CN109253061B - 一种单摆摆动快速衰减方法 - Google Patents

一种单摆摆动快速衰减方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于机械动力学技术领域，尤其涉及一种单摆摆动快速衰减方法。单摆摆动快速衰减方包括以下步骤，建立单摆模型；根据拉格朗日理论，建立带有移动滑块的单摆的动力学方程；根据滑块移动时所受科里奥利力的方向与大小，获得能使单摆摆动衰减的滑块运动路径；根据滑块在一定范围内运动的过程中的功能转换关系，获得滑块运动的加减速运动时间或路程所占总运动时间或路程的比例；通过定量分析滑块运动所产生的等效阻尼比，获得滑块的运动范围与运动时间。本发明通过对滑块运动的实际过程进行分析，设计实际情况下对单摆摆动抑制效果最好的滑块运动，所提出的方法有助于应用在单摆类结构的防摆主动控制方面，进而提高了单摆的衰减效率。

Description

一种单摆摆动快速衰减方法
技术领域
本发明属于机械动力学技术领域，尤其涉及一种单摆摆动快速衰减方法。
背景技术
目前，对单摆摆动衰减方法的研究主要有改变单摆的摆长和移动单摆摆动的转点。利用单摆摆长周期性的连续改变，可以逐渐减小单摆的摆动，但是摆长连续变化的方法效率不高。移动单摆摆动的转点来减小摆动多应用于自动控制领域，虽然可以通过闭环控制来实现摆动的自动衰减，但是也无法达到很高效率。
发明内容
(一)要解决的技术问题
针对现有技术中存在的单摆衰减效率低的技术问题，本发明提供一种单摆摆动快速衰减方法。
(二)技术方案
为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：
一种单摆摆动快速衰减方法，该方法包括以下步骤：
步骤一：建立单摆的模型，所述单摆包括摆杆和设置在摆杆下端的滑块，滑块与摆杆滑动连接；
步骤二：根据拉格朗日理论，建立带有移动滑块的单摆的动力学方程；
步骤三：根据滑块移动时所受科里奥利力的方向与大小，获得能使单摆摆动衰减的滑块运动路径；
步骤四：根据滑块在一定范围内运动的过程中的功能转换关系，获得滑块运动的加减速运动时间或路程所占总运动时间或路程的比例；
步骤五：通过定量分析滑块运动所产生的等效阻尼比，获得滑块的运动范围与运动时间。
优选的，在单摆摆动过程中，滑块在单摆的摆角最大处向上移动，滑块在单摆的摆角为0处向下运动。
优选的，当单摆处于摆角为0处时，滑块向下运动到滑块的初始位置；当单摆处于摆角最大处时，滑块向上运动到滑块的初始位置。
优选的，在步骤一中，对单摆模型的滑块和单摆的质量、几何尺寸以及运行条件进行测定，其中包括滑块的质量m、摆杆的质量M、滑块距离摆杆转点O的距离l、摆杆的长度L、摆杆与垂直方向的夹角θ。
优选的，在步骤二中，根据拉格朗日理论，建立带有移动滑块的单摆的动力学方程：
Figure GDA0002273053510000021
式中，
Figure GDA0002273053510000022
为滑块沿摆杆的径向运动速度；
Figure GDA0002273053510000023
为摆杆摆动的角速度；
Figure GDA0002273053510000024
为摆杆摆动的角加速度，I0为摆杆的转动惯量，Lc为摆杆的质心位置。
优选的，在步骤三中，根据滑块移动时所受的科里奥利力Fc方向和大小,设计能使单摆摆动衰减的基本路径，其中，科里奥利力Fc的表达式：
Figure GDA0002273053510000025
优选的，在步骤四中，根据滑块向上和向下运动过程中的功能转换关系，设计滑块运动的加减速时间或路程所占总运动时间或路程的比例，其中，向上和向下运动过程中合外力做功分别为：
Wup＝F1Δl-(F1-F2)Δl2
Wdown＝-[F3Δl-(F3-F4)Δl4]
式中，Δl为滑块向上或向下运动的运动总范围；Wup为滑块向上运动时所做的功，Δl2为滑块向上运动时的减速运动路程，F1为滑块向上运动的加速阶段所受合外力，F2为滑块向上运动的减速阶段所受合外力；Wdown为滑块向下运动时所做的功，Δl4为向下运动时的减速运动路程。
优选的，在步骤五中，通过具体规定滑块的运动l,可以定量的得出滑块向上和向下运动时所产生的等效阻尼比，从而设计滑块总运动范围与总运动时间；
单摆摆动一个周期，滑块运动所产生的等效阻尼比为:
Figure GDA0002273053510000031
式中，τ为滑块的运动时间，ω0为单摆的初始频率，θ0为单摆的初始摆角。
优选的，用于定量分析步骤五中等效阻尼比所规定的滑块运动l为：
Figure GDA0002273053510000032
式中，k＝0,1,2,3...，l0＝(lmax-lmin)/2为滑块的初始位置，Δt滑块运动1/4周期的时间，并且0<Δt<π/4ω0来限制滑块的运动时间，ωm＝π/2Δt为质量块的运动频率，ε＝Δl/2l0为量化后的滑块运动范围。
(三)有益效果
本发明的有益效果是：本发明提供的单摆摆动快速衰减方法，通过建立合适的带有移动滑块的单摆模型，对滑块运动的实际过程进行分析，设计实际情况下对单摆摆动抑制效果最好的滑块运动，所提出的方法有助于应用在单摆类结构的防摆主动控制方面，进而提高了单摆的衰减效率。
附图说明
图1为带有移动滑块的单摆的示意图；
图2为单摆和滑块在不同的运动方向下滑块所受科里奥利力的方向；
图3(a)为滑块向上运动时的受力情况；
图3(b)为滑块向下运动时的受力情况；
图4为用于定量分析等效阻尼比时给定的滑块运动路径；
图5为滑块运动时间Δt对ζup与ζdown的影响；
图6为滑块与单摆运动同步时，滑块的运动时间Δt分别为0.05s、0.15s、π/4ω0时的单摆持续衰减响应对比。
具体实施方式
为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施方式，对本发明作详细描述。
一种新型的单摆摆动的快速衰减方法，包括如下步骤：
步骤一：建立如图1所示的带有移动滑块的单摆的模型，对滑块与单摆的质量、几何尺寸以及运行条件进行测定，其中包括滑块的质量m、摆杆的质量M、滑块距离摆杆转点O的距离l、摆杆的长度L、摆杆与垂直方向的夹角θ。假设单摆的转动和滑块的滑动不受摩擦的影响；
图1中，lmax和lmin分别为滑块可在摆杆上移动的最大和最小距离
步骤二：根据拉格朗日理论，建立带有移动滑块的单摆的动力学方程：
式中，li为滑块沿摆杆的径向运动速度；为摆杆摆动的角速度；
Figure GDA0002273053510000052
为摆杆摆动的角加速度，I0为摆杆的转动惯量，Lc为摆杆的质心位置；
步骤三：根据滑块移动时所受的科里奥利力Fc方向和大小,设计能使单摆摆动衰减的基本路径；
由图2可以得到滑块移动时所受的科里奥利力Fc方向；
由图2可以看出，无论单摆的摆动方向如何，滑块向上运动时所受的科里奥利力总是会增加单摆的旋转，此时会增加单摆摆幅；滑块向下运动时所受的科里奥利力总是会减小单摆的旋转，此时会减小单摆摆幅；
科里奥利力Fc的表达式为：
根据式(2)可得，如果滑块的运动速度
Figure GDA0002273053510000054
不变，科里奥利力Fc的大小在摆杆角速度
Figure GDA0002273053510000055
处(单摆摆角最大处)为最小；科里奥利力Fc的大小在摆杆角速度
Figure GDA0002273053510000056
最大处(单摆摆角为0处)为最大；
根据图2和式2，设计滑块在单摆的摆角最大处向上移动，在单摆的摆角为0处向下运动。这样的滑块基本运动会产生较好衰减效果。
步骤四：根据滑块向上和向下运动过程中的功能转换关系，设计滑块运动的加减速时间所占总运动时间的比例；
在滑块的向上或向下的实际运动过程中，滑块的运动都是从速度为0开始加速到一定速度后再减速到0。滑块的向上或向下的运动过程中的受力情况分别如图3(a)和图3(b)所示；
图3(a)中，和分别为滑块向上运动时的加速和减速阶段的恒加速度的大小，l0到l1为滑块向上运动的加速阶段所经过的路程，l1到l2为滑块向上运动的减速阶段所经过的路程；
图3(b)中，
Figure GDA0002273053510000059
和
Figure GDA00022730535100000510
分别为滑块向下运动时的加速和减速阶段的恒加速度的大小，l3到l4为滑块向下运动的加速阶段所经过的路程，l4到l5为滑块向下运动的减速阶段所经过的路程；
向上和向下运动过程中合外力对滑块做功分别为：
Wup＝F1Δl-(F1-F2)Δl2 (3.1)
Wdown＝-[F3Δl-(F3-F4)Δl4] (3.2)
式(3.1)中，Δl为滑块向上或向下运动的运动总范围，Wup为滑块向上运动时所做的功，为滑块向上运动的加速阶段所受合外力，
Figure GDA0002273053510000062
为滑块向上运动的减速阶段所受合外力，Δl2为滑块向上运动时的减速运动范围；式(3.2)中，Wdown为滑块向上运动时所做的功，
Figure GDA0002273053510000063
为滑块向下运动的加速阶段所受合外力，
Figure GDA0002273053510000064
为滑块向下运动的减速阶段所受合外力，Δl4为向下运动时的减速运动范围；
根据式(3.1)和式(3.2)，在滑块向上和向下运动总范围和总时间不变的情况下，设计滑块无论在向上还是向下运动过程中的减速运动阶段的运动时间或路程所占总运动的时间或路程的比例都要尽可能的大；
步骤五：通过具体规定滑块的运动l,可以定量的得出滑块向上和向下运动时所产生的等效阻尼比，从而设计滑块总运动范围与总运动时间；
阻尼比是表现振幅衰减的重要参数。滑块向上运动产生的负阻尼比越小，向下运动产生的正阻尼比越大，则代表滑块的运动对单摆摆动的衰减产生的效果越好。
滑块运动所产生的等效阻尼比可表示为:
Figure GDA0002273053510000065
式(4)中，τ为滑块的运动时间，ω0为单摆的初始频率，θ0为单摆的初始摆角。
根据前面的分析可以推测出，能使单摆摆动快速衰减的滑块运动应该为一种分段运动；设计用于定量分析步骤五中等效阻尼比的滑块运动l为：
Figure GDA0002273053510000071
式(5)中，k＝0,1,2,3...，l0＝(lmax-lmin)/2为滑块的初始位置，Δt滑块运动1/4周期的时间，并且0<Δt<π/4ω0来限制滑块的运动时间，ωm＝π/2Δt为质量块的运动频率，ε＝Δl/2l0为量化后的滑块运动范围。
式(5)代表的滑块运动路径可由图4直观表示。
令式(5)中的k＝0，将式(5)代入式(4)中，得到滑块上下运动第一个周期所产生的等效阻尼比，将滑块第一个周期内的运动分解为向上和向下两部分，则滑块向上和向下运动时的等效阻尼比可分别表示为：
式(6.1)中，ζup为滑块向上运动产生的等效阻尼比；式(6.2)中，ζdown为滑块向下运动产生的等效阻尼比。
令滑块的向上和向下的总运动范围不变，即ε不变；单摆的初始频率ω0可由滑块的初始位置l0确定，此时等效阻尼比就只与滑块的运动时间Δt有关。则ζup和ζdown与Δt的关系如图5所示；
图5中
Figure GDA0002273053510000081
为一个常量；
根据图5中所示的滑块的运动时间Δt对ζup和ζdown的影响可以看出，滑块向上运动时产生的负阻尼比ζup随运动时间Δt的减小而减小；滑块向下运动时产生的正阻尼比ζdown随运动时间Δt的减小而增大。
根据图5中所示的滑块的运动时间Δt对ζup和ζdown的影响，设计无论滑块向上还是向下运动，滑块的运动时间Δt都需要尽量小。
单摆运动一个周期，滑块需要运动两个周期，故单摆运动一个周期的等效阻尼比可由式(6.1)和式(6.2)之和的2倍来表示:
Figure GDA0002273053510000082
式(7)中ζcyc为单摆摆动一个周期的等效阻尼比；
由式(7)可得，在其他条件不变时，ζcyc会随ε的增加而增加。所以为使单摆摆动一个周期的等效阻尼比最大，在条件允许的情况下，设计滑块的运动范围Δl越大越好。
综合上面所述，为了使单摆的摆动快速衰减，本发明方法设计了一种能使单摆摆动快速衰减的滑块的分段运动。在单摆摆动一个周期内，设计要使滑块在单摆摆角最大处向上运动，在单摆摆角为0处向下运动；在滑块的向上和向下运动过程中，设计要使滑块的减速运动阶段占总运动阶段的比例尽量大；在滑块的向上和向下运动过程中，在条件允许的情况下，设计要使滑块的运动范围尽量大，运动时间尽量少。
滑块向上运动会增加单摆的周期，向下运动会减少单摆的周期，因此会造成滑块与单摆运动的不同步现象，从而造成单摆长时间的摆动无法快速持续衰减。
为使滑块与单摆的运动始终保持同步从而使单摆摆动快速持续衰减，设计如下“同步运动规则”：
当单摆处于摆角为0处时，滑块恰好向下运动到l0位置；当单摆处于摆角最大处时，滑块恰好向上运动到l0位置。
“同步运动规则”的具体实现方法如下：
在滑块的初始向上运动后，若之后滑块位置不变，可得到单摆运动到θ＝0位置的时间t1，则质量块向下运动的时刻即为t1-Δt；向下运动后再次保持滑块位置不变，单摆运动到摆角最大位置的时间为t2，则质量块再次向上运动的时刻即为t2-Δt，以此类推可得一系列的滑块运动时刻。若滑块按照这些时刻来向上和向下运动，便可使滑块的运动与单摆运动一直近似保持同步运动。
下面结合一个带有移动滑块的单摆摆动衰减实例来进一步说明本发明对单摆摆动衰减的有效性和高效性。
选择系统的几何参数和仿真参数如下：
摆杆质量M＝2.7484kg，滑块的质量m＝1kg，运动范围Δl＝0.44m，滑块的初始位置l0＝1.1m，摆杆长L＝1.4m，此时ε＝0.2，单摆初始摆角θ0＝0.1。根据上述条件可得ω0≈π，T0≈2s。
如果滑块运动时间Δt＝π/4ω0，此时滑块的运动就变成一个连续运动，可表示为：
l＝l0[1-εsin(2ω0t)] (9)
若想使式(9)所示的滑块运动与单摆的运动同步，需要用单摆上一个周期的频率ω0来代替当前周期的频率ω1。
选取本发明方法中的Δt分别为0.05s、0.15s，在相同条件下与Δt＝π/4ω0时的单摆持续衰减响应相对比，结果如图6所示。
如果以单摆的摆幅衰减到初始摆幅的1％为标准，根据图6中的局部放大图可以看出：当Δt＝0.05s时，只需经过10个周期；Δt＝0.15s时要经过11个周期；而Δt＝π/4ω0时则需要经过13个周期，摆幅才能降到0.001rad以下，由此可见本发明方法的摆动衰减效率。
以上结合具体实施例描述了本发明的技术原理，这些描述只是为了解释本发明的原理，不能以任何方式解释为对本发明保护范围的限制。基于此处解释，本领域的技术人员不需要付出创造性的劳动即可联想到本发明的其它具体实施方式，这些方式都将落入本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种单摆摆动快速衰减方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
步骤一：建立单摆的模型，所述模型包括摆杆和设置在摆杆下端的滑块，滑块与摆杆滑动连接；
步骤二：根据拉格朗日理论，建立带有移动滑块的单摆的动力学方程：
Figure FDA0002305393000000011
式中，
Figure FDA0002305393000000014
为滑块沿摆杆的径向运动速度；
Figure FDA0002305393000000012
为摆杆摆动的角速度；
Figure FDA0002305393000000013
为摆杆摆动的角加速度，I0为摆杆的转动惯量，Lc为摆杆的质心位置；
步骤三：根据滑块移动时所受科里奥利力的方向与大小，获得能使单摆摆动衰减的滑块运动路径；
步骤四：根据滑块向上和向下运动过程中的功能转换关系，设计滑块运动的加减速时间或路程所占总运动时间或路程的比例，其中，向上和向下运动过程中合外力做功分别为：
Wup＝F1Δl-(F1-F2)Δl2
Wdown＝-[F3Δl-(F3-F4)Δl4]
式中，Δl为滑块向上或向下运动的运动总范围；Wup为滑块向上运动时所做的功，Δl2为滑块向上运动时的减速运动路程，F1为滑块向上运动的加速阶段所受合外力，F2为滑块向上运动的减速阶段所受合外力；Wdown为滑块向下运动时所做的功，Δl4为向下运动时的减速运动路程；
步骤五：通过具体规定滑块的运动l,可以定量的得出滑块向上和向下运动时所产生的等效阻尼比，从而获得滑块总运动范围与总运动时间；
单摆摆动一个周期，滑块运动所产生的等效阻尼比为：
Figure FDA0002305393000000021
式中，τ为滑块的运动时间，ω0为单摆的初始频率，θ0为单摆的初始摆角。
2.根据权利要求1所述的单摆摆动快速衰减方法，其特征在于，在步骤一中，对单摆模型的滑块和单摆的质量、几何尺寸以及运行条件进行测定，其中包括滑块的质量m、摆杆的质量M、滑块距离摆杆转点O的距离l、摆杆的长度L、摆杆与垂直方向的夹角θ。
3.根据权利要求1所述的单摆摆动快速衰减方法，其特征在于，在步骤三中，根据滑块移动时所受的科里奥利力Fc方向和大小,设计能使单摆摆动衰减的基本路径，其中，科里奥利力Fc的表达式：
Figure FDA0002305393000000022
4.根据权利要求1所述的单摆摆动快速衰减方法，其特征在于，用于定量分析步骤五中等效阻尼比所规定的滑块运动l为：
Figure FDA0002305393000000023
式中，k＝0,1,2,3...，l0＝(lmax-lmin)/2为滑块的初始位置，Δt滑块运动1/4周期的时间，并且0<Δt<π/4ω0来限制滑块的运动时间，ωm＝π/2Δt为质量块的运动频率，ε＝Δl/2l0为量化后的滑块运动范围。
5.根据权利要求1所述的单摆摆动快速衰减方法，其特征在于，在单摆摆动过程中，滑块在单摆的摆角最大处向上移动，滑块在单摆的摆角为0处向下运动。
6.根据权利要求5所述的单摆摆动快速衰减方法，其特征在于，当单摆处于摆角为0处时，滑块向下运动到滑块的初始位置；当单摆处于摆角最大处时，滑块向上运动到滑块的初始位置。
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