CN109159122B - 采用椭圆型终态神经网络的冗余机器人重复运动规划方法 - Google Patents

Abstract

一种基于椭圆型终态神经网络的冗余机器人重复运动规划方法，在笛卡尔空间中给定机器人末端执行器的期望轨迹r_d(t)，并给出各个关节的期望回拢角度θ_d(0)；对于机器人的重复运动，采用渐近收敛性能指标，通过将冗余机器人轨迹规划的二次优化问题转化为时变矩阵方程求解问题，以椭圆型终态神经网络作为求解器。本发明在初始位置偏移的情况下，实现冗余机器人快速有限时间收敛的重复运动规划任务。本发明提供一种具有有限时间收敛、计算精度高、易于实现的基于椭圆型终态神经网络的冗余机器人运动规划方法。

Description

采用椭圆型终态神经网络的冗余机器人重复运动规划方法

技术领域

本发明涉及工业机器人运动规划技术，具体地，提出一种可以有限时间收敛的、初始位置偏离期望轨迹情形下的、采用椭圆型终态神经网络的冗余机器人重复运动控制方法。

背景技术

工业机器人是面向工业领域的多关节机械手或多自由度的机器装置，它能自动执行工作，是靠自身动力和控制能力来实现各种功能的一种机器。工业机器人技术是近年来高新技术发展的重要领域之一。这一技术在工业、农业、国防、医疗卫生、办公自动化及生活服务等众多领域有着越来越多的应用。

机器人的分类方法很多，按照应用可以将机器人分为工业机器人、极限作业机器人和娱乐机器人；按照自由度的多少可以分为冗余和非冗余机器人。冗余机器人是指末端执行器在执行给定的任务时比其所必需的自由度有更多的自由度。冗余机器人具有更多的操作空间，动作更灵活。考虑n自由度冗余机器人各关节角度和末端执行器位移的关系

r(t)＝f(θ(t)) (1)

其中，r(t)是末端执行器在笛卡尔坐标系下的位姿变量，θ(t)表示关节角度。末端笛卡尔空间和关节空间的微分之间的关系为

其中，

是r(t)的时间导数，

是关节速度向量，J(θ(t))是冗余机器人的雅克比矩阵。通过求解广义逆(伪逆)，可得关节变量速度的最小二范数解为

其中，J(θ(t))⁺＝J(θ(t))^T(J(θ(t))J(θ(t))^T)^-1是雅克比矩阵J(θ(t))的伪逆。

具有等式约束的最小速度范数性能指标作为运动规划的目标函数(D.E.Whitney,Resolved motion rate control of manipulators and human prostheses(操纵器和人工假肢的运动速率控制),IEEE Trans.Man-Machine Syst.1969,10(2):47-53):

式中，A(t)为正定加权矩阵。建立拉格朗日函数

对

分别关于

λ求偏导，可得

解得

基于二次优化(Quadratic Optimization,QP)的冗余解析方案受到关注(F.T.Cheng,T.-H.Chen,and Y.Y.Sun,Resolving manipulator redundancy underinequality constraints(不等式约束条件下的冗余机器人轨迹规划方法),IEEE Trans.Robotics Automat1994，10(1):65-71；)：

冗余机器人轨迹规划的性能直接关系到冗余机器人能否实现给定的末端任务。当末端执行器的运动轨迹是闭合的，在冗余机器人完成末端工作任务后，各个关节角变量在运动空间中的轨迹不一定封闭。这种非重复性问题可能产生不期望的关节位形，使得冗余机器人末端封闭轨迹的重复作业出现预料之外的情况，甚至会导致意外及危险情况的发生。应用最为广泛的伪逆控制方法不能保证运动的重复性。为了完成重复运动，通常采用自运动的方法进行弥补,而自运动进行调整往往效率不高(详见Klein C A and Huang C,Review of Pseudo Inverse Control for use with Kinematically RedundantManipulators(基于伪逆控制方法的冗余机器人运动规划).IEEETrans.Syst.Man.Cybern.1983,13(2):245-250；Tchon K, Janiak M.Repeatableapproximation of the Jacobian pseudo-inverse(雅可比伪逆的可重复逼近).Systemsand Control Letters,2009,58(12):849-856)。

为了执行重复运动任务,引入重复运动指标作为优化准则，形成重复运动规划(Repetitive motion planning,RMP)方案(Zhang Y,Wang J,Xia Y.A dual neuralnetwork for redundancy resolution of kinematically redundant manipulatorssubject to joint limits and joint velocity limits(基于关节角度和角速度限制的冗余机器人轨迹规划方法).IEEE Trans Neural Netw,2003,14(3):658-667)。常用的重复运动指标为如下渐近收敛性能指标AOC(Asympototically-Convengent OptimalityCriterion)：

这里的二次规划(QP)采用递归神经网络(RNN)计算方法求解。通常的神经网络求解器具有渐近收敛性能，只要计算时间足够长，能够获得有效解。

基于二次规划描述冗余度解析问题，已发表文献往往采用递归神经网络求解。相比于具有渐近收敛动态特性的递归神经网络，基于椭圆型终态神经网络的动态特性具有有限时间收敛性，收敛速度快、计算精度高。值得指出的是，冗余机器人轨迹规划问题归结为时变计算问题，而求解时变问题的有效方法是采用具有有限时间收敛性能的递归神经网络计算方法。另外，已发表文献中的有限时间收敛的神经网络多采用线性激励函数，或具有无限值激励函数，实际实现时，由于能量有限，无限值激励函数神经网络实现时也存在本质困难。

发明内容

为了克服现有冗余机器人重复运动规划方法的不能在有限时间收敛、计算精度较低、不易实现的不足，本发明提供一种具有有限时间收敛、计算精度高、易于实现的基于椭圆型终态神经网络的冗余机器人运动规划方法。本发明采用渐近收敛性能指标，通过将冗余机器人轨迹规划的二次优化问题转化为时变矩阵方程求解问题，以基于椭圆型终态神经网络作为求解器，在初始位置偏移的情况下，实现冗余机器人快速有限时间收敛的重复运动规划任务。

为了实现这一目的，本发明给出如下的技术方案。

一种基于椭圆型终态神经网络的冗余机器人重复运动规划方法，包括以下步骤：

1)在笛卡尔空间中给定冗余机器人末端执行器的期望的运动轨迹r_d(t)，并给出各个关节的期望关节角度θ_d(0)；

2)对于重复运动的冗余机器人，其初始关节角度为θ(t)＝θ₀，初始关节角度θ₀不同于期望关节角度，即θ₀≠θ_d(0)；

3)将冗余机器人重复运动规划描述为二次规划问题，给出渐近收敛性能指标，形成重复运动规划方案：

其中，g(θ)＝-β_θ(θ(t)-θ_d(0)),θ(t)、

分别表示冗余机器人的关节角度和关节角速度,β_θ是一设计参数，用来形成关节位移的动态性能；θ(t)-θ_d(0)表示各个关节角与各个关节的期望关节角度之间的关节角位移偏差，r_d(t)表示冗余机器人末端执行器期望的运动轨迹，

表示冗余机器人末端执行器期望的速度向量。由于冗余机器人的初始位置可能不在期望的运动轨迹上，通过减小冗余机器人末端执行器期望的运动轨迹与实际运动轨迹位置间的误差r_d(t)-f(θ(t))，改变冗余机器人末端执行器的运动方向，β_r＞0表示位置的参数增益，用来调节冗余机器人末端执行器运动到期望的运动轨迹的速率；J(θ(t))是冗余机器人雅可比矩阵，f(θ(t))是冗余机器人实际运动轨迹；

4)构建如下描述椭圆型终态神经网络的动态特性方程

其中，

E_ij(t)为误差变量，ε＞0为用于调整误差吸引速度的常值，σ＞0为F(E_ij(t),σ)分段函数分段边界；

式(10)是有限区间稳定的，其有限时间收敛性需分两种情况说明：

当|E_ij(t)|≤σ时，从E_ij(0)到E_ij(t)＝0变化，收敛时间满足

当|E_ij(t)|＞σ时，从E_ij(0)到E_ij(t)＝0变化，收敛时间满足

5)定义拉格朗日函数

其中λ(t)∈R^m为拉格朗日乘子向量,λ^T是λ向量的转置；通过拉格朗日函数对

λ分别求偏导，并令其为零，得矩阵方程

W(t)Y(t)＝V(t) (14)

其中，

I为具有相应维数单位矩阵；

6)为求解步骤3)中的二次规划问题，由式(14)定义误差

E(t)＝W(t)Y(t)-V(t) (15)

根据椭圆型终态神经网络动态特性方程式(10)，给出椭圆型终态神经网络方程

通过神经网络计算过程，得到冗余机器人各个关节角度。

本发明的技术构思为：采用渐近收敛的性能指标

其中，

g(θ(t))＝- β_θ(θ(t)-θ_d(0))

β_r＞0，θ(t)-θ_d(0)表示各个关节角与各个关节的期望关节角度之间的关节角位移偏差，由于人为构造的收敛关系，这个误差会不断地缩小，直至为零。参数β_r用来调节冗余机器人末端执行器运动到期望的运动轨迹的速率。

对冗余机器人重复运动规划构建一种椭圆型终态神经网络的动态特性方程

其中，

E_ij(t)为误差变量，ε＞0为用于调整误差吸引速度的常值，σ＞0为F(E_ij(t),σ)分段函数分段边界。

式(10)是有限区间稳定的，其有限时间收敛性需分两种情况说明：

当|E_ij(t)|≤σ时，从E_ij(0)到E_ij(t)＝0变化，收敛时间满足

当|E_ij(t)|＞σ时，从E_ij(0)到E_ij(t)＝0变化，收敛时间满足

当E_ij(t)有限时间收敛于零时，表示冗余机器人末端执行器沿着期望的运动轨迹在运动。

本发明的有益效果主要表现在：将一种椭圆型终态神经网络方法应用于冗余机器人重复运动规划中，在初始位置偏移情况下实现冗余机器人的有限时间收敛重复运动规划任务。相比于已有重复运动规划方法，该方法误差收敛快，且冗余机器人各个关节偏离期望关节角度的误差精度高。相比于具有渐近收敛特性的递归神经网络，椭圆型终态神经网络的有限时间收敛特性适用于时变问题求解(式 (14)为时变矩阵方程)；该神经网络求解器采用的网络动态方程(10)是有限值函数，在工程应用中易于实现，且成本低，符合工程实际需要。

附图说明

图1为本发明提供的重复运动规划方案的流程图。

图2取不同σ值时的函数F(E_ij(t),σ)。

图3为本发明重复运动规划方案的冗余机器人PA10。(摘自Y Zhang,Z Zhang.Repetitive motion planning and control of redundant robot manipulators(冗余机器人的重复运动规划与控制).Springer Berlin Heidelberg,2013:23-24)

图4为冗余机器人PA10末端执行器的运动轨迹。

图5为冗余机器人PA10各个关节的运动轨迹，其中，1为PA10机械臂基座，2为肘部轨迹，3为手腕轨迹，4为末端执行器运动轨迹。

图6为冗余机器人PA10各个关节角。

图7为冗余机器人PA10各个关节速度。

图8为冗余机器人PA10末端执行器的各位置误差。

图9为以椭圆型终态神经网络和渐近神经网络求解时的误差。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步描述。

参照图1～图9，一种基于椭圆型终态神经网络的冗余机器人重复运动规划方法，图1为冗余机器人重复运动规划方案的流程图，由以下三个步骤组成：1、确定冗余机器人末端执行器期望的运动轨迹和期望关节角度；2、采用渐近收敛性能指标，并形成冗余机器人重复运动二次规划方案；3、以基于椭圆型终态神经网络求解二次规划问题，获得各关节角轨迹，包括以下步骤：

1)确定期望的运动轨迹

设定冗余机器人PA10的期望关节角度

确定圆轨迹的圆心坐标(x＝0.2m,y＝0m,z＝0m)，将圆的半径设为0.2m，其圆面与平面的夹角为

末端执行器完成圆轨迹时间为T＝10s。考虑到冗余机器人的初始位置不在期望的运动轨迹上，将冗余机器人的七个关节角度初值设为

2)建立冗余机器人重复运动的二次规划方案

将冗余机器人重复运动规划描述为二次规划问题，给出渐近收敛性能指标，形成重复运动规划方案：

其中，g(θ)＝-β_θ(θ(t)-θ_d(0))，θ(t)、

分别表示冗余机器人的关节角度和关节角速度,β_θ是一设计参数，用来形成关节位移的动态性能。θ(t)-θ_d(0)表示各个关节角与各个关节的期望关节角度之间的关节角位移偏差，r_d(t)表示冗余机器人末端执行器期望的运动轨迹，

表示冗余机器人末端执行器期望的速度向量。由于冗余机器人的初始位置可能不在期望的轨迹上，通过减小冗余机器人末端执行器期望的运动轨迹与实际运动轨迹位置间的误差r_d(t)-f(θ(t))，改变冗余机器人末端执行器的运动方向，β_r＞0表示位置的参数增益，用来冗余机器人调节末端执行器运动到期望的运动轨迹的速率。J(θ(t))是冗余机器人雅可比矩阵，f(θ(t))是冗余机器人实际运动轨迹。

3)构造椭圆型终态神经网络求解上述二次规划问题

其中，

E_ij(t)为误差变量，ε＞0为用于调整误差吸引速度的常值，σ＞0为F(E_ij(t),σ)分段函数分段边界。

式(10)是有限区间稳定的，其有限时间收敛性需分两种情况说明：

当E_ij(0)≤σ时，从E_ij(0)到E_ij(t)＝0变化，收敛时间满足

当E_ij(0)＞σ时，从E_ij(0)到E_ij(t)＝0变化，收敛时间满足

定义拉格朗日函数

其中λ(t)∈R^m为拉格朗日乘子向量,λ^T是λ向量的转置。通过拉格朗日函数对

λ分别求偏导，并令其为零，可得矩阵方程为

W(t)Y(t)＝V(t) (14)

其中，

I为具有相应维数单位矩阵。

为求解二次规划问题，由式(14)定义误差

E(t)＝W(t)Y(t)-V(t) (15)

根据椭圆型终态神经网络动态特性方程式(10)，给出椭圆型终态神经网络方程

通过神经网络计算过程，得到冗余机器人各个关节角度。

图2为取不同σ值时的F(E_ij(t),σ)。从图中可以看出，随着σ减小，该函数导数趋于无穷大，从而使得神经网络终态收敛。

图3所示的冗余机器人PA10用于实现本发明的重复运动规划方案。该冗余机器人有七个自由度(四个旋转轴和三个枢轴)，PA10机械手的主要规格是机械手的全长为1.345m，机械手的重量为343N，所有轴的最大组合速度为1.55m/s，有效载荷重量为98N。臂的长度为d₃＝0.45m,d₅＝0.5m,d₇＝0.08m。

图4为冗余机器人末端执行器在空间中的运动轨迹。图中给出目标圆轨迹及冗余机器人末端执行器运动轨迹。可以看出，冗余机器人末端执行器的初始位置不在期望的运动轨迹上。如图8所示，随着时间增加(T＝10s)，冗余机器人末端执行器的终值位置误差精度在XYZ轴三个方向上达到4×10^-5，实际轨迹与期望的运动轨迹吻合。

图5所示为冗余机器人各个关节的运动轨迹。从图中可以看出，各个关节的轨迹在运行一个周期后是闭合的，实现了重复运动控制。

为了验证基于椭圆型终态神经网络方法在重复运动规划中的有效性，冗余机器人PA10末端执行器完成圆轨迹过程中得到的关节角瞬态轨迹和关节角速度瞬态轨迹如图6、7所示。可以看出，冗余机器人的各关节角最终收敛于期望的关节角位置，关节角速度收敛于0。

当T＝10s时，采用椭圆型终态神经网络求解得到的冗余机器人运动前后关节角与其期望关节角之间的最大偏差为9.2608×10^-5rad，用渐近神经网络求解得到的各个关节角的终值误差最大偏差为6.8740×10^-4rad，详见表1:

表1 其中，渐近神经网络动态特性

椭圆型终态神经网络动态特性

其中，

图9为将基于椭圆型终态的神经网络与基于渐近神经网络的冗余机器人重复轨迹规划误差的F范数进行对比，从图中可以看出，当误差的F范数||E||_F收敛至0.01时，基于椭圆型吸引律的神经网络需要时间T(||E_ij(t)||_F＝0.01)＝0.650s；基于渐近神经网络需要时间T(||E_ij(t)||_F＝0.01)＝6.932s。

Claims (1)

1.一种基于椭圆型终态神经网络的冗余机器人重复运动规划方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

1)在笛卡尔空间中给定冗余机器人末端执行器的期望的运动轨迹r_d(t)，并给出各个关节的期望关节角度θ_d(0)；

2)对于重复运动的冗余机器人，其初始关节角度为θ(0)＝θ₀，初始关节角度θ₀不同于期望关节角度，即θ₀≠θ_d(0)；

3)将冗余机器人重复运动规划描述为二次规划问题，给出渐近收敛性能指标，形成重复运动规划方案：

其中，g(θ)＝-β_θ(θ(t)-θ_d(0)),θ(t)、

分别表示冗余机器人的关节角度和关节角速度，β_θ是一设计参数，用来形成关节位移的动态性能；θ(t)-θ_d(0)表示各个关节角与各个关节的期望关节角度之间的关节角位移偏差，r_d(t)表示冗余机器人末端执行器期望的运动轨迹，

表示冗余机器人末端执行器期望的速度向量；由于冗余机器人的初始位置可能不在期望的运动轨迹上，通过减小冗余机器人末端执行器期望的运动轨迹与实际运动轨迹位置间的误差r_d(t)-f(θ(t))，改变冗余机器人末端执行器的运动方向，β_r＞0表示位置的参数增益，用来调节冗余机器人末端执行器运动到期望的运动轨迹的速率；J(θ(t))是冗余机器人雅可比矩阵，f(θ(t))是冗余机器人实际运动轨迹；

4)构建如下描述椭圆型终态神经网络的动态特性方程

其中，

E_ij(t)为误差变量，ε＞0为用于调整误差吸引速度的常值，σ＞0为F(E_ij(t),σ)分段函数分段边界；

式(10)是有限区间稳定的，其有限时间收敛性需分两种情况说明：

当|E_ij(t)|≤σ时，从E_ij(0)到E_ij(t)＝0变化，收敛时间满足

当|E_ij(t)|＞σ时，从E_ij(0)到E_ij(t)＝0变化，收敛时间满足

5)定义拉格朗日函数

其中λ(t)∈R^m为拉格朗日乘子向量,λ^T是λ向量的转置；通过拉格朗日函数对

λ分别求偏导，并令其为零，得矩阵方程为

W(t)Y(t)＝V(t) (14)

其中，

I为具有相应维数单位矩阵；

6)为求解步骤3)中的二次规划问题，定义误差

E(t)＝W(t)Y(t)-V(t) (15)

根据椭圆型终态神经网络动态特性方程式(10)，给出椭圆型终态神经网络方程

通过神经网络计算过程，得到冗余机器人各个关节角度。

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