CN109211093B - 基于交变电场的反射型绝对式时栅角位移传感器 - Google Patents
基于交变电场的反射型绝对式时栅角位移传感器 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种基于交变电场的反射型绝对式时栅角位移传感器，包括转子基体和定子基体，转子基体下表面设有反射电极Ⅰ、感应电极、反射电极Ⅱ，反射电极Ⅰ、Ⅱ分别与感应电极相连；定子基体上表面设有接收电极Ⅰ、激励电极和接收电极Ⅱ，激励电极的四个激励相分别连接四路激励信号，接收电极Ⅰ输出第一路差动正弦行波信号，接收电极Ⅱ输出第二路差动正弦行波信号，利用第一路与第二路差动正弦行波信号的相位差计算粗测对极定位值，利用第一路或者第二路差动正弦行波信号计算精测角位移值，将精测角位移值与粗测对极定位值相结合得到绝对角位移值。该传感器能实现绝对角位移测量，同时扩大应用范围，增强工业适应性。
Description
技术领域
本发明涉及精密角位移传感器，具体涉及一种基于交变电场的反射型绝对式时栅角位移传感器。
背景技术
角位移传感器分为增量式和绝对式两种。相比增量式，绝对式角位移传感器具有开机无需复位，立刻获得绝对角度信息和无累计误差等优势，提高了工作效率和可靠性，因而逐渐成为角位移传感器的发展趋势。目前使用广泛的是绝对式光电编码器，它主要通过编码实现绝对定位，但是编码解码过程复杂。另外，需要利用精密刻线作为空间基准来实现精密测量，但是刻线的宽度受到光学衍射极限的限制。近年来研制出一种以时钟脉冲作为位移测量基准的时栅传感器，并在此基础上研制出了一种电场式时栅角位移传感器(公开号为CN103968750A)，这种传感器以高频时钟脉冲作为测量基准，采用平行电容板构建交变电场进行精密位移测量，虽然能够实现精密测量，但是其仍然存在如下问题：(1)采用增量计数方式，存在累计误差；(2)激励信号从传感器的定子基体上的激励电极接入，感应信号从转子基体上的转子电极输出，转子基体上需要引信号输出线，有些场合不能使用，应用范围窄。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于交变电场的反射型绝对式时栅角位移传感器，以实现绝对角位移测量，同时扩大应用范围，增强工业适应性。
本发明所述的基于交变电场的反射型绝对式时栅角位移传感器，包括定子基体和与定子基体同轴安装的转子基体，转子基体下表面与定子基体上表面正对平行，并留有间隙，转子基体下表面设有感应电极，定子基体上表面设有与感应电极正对的激励电极，所述激励电极由一圈径向高度相同、圆心角相等的扇环形极片沿圆周方向等间隔排布组成，其中，第4n1+1号扇环形极片连成一组，组成A激励相，第4n1+2号扇环形极片连成一组，组成B激励相，第4n1+3号扇环形极片连成一组，组成C激励相，第4n1+4号扇环形极片连成一组，组成D激励相，n1依次取0至M1-1的所有整数，M1表示激励电极的对极数。
所述定子基体上表面设有差动式的接收电极Ⅰ和差动式的接收电极Ⅱ，接收电极Ⅰ位于激励电极的外侧，接收电极Ⅱ位于激励电极的内侧，所述转子基体下表面设有与接收电极Ⅰ正对的反射电极Ⅰ和与接收电极Ⅱ正对的反射电极Ⅱ(即反射电极Ⅰ位于感应电极的外侧，反射电极Ⅱ位于感应电极的内侧)；所述感应电极由一圈相同的双正弦形极片沿圆周方向等间隔排布组成，该双正弦形极片所对的圆心角等于所述扇环形极片所对的圆心角，其中，第4n2+1号双正弦形极片连成一组，组成A感应组，第4n2+2号双正弦形极片连成一组，组成B感应组，第4n2+3号双正弦形极片连成一组，组成C感应组，第4n2+4号双正弦形极片连成一组，组成D感应组，n2依次取0至M2-1的所有整数，M2表示感应电极的对极数，M2＝M1；所述反射电极Ⅰ具有A1反射组、B1反射组、C1反射组和D1反射组，A1、B1、C1、D1反射组分别与对应的A、B、C、D感应组相连，所述反射电极Ⅱ具有A2反射组、B2反射组、C2反射组和D2反射组，A2、B2、C2、D2反射组分别与对应的A、B、C、D感应组相连。
测量时，转子基体与定子基体相对平行转动，对定子基体的A、B、C、D激励相分别施加相位依次相差90°的四路同频等幅正弦激励电压，激励信号经激励电极与感应电极之间的一次耦合电场，在感应电极上产生四路同频等幅相位相差90°的电信号，这四路电信号经反射电极Ⅰ与接收电极Ⅰ以及反射电极Ⅱ与接收电极Ⅱ之间的二次耦合电场，在接收电极Ⅰ上产生相位相差180°的同频等幅的第一、第二行波信号，经减法电路后获得第一路差动正弦行波信号Uo1，在接收电极Ⅱ上产生相位相差180°的同频等幅的第三、第四行波信号，经减法电路后获得第二路差动正弦行波信号Uo2，第一路差动正弦行波信号Uo1或者第二路差动正弦行波信号Uo2经处理后得到精测角位移值(即对极内角位移值)，第一路差动正弦行波信号Uo1与第二路差动正弦行波信号Uo2比相后的相位差经处理后得到粗测对极定位值，将精测角位移值与粗测对极定位值相结合得到绝对角位移值。
所述感应电极中的双正弦形极片沿圆周方向展开后的形状为两条幅值相等、相位相差180°的正弦曲线在[0,π]区间围成的全封闭轴对称图形。
所述反射电极Ⅰ由一圈径向高度相同、圆心角相等的扇环形极片Ⅰ沿圆周方向等间隔排布组成，其中，第4n3+1号扇环形极片Ⅰ连成一组，组成所述A1反射组，第4n3+2号扇环形极片Ⅰ连成一组，组成所述B1反射组，第4n3+3号扇环形极片Ⅰ连成一组，组成所述C1反射组，第4n3+4号扇环形极片Ⅰ连成一组，组成所述D1反射组，n3依次取0至M3-1的所有整数，M3表示反射电极Ⅰ的对极数；A1反射组与A感应组相连，B1反射组与B感应组相连，C1反射组与C感应组相连，D1反射组与D感应组相连。
所述反射电极Ⅱ由一圈径向高度相同、圆心角相等的扇环形极片Ⅱ沿圆周方向等间隔排布组成，其中，第4n4+1号扇环形极片Ⅱ连成一组，组成所述A2反射组，第4n4+2号扇环形极片Ⅱ连成一组，组成所述B2反射组，第4n4+3号扇环形极片Ⅱ连成一组，组成所述C2反射组，第4n4+4号扇环形极片Ⅱ连成一组，组成所述D2反射组，n4依次取0至M4-1的所有整数，M4表示反射电极Ⅱ的对极数；A2反射组与A感应组相连，B2反射组与B感应组相连，C2反射组与C感应组相连，D2反射组与D感应组相连。
所述接收电极Ⅰ的整体形状为圆环Ⅰ，圆环Ⅰ由半径为b1的内圆与半径为a1的外圆围成，并被一条周期个数为M5、线宽为d的封闭正弦极坐标曲线Ⅰ剖成相互绝缘的两块极片，两块极片分别作为所述第一行波信号的输出电极和第二行波信号的输出电极，所述封闭正弦极坐标曲线Ⅰ的相邻两个波峰之间的夹角α为M5表示接收电极Ⅰ的对极数，M5＝M3。
所述接收电极Ⅱ的整体形状为圆环Ⅱ，圆环Ⅱ由半径为b2的内圆与半径为a2的外圆围成，并被一条周期个数为M6、线宽为d的封闭正弦极坐标曲线Ⅱ剖成相互绝缘的两块极片，两块极片分别作为所述第三行波信号的输出电极和第四行波信号的输出电极，所述封闭正弦极坐标曲线Ⅱ的相邻两个波峰之间的夹角β为M6表示接收电极Ⅱ的对极数，M6＝M4。
所述封闭正弦极坐标曲线Ⅰ的波峰到半径为a1的外圆的距离为d、波谷到半径为b1的内圆的距离为d；所述封闭正弦极坐标曲线Ⅱ的波峰到半径为a2的外圆的距离为d、波谷到半径为b2的内圆的距离为d。
本发明具有如下效果：
(1)将感应电极感应到的四路行波信号作为二次耦合调制的激励信号，二次耦合调制的激励信号经反射电极Ⅰ、Ⅱ反射回接收电极Ⅰ、Ⅱ，由接收电极Ⅰ、Ⅱ输出行波信号，输入输出信号均在定子基体上，转子基体无需引信号输出线，应用范围更广。
(2)对第一路差动正弦行波信号Uo1或者第二路差动正弦行波信号Uo2进行处理得到精测角位移值，将第一路差动正弦行波信号Uo1与第二路差动正弦行波信号Uo2比相后的相位差进行处理得到粗测对极定位值；粗测定位与精测均采用第一路、第二路差动正弦行波信号，信号差异性较小，既实现了绝对角位移测量，又保证了测量精度。
(3)接收电极Ⅰ、Ⅱ采用差动形式的全封闭图形结构，无引线串扰，消除了共模干扰，提高了信号质量，环境适应能力更好，工业适应性更强。
附图说明
图1为本发明中定子基体上的电极与转子基体上的电极示意图。
图2为本发明中定子基体与转子基体的对应关系示意图。
图3为本发明中定子基体的引线示意图。
图4为本发明中转子基体的引线示意图。
图5为本发明的信号处理原理框图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作详细说明。
如图1至图4所示的基于交变电场的反射型绝对式时栅角位移传感器，包括定子基体1和与定子基体1同轴安装的转子基体2，转子基体2下表面与定子基体1上表面正对平行，并留有0.5mm间隙，定子基体1、转子基体2均采用陶瓷作为基体材料，通过在陶瓷表面喷镀一层铁镍合金作为电极的极片。
如图1至图3所示，定子基体1上表面由外圈到内圈依次设有差动式的接收电极Ⅰ12、激励电极11和差动式的接收电极Ⅱ13。
激励电极11由一圈内圆半径为17.72mm、径向高度为3.9mm、圆心角为1.875°的扇环形极片沿圆周方向等间隔排布组成，该间隔所对的圆心角(即相邻两个扇环形极片之间间隔的圆心角)为1.875°，激励电极11的对极数M1＝24，每相邻的四个扇环形极片形成一个对极，则总共有96个扇环形极片；其中，沿圆周顺时针方向第4n1+1号扇环形极片通过第一根激励信号连接线连成一组，组成A激励相，第4n1+2号扇环形极片通过第二根激励信号连接线连成一组，组成B激励相，第4n1+3号扇环形极片通过第三根激励信号连接线连成一组，组成C激励相，第4n1+4号扇环形极片通过第四根激励信号连接线连成一组，组成D激励相，n1依次取0至23的所有整数。
接收电极Ⅰ12的对极数M5＝4，接收电极Ⅰ12的整体形状为圆环Ⅰ，该圆环Ⅰ由半径为25.7mm的内圆与半径为27.9mm的外圆围成，圆环Ⅰ的径向高度为2.2mm，圆环Ⅰ被一条周期个数为4、线宽为0.2mm的封闭正弦极坐标曲线Ⅰ剖成相互绝缘的两块极片，封闭正弦极坐标曲线Ⅰ的波峰到半径为27.9mm的外圆的距离为0.2mm，封闭正弦极坐标曲线Ⅰ的波谷到半径为25.7mm的内圆的距离为0.2mm，封闭正弦极坐标曲线Ⅰ的相邻两个波峰之间的夹角α为90°，封闭正弦极坐标曲线Ⅰ的相邻两个波谷之间的夹角为90°，即封闭正弦极坐标曲线Ⅰ的周期为90°，圆环Ⅰ(即接收电极Ⅰ12)的一块极片作为第一行波信号的输出电极(即在激励作用下可产生第一行波信号)，圆环Ⅰ(即接收电极Ⅰ12)的另一块极片作为第二行波信号的输出电极(即在激励作用下可产生第二行波信号)。
接收电极Ⅱ13的对极数M6＝3，接收电极Ⅱ13的整体形状为圆环Ⅱ，该圆环Ⅱ由半径为13mm的内圆与半径为16.07mm的外圆围成，圆环Ⅱ的径向高度为3.07mm，圆环Ⅱ被一条周期个数为3、线宽为0.2mm的封闭正弦极坐标曲线Ⅱ剖成相互绝缘的两块极片，封闭正弦极坐标曲线Ⅱ的波峰到半径为16.07mm的外圆的距离为0.2mm，封闭正弦极坐标曲线Ⅱ的波谷到半径为13mm的内圆的距离为0.2mm，封闭正弦极坐标曲线Ⅱ的相邻两个波峰之间的夹角β为120°，封闭正弦极坐标曲线Ⅱ的相邻两个波谷之间的夹角为120°，即封闭正弦极坐标曲线Ⅱ的周期为120°，圆环Ⅱ(即接收电极Ⅱ13)的一块极片作为第三行波信号的输出电极(即在激励作用下可产生第三行波信号)，圆环Ⅱ(即接收电极Ⅱ13)的另一块极片作为第四行波信号的输出电极(即在激励作用下可产生第四行波信号)。
如图1、图2、图4所示，转子基体2下表面由外圈到内圈依次设有反射电极Ⅰ22、感应电极21和反射电极Ⅱ23，反射电极Ⅰ22与接收电极Ⅰ12正对，感应电极21与激励电极11正对，反射电极Ⅱ23与接收电极Ⅱ13正对。
感应电极21由一圈相同的双正弦形极片沿圆周方向等间隔排布组成，该间隔所对的圆心角(即相邻两个双正弦形极片之间间隔的圆心角)为1.875°，感应电极21的对极数M2＝24，每相邻的四个双正弦形极片形成一个对极，则总共有96个双正弦形极片，双正弦形极片沿圆周方向展开后的形状为两条幅值相等、相位相差180°的正弦曲线在[0,π]区间围成的全封闭轴对称图形，每个双正弦形极片的中心到圆心的距离(即每个双正弦形极片的中心所在的圆的半径)为19.67mm，每个双正弦形极片的径向高度为3.4mm、所对的圆心角为1.875°；其中，沿圆周顺时针方向其中，第4n2+1号双正弦形极片通过第一根感应信号连接线连成一组，组成A感应组，第4n2+2号双正弦形极片通过第二根感应信号连接线连成一组，组成B感应组，第4n2+3号双正弦形极片通过第三根感应信号连接线连成一组，组成C感应组，第4n2+4号双正弦形极片通过第四根感应信号连接线连成一组，组成D感应组，n2依次取0至23的所有整数，感应电极21的每个对极内的四个双正弦形极片与激励电极11的每个对极内的四个扇环形极片的空间位置一一对应。
反射电极Ⅰ22由一圈内圆半径为25.45mm、径向高度为2.7mm、圆心角为11.25°的扇环形极片Ⅰ沿圆周方向等间隔排布组成，该间隔所对的圆心角(即相邻两个扇环形极片Ⅰ之间间隔的圆心角)为11.25°，反射电极Ⅰ22的对极数M3＝4，每相邻的四个扇环形极片Ⅰ形成一个对极，则总共有16个扇环形极片Ⅰ；其中，沿圆周顺时针方向第4n3+1号扇环形极片Ⅰ通过第一根反射信号连接线连成一组，组成A1反射组，A1反射组通过信号引线与A感应组相连，第4n3+2号扇环形极片Ⅰ通过第二根反射信号连接线连成一组，组成B1反射组，B1反射组通过信号引线与B感应组相连，第4n3+3号扇环形极片Ⅰ通过第三根反射信号连接线连成一组，组成C1反射组，C1反射组通过信号引线与C感应组相连，第4n3+4号扇环形极片Ⅰ通过第四根反射信号连接线连成一组，组成D1反射组，D1反射组通过信号引线与D感应组相连，n3依次取0至3的所有整数。
反射电极Ⅱ23由一圈内圆半径为12.75mm、径向高度为3.57mm、圆心角为15°的扇环形极片Ⅱ沿圆周方向等间隔排布组成，该间隔所对的圆心角(即相邻两个扇环形极片Ⅱ之间间隔的圆心角)为15°，反射电极Ⅱ23的对极数M4＝3，每相邻的四个扇环形极片Ⅱ形成一个对极，则总共有12个扇环形极片Ⅱ；其中，沿圆周顺时针方向第4n4+1号扇环形极片Ⅱ通过第五根反射信号连接线连成一组，组成A2反射组，A2反射组通过信号引线与A感应组相连，第4n4+2号扇环形极片Ⅱ通过第六根反射信号连接线连成一组，组成B2反射组，B2反射组通过信号引线与B感应组相连，第4n4+3号扇环形极片Ⅱ通过第七根反射信号连接线连成一组，组成C2反射组，C2反射组通过信号引线与C感应组相连，第4n4+4号扇环形极片Ⅱ通过第八根反射信号连接线连成一组，组成D2反射组，D2反射组通过信号引线与D感应组相连，n4依次取0至2的所有整数。
测量时，转子基体2与定子基体1相对平行转动，对定子基体的A、B、C、D激励相分别施加相位依次相差90°的四路同频等幅正弦激励电压(即四根激励信号连接线中分别通入相位依次相差90°的四路同频等幅正弦激励信号)，激励信号经激励电极11与感应电极21之间的一次耦合电场，在感应电极21上产生四路同频等幅相位相差90°的电信号，这四路电信号经反射电极Ⅰ22与接收电极Ⅰ12以及反射电极Ⅱ23与接收电极Ⅱ13之间的二次耦合电场，在接收电极Ⅰ12上产生第一、第二行波信号，在接收电极Ⅱ13上产生第三、第四行波信号。
第一、第二行波信号经减法电路合成第一路差动正弦行波信号Uo1：
Uo1＝KeUmsin[ωt+(M1+M5)θ]＝KeUmsin[ωt+28θ]；
第三、第四行波信号经减法电路合成第二路差动正弦行波信号Uo2：
Uo2＝KeUmsin[ωt+(M1+M6)θ]＝KeUmsin[ωt+27θ]；
其中，激励信号的幅值Um＝5V，频率f＝40KHz，角频率ω＝2πf＝8×104π，Ke为电场耦合系数，θ为精测角位移值。
第一路差动正弦行波信号Uo1(也可以是第二路差动正弦行波信号Uo2)与一路相位固定的同频参考正弦信号Ur经整形电路整形成方波后送入FPGA信号处理系统中进行比相，比相后的相位差由插补的高频时钟脉冲个数表示，并经变换后得到精测角位移值；第一路差动正弦行波信号Uo1与第二路差动正弦行波信号Uo2经整形电路整形成方波后送入FPGA信号处理系统中进行比相，比相后的相位差与一路整形成方波的相位固定的同频参考信号Ur再进行比相，比相后的相位差由插补的高频时钟脉冲个数表示，并经变换后得到粗测对极定位值，FPGA信号处理系统将精测角位移值与粗测对极定位值相结合得到绝对角位移值(参见图5)。
Claims (5)
1.一种基于交变电场的反射型绝对式时栅角位移传感器，包括定子基体(1)和与定子基体(1)同轴安装的转子基体(2)，转子基体下表面与定子基体上表面正对平行，并留有间隙，转子基体下表面设有感应电极(21)，定子基体上表面设有与感应电极(21)正对的激励电极(11)，所述激励电极(11)由一圈径向高度相同、圆心角相等的扇环形极片沿圆周方向等间隔排布组成，其中，第4n1+1号扇环形极片连成一组，组成A激励相，第4n1+2号扇环形极片连成一组，组成B激励相，第4n1+3号扇环形极片连成一组，组成C激励相，第4n1+4号扇环形极片连成一组，组成D激励相，n1依次取0至M1-1的所有整数，M1表示激励电极的对极数；其特征是：
所述定子基体上表面设有差动式的接收电极Ⅰ(12)和差动式的接收电极Ⅱ(13)，接收电极Ⅰ(12)位于激励电极的外侧，接收电极Ⅱ(13)位于激励电极的内侧，所述转子基体下表面设有与接收电极Ⅰ正对的反射电极Ⅰ(22)和与接收电极Ⅱ正对的反射电极Ⅱ(23)；所述感应电极(21)由一圈相同的双正弦形极片沿圆周方向等间隔排布组成，该双正弦形极片所对的圆心角等于所述扇环形极片所对的圆心角，其中，第4n2+1号双正弦形极片连成一组，组成A感应组，第4n2+2号双正弦形极片连成一组，组成B感应组，第4n2+3号双正弦形极片连成一组，组成C感应组，第4n2+4号双正弦形极片连成一组，组成D感应组，n2依次取0至M2-1的所有整数，M2表示感应电极的对极数，M2＝M1；所述反射电极Ⅰ具有A1反射组、B1反射组、C1反射组和D1反射组，A1、B1、C1、D1反射组分别与对应的A、B、C、D感应组相连，所述反射电极Ⅱ具有A2反射组、B2反射组、C2反射组和D2反射组，A2、B2、C2、D2反射组分别与对应的A、B、C、D感应组相连；
测量时，转子基体与定子基体相对平行转动，对定子基体的A、B、C、D激励相分别施加相位依次相差90°的四路同频等幅正弦激励电压，接收电极Ⅰ上产生相位相差180°的同频等幅的第一、第二行波信号，经减法电路后获得第一路差动正弦行波信号Uo1，接收电极Ⅱ上产生相位相差180°的同频等幅的第三、第四行波信号，经减法电路后获得第二路差动正弦行波信号Uo2，第一路差动正弦行波信号Uo1或者第二路差动正弦行波信号Uo2经处理后得到精测角位移值，第一路差动正弦行波信号Uo1与第二路差动正弦行波信号Uo2比相后的相位差经处理后得到粗测对极定位值，将精测角位移值与粗测对极定位值相结合得到绝对角位移值。
2.根据权利要求1所述的基于交变电场的反射型绝对式时栅角位移传感器，其特征是：所述感应电极(21)中的双正弦形极片沿圆周方向展开后的形状为两条幅值相等、相位相差180°的正弦曲线在[0,π]区间围成的全封闭轴对称图形。
3.根据权利要求1或2所述的基于交变电场的反射型绝对式时栅角位移传感器，其特征是：
所述反射电极Ⅰ(22)由一圈径向高度相同、圆心角相等的扇环形极片Ⅰ沿圆周方向等间隔排布组成，其中，第4n3+1号扇环形极片Ⅰ连成一组，组成所述A1反射组，第4n3+2号扇环形极片Ⅰ连成一组，组成所述B1反射组，第4n3+3号扇环形极片Ⅰ连成一组，组成所述C1反射组，第4n3+4号扇环形极片Ⅰ连成一组，组成所述D1反射组，n3依次取0至M3-1的所有整数，M3表示反射电极Ⅰ的对极数；
所述反射电极Ⅱ(23)由一圈径向高度相同、圆心角相等的扇环形极片Ⅱ沿圆周方向等间隔排布组成，其中，第4n4+1号扇环形极片Ⅱ连成一组，组成所述A2反射组，第4n4+2号扇环形极片Ⅱ连成一组，组成所述B2反射组，第4n4+3号扇环形极片Ⅱ连成一组，组成所述C2反射组，第4n4+4号扇环形极片Ⅱ连成一组，组成所述D2反射组，n4依次取0至M4-1的所有整数，M4表示反射电极Ⅱ的对极数。
4.根据权利要求3所述的基于交变电场的反射型绝对式时栅角位移传感器，其特征是：
所述接收电极Ⅰ(12)的整体形状为圆环Ⅰ，圆环Ⅰ由半径为b1的内圆与半径为a1的外圆围成，并被一条周期个数为M5、线宽为d的封闭正弦极坐标曲线Ⅰ剖成相互绝缘的两块极片，两块极片分别作为所述第一、第二行波信号的输出电极，所述封闭正弦极坐标曲线Ⅰ的相邻两个波峰之间的夹角α为M5表示接收电极Ⅰ的对极数，M5＝M3；
所述接收电极Ⅱ(13)的整体形状为圆环Ⅱ，圆环Ⅱ由半径为b2的内圆与半径为a2的外圆围成，并被一条周期个数为M6、线宽为d的封闭正弦极坐标曲线Ⅱ剖成相互绝缘的两块极片，两块极片分别作为所述第三、第四行波信号的输出电极，所述封闭正弦极坐标曲线Ⅱ的相邻两个波峰之间的夹角β为M6表示接收电极Ⅱ的对极数，M6＝M4。
5.根据权利要求4所述的基于交变电场的反射型绝对式时栅角位移传感器，其特征是：
所述封闭正弦极坐标曲线Ⅰ的波峰到半径为a1的外圆的距离为d、波谷到半径为b1的内圆的距离为d；所述封闭正弦极坐标曲线Ⅱ的波峰到半径为a2的外圆的距离为d、波谷到半径为b2的内圆的距离为d。
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