CN109189996B - 基于k2-mdd的大规模图的最大公共连通子图匹配方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于K²‑MDD的大规模图的最大公共连通子图匹配方法，首先对两个图中的顶点进行编码，再根据顶点的编码再对边编码，进而通过边的编码集合构建K²‑MDD；之后利用符号K²‑MDD的逻辑交运算求出每个顶点的度，将度最大的顶点纳入公共子图中，并把与之相邻顶点的度减1，直至相邻边的顶点度全部为0，实现对最大公共连通子图的求解。本发明用K²树的思想对邻接矩阵进行划分，然后使用多值决策图进行存储，使K²树中大量的同构子树所造成的冗余顶点得到合并，达到存储结构更为紧凑的目的，大大减少了顶点产生数量，从而减少了搜索空间，也提高了搜索效率。

Description

基于K2-MDD的大规模图的最大公共连通子图匹配方法

技术领域

本发明涉及图数据处理技术领域，具体涉及一种基于K²-MDD的大规模图的最大公共连通子图匹配方法。

背景技术

图是一种用来描述事物之间特定关系的重要数学模型和数据结构，广泛应用于生活中的各个领域，例如万维网、社交网络、蛋白质交互网络、化学分子结构等。随着图数据规模的不断增大，对其进行有效和快速的分析和处理仍然面临着严峻的挑战，而图模式匹配技术(Graph Pattern Matching)作为实现图数据上高效查询的重要方法，已成为国内外学者的研究热点。从匹配结果与匹配图是否完全一致的角度看，图匹配问题可以分为精确匹配和非精确匹配，其中，精确匹配一般通过定义图同构和子图同构来分析数据图和匹配图之间的关系；非精确图匹配一般通过定义编辑距离、最小公共超图和最大公共子图来衡量两个图之间的相似程度。

最大公共子图在生物学和化学，计算机视觉中，源代码分析，二进制程序和电路设计，字符识别问题以及许多其他领域中有着广泛的应用，并且在一些领域中，它直接作为衡量两个图之间的相似性或差异的方法。研究者对最大公共子图问题进行了大量的研究，而关于图的公共连通子图问题的研究极少，其中，CP约束模型和clique算法在解决最大公共连通子图问题方面已经卓有成效。但它们都是在传统的邻接矩阵表示法的基础上存储数据的。由于数据的不断增加，CP约束模型和clique算法受到搜索空间的限制。

为了对图数据进行紧凑表示，在传统的邻接矩阵表示法的基础上， Brisaboa等于2009年提出了基于K²树(K²-tree)的方法，树中的每一层对应于邻接矩阵或分块子矩阵的分块子矩阵，顶点对应于邻接矩阵的分块子矩阵，生成的K²树使用两个位向量T和L来存储，该方法不仅能够紧凑表示邻接矩阵，而且能实现邻接顶点的正向或逆向高效查询操作。为了应对这个挑战， Li等人使用Brisaboa提出的K²树结构来解决该问题。虽然使用K²树的结构来存储大规模图，使得结构更为紧凑，顶点数得到显著的减少，但是在对大规模图数据表示时仍具有一定的局限性。施佺等给出了K²树表示方法的两种优化技术：启发式深度优先顶点重排序和自适应修正K，使得所表示的结构更为紧凑，顶点得到明显的减少。

不论是K²树还是优化过的K²树，在对大规模图数据存储表示时仍具有一定的局限性，具体表现在：1)当图的规模变大时，图内部本身就会存在大量的同构子图。同样的，当按照K²树的思想把邻接矩阵进行划分后，也存在大量的相同的子矩阵。这就造成了K²树内也存在大量的同构子树。2)K²树仅对稀疏图有效，当图变的稠密时，由于邻接矩阵内可被压缩的0顶点变少，因此K²树紧凑性也会变低。3)K²树未涉及动态图(需要添加或删除顶点、边以及子图等的图)的表示与操作。

目前的K²树的图数据紧凑表示方法对上述图的结构特性尚缺乏必要的考虑，在紧凑性上仍有较大的改善空间。针对基于K²树目前存在的问题，有必要对其进行进一步的优化与改进，以得到一种更为紧凑的结构表示方法使得进一步减少顶点存储空间。

发明内容

本发明所要解决的是现有K²树的图数据紧凑表示方法紧凑性不高，顶点所需存储空间大的问题，提供一种基于K²-MDD的大规模图的最大公共连通子图匹配方法。

为解决上述问题，本发明是通过以下技术方案实现的：

基于K²-MDD的大规模图的最大公共连通子图匹配方法，具体包括步骤如需：

步骤1、根据K²树的规则分别对目标图和匹配图的顶点进行编码；

步骤2、依据目标图和匹配图的顶点编码，对目标图和匹配图的边进行编码，每条边的编码为该条边的2个顶点的编码进行按位和；

步骤3、根据目标图和匹配图的边的编码构造多值决策图结构，由此得到目标图和匹配图的K²-MDD结构图；

步骤4、在构建的目标图和匹配图的K²-MDD结构图中，利用符号决策图的逻辑交运算分别求出目标图和匹配图中各个顶点的度；

步骤5、基于目标图和匹配图中各个顶点的度，对目标图和匹配图的进行匹配，即：

步骤5.1、先选择目标图中度最高的顶点x₁和匹配图中度最高的顶点y₁，将顶点对(x₁，y₁)加入到最大公共连通子图集合Z中；再将目标图的顶点 x₁和匹配图的顶点y₁的度置0；后判断目标图中与顶点x₁具有相邻边的顶点的度是否大于0：如果是，则将与顶点x₁具有相邻边的顶点的度减1；否则，与顶点x₁具有相邻边的顶点的度不作调整；同时判断匹配图中与顶点y₁具有相邻边的顶点的度是否大于0：如果是，则将与顶点y₁具有相邻边的顶点的度减1；否则，与顶点y₁具有相邻边的顶点的度不作调整；

步骤5.2、先从目标图中选择与顶点x₁具有相邻边且度最高的顶点x₂，以及从匹配图中选择与顶点y₁具有相邻边且度最高的顶点y₂，将顶点对(x₂， y₂)加入到最大公共连通子图集合Z中；再将目标图的顶点x₂和匹配图的顶点y₂的度置0；后判断目标图中与顶点x₂具有相邻边的顶点的度是否大于0：如果是，则将与顶点x₂具有相邻边的顶点的度减1；否则，与顶点x₂具有相邻边的顶点的度不作调整；同时判断匹配图中与顶点y₂具有相邻边的顶点的度是否大于0：如果是，则将与顶点y₂具有相邻边的顶点的度减1；否则，与顶点y₂具有相邻边的顶点的度不作调整；

步骤5.3、先从目标图中选择与顶点x_i具有相邻边且度最高的顶点x_i+1，以及从匹配图中选择与顶点y_i具有相邻边且度最高的顶点y_i+1，将顶点对(x _i+1，y_i+1)加入到最大公共连通子图集合Z中；再将目标图的顶点x_i+1和匹配图的顶点y_i+1的度置0；后判断目标图中与顶点x_i+1具有相邻边的顶点的度是否大于0：如果是，则将与顶点x_i+1具有相邻边的顶点的度减1；否则，与顶点x_i+1具有相邻边的顶点的度不作调整；同时判断匹配图中与顶点y_i+1具有相邻边的顶点的度是否大于0：如果是，则将与顶点y_i+1具有相邻边的顶点的度减1；否则，与顶点y_i+1具有相邻边的顶点的度不作调整；其中i＝2，3，4，…， l-1；

步骤5.4、依次迭代步骤5.3，直到目标图中与顶点x_l具有相邻边的所有顶点的度全部为0或匹配图中与顶点y_l具有相邻边的所有顶点的度全部为0，此时完成目标图和匹配图的匹配，输出最大公共连通子图集合Z＝{(x₁，y₁)， (x₂，y₂)，…,(x_i+1，y_i+1)，…，(x_l，y_l)}。

上述步骤1中，目标图和匹配图的每个顶点的编码的位数为n位，其中

K是大于等于2的整数，|V|是顶点数。

与现有技术相比，本发明基于大规模图数据的表示方法K²-MDD；实现对大规模图进行高效、紧凑地表示，大大减少了顶点的存储空间，减小了搜索空间；突破传承的图匹配算法，实现了图数据的紧凑表示与图匹配算法的统一；提高了图匹配算法的求解效率并从一定程度上缓解图匹配问题所面临的组合复杂性问题。

具体实施方式

多值决策图MDD(Multi-valued Decision Diagram)是一个具有多个终端顶点的有向无环图，描述了一个带有n个变量的离散多值函数，f: D₁×D₂×…×D_i×…×D_n→S，其中：

1)D_i＝{1,2,…,n_i}为多值变量x_i的有限值域，不同变量其值域可能不同；S为多值函数f的有限值域，即MDD终端顶点的取值集合，其可能为布尔值 (真和假，或者0和1)、有限整数集合或者有限实数集合。

2)MDD的顶点包括终端顶点和非终端顶点。

3)非终端顶点用x_i表示，包含n_i个指向其他顶点的指针，这些指针和函数f对应，形式化描述如下式所示：

f_xi＝c＝f(x₁,x₂,…,x_i-1,c,x_i+1,…,x_n)

多值变量x₁到x_n给定的一组取值，得到唯一的终端顶点取值。

MDD的化简规则为以下三条：

规则1、合并相同终端顶点：同一属性的终端顶点只保留一个，并删除其余相同属性的终端顶点，原来指向这些已删除的终端顶点的指针重定向到保留的终端顶点上。

规则2、合并相同内部顶点：同一属性的内部顶点，即非终端顶点，只保留一个，并删除其余相同属性的内部顶点，原来指向这些已删除的顶点的指针重定向到保留的内部顶点上。

规则3，删除冗余顶点：如果一个顶点的所有指针都指向同一顶点，那么该顶点就是冗余顶点，将其删除，并将指向该顶点的指针指向删除顶点的孩子顶点。

本发明设计的一种基于K²-MDD的大规模图的最大公共连通子图匹配方法，首先对两个图中的顶点进行编码，再根据顶点的编码再对边编码，进而通过边的编码集合构建K²-MDD；之后利用符号K²-MDD的逻辑交运算求出每个顶点的度，将度最大的顶点纳入公共子图中，并把与之相邻顶点的度减 1，直至相邻边的顶点度全部为0，实现对最大公共连通子图的求解。

下面以目标图T＝(V,E)和匹配图P＝(V,E)为例，对本发明进行进一步详细说明，其中目标图和匹配图的顶点数|V|为大于等于1的整数，边数|E|为大于等于1的整数。

一种基于K²-MDD的大规模图的最大公共连通子图匹配方法，其包括如下步骤：

步骤1、根据K²树的规则对目标图和匹配图的顶点进行n位编码，

步骤1.1、依据K²树对目标图和匹配图的邻接矩阵划分的规则，即K²划分规则，确定图数据顶点的编码长度n为顶点个数以2为底的对数向上取整，即

步骤1.2、本例K＝2，使用二分方式对顶点进行编码。二分的下界LT＝1，上界HT＝2ⁿ。对于编号为N的顶点，1≤N≤|V|，对总数|V|的顶点按递归二分方式进行编码，顶点的n位编码中每一位都是2种状态之一，即0或1。

步骤1.3、若LT＜HT，二分方式的中值等于上界与下界和的一半。若N 小于或等于中值，得到编号为N的顶点的一位编码为“0”，同时将中值减1 作为上界HT；否则，得到编号为N的顶点的一位编码为“1”，同时中值加1 作为下界LT；

步骤1.4、步骤1.3重复进行，直至LT≥HT，此时便得到该编号为N的顶点的n位编码，n位编码中每一位都是K种状态之一即(0，1，…，K-1) 之一。

步骤2、依据步骤1所得顶点编码，对目标图和匹配图的边进行编码。

本发明中目标图和匹配图的无向边为顶点之间的关系，用顶点之间的特征函数描述。

如顶点v₀到顶点v₁之间的边，用特征函数E(v₀,v₁)来描述。设X＝(x₁,…, x_n)，Y＝(y₁,…,y_n)是图中顶点的编码向量，则顶点X到顶点Y的边的特征函数表示为：

E(X,Y)：{0,1,…K-1}ⁿ×{0,1,…K-1}ⁿ→{1,2,…K²}ⁿ

即两个顶点编码的每一位上的K种状态组合得到K²种状态。因此，边的编码长度依然是n位，编码的每一位是K²种状态之一，本例边编码的每一位即1,2,3,4四种状态之一；

根据步骤1得到的将要进行编码的某条边的起、止两个顶点的编码，将该边的两个顶点的某对应位编码状态进行组合，即得到该边的一位编码；n 位编码状态依次对应组合，即得到该边的n位编码。

步骤3、根据步骤2所确定的边编码，构造多值决策图结构MDD (Multi-valuedDecision Diagram)结构，所得为K²-MDD结构。

K²-MDD结构是MDD结构的一种特殊情况，限定了它的变量个数和变量的取值范围，其变量个数，每个变量的取值范围均为{1，2，…，K²}。故K²-MDD 具有MDD的性质，适用MDD的化简规则。

K²-MDD结构为图的邻接矩阵用一个将原始矩阵进行递归的K²等分后构造的多值决策图结构，图的邻接矩阵中任一单元均对应于K²-MDD中n个变量的唯一一组取值，根据该组取值得到的唯一函数值即终端顶点的值，并且此值与原始矩阵中对应单元格的元素值相等。本发明构造的含有n个变量的 K²-MDD，令其n个变量的值等于边编码集合里的值，函数值为T，否则为F，所得K²-MDD与原始图对应。

使用多终点和边值决策图库，即MEDDLY(Multi-terminal and Edge-ValuedDecision Diagram Library)，创建取值范围均为{1,2,…,K²}的n个变量。根据此n个变量，使用布尔型MDD，其终点是真(T)表示概念参数与服务之间有相互关系，否则是假(F)表示概念参数与服务没有相互关系。

初始化一个含有n个变量的MDD，即顶点或边的编码长度n，其值域如步骤1.1所述为1～K²，本例为1～4。

MEDDLY库是为操控MDD提供的一个C/C++开源项目，由爱荷华州立大学在LINUX平台下开发，其中提供了丰富的MDD构造以及操作的函数。例如：使用createVariablesBottomUp()函数创建将要构造MDD的变量个数以及每个变量的取值范围；使用createEdge()函数根据给定的一组或多组变量的值生成一个MDD；使用apply()函数以及UNION运算符将两个MDD 进行合并。

假设图中有m条边，根据步骤2所得的一条边编码，使用MEDDLY库中的createEdge()函数生成一个初始MDD，记为R；在其余边中再取一条边用相同方法生成另一条边的MDD，记为T；

使用MEDDLY库中提供的UNION运算符，对条边生成的MDD即R和 T进行UNION运算，合并结果保存在初始MDD中，即合并结果覆盖原来的 R，仍记作R；

继续在剩余的边中再取一条边用相同方法生成MDD，记为T，R和T进行UNION运算，合并结果仍记作R；

重复上述步骤，直至所有边都生成MDD并合并到初始MDD中，最终得到的初始MDD即R即为该图的K²-MDD结构。

步骤4、在步骤3所构建的目标图和匹配图的K²-MDD中，利用符号决策图的逻辑交运算分别求出每个图中各个顶点的度。

边查询：对于K²-MDD结构图上的任意2个顶点v₁和v₂进行边查询操作，如果查询返回结果为T，则表示顶点v₁和v₂之间的边存在，如果查询返回结果为F，则表示顶点v₁和v₂之间的边不存在。

邻边查询：基于边查询结构，对K²-MDD结构图上的每个顶点进行的邻边查询操作，通过统计与该顶点的相连边的数量求得顶点度。

步骤5、将目标图和匹配图中度最大的顶点进行匹配。

步骤5.1、将目标图和匹配图中度最高的顶点x₁和顶点y₁，并将顶点对 (x₁，y₁)加入到最大公共连通子图集合Z中；同时将顶点x₁和顶点y₁的度置0，若与x₁和y₁具有相邻边的所有顶点度大于0，则将该顶点度数减1，否则不进行调整。

步骤5.2、从目标图和匹配图中分别选择与顶点x₁和顶点y₁具有相邻边，且度最高的顶点x₂和顶点y₂，并将顶点对(x₂，y₂)加入到最大公共连通子图集合Z中；同时将顶点x₂和顶点y₂的度置0，若与x₂和y₂具有相邻边的所有顶点度大于0，则将该顶点的度减1；否则不进行调整。

步骤5.3、重复步骤5.2，直到与顶点x₁和顶点y₁具有相邻边的顶点的度全部为0。

步骤5.4、对已经加入到集合z的x_l和y_l重复步骤5.2和5.3，直到目标图中与顶点x_l具有相邻的所有顶点度全部为0或匹配图中与顶点yl具有相邻边的所有顶点度全部为0，此时完成目标图和匹配图的匹配，输出当前最大公共连通子图集合z＝{(x₁，y₁)(x₂，y₂)，...(x_l，y_l)}。

本发明用K²树的思想对邻接矩阵进行划分，然后使用多值决策图进行存储，使K²树中大量的同构子树所造成的冗余顶点得到合并，达到存储结构更为紧凑的目的，大大减少了顶点产生数量，从而减少了搜索空间，也提高了搜索效率。

需要说明的是，尽管以上本发明所述的实施例是说明性的，但这并非是对本发明的限制，因此本发明并不局限于上述具体实施方式中。在不脱离本发明原理的情况下，凡是本领域技术人员在本发明的启示下获得的其它实施方式，均视为在本发明的保护之内。

Claims (2)

1.基于K²-MDD的大规模图的最大公共连通子图匹配方法，应用于社交网络、蛋白质交互网络、化学分子结构领域的图数据中，其特征是，包括步骤如下：

步骤1、根据K²树的规则分别对目标图和匹配图的顶点进行编码；

步骤2、依据目标图和匹配图的顶点编码，对目标图和匹配图的边进行编码，每条边的编码为该条边的2个顶点的编码进行按位和；

步骤3、根据目标图和匹配图的边的编码构造多值决策图结构，由此得到目标图和匹配图的K²-MDD结构图；

步骤4、在构建的目标图和匹配图的K²-MDD结构图中，利用符号决策图的逻辑交运算分别求出目标图和匹配图中各个顶点的度；即：

边查询：对于K²-MDD结构图上的任意2个顶点v₁和v₂进行边查询操作，如果查询返回结果为T，则表示顶点v₁和v₂之间的边存在，如果查询返回结果为F，则表示顶点v₁和v₂之间的边不存在；

邻边查询：基于边查询结果，对K²-MDD结构图上的每个顶点进行的邻边查询操作，通过统计与该顶点的相连边的数量求得顶点度；

步骤5、基于目标图和匹配图中各个顶点的度，对目标图和匹配图的进行匹配，即：

步骤5.1、先选择目标图中度最高的顶点x₁和匹配图中度最高的顶点y₁，将顶点对(x₁，y₁)加入到最大公共连通子图集合Z中；再将目标图的顶点x₁和匹配图的顶点y₁的度置0；后判断目标图中与顶点x₁具有相邻边的顶点的度是否大于0：如果是，则将与顶点x₁具有相邻边的顶点的度减1；否则，与顶点x₁具有相邻边的顶点的度不作调整；同时判断匹配图中与顶点y₁具有相邻边的顶点的度是否大于0：如果是，则将与顶点y₁具有相邻边的顶点的度减1；否则，与顶点y₁具有相邻边的顶点的度不作调整；

步骤5.2、先从目标图中选择与顶点x₁具有相邻边且度最高的顶点x₂，以及从匹配图中选择与顶点y₁具有相邻边且度最高的顶点y₂，将顶点对(x₂，y₂)加入到最大公共连通子图集合Z中；再将目标图的顶点x₂和匹配图的顶点y₂的度置0；后判断目标图中与顶点x₂具有相邻边的顶点的度是否大于0：如果是，则将与顶点x₂具有相邻边的顶点的度减1；否则，与顶点x₂具有相邻边的顶点的度不作调整；同时判断匹配图中与顶点y₂具有相邻边的顶点的度是否大于0：如果是，则将与顶点y₂具有相邻边的顶点的度减1；否则，与顶点y₂具有相邻边的顶点的度不作调整；

步骤5.3、先从目标图中选择与顶点x_i具有相邻边且度最高的顶点x_i+1，以及从匹配图中选择与顶点y_i具有相邻边且度最高的顶点y_i+1，将顶点对(x_i+1，y_i+1)加入到最大公共连通子图集合Z中；再将目标图的顶点x_i+1和匹配图的顶点y_i+1的度置0；后判断目标图中与顶点x_i+1具有相邻边的顶点的度是否大于0：如果是，则将与顶点x_i+1具有相邻边的顶点的度减1；否则，与顶点x_i+1具有相邻边的顶点的度不作调整；同时判断匹配图中与顶点y_i+1具有相邻边的顶点的度是否大于0：如果是，则将与顶点y_i+1具有相邻边的顶点的度减1；否则，与顶点y_i+1具有相邻边的顶点的度不作调整；其中i＝2，3，4，…，l-1；

步骤5.4、依次迭代步骤5.3，直到目标图中与顶点x_l具有相邻边的所有顶点的度全部为0或匹配图中与顶点y_l具有相邻边的所有顶点的度全部为0，此时完成目标图和匹配图的匹配，输出最大公共连通子图集合Z＝{(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…,(x_i+1，y_i+1)，…，(x_l，y_l)}。

2.根据权利要求1所述的基于K²-MDD的大规模图的最大公共连通子图匹配方法，其特征是，步骤1中，目标图和匹配图的每个顶点的编码的位数为n位，其中

K是大于等于2的整数，|V|是顶点数。