CN109031945A - 一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法，主要步骤为：(1)选择受控分数阶混沌系统并明确系统阶次及系统中的未知参数；(2)选择待追踪的给定信号r₁，并根据状态变量x与给定信号r₁定义误差变量e₁，根据系统的状态变量y与待求的虚拟控制律r₂定义误差变量e₂；(3)构造子系统的李雅普诺夫函数V₁，由此推导出虚拟控制律r₂；(4)构造全局的李雅普诺夫函数V₂，由此推导出最终的控制输入u与自适应参数的自适应律；本发明能对含有多个未知参数的不确定分数阶混沌系统进行有效控制，使状态变量追踪给定信号，进而有效抑制了混沌振荡；本发明的适用范围更加广泛，只需要加入1个控制输入就能达到控制目标，有效降低了计算与实施的复杂度。

Description

一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法

技术领域

本发明属于自动控制方法技术领域，特别涉及一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法。

背景技术

混沌振荡是确定性非线性系统的内在随机性的体现，普遍存在于机械振动，电力系统，湍流，金融系统等诸多自然科学与社会科学中。混沌引发的无规则的振荡可能导致严重的后果，例如电力系统混沌振荡会导致系统电压崩溃，金融混沌可能导致金融危机。混沌的研究在于发掘混沌行为背后的信息，消除有害的混沌振荡，实现对混沌的科学利用。目前，混沌控制作为混沌应用上的重要方向，已在图像加密、保密通信和信号处理等许多方面有了广泛的应用。

混沌控制的目的在于消除复杂非线性系统中出现的无规则的混沌振荡，使得受控混沌系统的输出追踪给定信号，本质上是一种控制技术。分数阶微积分是传统微积分的推广，使微积分的阶次不再局限于整数，而是推广到整个复平面。分数阶微积分具有传统微积分所不具备的记忆性，能够更清晰地描述实际系统的行为。非同元次分数阶混沌系统是系统的阶次不全相同的分数阶系统。与阶次相同的同元次分数阶混沌系统相比，其更普遍，更难以控制，也更值得研究。

目前混沌控制的研究一般只涉及整数阶混沌系统或同元次分数阶混沌系统，且受控系统一般不存在未知参数，控制时间比较长，控制输入较多，结构复杂，难以实现。

发明内容

为解决现有技术中存在的问题，本发明的目的在于提出了一种适用于含有未知参数的非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法，本发明只需加入1个控制输入就能使受控混沌系统的输出追踪给定输入信号，有效降低了计算与实施的复杂度。

为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法，包括以下步骤：

(1)选择受控分数阶混沌系统，并设定受控分数阶混沌系统的阶次α和β，以及明确受控分数阶混沌系统中的未知参数与控制输入中的自适应参数；

(2)设定受控分数阶混沌系统中待追踪的给定信号r₁，并根据所述受控分数阶混沌系统的状态变量x与给定信号r₁定义误差变量e₁；根据受控分数阶混沌系统的状态变量y与待求的虚拟控制律r₂定义受控分数阶混沌系统误差变量e₂；

(3)再利用误差变量e₁构造受控分数阶混沌系统的子系统的李雅普诺夫函数V₁，基于李雅普诺夫函数V₁推导出虚拟控制律r₂；

(4)再利用李雅普诺夫函数V₁和误差变量e₂构造受控分数阶混沌系统的全局李雅普诺夫函数V₂，基于李雅普诺夫函数V₂推导出受控分数阶混沌系统最终的控制输入及自适应参数的自适应律，实现对分数阶混沌系统的自适应控制。

步骤(1)中，先确定分数阶微积分为Caputo定义下的分数阶微积分，其具体如下式：

式中，C表示Caputo定义下的分数阶微积分；a表示分数阶微积分的阶次；m为大于等于a的最小整数；Γ(·)为Gamma函数；t₀为积分下限，当t₀＝0时，将记作D^a；

再根据分数阶微积分选择受控分数阶混沌系统，如下式：

式中，x和y为受控分数阶混沌系统的状态变量；α与β为受控分数阶混沌系统的阶次，当受控分数阶混沌系统为非同元次分数阶混沌系统时，阶次α≠β，且有非同元次分数阶混沌系统的阶次δ为α与β中较小的值；当受控分数阶混沌系统为同元次分数阶混沌系统时，同元次分数阶混沌系统的阶次δ满足：α＝β＝δ；p，p₁，p₂和q为未知参数；u为含有自适应参数的控制输入；ω为激励角频率。

激励角频率ω＝1.8。

步骤(2)中，给定信号r₁连续可导，e₁＝r₁-x，e₂＝r₂-y。

给定信号r₁＝cos t。

步骤(3)中，确定受控分数阶混沌系统的子系统为：

D^αx＝y

构造受控分数阶混沌系统的子系统的李雅普诺夫函数V₁的过程如下：

首先引入下述引理及定理1：

引理1：x(t)∈R，x(t)是连续可导的函数，则对任意t≥t₀，有如下不等式成立：

引理2：f(t)为连续可导的函数，则当阶次α＝0时，则有：

引理3：f(t)为连续可导的函数，有：

定理1：设x＝0是下述的非自治分数阶混沌系统的平衡点：

其中阶次α∈(0,1]；f(t)满足Lipschitz条件；

李雅普诺夫函数满足下述条件：

α₁||x||≤V(t,x(t))≤α₂||x||

D^βV(t,x(t))≤-α₃||x||

其中，β∈(0,1)；α_i,i＝1,2,3为K类函数；则系统的平衡点是Mittag-Leffler稳定的，即系统渐近稳定；

再根据定理1，确定受控分数阶混沌系统的子系统D^αx＝y的李雅普诺夫函数V₁如下式：

V₁＝|D^α-δe₁|

再对李雅普诺夫函数V₁求δ阶导数，得到虚拟控制律r₂：

r₂＝D^αr₁+k₁D^α-δe₁

式中，k₁为正常数。

步骤(4)中，利用李雅普诺夫函数V₁和误差变量e₂构造的受控分数阶混沌系统的全局李雅普诺夫函数V₂如下：

式中，其中，θ＝[p,p₁,p₂,q]^T， 和为自适应参数；Λ＝diag(k,k,k,k)，其中k为正常数。

步骤(4)中，基于李雅普诺夫函数V₂推导出受控分数阶混沌系统最终的控制输入及自适应参数的自适应律的过程如下：

对全局李雅普诺夫函数V₂求δ阶导数，得到最终的控制输入u和自适应参数的自适应律分别如下：

控制输入u为：

式中，k₂为正常数，sign(·)为符号函数；

自适应参数的自适应律为：

本发明与现有方法相比具有显著的优点和有益效果，具体如下：

本发明的非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法先选择受控分数阶混沌系统，并设定受控分数阶混沌系统的阶次α和β，以及明确受控分数阶混沌系统中的未知参数与控制输入中的自适应参数；再设定受控分数阶混沌系统中待追踪的给定信号r₁，并根据所述受控分数阶混沌系统的状态变量x与给定信号r₁定义误差变量e₁；根据受控分数阶混沌系统的状态变量y与待求的虚拟控制律r₂定义受控分数阶混沌系统误差变量e₂；再利用误差变量e₁构造受控分数阶混沌系统的子系统的李雅普诺夫函数V₁，基于李雅普诺夫函数V₁推导出虚拟控制律r₂；再利用李雅普诺夫函数V₁和误差变量e₂构造受控分数阶混沌系统的全局李雅普诺夫函数V₂，基于李雅普诺夫函数V₂推导出受控分数阶混沌系统最终的控制输入及自适应参数的自适应律，实现对分数阶混沌系统的自适应控制；由于，现有工程实际中的混沌系统往往有部分参数是未知的或难以确定的，现有的方法难以适用，本发明通过设计出能够不断更新的自适应参数的自适应律，使得控制输入能够对此类含有多个未知参数的不确定分数阶混沌系统进行有效控制，增加了工程实际价值，因此本发明的方法适用于更实际的分数阶混沌系统；现有方法大多仅能够对同元次分数阶混沌系统进行控制，而本发明的方法中的分数阶混沌系统不仅可以是同元次(α＝β)，还可以是非同元次(α≠β)的。本发明的方法通过构造一种新颖的李雅普诺夫函数，进而推导出一类适用于非同元次及同元次分数阶混沌系统的控制方法，因此增加了适用范围；对于此类含有多个未知参数的同元次及非同元次分数阶混沌系统，现有方法大多需要多个控制输入，具体实施难度较大，而本发明通过设计虚拟控制律有效减少了控制输入，只需一个实际的控制输入，就能使得受控系统输出追踪给定输入信号，降低了计算与实施的复杂程度，增加了可行性。

附图说明

图1是非同元次分数阶混沌系统(阶次α＝0.93，阶次β＝0.99)在本发明方法作用下状态变量x与给定信号r₁的时域波形。

图2是非同元次分数阶混沌系统(阶次α＝0.93，阶次β＝0.99)在本发明方法作用下状态变量y与虚拟控制律r₂的时域波形。

图3是非同元次分数阶混沌系统(阶次α＝0.93，阶次β＝0.99)在本发明方法作用下误差变量e₁与误差变量e₂的时域波形。

图4是同元次分数阶混沌系统(阶次α＝0.98，阶次β＝0.98)在本发明方法作用下状态变量x与给定信号r₁的时域波形。

图5是同元次分数阶混沌系统(阶次α＝0.98，阶次β＝0.98)在本发明方法作用下状态变量y与虚拟控制律r₂的时域波形。

图6是同元次分数阶混沌系统(阶次α＝0.98，阶次β＝0.98)在本发明方法作用下误差变量e₁与误差变量e₂的时域波形。

具体实施方式

为使本发明的目的、具体步骤及优点更加清楚明白，以下结合附图及具体实施方式对本发明做进一步的详细表述。

实施例

本实施例的适用于含有未知参数的非同元次及同元次分数阶混沌系统的分数阶自适应控制方法，具体按照以下步骤实施：

(1)先选取分数阶微积分为Caputo定义下的分数阶微积分，其具体定义为：

式中，C表示Caputo定义下的分数阶微积分；a表示分数阶微积分的阶次；m为大于等于a的最小整数；Γ(·)为Gamma函数；t₀为积分下限，为了简便，当t₀＝0时将记作D^a。

再根据分数阶微积分选择受控分数阶混沌系统具体为：

式中，x和y为该受控分数阶混沌系统的状态变量；α与β为受控分数阶混沌系统的阶次，当受控分数阶混沌系统为非同元次分数阶混沌系统时，阶次α≠β，且有非同元次分数阶混沌系统的最低阶次δ为α与β中较小的值；当受控分数阶混沌系统为同元次分数阶混沌系统时，同元次分数阶混沌系统的最低阶次δ满足：α＝β＝δ；参数取p＝0.4，p₁＝-1.1，p₂＝1，q＝2.1，且均为未知参数；激励角频率取ω＝1.8；u为含有自适应参数的控制输入。

本实施例选取受控系统为经典的分数阶Duffing系统，工程实际中的机械振动，电力系统铁磁谐振等许多复杂非线性现象都可以抽象为分数阶Duffing系统。

(2)设定受控分数阶混沌系统中待追踪的给定信号r₁＝cos t，即控制目标为使状态变量x追踪r₁。由状态变量x与给定信号r₁定义误差变量e₁：e₁＝r₁-x，由状态变量y与待求的虚拟控制律r₂定义误差变量e₂：e₂＝r₂-y。

(3)确定选择的受控分数阶混沌系统的子系统为：

D^αx＝y

为了对该分数阶混沌系统进行稳定性分析，引入下述引理与定理：

引理1：x(t)∈R是连续可导的函数，则对任意t≥t₀，有如下不等式成立：

引理2：f(t)为连续可导的函数，则当阶次α＝0，有：

引理3：f(t)为连续可导的函数，有：

定理1：设x＝0是下述的非自治分数阶混沌系统的平衡点：

其中阶次α∈(0,1]；f(t)满足Lipschitz条件。存在李雅普诺夫函数满足下述条件：

α₁||x||≤V(t,x(t))≤α₂||x||

D^βV(t,x(t))≤-α₃||x||

其中β∈(0,1)；α_i,i＝1,2,3为K类函数(Class-K function)。则系统的平衡点是Mittag-Leffler稳定的，即系统渐近稳定。

为了便于推导并使李雅普诺夫函数V₁满足式D^βV(t,x(t))≤-α₃||x||，选择子系统Dαx＝y的李雅普诺夫函数V₁为：

V₁＝|D^α-δe₁|

对V₁求δ阶导并由引理3得到：

D^δV₁＝D^αe₁·sign(D^α-δe₁)

＝D^α(r₁-x)·sign(D^α-δe₁)

＝(D^αr₁-y)·sign(D^α-δe₁)

＝(D^αr₁+e₂-r₂)·sign(D^α-δe₁)

为尽量保留V₁的δ阶导中的负定项，构建虚拟控制律r₂为：

r₂＝D^αr₁+k₁D^α-δe₁

式中取k₁＝2。

将虚拟控制律r₂代入V₁的δ阶导中，化简得到V₁的δ阶导如下：

D^δV₁＝(e₂-k₁D^α-δe₁)·sign(D^α-δe₁)

＝e₂sign(D^α-δe₁)-k₁|D^α-δe₁|

(4)对于本实施例的受控分数阶混沌系统，为了便于推导，选取全局李雅普诺夫函数V₂为：

式中其中，θ＝[p,p₁,p₂,q]^T， 为自适应参数；Λ＝diag[3,3,3,3]，其中k为正常数。

对V₂求δ阶导并由引理1和引理3得V₂的δ阶导D^δV₂如下：

式中ξ^T＝[-y,-x,-x³,cosωt]^T。

为了保留D^δV₂中的负定项，选取最终的实际控制律u为：

式中k₂＝5；

将控制律u代入到V₂的δ阶导D^δV₂中，由sign(D^β-δe₂)×sign(D^β-δe₂)＝1，化简得：

为了保证V₂的δ阶导D^δV₂为负定的，选取自适应参数的自适应律为：

将自适应律的自适应参数的自适应律代入到实际控制律u中，得到：

化简后的不等式右侧为负定的，因而由定理(1)，本实施例的受控分数阶混沌系统渐近稳定，误差变量e₁与e₂将渐近趋于0。即在实际控制律u与自适应参数的自适应律的作用下，状态变量x追踪给定信号r₁，状态变量y追踪虚拟控制r₂，实现控制目标。

综上，本发明的非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法，具有下述特点：

(a)本发明适用于更普遍、更复杂的分数阶混沌系统，包括：系统为含有多个未知参数的不确定系统以及系统为非自治系统，系统阶次取值范围更大，不仅可以是同元次，还可以是非同元次；

(b)对于此类分数阶混沌系统，只需一个控制输入就能使得受控系统输出追踪给定输入信号，简化了控制器，降低了计算与实施的复杂程度；

(c)对于此类含有多个未知参数的不确定分数阶混沌系统，本方法的控制性能较好，系统输出能迅速地追踪给定信号，有效抑制了混沌振荡。

本发明提出的方法不仅适用于非同元次分数阶混沌系统，还适用于同元次分数阶混沌系统，因而在仿真时分为非同元次及同元次2种情况：

(a)非同元次分数阶混沌系统：阶次α＝0.93，β＝0.99

由V₁的δ阶导D^δV₁及引理2，得虚拟控制律r₂为：

r₂＝D^0.93cos t+2e₁

由实际控制律u的表达式及引理2，得实际控制律为：

由自适应参数的自适应律及引理2，得自适应参数的自适应律为：

仿真结果如图1-3所示，非同元次分数阶混沌系统状态变量x，y在2.5秒内实现对给定信号的追踪，输出理想的正弦量，验证了本方法的迅速性和有效性。

(b)同元次分数阶混沌系统：阶次α＝0.98，β＝0.98

由V₁的δ阶导D^δV₁及引理2，得虚拟控制律r₂为：

r₂＝D^0.98cos t+2e₁

由实际控制律u的表达式及引理2，得实际控制律为：

由自适应参数的自适应律及引理2，得自适应参数的自适应律为：

仿真结果如图4-6所示，同元次分数阶混沌系统状态变量x，y在2秒内完成信号的追踪，输出变为正弦量，验证了本方法的迅速性和有效性。

综上，本发明提出的方法能对含有多个未知参数的不确定分数阶混沌系统进行有效控制，使状态变量追踪给定信号，进而有效抑制了混沌振荡。本方法的适用范围更广泛，不仅适用于一般的同元次分数阶混沌系统，还适用于更复杂的非同元次分数阶混沌系统。此外，本发明的方法较为简捷，只需要加入1个控制输入就能达到控制目标，有效降低了计算与实施的复杂度。

Claims (8)

1.一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)选择受控分数阶混沌系统，并设定受控分数阶混沌系统的阶次α和β，以及明确受控分数阶混沌系统中的未知参数与控制输入中的自适应参数；

(2)设定受控分数阶混沌系统中待追踪的给定信号r₁，并根据所述受控分数阶混沌系统的状态变量x与给定信号r₁定义误差变量e₁；根据受控分数阶混沌系统的状态变量y与待求的虚拟控制律r₂定义受控分数阶混沌系统误差变量e₂；

(3)再利用误差变量e₁构造受控分数阶混沌系统的子系统的李雅普诺夫函数V₁，基于李雅普诺夫函数V₁推导出虚拟控制律r₂；

(4)再利用李雅普诺夫函数V₁和误差变量e₂构造受控分数阶混沌系统的全局李雅普诺夫函数V₂，基于李雅普诺夫函数V₂推导出受控分数阶混沌系统最终的控制输入及自适应参数的自适应律，实现对分数阶混沌系统的自适应控制。

2.根据权利要求1所述的一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法，其特征在于，步骤(1)中，先确定分数阶微积分为Caputo定义下的分数阶微积分，其具体如下式：

式中，C表示Caputo定义下的分数阶微积分；a表示分数阶微积分的阶次；m为大于等于a的最小整数；Γ(·)为Gamma函数；t₀为积分下限，当t₀＝0时，将记作D^a；

再根据分数阶微积分选择受控分数阶混沌系统，如下式：

式中，x和y为受控分数阶混沌系统的状态变量；α与β为受控分数阶混沌系统的阶次，当受控分数阶混沌系统为非同元次分数阶混沌系统时，阶次α≠β，且有非同元次分数阶混沌系统的阶次δ为α与β中较小的值；当受控分数阶混沌系统为同元次分数阶混沌系统时，同元次分数阶混沌系统的阶次δ满足：α＝β＝δ；p，p₁，p₂和q为未知参数；u为含有自适应参数的控制输入；ω为激励角频率。

3.根据权利要求2所述的一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法，其特征在于，激励角频率ω＝1.8。

4.根据权利要求2所述的一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法，其特征在于，步骤(2)中，给定信号r₁连续可导，e₁＝r₁-x，e₂＝r₂-y。

5.根据权利要求4所述的一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法，其特征在于，给定信号r₁＝cost。

6.根据权利要求2所述的一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法，其特征在于，步骤(3)中，确定受控分数阶混沌系统的子系统为：

D^αx＝y

构造受控分数阶混沌系统的子系统的李雅普诺夫函数V₁的过程如下：

首先引入下述引理及定理1：

引理1：x(t)∈R，x(t)是连续可导的函数，则对任意t≥t₀，有如下不等式成立：

引理2：f(t)为连续可导的函数，则当阶次α＝0时，则有：

引理3：f(t)为连续可导的函数，有：

定理1：设x＝0是下述的非自治分数阶混沌系统的平衡点：

其中阶次α∈(0,1]；f(t)满足Lipschitz条件；

李雅普诺夫函数满足下述条件：

α₁||x||≤V(t,x(t))≤α₂||x||

D^βV(t,x(t))≤-α₃||x||

其中，β∈(0,1)；α_i,i＝1,2,3为K类函数；则系统的平衡点是Mittag-Leffler稳定的，即系统渐近稳定；

再根据定理1，确定受控分数阶混沌系统的子系统D^αx＝y的李雅普诺夫函数V₁如下式：

V₁＝|D^α-δe₁|

再对李雅普诺夫函数V₁求δ阶导数，得到虚拟控制律r₂：

r₂＝D^αr₁+k₁D^α-δe₁

式中，k₁为正常数。

7.根据权利要求6所述的一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法，其特征在于，步骤(4)中，利用李雅普诺夫函数V₁和误差变量e₂构造的受控分数阶混沌系统的全局李雅普诺夫函数V₂如下：

式中，其中，θ＝[p,p₁,p₂,q]^T， 和为自适应参数；Λ＝diag(k,k,k,k)，其中k为正常数。

8.根据权利要求7所述的一种非同元次及同元次分数阶混沌系统的自适应控制方法，其特征在于，步骤(4)中，基于李雅普诺夫函数V₂推导出受控分数阶混沌系统最终的控制输入及自适应参数的自适应律的过程如下：

对全局李雅普诺夫函数V₂求δ阶导数，得到最终的控制输入u和自适应参数的自适应律分别如下：

控制输入u为：

式中，k₂为正常数，sign(·)为符号函数；

自适应参数的自适应律为：