CN109241147B - 一种用于评估统计值变异性的方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于数据处理的技术领域，公开了一种用于评估统计值变异性的方法，包括以下步骤：步骤一、以样本数据X＝{x₁,x₂,…,x_n}对应的概率密度曲线为基础，建立n个误差圆，其中，n表示样本数据的总个数；步骤二、从每个所述误差圆内均随机抽取w个扩充数据，建立包含n个扩充数据的自助样本；步骤三、利用Bootstrap自助法对所述自助样本进行样本数据的变异性评估。本发明从误差圆中随机抽取的自助样本的数据具有普遍性，并且避免集中误差圆内某一区域的抽取，减小了对再抽样分布不均的影响，使得到的扩充样本更加合理，且精确可信，进而促使通过Bootstrap方法计算得到的结果更加精确，更加逼近实际状况。

Description

一种用于评估统计值变异性的方法

技术领域

本发明属于数据处理的技术领域，具体涉及一种用于评估统计值变异性的方法以及一种用于Bootstrap自助法的自助样本的获取方法。

背景技术

在工程应用和科学研究中，通常采用一定的仪器、工具、传感器或其他手段对各种类型的物理量进行观测，从而获得大量的观测数据。由于外界条件、测量仪器和和观测人员等因素的影响，观测数据与真实值存在一定的误差，考虑各种误差带来的影响，得到更加精确合理的结果对工程应用和科学研究有着重大的意义。

Bootstrap方法，又称自助法是美国Stanford大学统计系教授Efron提出的一种新的统计推断方法,是一种只依赖于给定的观测信息,而不需要其它假设和增加新的观测的统计推断方法。在科学研究中,它可以大大增强常用的估计、推断等方法的效能，在工程实践中,它也成为克服数据有限性等困难的一种有效手段,如在导弹的命中圆域的概率估计、图像处理以及其他许多应用领域都取得了成功。但是Bootstrap方法也有不足之处，如由于自助样本只能由原样本生成,自助样本极有可能非常相似于原样本,尤其当样本容量较小时更为明显,容易导致计算结果极大偏离真实分布，因此，有必要对现有Bootstrap方法进行改进和优化，以提高其准确度。

发明内容

本发明提供了一种用于Bootstrap自助法的自助样本的获取方法以及用于评估统计值变异性的方法，解决了现在现有Bootstrap方法的自助样本只能由原样本生成，容易导致计算结果极大偏离真实分布等问题。

本发明可通过以下技术方案实现：

一种用于评估统计值变异性的方法，包括以下步骤：

步骤一、以样本数据X＝{x₁,x₂,…,x_n}对应的概率密度曲线为基础，建立n个误差圆，其中，n表示样本数据的总个数；

步骤二、从每个所述误差圆内均随机抽取w个扩充数据，建立包含n个扩充数据的自助样本；

步骤三、利用Bootstrap自助法对所述自助样本进行样本数据的变异性评估。

进一步，所述误差圆以样本数据X＝{x₁,x₂,…,x_n}对应其概率密度曲线上的点为圆心，以所述样本数据的抽样极限误差为最大半径。

进一步，所述n个扩充数据来自全部或者部分的误差圆。

进一步，将所述误差圆的水平直径等分成多份，对应地所述误差圆分成多个部分，从每个所述部分按照各自的预定概率随机抽取多个扩充数据，共同组成w个扩充数据。

进一步，每个所述部分对应的预定概率通过所述部分的面积与整个误差圆的面积的比值计算得到。

进一步，将所述误差圆的水平直径等分成五份，对应地所述误差圆分成五个部分，每个所述部分对应的预定概率分别为0.142、0.232、0.252、0.232、0.142。

一种用于Bootstrap自助法的自助样本的获取方法，自助样本的数据来自原来样本和扩充样本、或者仅是扩充样本，所述扩充样本的数据属于原来样本的数据的抽样极限误差之内的数据，但不属于原来样本。

进一步，获取所述扩充样本的方法包括以下步骤：

步骤ⅰ、以原来样本X＝{x₁,x₂,…,x_n}对应的概率密度曲线为基础，建立n个误差圆，其中，n表示原来样本的数据的总个数；

步骤ⅱ、从每个所述误差圆内随机抽取多个扩充数据，所述扩充数据不属于原来样本，建立包含n个扩充数据的扩充样本。

进一步，所述误差圆以原来样本的数据X＝{x₁,x₂,…,x_n}对应其概率密度曲线上的点为圆心，以所述原来样本数据的抽样极限误差为最大半径，所述n个扩充数据来自全部或者部分的误差圆。

进一步，将所述误差圆的水平直径等分成多份，对应地所述误差圆被分成多个部分，从每个所述部分按照各自的预定概率随机抽取多个扩充数据，每个所述部分对应的预定概率通过所述部分的面积与整个误差圆的面积的比值计算得到。

本发明有益的技术效果在于：

基于样本数据的概率分布曲线和抽样极限误差，建立合理的误差圆模型，使在误差圆中随机抽取的扩充样本的数据具有普遍性，并且利用水平直径等分的方法对误差圆进行分割，计算扩充样本的数据在误差圆内的分布概率，避免集中误差圆内某一区域的抽取，减小了对再抽样分布不均的影响，使得到的扩充样本更加合理，且精确可信，进而促使通过Bootstrap方法计算得到的结果更加精确，更加逼近实际状况。另外，将本发明的方法用于产品开发过程中，在设计阶段考虑误差带来的影响，这样可以对设计方案进行有效优化，保证产品质量，提高产品的可靠性，同时也可以降低研发成本。

附图说明

图1是本发明的总体流程图；

图2是本发明的误差圆的分割划分示意图；

图3是本发明的表面粗糙度样本对应的概率密度曲线示意图；

图4是利用本发明的方法对表面粗糙度样本数据的变异性评估的结果示意图，其中，实线表示表面粗糙度样本数据的均值，虚线表示表面粗糙度样本数据的置信区间的上限，点划线表示表面粗糙度样本数据的置信区间的下限；

图5是利用本发明的方法对表面粗糙度样本数据的变异性评估，其误差圆半评估结果的影响示意图；

图6是利用本发明的方法对表面粗糙度因数样本数据的变异性评估的结果示意图，其中，实线表示表面粗糙度因数样本数据的均值，虚线表示表面粗糙度因数样本数据的置信区间的上限，点划线表示表面粗糙度因数样本数据的置信区间的下限；

图7是利用本发明的方法对表面粗糙度因数样本数据的变异性评估，其误差圆半评估结果的影响示意图；

图8是利用本发明的方法对S-N曲线的截距log a样本数据的变异性评估的结果示意图，其中，实线表示S-N曲线的截距log a样本数据的均值，虚线表示S-N曲线的截距log a样本数据的置信区间的上限，点划线表示S-N曲线的截距log a样本数据的置信区间的下限；

图9是利用本发明的方法对S-N曲线的截距log a样本数据的变异性评估，其误差圆半评估结果的影响示意图；

图10是利用本发明的方法和单独使用Bootstrap方法，对型号为AISI8630M低合金钢的疲劳寿命预测影响结果的对比示意图；

图11是对图10的对比示意图的局部放大图，其中，点线表示利用本发明的方法得到S-N曲线的截距log a样本数据的均值计算得到的S-N曲线，虚线表示利用本发明的方法得到S-N曲线的截距log a样本数据的置信区间的上下限计算得到的S-N曲线，实线表示利用单独使用Bootstrap方法得到S-N曲线的截距log a样本数据的置信区间的上下限计算得到的S-N曲线。

具体实施方式

下面结合附图及较佳实施例详细说明本发明的具体实施方式。

由于在工程应用和科学研究过程中，得到的观测数据不可避免的产生误差，考虑各种误差带来的影响，得到更加精确合理的结果对工程应用和科学研究有着重大的意义。Bootstrap方法，又称自助法是美国Stanford大学统计系教授Efron提出的一种新的统计推断方法,是一种只依赖于给定的观测信息,而不需要其它假设和增加新的观测的统计推断方法，但是，由于自助样本只能由原样本生成，容易导致计算结果极大偏离真实分布，参见附图1，本发明提供了一种用于Bootstrap自助法的自助样本的获取方法，该自助样本的数据来自原来样本和扩充样本、或者仅是扩充样本，其扩充样本的数据属于原来样本的数据的抽样极限误差之内的数据，但不属于原来样本。

获取上述扩充样本的方法包括以下步骤：

步骤一、以原来样本X＝{x₁,x₂,…,x_n}对应的概率密度曲线为基础，建立n个误差圆，其中，n表示原来样本的数据的总个数，该误差圆以原来样本的数据对应其概率密度曲线上的点为圆心，以原来样本数据的抽样极限误差为最大半径。

抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标，是指抽样平均数的平均离差程度。抽样极限误差表示的是样本指标与总体指标偏差的可允许的最大范围，它表明被估计的总体指标有希望落在一个以样本指标为基础的可能范围。抽样平均误差和抽样极限误差的表述如下所示：

δ＝t×μ_x

其中，μ_x表示抽样平均误差，σ表示标准差，n表示样本的数据个数，μ表示样本的均值，δ表示抽样极限误差，t表示抽样误差概率。这些参数都是已知的，或者是可以通过样本直接计算得到的，t一般取95％，即在95％的置信区间内，则样本数据的误差的范围α为[0，δ]，上述误差圆的半径取值即在该误差α之内。

步骤二、从每个误差圆内随机抽取多个扩充数据，该扩充数据不属于原来样本，建立包含n个扩充数据的扩充样本，这n个扩充数据可以来自全部或者部分的误差圆，当来自全部误差圆时，扩充样本覆盖原来样本的每个数据周围，这样，抽样范围广，数据组成更加合理。

具体过程如下：

首先，将每个误差圆的水平直径等分成多份，对应地误差圆被分成多个部分，然后，从每个部分按照各自的预定概率随机抽取多个扩充数据，每个部分对应的预定概率可以通过该部分的面积与整个误差圆的面积的比值计算得到。

参见附图2，将水平直径划分为五等份，对应地其误差圆被分为五个部分，分别标记为A、B、C、D、E，其对应的面积分别标记为S_A,S_B,S_C,S_E,S_F，这五个部分的面积分别与对应的误差圆总面积的比值即为各个部分对应的预定概率，分别标记为P(A),P(B),P(C),P(D),P(E)。

根据圆的特点，利用如下方程式，计算每个部分的面积：

根据每个部分在误差圆内的概率来决定每个部分的扩充数据的个数。根据圆的特点，利用如下方程式，计算每个部分的概率：

假定在每个误差圆抽取w个扩充样本的数据，则每个部分所抽取的个数为：

m_i＝w×P(i)

其中，m_i为每个部分所抽取的个数，i＝A,B,C,D,E。

本发明还提供了一种用于评估统计值变异性的方法，包括以下步骤：

步骤一、以样本数据X＝{x₁,x₂,…,x_n}对应的概率密度曲线为基础，建立n个误差圆，其中，n表示样本数据的总个数，其误差圆的具体建立方法如上文所述。

步骤二、从每个所述误差圆内均随机抽取w个扩充数据，建立包含n个扩充数据的自助样本，其自助样本的具体获取方法如上文所述。

步骤三、利用Bootstrap自助法对所述自助样本进行样本数据的变异性评估。

以型号为AISI8630M低合金钢的表面粗糙度为例，利用上述方法评估对其疲劳寿命的影响进行详细说明。

取表面粗糙度样本数据为R_a＝{3.2,2.9,2.9,3.1,3.2,3.0,3.3,3.1}，通过非参数假设检验方法如拟合优度χ²检验法验证上述表面粗糙度样本服从正态分布，经计算得到X～N(μ,σ²),μ＝3.0875,σ²＝0.0213。

其中，x表示样本数据R_a，y表示对应的概率密度。

将表面粗糙度样本的具体数据代入公式(1)中得到对应的概率密度y＝{2.0329,1.1988,1.1988,2.7258,2.0329,2.2861,0.9480,2.7258}。将x，y进行拟合，获取概率密度曲线，并建立误差圆，如图3所示，图中r_i表示每个误差圆的半径。

利用上文所述的用于Bootstrap自助法的自助样本的获取方法，在样本数据的误差的范围α为[0，δ]内，表面粗糙度样本的抽样极限误差δ为1.59％，按照误差圆半径递增的方式，重复获取多个自助样本，再重复利用Bootstrap自助法多个获取的自助样本进行表面粗糙度样本数据的变异性评估，其计算结果如图4和图5所示，从图4和图5可知，随着误差圆半径的增加，表面粗糙度样本数据均值的置信区间长度也在增加，在误差圆半径取最大值即抽样极限误差时，对应的置信区间长度0.176171，而单纯使用Bootstrap自助法计算得到的置信区间长度0.187500，因此，利用本发明的自助样本的获取方法的计算结果更优。

其中，K_r为表面粗糙度因数，R_m为抗拉强度，对于型号为AISI8630M的低合金钢，其抗拉强度R_m取值为771MPa，将其代入公式(2)，得到以下公式：

K_r＝1-0.1289log(4R_a) (3)

表面粗糙度因数K_r的计算公式如公式(3)所示，将上述表面粗糙度样本数据代入公式(3)，得到K_r＝{0.8573,0.8628,0.8628,0.8591,0.8573,0.8609,0.8556,0.8591}，表面粗糙度因数K_r的抽样极限误差δ为0.10％，用上文所述的同样的方法进行估计，其计算结果如图6和图7所示，从图6和图7可知，随着误差圆半径的增加，表面粗糙度因数样本数据均值的置信区间长度也在增加，在误差圆半径取最大值即抽样极限误差时，对应的置信区间长度0.002924，而单纯使用Bootstrap自助法计算得到的置信区间长度0.003225，因此，利用本发明的自助样本的获取方法计算结果更优。

S-N曲线的截距log a的计算如上述公式(4)所示，将各个参数，如常数

平均应力敏感指数M的范围为[0.12,0.30]，斜率

应力比R＝0.05，抗拉强度R_m＝771MPa，这些参数都是根据材料的不同而变化的，代入(4)得到如下公式：

log a＝6+11.1log(567.29K_r) (5)

将表面粗糙度因数K_r代入公式(5)得到截距log a＝{35.8250,35.8558,35.8558,35.8351,35.8250,35.8452,35.8154,35.8351}，其抽样极限误差δ为0.01％，用上文所述的同样的方法进行估计，其计算结果如图8和图9所示，从图8和图9可知，随着误差圆半径的增加，截距log a样本数据均值的置信区间长度也在增加，在误差圆半径取最大值即抽样极限误差时，对应的置信区间长度0.019789，而单纯使用Bootstrap自助法计算得到的置信区间长度0.020075，因此，利用本发明的自助样本的获取方法计算结果更优。

型号为AISI8630M的低合金钢的S-N曲线如下所示：

将上文所述的利用本发明的方法获取自助样本，计算得到的截距log a样本数据的均值以及置信区间，分别代入公式(6)得到对应的低合金钢的S-N曲线，对比单纯使用Bootstrap自助法计算得到截距log a样本数据的均值以及置信区间，分别代入公式(6)得到对应的低合金钢的S-N曲线，如图10所示，由于曲线变化很小，过于密集，为了看清楚两种方法之间的对比结果，将S-N曲线进行双对数处理，并且进行局部放大，如图11所示，其中，点线表示利用本发明的方法得到S-N曲线的截距log a样本数据的均值计算得到的S-N曲线，虚线表示利用本发明的方法得到S-N曲线的截距log a样本数据的置信区间的上下限计算得到的S-N曲线，U-V代表上限，L-V代表下限，实线表示利用单独使用Bootstrap方法得到S-N曲线的截距log a样本数据的置信区间的上下限计算得到的S-N曲线，U-B代表上限，L-B代表下限，从图11中可知，利用本发明的自助样本的获取方法计算结果更优。

本发明基于样本数据的概率分布曲线和抽样极限误差，建立合理的误差圆模型，使在误差圆中随机抽取的扩充样本的数据具有普遍性，并且利用水平直径等分的方法对误差圆进行分割，计算扩充样本的数据在误差圆内的分布概率，避免集中误差圆内某一区域的抽取，减小了对再抽样分布不均的影响，使得到的扩充样本更加合理，且精确可信，进而促使通过Bootstrap方法计算得到的结果更加精确，更加逼近实际状况。另外，将本发明的方法用于产品开发过程中，在设计阶段考虑误差带来的影响，这样可以对设计方案进行有效优化，保证产品质量，提高产品的可靠性，同时也可以降低研发成本。

虽然以上描述了本发明的具体实施方式，但是本领域的技术人员应当理解，这些仅是举例说明，在不背离本发明的和实质的前提下，可以对这些实施方式做出多种变更或修改，因此，本发明的保护范围由所附权利要求书限定。

Claims (5)

1.一种基于表面粗糙度的低合金钢构件疲劳寿命评估方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、采集低合金钢构件的表面粗糙度样本X＝{x₁,x₂,…,x_n}，计算对应的概率密度，将表面粗糙度和对应概率密度进行拟合，获取概率密度曲线，并建立n个误差圆，从每个所述误差圆内随机抽取多个扩充数据，从而得到扩充后的表面粗糙度样本；

步骤二、以扩充后的表面粗糙度样本为基础，计算对应的表面粗糙度因数，获得因数样本，再利用步骤一的方法扩充因数样本；

步骤三、以扩充后的因数样本为基础，计算对应的截距，获得截距样本，然后利用步骤一的方法扩充截距样本；

步骤四、以扩充后的截距样本为基础，计算疲劳寿命曲线S-N，完成对低合金钢构件疲劳寿命的评估。

2.根据权利要求1所述的基于表面粗糙度的低合金钢构件疲劳寿命评估方法，其特征在于：所述误差圆以原来样本的数据X＝{x₁,x₂,…,x_n}对应其概率密度曲线上的点为圆心，以所述原来样本数据的抽样极限误差为最大半径，n个扩充数据来自全部或者部分的误差圆。

3.根据权利要求2所述的基于表面粗糙度的低合金钢构件疲劳寿命评估方法，其特征在于：将所述误差圆的水平直径等分成多份，对应地所述误差圆被分成多个部分，从每个所述部分按照各自的预定概率随机抽取多个扩充数据，每个所述部分对应的预定概率通过所述部分的面积与整个误差圆的面积的比值计算得到。

4.根据权利要求3所述的基于表面粗糙度的低合金钢构件疲劳寿命评估方法，其特征在于：将所述误差圆的水平直径等分成五份，对应地所述误差圆分成五个部分，每个所述部分对应的预定概率分别为0.142、0.232、0.252、0.232、0.142。

5.根据权利要求1所述的基于表面粗糙度的低合金钢构件疲劳寿命评估方法，其特征在于：取表面粗糙度样本数据R_a，通过非参数假设检验方法即拟合优度χ²检验法验证上述表面粗糙度样本服从正态分布X～N(μ,σ²)，经计算得到，

其中，x表示样本数据R_a，y表示对应的概率密度；

将表面粗糙度样本的具体数据代入公式(1)中得到对应的概率密度y，将x，y进行拟合，获取概率密度曲线，并建立多个误差圆，其误差圆的半径r_i取抽样极限误差的最大值，从每个所述误差圆内随机抽取多个扩充数据，从而得到扩充后的表面粗糙度样本；

以扩充后的表面粗糙度样本为基础，利用如下方程式，计算对应的表面粗糙度因数，获得因数样本，再利用步骤一的方法对因数样本进行扩充，

其中，K_r为表面粗糙度因数，R_m为抗拉强度，

以扩充后的因数样本为基础，利用如下方程式，计算对应的截距，获得截距样本，再利用步骤一的方法对截距样本进行扩充，

其中，

为常数，M为平均应力敏感指数，

为斜率，R为应力比，

R_m为抗拉强度，

以扩充后的截距样本为基础，利用方程式

计算疲劳寿命曲线S-N，完成对低合金钢构件疲劳寿命的评估。

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