CN109101727B - 一种基于变换光学的共形天线设计方法 - Google Patents

Abstract

一种基于变换光学的共形天线设计方法，涉及共形天线。基于对变换前后的区域分别进行按角度分割之后，在对变换前后对应的子区域应用共形拉伸变换；依据所述分段共形变换法，设计第一组四向定向天线，变换前的区域为圆，变换后的区域为正方形，分割方式采用等间隔分割，仿真结果中包含在不同背景材料、不同定向天线尺寸、不同分割角度以及添加不同材料损耗下的仿真；为进一步证明所述分段共形变换法对灵活的区域具有良好的适用性，依据所述分段共形变换法设计第二组六向不规则形状定向天线，设计中变换前的区域为圆，变换后的区域为不规则的六边形，其余设计所需的参数和第一组中一致，仿真包含天线在不同背景材料下的定向性能。

Description

一种基于变换光学的共形天线设计方法

技术领域

本发明涉及共形天线，尤其是涉及一种基于变换光学的共形天线设计方法。

背景技术

基于麦克斯韦方程组在坐标变换下的形式不变性，变换光学技术被广泛应用于设计各种新型的电磁器件([1]F.Sun,B.Zheng,H.Chen,W.Jiang,S.Guo,Y.Liu,Y.Ma,andS.He,“Transformation optics:From classic theory and applications to its newbranches,”Laser Photonics Rev.,vol.11,p.170034,Nov.2017；[2]P.Alitalo andS.Tretyakov,“Electromagnetic cloaking with metamaterials,”Mater.Today,vol.12,no.3,pp.22–29,Mar.2009)。普通的变换光学方法通常需要各向异性且非均匀性的材料，这对目前的材料工艺而言是个巨大的难题。近年来，很多研究者都致力于研究能简化材料的变换方法，其中简化效果较好的为拟共形变换光学和共形变换光学方法。然而拟共形变换方法仍然无法完全避免各向异性的需求。相比而言共形变换对材料简化的优势明显，所得材料介电常数和磁导率为单轴，在某些情况下可以为各向同性([3]U.Leonhardt,“Opticalconformal mapping,”Science,vol.312,no.5781,p.1777,Jun.2006；[4]J.P.Turpin,A.T.Massoud,Z.H.Jiang,P.L.Werner,and D.H.Werner,“Conformal mappings toachieve simple material parameters for transformation optics devices,”Opt.Express,vol.18,no.1,pp.244–252,Jan.2010)。但通常所需共形变换的推导是个复杂的过程甚至难以得到。

目前，施瓦茨-克里斯托费尔映射(Schwarz-Christoffel mapping)近似法([5]F.Yang,Z.L.Mei,and T.J.Cui,“Design and experiment of perfect relay lens basedon the schwarz-christoffel mapping,”Appl.Phys.Lett.,2014，104(7)：073510,Feb.)可以在两个任意形状的二维区域之间得到共形变换，该方法是利用两个多边形分别接近变换前后的区域，再对这两个多边形应用施瓦茨-克里斯托费尔映射变换。但通过这种变换方法得到的共形变换通常是一种非常复杂的积分形式，而且在多边形的顶点处存在介电常数或磁导率为零甚至无限值的情况。

发明内容

本发明的目的在于提供不仅拥有共形变换中简化材料的优势，而且可以克服施瓦茨-克里斯托费尔映射所存在的上述缺点，省去繁杂的数学推导，所得的共形表达式简单易设计的一种基于变换光学的共形天线设计方法。

本发明包括以下步骤：

1)基于对变换前后的区域分别进行按角度分割之后，在对变换前后对应的子区域应用共形拉伸变换；

在步骤1)中，所述基于对变换前后的区域分别进行按角度分割之后，在对变换前后对应的子区域应用共形拉伸变换的具体方法可为：

(1)在变换前的区域(虚拟空间)和变换后的区域(物理空间)中分别选取一个中心点，然后基于该中心点对变换前后的两区域按角度进行分割，每次分割时，两区域所选取的角度间隔一致，分割完成后，变换前后的两区域可被分割为具有相同数量的子区域；

(2)取变换前后对应的一对子区域进一步说明，使用一对扇形区域去分别近似该对子区域，所述一对扇形区域满足圆心角和所述一对子区域中两边到中心点的夹角相同，以及两扇形的半径分别为对应子区域中的中点到两边端点距离之和的一半；

(3)由于两扇形区域具有相同的圆心角，可应用共形拉伸变换至两扇形区域，从而完成所述变换前的区域(虚拟空间)中的子区域到其对应的变换后的区域(物理空间)中子区域的变换，其他子区域部分的变换同理可得，最后完成整个变换前的区域(虚拟空间)到变换后的区域(物理空间)的共形变换；需要注意的是每次分割时，两个变换区域所选取的角度间隔必须相同，而且分割角度的间隔大小要根据几何边界的曲率而定；通过合理的控制变换前后扇形半径的值，分段共形变换法可控制所需设计材料的折射率的范围。

2)依据所述分段共形变换法，设计第一组四向定向天线，变换前的区域(虚拟空间)为圆，变换后的区域(物理空间)为正方形，分割方式采用等间隔分割，仿真结果中包含在不同背景材料、不同定向天线尺寸、不同分割角度以及添加不同材料损耗下的仿真；

3)为进一步证明所述分段共形变换法对灵活的区域具有良好的适用性，依据所述分段共形变换法设计第二组六向不规则形状定向天线，设计中变换前的区域(虚拟空间)为圆，变换后的区域(物理空间)为不规则的六边形，其余设计所需的参数和第一组中一致，仿真包含天线在不同背景材料下的定向性能。

与现有技术相比，本发明具有以下突出优点：

1、无需各向异性材料，而且将之前材料的处处非均匀性改进为分段均匀性，简化了加工制备的难度。

2、只要变换前的材料介电常数或磁导率为正的，那么变换后材料的介电常数或磁导率也一定是正的。

3、只要变换前后的区域为非零有限区域，则可避免材料介电常数和磁导率存在零值和无限值的情况。

4、无论变换区域的背景材料为何种材料，利用拉伸方法均可以将所需材料的折射率控制为大于1，从而进一步简化材料制备的难度。

5、本发明方法简单而有效，使用方便灵活，可适用于任意形状的天线设计，并且拥有控制材料折射率范围的能力，通过四向定向和六向不规则定向天线的良好定向性能可以证明本发明具有广阔的应用前景。

附图说明

图1为分段共形变换法的原理说明示意图中的虚拟空间。

图2为分段共形变换法的原理说明示意图中的物理空间。

图3为分段共形变换法的原理说明示意图中的虚拟空间进行分割后，所得的第i份子区域。

图4为分段共形变换法的原理说明示意图中的物理空间进行分割后，所得的第i份子区域。

图5为背景材料是空气，圆半径R＝4λ时归一化的电场总场。

图6为背景材料是空气，圆半径R＝4λ时归一化的能量场。

图7为背景材料是空气，圆半径R＝4λ时归一化的远场。

图8为背景材料是空气，圆半径R＝8λ时归一化的电场总场。

图9为背景材料是空气，圆半径R＝8λ时归一化的能量场。

图10为背景材料是空气，圆半径R＝8λ时归一化的远场。

图11为背景材料是二氧化硅，圆半径R＝8λ时归一化的电场总场。

图12为背景材料是二氧化硅，圆半径R＝8λ时归一化的折射率分布。

图13为背景材料是二氧化硅，圆半径R＝8λ时归一化的远场。

图14为背景材料是空气，圆半径R＝8λ时，分割角度Δθ分别是15°，10°，5°的远场。

图15为背景材料是空气，圆半径R＝8λ时，分割角度Δθ分别是1°,0.1°，0.01°的远场。

图16为背景材料是二氧化硅，圆半径R＝8λ时，分割角度Δθ分别是15°，10°，5°时的远场。

图17为背景材料是二氧化硅，圆半径R＝8λ时，分割角度Δθ分别是1°,0.1°，0.01°的远场。

图18为背景材料是空气，圆半径R＝8λ时，添加不同损耗角正切δ＝0.03,0.01,0.005,0.001至设计材料所计算的归一化远场。

图19为背景材料是二氧化硅，圆半径R＝8λ，添加不同损耗角正切δ＝0.03,0.01,0.005,0.001至背景材料所计算的归一化远场。

图20为背景材料是二氧化硅，圆半径R＝8λ，添加不同损耗角正切δ＝0.03,0.01,0.005,0.001至背景材料和设计材料时所计算的归一化远场。

图21为背景材料是空气，圆半径R＝10λ时归一化的电场总场图。

图22为背景材料是空气，圆半径R＝10λ时归一化的能量场。

图23为背景材料是空气，圆半径R＝10λ时归一化的远场。

图24为背景材料是二氧化硅，圆半径R＝10λ时归一化的电场总场。

图25为背景材料是二氧化硅，圆半径R＝10λ时归一化的能量场。

图26为背景材料是二氧化硅，圆半径R＝10λ时归一化的远场。

图27为背景材料是二氧化硅，圆半径R＝10λ时归一化的折射率分布。

具体实施方式

以下实施例将结合附图对本发明作进一步说明。

参见图1～27，本发明实施例包括提供一种简单而又有效的共形天线设计方法，以及四向定向天线和六向不规则形状定向天线的设计。其具体实施方法如下：

本发明的原理图如图1～4所示，首先在变换前的区域(虚拟空间)如图1所示和变换后的区域(物理空间)如图2所示，分别选取一个中心点记为O和O'，然后基于此中心点将变换前后的两个变换区域按角度进行分割，每次选取的分割角度间隔为θ_i,i＝1,2,...,N，

其中N为分割的总份数。这样即可获得N对一一对应子区域，对于第i对子区域，变换前的分割区域为A_iOA_i+1如图3所示，变换后的区域为A'_iO'A'_i+1如图4所示，且两子区域中两边与中心点构成的夹角∠A_iOA_i+1和∠A'_iO'A'_i+1相等，即∠A_iOA_i+1＝∠A'_iO'A'_i+1＝θ_i。此时可以用角度同为θ_i以及半径分别为R_i与R'_i的扇形区域B_iOB_i+1和B'_iO'B'_i+1去分别近似子区域A_iOA_i+1和A'_iO'A'_i+1。由于扇形B_iOB_i+1和B'_iO'B'_i+1为两相似扇形，再应用拉伸变换系数R'/R到B_iOB_i+1可完成到B'_iO'B'_i+1的共形变换，其中R_i＝(OA_i+OA_i+1)/2，R'_i＝(O'A'_i+O'A'_i+1)/2，且A_N+1＝A₁。需要注意的是每次分割的时候，两个变换区域所选取的角度间隔必须是一样的，而且θ_i大小的取值要根据几何边界的曲率而定。通过合理的控制扇形半径R_i和R'_i的值，可控制材料折射率的范围。

结合共形变换光学的相关理论，可知设计材料所需的介电常数和磁导率为式(1)。

其中

上式中ε，

分别为变换前和变换后材料的介电常数张量，μ，

分别为变换前和变换后材料的磁导率张量，ε_xx,ε_yy,ε_zz分别为介电常数张量

的xx,yy,zz分量。μ_xx,μ_yy,μ_zz分别为磁导率张量

的xx,yy,zz分量。J为雅克比矩阵，用于描述空间坐标变换的转换矩阵。设(x,y,z)和(u,v,w)分别为虚拟空间和物理空间的坐标，只考虑二维复平面的情况，此时可令

为物理空间，

为虚拟空间。利用变换函数

完成从虚拟空间到物理空间的变换。

在满足变换前材料的磁导率μ＝1下，可设置μ_zz＝1并由式(1)可知

此时由分段共形变换光学法可得ε_zz＝(R_i/R'_i)²ε和

n_i为所需材料的折射率。由此可知，即使在不同的背景材料下，总可以调整材料的折射率大于1，从而可用非谐振介质材料实现，进一步简化所需材料，并使设计结果适用于宽频情况。

四向定向天线和六向不规则形状定向天线的设计均依据上述所提的分段共形变换光学法，所用的仿真平台为COMSOL多物理场仿真软件，信号源为一个在与二维天线所在平面垂直的方向上无线长的线电源，放置在天线中心。其中两种天线均包含了在不同背景条件下的仿真结果，第一组增加了不同尺寸下的定向天线、在不同的分割角度下以及添加不同材料损耗下的仿真。

第一组共形天线为四向定向天线，所采用的设计参数如下：变换前的区域(虚拟空间)为圆，圆半径分别为R＝4λ和8λ，即R_i＝R。变换后的区域(物理空间)为正方形，边长

其中，

为信号源在真空中的工作波长，c为光速，f为信号源的工作频率。采用等间隔分割即θ_i＝Δθ,i＝1,2,...,N，选取分割间隔为Δθ＝1°，可得N＝360。变换空间的背景材料分别为空气ε＝1和二氧化硅ε＝2.25。当背景材料为二氧化硅时，设置

以控制材料折射率大于1，入射波为TE波，工作频率f为1GHz，虚拟空间中材料的磁导率μ＝1。

1)设置变换前区域中圆的半径为R＝4λ，背景材料为空气。利用ε_zz＝(R_i/R'_i)²ε和

求得所设计材料的折射率。将所设计的材料填充至方形天线中。可计算得归一化的电场总场、归一化的能量场和归一化的远场仿真结果分别如图5～7所示。

2)设置圆半径为R＝8λ和背景材料为空气，与步骤1)相似求得所设计的材料。可计算得归一化的电场总场、归一化的能量场和归一化的远场结果分别如图8～10所示。

3)设置圆半径为R＝8λ和背景材料为二氧化硅，与步骤1)相似求得所设计的材料。可计算得此时归一化的电场总场、归一化的折射率分布和归一化的远场结果分别如图11～13所示。

4)设置圆半径为R＝8λ和背景为空气，与步骤1)相似求得所设计的材料。此时依次对变换前后的区域按角度间隔Δθ＝15°，10°，5°,1°,0.1°，0.01°进行分割。在分割角度Δθ＝15°，10°，5°下，归一化的远场仿真结果如图14所示，在分割角度Δθ＝1°,0.1°，0.01°下，归一化的远场仿真结果如图15所示。

5)设置圆半径为R＝8λ和背景为二氧化硅，与步骤1)相似求得所设计的材料。此时依次对变换前后的区域按角度间隔Δθ＝15°，10°，5°,1°,0.1°，0.01°进行分割。分割角度Δθ＝15°，10°，5°下，归一化的远场仿真结果如图16所示。在分割角度Δθ＝1°,0.1°，0.01°下，归一化的远场仿真结果如图17所示。

从图14～17中，可知在这两种背景材料下分割角度小于等于1°时，其性能极为相似。综合考虑天线的定向效果和材料的制备复杂度，选择Δθ＝1°作为最后的分割角度。

6)设置圆半径为R＝8λ，与步骤1)相似求得所设计的材料，并依次设置不同损耗角正切δ＝0.03,0.01,0.005,0.001至相应的材料。(a)先设置背景材料为空气，添加损耗至所设计的材料，其归一化的远场如图18所示。(b)设置二氧化硅为背景材料，在只添加损耗至背景，归一化的远场如图19所示。(c)设置二氧化硅为背景材料，添加损耗到背景材料和设计的材料，归一化的远场仿真结果如图20所示。从图18～20可知此天线设备的性能对材料损耗具有较好的鲁棒性。

第二组共形天线为一个六向不规则形状定向天线，所采用的设计参数如下：变换前区域(虚拟空间)为圆，半径R＝10λ，即R_i＝R＝10λ。变换后的区域(物理空间)为不规则的六边形，其内切于一个半径为

的圆，其余设计所需的参数和第一组中一致。

7)设置背景材料为空气，计算相关参数和步骤1)相似。将所设计的材料填充至不规则六边形天线中。归一化的电场总场、归一化的能量场和归一化的远场结果分别如图21～23所示。

8)设置背景材料为二氧化硅，计算相关参数和步骤1)相似。将所设计的材料填充至不规则六边形天线中。归一化的电场总场、归一化的能量场、归一化的远场、和归一化的折射率分布分别如图24～27所示。

本实施例入射波以TE柱面波为例，电场沿z轴极化，此时材料介电常数和磁导率中能影响电场的为参数μ_xx,μ_yy,ε_zz，而参数ε_xx,ε_yy,μ_zz可为任意值。根据共形变换光学的相关理论，在虚拟空间中材料的磁导率μ＝1下，可知μ_xx＝μ_yy＝1，并设置μ_zz＝1可得

从而可简化研究为只关注参数ε_zz的变化，其中

为变换后(物理空间)材料的介电常数张量，

为变换后(物理空间)材料的磁导率张量，ε_xx,ε_yy,ε_zz分别为介电常数张量

的xx,yy,zz分量，μ_xx,μ_yy,μ_zz分别为磁导率张量

的xx,yy,zz分量。本实施例的源信号以TE波为例，若改为TM波时，只需替换各向同性介电常数材料为各向同性磁导率材料。信号源为TE或TM的情况已被广泛采用研究。当发射源从第一组光学天线设备中心发射时，其柱面波变换为四向定向平面波。从第二组的光学天线设备中心发射时，其柱面波变换为六向不规则定向平面波。本发明在保留共形变换光学方法优势的同时又可克服无法求解相应共形表达式的问题，同时还具有调节材料折射率范围的功能。

本发明公开了一种简单而有效的设计方法用于共形天线的设计，只需各项同性的全介质材料即可实现，因此具有易于加工制备和适用频段宽的特点。如果虚拟空间和物理空间的变换区域是非零有限空间，那么所需材料的介电常数和磁导率将不存在零点或者无限值点。这是首次能够用设计方法自身保证所需材料的介电常数和磁导率是无零值的。此外，还可通过拉伸变换的方式控制所需材料的折射率范围。利用一般变换光学方法设计的定向天线，对设计所需的材料要求极高，通常需要材料是各向异性且非均匀的，这为实际器件的制备加工增加了难度。共形变换光学方法可以极大的克服上述问题，但其难点在于对于任意形状的变换域所需的共形变换往往难以得到。基于共形变换光学方法的优势，本发明提出一种简单易操作的设计方法,可以在任意形状的二维区域之间进行变换，适用于几何形状灵活的变换域，拥有控制材料折射率范围的能力。本发明在电磁器件设计方面有着极大的应用潜力。本发明方法简单而有效，使用方便灵活，可适用于任意形状的天线设计，并且拥有控制材料折射率范围的能力，应用前景广阔。

Claims (1)

1.一种基于变换光学的共形天线设计方法，其特征在于包括以下步骤：

1)基于对变换前后的区域分别进行按角度分割之后，在对变换前后对应的子区域应用共形拉伸变换，具体方法为：

(1)在变换前的区域和变换后的区域中分别选取一个中心点，然后基于该中心点对变换前后的两区域按角度进行分割，每次分割时，两区域所选取的角度间隔一致，分割完成后，变换前后的两区域被分割为具有相同数量的子区域；

(2)取变换前后对应的一对子区域进一步说明，使用一对扇形区域去分别近似该对子区域，所述一对扇形区域满足圆心角和所述一对子区域中两边到中心点的夹角相同，以及两扇形的半径分别为对应子区域中的中点到两边端点距离之和的一半；

(3)由于两扇形区域具有相同的圆心角，应用共形拉伸变换至两扇形区域，从而完成所述变换前的区域中的子区域到其对应的变换后的区域中子区域的变换，其他子区域部分的变换同理可得，最后完成整个变换前的区域到变换后的区域的共形变换；当每次分割时，两个变换区域所选取的角度间隔必须相同，而且分割角度的间隔大小要根据几何边界的曲率而定；通过合理的控制变换前后扇形半径的值，分段共形变换法控制所需材料的折射率的范围；

2)依据所述分段共形变换法，设计第一组四向定向天线，变换前的区域为圆，变换后的区域为正方形，分割方式采用等间隔分割，仿真结果中包含在不同背景材料、不同定向天线尺寸、不同分割角度以及添加不同材料损耗下的仿真；

3)依据所述分段共形变换法设计第二组六向不规则形状定向天线，设计中变换前的区域为圆，变换后的区域为不规则的六边形，其余设计所需的参数和第一组中一致，仿真包含天线在不同背景材料下的定向性能。

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