BN推理算法可以利用。还有人提出将系统任务时间离散后利用离散BN对PMS进行了建模的方法，但随着元件数量以及离散状态数量增加，BN节点的条件概率表规模将成指数增大，且该方法的解只是系统可靠度的近似解。静态方法目前主要集中在共因失效、多模式失效、阶段组合需求等问题的研究。
动态模型法利用元件阶段状态概率从一个阶段映射到后一个阶段来对系统的状态进行分析，通过状态的转移描述系统的变化过程，最后得到任务的可靠概率。基于动态模型分析方法包括Markov模型、Petri网模型(Petri net,PN)。动态方法能考虑阶段内以及阶段间的元件共用性，但随着元件数量增加系统状态规模将呈指数增长即存在组合爆炸问题。
基于大数定理的蒙特卡洛方法为PMS可靠性分析提供了灵活的建模仿真手段，从原理上来说该方法几乎没有限制，缺点是为了获得一定精度必须多次重复仿真，耗时过长。
除去上述方法在PMS可靠性求解中的缺点，绝大多数文献都假设系统元件失效服从指数分布，即不考虑元件的历史损伤作用，这与实际不符。
因此，需要提出一种能解决上述问题的多阶段系统可靠性分析建模方法。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的是提供一种基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，避免了传统贝叶斯网络方法因阶段状态离散过多造成的条件概率表规模大、存储空间需求大、运算量大的问题以及PMS-BDD方法对变量排序有严格要求的限制与难以求解含有多种分布类型元件的系统可靠性问题。
本发明提供一种基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，包括步骤
S1:建立多阶段系统的故障树和贝叶斯网络；
S2:获得多阶段系统的各个阶段的最小路集，并对最小路集进行排序；
S3:对最小路集进行不交化处理，得到不交化后的路集；
S4:去掉阶段内同时含有共用元件显性与隐性节点的不交化后的路集，得到化简后的路集；
对化简后的路集进行排序，得到多阶段系统的路集组合；
S5:建立元件累积损伤模型，计算元件在多阶段系统的路集组合的任意阶段的累积失效分布、各阶段可靠条件下的寿命概率分布和任意阶段的可靠度。
进一步，所述步骤S1包括步骤
S11:建立多阶段系统的故障树；
S12:按照映射规则，将各阶段故障树分别映射成相应的贝叶斯网络，使阶段内以及阶段间的共用元件用有向边连接；
S13:按照映射规则，在贝叶斯网络中建立用于表示整个多阶段系统可靠度的虚拟数值节点。
进一步，所述步骤S1中的映射规则包括
R11:增加的虚拟节点置于最后一层，各阶段根节点置于倒数第二层，从故障树顶层到底层顺序映射；
R12:每个中间节点只有一个父节点，两个子节点,遇到底层有两个以上子节点时需增加中间节点；
R13:节点编号应从BN第一层开始，同一层从左到右依次增大，下层节点数值大于上层节点数值，节点编号不重复；
R14:故障树与门映射成或门，或门映射成与门，并用文字标注。
进一步，所述步骤S2包括：在贝叶斯网络中分别从各阶段根节点由下至上遍历贝叶斯网络，寻找最小路集，遇到与门则该节点上层节点相加，遇到或门则相乘，再将所有最小路集按数字顺序从小到大排列，当遇到串联节点与并联节点相乘时串联节点置于前，并联节点置于后均需由小到大排列。
进一步，所述步骤S3包括：
S31:设经步骤S2获得L个经排序的最小路集，将前L-1个组合在一起作为复合节点A，第L个作为节点B；
S32:对最小路集进行不交化处理，具体如下：
对由A、B组合成的并联贝叶斯网络的不交化处理，具体如下：
P(S＝1)＝P(A＝1)+P(A＝0)P(B＝1) (1)
P(S＝0)＝P(A＝0)P(B＝0) (2)
对由A、B组合成的串联贝叶斯网络的不交化处理，具体如下：
P(S＝1)＝P(A＝1)P(B＝1) (3)
P(S＝0)＝P(A＝0)+P(A＝1)P(B＝0) (4)
其中，S表示A、B的组合事件，当A、B组合成的并联贝叶斯网络时，S为并联节点，当A、B组合成的串联贝叶斯网络，S为串联节点；P(S＝1)表示S＝1的概率，S＝1表示S为可靠事件；P(S＝0)表示S＝0的概率，S＝0表示S为不可靠事件；P(A＝1)表示A＝1的概率，A＝1表示A为显性节点；P(B＝1)表示B＝1的概率，B＝1表示B为显性节点；P(A＝0)表示A＝0的概率，A＝0表示A为隐性节点；P(B＝0)表示B＝0的概率，B＝0表示B为隐性节点；
S33:重复步骤S32，直到每条最小路集只含唯一使多阶段系统正常工作或失效的节点组合，即得到所有不交化后的路集。
进一步，所述步骤S4中对化简后的路集进行排序具体如下：
利用阶段间条件概率关系从第一阶段到最后阶段顺序组合化简后的路集，并在组合时按照组合规则处理共用元件，得到多阶段系统的路集组合。
进一步，所述组合规则包括：
R41：若当前阶段某路集项含有的共用元件失效，则在以后阶段将含有该元件共用节点号且为显性的路集项去掉后再组合；
R42：若当前阶段某路集项含有的共用元件失效，则在以后阶段将含有该元件共用节点号且为隐性的路集项中的相关隐性节点去掉后再组合。
进一步，所述步骤S5中所述元件累积损伤模型包括：元件在任意阶段的累积失效分布、元件在各阶段可靠条件下的寿命概率分布和元件在任意阶段的可靠度；
所述元件在任意阶段的累积失效分布Foi(t)为
其中，ti为阶段i的持续时间，λi表示阶段i元件以应力λi工作；
所述元件在各阶段可靠条件下的寿命概率分布为
其中，F0i|0(i-1)(t)表示元件在阶段i-1可靠条件下阶段i的条件寿命分布；
所述元件在任意阶段的可靠度为
其中，Sxi为元件x在阶段i可靠的事件；P(Sxi)表示元件x在阶段i的可靠度；P(Sxi|Sx(i-1))表示在Sx(i-1)条件下Sxi的概率，即在Sx(i-1)条件下Sxi的可靠度。
进一步，所述(5)和(6)式的确定包括：
设定元件在阶段i-1以应力λi-1工作ti-1时间与在阶段i以应力λi工作等效时间ti *造成的不可靠度相等，阶段i的分布为从等效时间ti *开始，ti *之前的是累积失效部分，则元件在任意阶段的累积失效分布Foi(t)为
F0i(t)＝Fi(t+ti-1 *)0≤t≤ti (8)
其中，等效时间ti-1 *为Fi(ti-1 *)＝Fi-1(ti-1+ti-2 *)的解，ti为阶段i的持续时间，Fi()为元件以应力λi工作时的分布；
元件在阶段i-1可靠条件下阶段i的条件寿命分布F0i|0(i-1)(t)，根据条件概率贝叶斯公式有
设定电气元件失效常服从指数分布，其各阶段条件寿命分布由(8)得：
第一阶段的元件累积失效分布Fo1(t)为
第二阶段的元件累积失效分布Fo2(t)为
其中，t1 *＝λ1t1/λ2为F1(t1)＝F2(t1 *)即的解；
以此类推，进而得到第i阶段的元件累积失效分布Foi(t)为(5)式
联立(5)式和(9)式可得(6)式。
进一步，所述(7)式的确定包括：
设元件x在阶段i可靠为事件Sxi，不同阶段的同一共用元件在时间上属于串联系统，根据BN链规则以及条件独立性规则，元件在阶段i的状态只与阶段i-1有关，元件x在阶段i可靠度为
元件x在阶段i失效的概率为
F(Sxi)＝P(Sx1∩Sx2∩…∩Sx(i-1))∩(1-P(Sxi)
＝P(Sx1)P(Sx2|Sx1)…P(Sx(i-1)|Sx(i-2))
(1-P(Sxi|Sx(i-1))) (12)
根据(8)式、(9)式和(12)式，可得元件在阶段i-1可靠条件下阶段i的可靠度P(Sxi|Sx(i-1))为
P(Sxi|Sx(i-1))＝1-F0i|0(i-1)(t) (13)
将(13)式代入(11)式得到(7)式。
本发明的有益效果：本发明直接对各阶段不交化后的路集进行组合求和，没有PMS-BDD方法对变量排序的严格限制以及传统BN方法因阶段状态离散过多造成的条件概率表规模大、计算量大问题，且不限制元件的寿命分布类型，有更广的适用性；本发明考虑元件历史损伤作用，利用元件累积损伤模型，获得元件各阶段条件寿命分布，解决了共用元件在各阶段的可靠度求解问题；本发明利用共用元件的条件概率关系，缩减了路集规模，减小了计算量。
附图说明
下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述：
图1为本发明的流程图；
图2为实施例中同步轨道卫星控制系统三阶段故障树；
图3为图2的故障树映射成的贝叶斯网；
图4为实施例中同步轨道卫星控制系统三阶段可靠度示意图；
图5为实施例中同步轨道卫星控制系统各阶段的BDD；
图6为实施例中阶段合并的BDD。
具体实施方式
如图1所示，本发明提供的一种基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，包括步骤
S1:建立多阶段系统的故障树和贝叶斯网络；
S2:获得多阶段系统的各个阶段的最小路集，并对最小路集进行排序；
S3:对最小路集进行不交化处理，得到不交化后的路集；
S4:去掉阶段内同时含有共用元件显性与隐性节点的不交化后的路集，得到化简后的路集；
对化简后的路集进行排序，得到多阶段系统的路集组合；
S5:建立元件累积损伤模型，计算元件在多阶段系统的路集组合的任意阶段的累积失效分布、各阶段可靠条件下的寿命概率分布和任意阶段的可靠度。通过上述方法，直接对各阶段不交化后的路集进行组合求和，没有PMS-BDD方法对变量排序的严格限制以及传统BN方法因阶段状态离散过多造成的条件概率表规模大、计算量大问题，且不限制元件的寿命分布类型，有更广的适用性；并考虑元件历史损伤作用，利用元件累积损伤模型，获得元件各阶段条件寿命分布，解决了共用元件在各阶段的可靠度求解问题；还利用利用共用元件的条件概率关系，缩减了路集规模，减小了计算量，避免了传统贝叶斯网络方法因阶段状态离散过多造成的条件概率表规模大、存储空间需求大、运算量大的问题以及PMS-BDD方法对变量排序有严格要求的限制与难以求解含有多种分布类型元件的系统可靠性问题。
所述步骤S1包括步骤
S11:建立多阶段系统的故障树；
S12:按照映射规则，将各阶段故障树分别映射成相应的贝叶斯网络，使阶段内以及阶段间的共用元件用有向边连接；贝叶斯网络是一个有向无环图，由节点与有向线段以及各个节点的条件概率表组成。节点分为叶节点、中间节点与根节点。叶节点不具有子节点，根节点不具有父节点，每一个节点都有一个条件概率表，表示各个节点在给定父节点取值时各个状态的概率。整个贝叶斯网络表示所有变量的联合分布。
S13:按照映射规则，在贝叶斯网络中建立用于表示整个多阶段系统可靠度的虚拟数值节点。
所述步骤S1中的映射规则包括
R11:增加的虚拟节点置于最后一层，各阶段根节点置于倒数第二层，从故障树顶层到底层顺序映射；
R12:每个中间节点只有一个父节点，两个子节点,遇到底层有两个以上子节点时需增加中间节点；
R13:节点编号应从BN第一层开始，同一层从左到右依次增大，下层节点数值大于上层节点数值，节点编号不重复；
R14:故障树与门映射成或门，或门映射成与门，并用文字标注。建成的贝叶斯网络即是将故障树映射为成功树的一张有向网络。
PMS因各阶段属于串联关系且各阶段存在元件共用造成各阶段任务相关，可靠度难以求解。本方法基于贝叶斯的链式规则以及条件独立性规则推导出求解PMS可靠度的通式，具体过程如下：
设多阶段系统由N个阶段组成，每个阶段可靠则系统可靠，单个阶段可靠为事件Si，i∈[1，N]，由多事件同时发生的交运算的可靠度P(S1∩S2∩…∩SN)为
P(S1∩S2∩…∩SN)＝P(S1)P(S2|S1)…P(SN|S1…SN-1) (14-1)
设阶段i有N个节点，阶段j有K个节点，各有x、y个叶节点m个共用元件节点，由BN的链式规则以及条件独立性规则有
其中，P(Si)为单个事件Si的可靠度，P(Xju)＝P(Xju|Xiu),u[1,m]，Xix表示阶段i的第x节点，Xjy表示阶段j的第y节点，P(Xju)表示表示阶段i的第u节点的可靠度。
设阶段i与j组成串联系统的根节点为M的可靠度P(M＝1)有
当M节点可靠，也就是阶段i与阶段j的系统根节点Si、Sj都可靠时整个系统可靠其条件可靠度概率为P(M＝1|Si＝1,Sj＝1)＝1有
其中
Q＝P(Xi(m+1))…P(Xix)P(Xi(x+1)|Xi1，Xi2，…，Xix)
…P(XiN|Xi1，Xi2，…，Xi(N-1))
W＝P(Xj(m+1))…P(Xjy)P(Xj(y+1)|Xj1，Xj2，…,Xjy)
…P(Xjk|Xj1,Xj2，…，Xj(k-1))令
为阶段i可靠条件下阶段j可靠的条件可靠度P(Si∩Sj)有
P(Si∩Sj)＝P(Si)P(Sj|Si)＝P(Si)P(Sj)* (14-6)
式(14-6)即为任意两阶段串联系统的概率公式。当阶段i、j之间存在其他阶段且与阶段i、j没有共用元件时，其与阶段i、j条件独立有
由(14-6)式和(14-7)式得出PMS可靠度求解通式为：
P(S1∩S2∩…∩SN)＝P(S1)P(S2)*…P(SN)* (14-8)
当阶段i与其他阶段存在元件共用时，P(Si)*,i∈[1,N]表示事件Si的条件可靠度，不存在共用时，P(Si)*,i∈[1,N]表示事件Si的独立可靠度。
对单阶段i，其可靠度P(Si)等于其最小路集的不交和，对PMS若阶段之间彼此独立，则整个PMS的可靠度等于每个阶段的最小路集不交和的积。
当阶段之间存在元件共用，各阶段最小路集也必存在元件相关，在式(14-8)中P(Si)*也可表示为其最小路集的不交和只是在计算时共用元件的概率为条件概率，将所有阶段最小路集不交和求积后的所有项即是各个阶段最小不交路集的所有组合，这些组合有的可以使系统从第一阶段正常工作到最后阶段称之为系统路集组合，求出所有系统路集组合再求和即是系统可靠度。
所述步骤S2包括：在贝叶斯网络中分别从各阶段根节点由下至上遍历贝叶斯网络，寻找最小路集，遇到与门则该节点上层节点相加，遇到或门则相乘，再将所有最小路集按数字顺序从小到大排列，当遇到串联节点与并联节点相乘时串联节点置于前，并联节点置于后均需由小到大排列。
所述步骤S3包括：
S31:设经步骤S2获得L个经排序的最小路集，将前L-1个组合在一起作为复合节点A，第L个作为节点B；
S32:对最小路集进行不交化处理，具体如下：
对由A、B组合成的并联贝叶斯网络的不交化处理，具体如下：
P(S＝1)＝P(A＝1)+P(A＝0)P(B＝1) (1)
P(S＝0)＝P(A＝0)P(B＝0) (2)
对由A、B组合成的串联贝叶斯网络的不交化处理，具体如下：
P(S＝1)＝P(A＝1)P(B＝1) (3)
P(S＝0)＝P(A＝0)+P(A＝1)P(B＝0) (4)
其中，S表示A、B的组合事件，当A、B组合成的并联贝叶斯网络时，S为并联节点，当A、B组合成的串联贝叶斯网络，S为串联节点；P(S＝1)表示S＝1的概率，S＝1表示S为可靠事件；P(S＝0)表示S＝0的概率，S＝0表示S为不可靠事件；P(A＝1)表示A＝1的概率，A＝1表示A为显性节点；P(B＝1)表示B＝1的概率，B＝1表示B为显性节点；P(A＝0)表示A＝0的概率，A＝0表示A为隐性节点；P(B＝0)表示B＝0的概率，B＝0表示B为隐性节点；对(1)式的正确性进行证明，具体如下：
对由A、B、S组成的并联BN，其联合分布为P(S,A,B)＝P(A)P(B)P(S|A,B)，将等式右侧每项放入桶中如下：
Bucket 4：P(S＝1|A,B)
Bucket 3：P(B)
Bucket 2：P(A)
Bucket 1：1
将桶1内容代入桶2消去变量S，再将桶2内容代入桶3消去B，按此顺序直到消去所有变量如下：
Bucket 4：P(S＝1|A,B)
Bucket 3：P(B)P(S＝1|A,B)
Bucket 2：P(A)[P(B＝1)P(S＝1|A,B＝1)+P(B＝0)
P(S＝1|A,B＝0)]
Bucket 1：P(A＝1)[P(B＝1)P(S＝1|A＝1,B＝1)+
P(B＝0)P(S＝1|A＝1,B＝0)]+P(A＝0)[P(B＝1)P(S＝1|A＝0,B＝1)+P(B＝0)P
(S＝1|A＝0,B＝0)]
根据并联节点S的条件概率表关系：
P(S＝1|A＝0,B＝1)＝1，P(S＝1|A＝1,B＝1)＝1
P(S＝1|A＝1,B＝0)＝1，P(S＝1|A＝0,B＝0)＝0，
对桶1内容化简有
P(S＝1,A,B)＝P(A＝1)+P(A＝0)P(B＝1)
同理，可证明(2)式至(4)式的正确性。
S33:重复步骤S32，直到每条最小路集只含唯一使多阶段系统正常工作或失效的节点组合，即得到所有不交化后的路集。各阶段路集因元件共用造成彼此相关，不交化处理可以实现路集之间的去相关性。
所述步骤S4中去掉阶段内同时含有共用元件显性与隐性节点的不交化后的路集，得到化简后的路集具体如下：
系统路集组合前采用阶段内以及阶段间共用元件条件概率关系可以缩减路集规模，减少计算量。
阶段内共用元件条件概率关系为：
Xix、Xiy表示阶段i内共用元件的节点号x、y,即阶段i内共用元件相关节点Xix、Xiy一个失效则所有相关节点失效，一个可靠则所有相关节点都可靠。本实施例中，P(ab)表示在b条件下a的概率，即在b条件下a的可靠度。
利用(15-1)式对各阶段最小不交路集数量进行缩减，即去掉同时含有共用元件显性与隐性节点的路集项。
阶段间条件概率关系为：
P(Xjy＝1|Xix＝0)＝0,P(Xjy＝0|Xix＝0)＝1,(i＜j) (15-2)
其中Xix、Xjy表示阶段i与阶段j的共用元件的节点号x、y，即当共用元件在阶段i失效，在阶段j一定失效。
所述步骤S4中对化简后的路集进行排序，得到多阶段系统的路集组合具体如下：利用阶段间条件概率关系从第一阶段到最后阶段顺序组合化简后的路集，并在组合时按照组合规则处理共用元件，得到多阶段系统的路集组合。
所述组合规则包括：
R41：若当前阶段某路集项含有的共用元件失效，则在以后阶段将含有该元件共用节点号且为显性的路集项去掉后再组合；
R42：若当前阶段某路集项含有的共用元件失效，则在以后阶段将含有该元件共用节点号且为隐性的路集项中的相关隐性节点去掉后再组合。
对组合后的路集项，若共用元件节点出现在阶段i且为显性，表示该元件成功工作到阶段i，若为隐性表示该元件成功工作到阶段i-1且在阶段i失效。
所述步骤S5中所述元件累积损伤模型包括：元件在任意阶段的累积失效分布、元件在各阶段可靠条件下的寿命概率分布和元件在任意阶段的可靠度；
所述元件在任意阶段的累积失效分布Foi(t)为
其中，ti为阶段i的持续时间，λi表示阶段i元件以应力λi工作；
所述元件在各阶段可靠条件下的寿命概率分布为
其中，F0i|0(i-1)(t)表示元件在阶段i-1可靠条件下阶段i的条件寿命分布；
所述元件在任意阶段的可靠度为
其中，Sxi为元件x在阶段i可靠的事件；P(Sxi)表示元件x在阶段i的可靠度；P(Sxi|Sx(i-1))表示在Sx(i-1)条件下Sxi的概率，即在Sx(i-1)条件下Sxi的可靠度。
所述(5)和(6)式的确定包括：
设定元件在阶段i-1以应力λi-1工作ti-1时间与在阶段i以应力λi工作等效时间ti *造成的不可靠度相等，阶段i的分布为从等效时间ti *开始，ti *之前的是累积失效部分，则元件在任意阶段的累积失效分布Foi(t)为
F0i(t)＝Fi(t+ti-1 *)0≤t≤ti (8)
其中，等效时间ti-1 *为Fi(ti-1 *)＝Fi-1(ti-1+ti-2 *)的解，ti为阶段i的持续时间，Fi()为元件以应力λi工作时的分布；
元件在阶段i-1可靠条件下阶段i的条件寿命分布F0i|0(i-1)(t)，根据条件概率贝叶斯公式有
设定电气元件失效常服从指数分布，其各阶段条件寿命分布由(8)得：
第一阶段的元件累积失效分布Fo1(t)为
第二阶段的元件累积失效分布Fo2(t)为
其中，t1 *＝λ1t1/λ2为F1(t1)＝F2(t1 *)即的解；
以此类推，进而得到第i阶段的元件累积失效分布Foi(t)为(5)式
联立(5)式和(9)式可得(6)式。
共用元件在PMS各阶段失效率以及工作时间不尽相等，求解元件各阶段可靠度时需考虑各阶段历史损伤对元件寿命的影响。所述(7)式的确定包括：
设元件x在阶段i可靠为事件Sxi，不同阶段的同一共用元件在时间上属于串联系统，根据BN链规则以及条件独立性规则，元件在阶段i的状态只与阶段i-1有关，元件x在阶段i可靠度为
P(Sxi)＝P(Sx1∩Sx2∩…∩Sxi)
＝P(Sx1)P(Sx2|Sx1)…P(Sxi|Sx1,Sx2,Sx3…Sx(i-1)) (11)
＝P(Sx1)P(Sx2|Sx1)…P(Sxi|Sx(i-1))
元件x在阶段i失效的概率为
F(Sxi)＝P(Sx1∩Sx2∩…∩Sx(i-1))∩(1-P(Sxi)
＝P(Sx1)P(Sx2|Sx1)…P(Sx(i-1)|Sx(i-2))
(1-P(Sxi|Sx(i-1))) (12)
根据(8)式、(9)式和(12)式，可得元件在阶段i-1可靠条件下阶段i的可靠度P(Sxi|Sx(i-1))为
P(Sxi|Sx(i-1))＝1-F0i|0(i-1)(t) (13)
将(13)式代入(11)式得到(7)式。对机械元件其寿命分布常假设为威布尔分布其各阶段条件寿命分布仍可使用此方法进行计算。
地球同步轨道卫星发射后在转移轨道段需经历多次变轨，可分为太阳捕获段、地球捕获段、地球指示段、远地点点火准备段、远地点点火段，以前三阶段的控制系统为例进行建模并求解各阶段可靠度来对本方法的效果进行分析，使用本方法的具体步骤如下：
步骤1：某地球同步轨道卫星控制系统三阶段故障树如图2所示，映射成的贝叶斯网如图3所示。
步骤2：获得多阶段系统的各个阶段的最小路集，并对最小路集进行排序，其中，阶段1最小路集：28×34×(11×13)，28×34×(11×14)，28×34×(12×13)，28×34×(12×14)。
步骤3：利用(1)式至(4)式对阶段1路集作不交化处理，得到
其中，28、34、11、12、13、14分别表示图3中节点28、34、11、12、13、14为显性节点的概率；11’和13’分别表示图3中节点11和13为隐性节点的概率。
步骤4-1：对最小路集进行不交化处理，得到不交化后的路集，即阶段内路集缩减：阶段内存在共用元件节点11与13，由阶段内共用元件条件概率关系(15-1)化简有D1:
同理可得其余阶段的最小不交路集：
阶段2：
阶段3：
其中，30、36、5、17、18、6、8、20、26、32、38、1、3、2、4分别表示图3中节点30、36、5、17、18、6、8、20、26、32、38、1、3、2、4为显性节点的概率；5’、17’、1’分别表示图3中节点5、17、1为隐性节点的概率
步骤4-2：对缩减后的路集进行排序，得到多阶段系统的路集组合；
阶段1不存在路集组合，系统路集为阶段1的最小不交路集D1。
阶段2系统路集：阶段2与阶段1存在元件共用按路集组合规则D2为
其中，A＝30×34×36。
阶段3系统路集：阶段3与阶段1、2存在元件共用，按路集组合方法D3为
其中，B＝20×26×32×38×36。
步骤5：根据(5)式至(7)式分别计算各阶段元件失效率、各阶段末元件失效概率和多阶段系统的可靠度。
各阶段持续时间t1＝50min,t2＝600min,t3＝40min，各阶段元件寿命服从指数分布，失效率如表1。
表1元件失效率
将各元件失效率带入式(7)得各元件在各阶段末失效的概率，如表2所示。
表2各阶段末元件失效概率
将表2元件各阶段失效概率带入系统路集D1、D2与D3中既可求得系统处于各阶段末的可靠度。系统可靠度变化如图4所示，部分时刻可靠度见表3。
表3部分时刻的系统可靠度
进一步，运用PMS-BDD方法进行建模并求解各阶段可靠度来来对比分析，具体如下：
将各阶段故障树转化为相应BDD如图5所示，采用向后排序规则，变量顺序为X31＜X21＜X11＜X32＜X22＜X12＜X33＜X23＜X13＜X34X24＜X14＜X35＜X25＜X15＜X36＜X26＜X16＜X37＜X27＜X17＜X38＜X28＜X18＜X39＜X29＜X19，其中Xij表示阶段i的j元件。
利用阶段代数与向后BDD阶段合并规则将3个阶段的BDD合并为系统BDD，即先将阶段1的BDD与阶段2的BDD合并再与阶段3的合并，如图6所示。
顶节点到0节点的所有路径即是该阶段的不交路集，对所有路集求和即是系统在该阶段的可靠度。
求解系统处于阶段2的可靠度，对应的是阶段1与阶段2合并的BDD，有4条路径：X21X12X23X26X28，X21X12X23＇X24X25X26X28，X21X12X23X26＇X27X28，X21X12X23＇X24X25X26＇X27X28。Xij＇表示j元件在阶段i失效的概率。将表2元件对应失效概率带入再求和即是系统处于阶段2的可靠度，同理可得系统部分时刻可靠度如表3，可见采用PMS-BDD方法与本文方法计算出的表3数值是一致的。通过上述的具体分析，可以得出：
1、本申请方法针对多阶段系统因阶段任务相关、元件共用造成的系统可靠性难以建模与求解问题，提出了基于累积损伤模型的多阶段系统路集组合方法，该方法直接对各阶段不交化后的路集进行组合求和，没有PMS-BDD方法对变量排序的严格限制以及传统BN方法因阶段状态离散过多造成的条件概率表规模大、计算量大问题。且该方法不限制元件的寿命分布类型，有更广的适用性。
2、针对多阶段共用元件在各阶段工作时长、失效率不同，元件各阶段可靠度难以求取问题，本文考虑元件历史损伤作用，利用元件累积损伤模型，获得元件各阶段条件寿命分布，解决了共用元件在各阶段的可靠度求解问题。
3、针对路集相关，利用由贝叶斯网络变量消元法推导出的不交化公式实现了路集去相关性。针对路集规模过大问题，利用共用元件的条件概率关系，缩减了路集规模，减小了计算量。
4、算例分析表明本文方法与PMS-BDD方法计算结果一致，验证了本文方法的正确性。
最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (10)

1.一种基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，其特征在于：包括步骤
S1:建立多阶段系统的故障树和贝叶斯网络；
S2:获得多阶段系统的各个阶段的最小路集，并对最小路集进行排序；
S3:对最小路集进行不交化处理，得到不交化后的路集；
S4:去掉阶段内同时含有共用元件显性与隐性节点的不交化后的路集，得到化简后的路集；
对化简后的路集进行排序，得到多阶段系统的路集组合；
S5:建立元件累积损伤模型，计算元件在多阶段系统的路集组合的任意阶段的累积失效分布、各阶段可靠条件下的寿命概率分布和任意阶段的可靠度。
2.根据权利要求1所述基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，其特征在于：所述步骤S1包括步骤
S11:建立多阶段系统的故障树；
S12:按照映射规则，将各阶段故障树分别映射成相应的贝叶斯网络，使阶段内以及阶段间的共用元件用有向边连接；
S13:按照映射规则，在贝叶斯网络中建立用于表示整个多阶段系统可靠度的虚拟数值节点。
3.根据权利要求2所述基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，其特征在于：所述步骤S1中的映射规则包括
R11:增加的虚拟节点置于最后一层，各阶段根节点置于倒数第二层，从故障树顶层到底层顺序映射；
R12:每个中间节点只有一个父节点，两个子节点,遇到底层有两个以上子节点时需增加中间节点；
R13:节点编号应从BN第一层开始，同一层从左到右依次增大，下层节点数值大于上层节点数值，节点编号不重复；
R14:故障树与门映射成或门，或门映射成与门，并用文字标注。
4.根据权利要求1所述基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，其特征在于：所述步骤S2包括：在贝叶斯网络中分别从各阶段根节点由下至上遍历贝叶斯网络，寻找最小路集，遇到与门则该节点上层节点相加，遇到或门则相乘，再将所有最小路集按数字顺序从小到大排列，当遇到串联节点与并联节点相乘时串联节点置于前，并联节点置于后均需由小到大排列。
5.根据权利要求1所述基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，其特征在于：所述步骤S3包括：
S31:设经步骤S2获得L个经排序的最小路集，将前L-1个组合在一起作为复合节点A，第L个作为节点B；
S32:对最小路集进行不交化处理，具体如下：
对由A、B组合成的并联贝叶斯网络的不交化处理，具体如下：
P(S＝1)＝P(A＝1)+P(A＝0)P(B＝1) (1)
P(S＝0)＝P(A＝0)P(B＝0) (2)
对由A、B组合成的串联贝叶斯网络的不交化处理，具体如下：
P(S＝1)＝P(A＝1)P(B＝1) (3)
P(S＝0)＝P(A＝0)+P(A＝1)P(B＝0) (4)
其中，S表示A、B的组合事件，当A、B组合成的并联贝叶斯网络时，S为并联节点，当A、B组合成的串联贝叶斯网络，S为串联节点；P(S＝1)表示S＝1的概率，S＝1表示S为可靠事件；P(S＝0)表示S＝0的概率，S＝0表示S为不可靠事件；P(A＝1)表示A＝1的概率，A＝1表示A为显性节点；P(B＝1)表示B＝1的概率，B＝1表示B为显性节点；P(A＝0)表示A＝0的概率，A＝0表示A为隐性节点；P(B＝0)表示B＝0的概率，B＝0表示B为隐性节点；
S33:重复步骤S32，直到每条最小路集只含唯一使多阶段系统正常工作或失效的节点组合，即得到所有不交化后的路集。
6.根据权利要求1所述基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，其特征在于：所述步骤S4中对化简后的路集进行排序具体如下：
利用阶段间条件概率关系从第一阶段到最后阶段顺序组合化简后的路集，并在组合时按照组合规则处理共用元件，得到多阶段系统的路集组合。
7.根据权利要求6所述基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，其特征在于：所述组合规则包括：
R41：若当前阶段某路集项含有的共用元件失效，则在以后阶段将含有该元件共用节点号且为显性的路集项去掉后再组合；
R42：若当前阶段某路集项含有的共用元件失效，则在以后阶段将含有该元件共用节点号且为隐性的路集项中的相关隐性节点去掉后再组合。
8.根据权利要求1所述基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，其特征在于：所述步骤S5中所述元件累积损伤模型包括：元件在任意阶段的累积失效分布、元件在各阶段可靠条件下的寿命概率分布和元件在任意阶段的可靠度；
所述元件在任意阶段的累积失效分布Foi(t)为
其中，ti为阶段i的持续时间，λi表示阶段i元件以应力λi工作；
所述元件在各阶段可靠条件下的寿命概率分布为
其中，F0i|0(i-1)(t)表示元件在阶段i-1可靠条件下阶段i的条件寿命分布；
所述元件在任意阶段的可靠度为
其中，Sxi为元件x在阶段i可靠的事件；P(Sxi)表示元件x在阶段i的可靠度；P(Sxi|Sx(i-1))表示在Sx(i-1)条件下Sxi的概率，即在Sx(i-1)条件下Sxi的可靠度。
9.根据权利要求8所述基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，其特征在于：所述(5)和(6)式的确定包括：
设定元件在阶段i-1以应力λi-1工作ti-1时间与在阶段i以应力λi工作等效时间ti *造成的不可靠度相等，阶段i的分布为从等效时间ti *开始，ti *之前的是累积失效部分，则元件在任意阶段的累积失效分布Foi(t)为
F0i(t)＝Fi(t+ti-1 *)0≤t≤ti (8)
其中，等效时间ti-1 *为Fi(ti-1 *)＝Fi-1(ti-1+ti-2 *)的解，ti为阶段i的持续时间，Fi()为元件以应力λi工作时的分布；
元件在阶段i-1可靠条件下阶段i的条件寿命分布F0i|0(i-1)(t)，根据条件概率贝叶斯公式有
设定电气元件失效常服从指数分布，其各阶段条件寿命分布由(8)得：
第一阶段的元件累积失效分布Fo1(t)为
第二阶段的元件累积失效分布Fo2(t)为
其中，t1 *＝λ1t1/λ2为F1(t1)＝F2(t1 *)即的解；
以此类推，进而得到第i阶段的元件累积失效分布Foi(t)为(5)式
联立(5)式和(9)式可得(6)式。
10.根据权利要求9所述基于累积损伤模型的多阶段系统可靠性分析路集组合方法，其特征在于：所述(7)式的确定包括：
设元件x在阶段i可靠为事件Sxi，不同阶段的同一共用元件在时间上属于串联系统，根据BN链规则以及条件独立性规则，元件在阶段i的状态只与阶段i-1有关，元件x在阶段i可靠度为
元件x在阶段i失效的概率为
F(Sxi)＝P(Sx1∩Sx2∩…∩Sx(i-1))∩(1-P(Sxi)
＝P(Sx1)P(Sx2|Sx1)…P(Sx(i-1)|Sx(i-2))
(1-P(Sxi|Sx(i-1))) (12)
根据(8)式、(9)式和(12)式，可得元件在阶段i-1可靠条件下阶段i的可靠度P(Sxi|Sx(i-1))为
P(Sxi|Sx(i-1))＝1-F0i|0(i-1)(t) (13)
将(13)式代入(11)式得到(7)式。
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