CN108694280A - 基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法 - Google Patents

基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法 Download PDF

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Abstract

本发明提供的一种基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，属于计算力学领域。该方法求解冲击动力学问题时，保留了四面体网格对于复杂结构的良好拟合，同时提高了应力场的精度，是一种具有良好稳定性的显式动力学数值计算方法；同时，在传统四面体单元的基础之上，对结点应力进行光滑处理，不但能够对复杂模型进行良好的拟合，而且单元应力精度有着大大的提高，同时计算量小。

Description

基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法
技术领域
本发明属于计算力学领域，特别涉及一种基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法。
背景技术
冲击动力学问题存在于许多行业中，如航空航天、船舶、汽车、土木、机械等。具体来说，弹体穿甲、救生弹射座椅受冲击、集装箱掉落、汽车碰撞以及火箭发射等问题，都属于冲击动力学问题。这是由于物体的局部受到冲击载荷作用，从而产生的动力学响应。其中，冲击载荷是指随时间迅速变化的载荷。可以观察到，该类问题与静力载荷下的响应问题有显著的不同，其结构可能发生较大形变、较大转动，材料可能损坏，这是一涉及几何非线性、材料非线性和边界条件非线性的问题。对于这类复杂的问题，目前几乎找不到恰当的力学解析解和半解析解，根据过往经验，仅有两种方法：力学实验和数值模拟。然而，当涉及瞬间的、破坏性的响应时，我们很难通过实验来观测到过程中的信息，仅能获得最终结果。再者，力学问题对实验环境以及器材要求越来越高，费用昂贵，不适合通过大量实验来解决问题。所以，数值模拟在该问题上有着巨大的优势。
对于冲击动力学问题，主要采用的数值方法，基于网格的有有限元法，有限体积法，有限差分法；无网格算法，包括光滑粒子动力学方法(SPH)，有限点法(FPM)，物质点法等。
其中，基于拉格朗日网格的有限元显式动力学方法是发展最为成熟的。各大商业软件的动力学显式求解模块均采用此方法，如ABAQUS、LS-DYNA。它们所采用的网格单元有传统的4结点四面体单元、8结点六面体单元以及修正的10结点四面体单元。其中，传统的4结点单元在该类问题的分析中，精度非常差，这是因为应力是由位移偏导求得，这样每个单元内应力均为常数，而且单元之间应力并不连续；对于8结点六面体单元，当模型过于复杂时，网格划分质量很差；而修正的10结点四面体单元虽说弥补了上述两种单元的缺点，但是计算量过大。
发明内容
为了解决上述问题，本发明提出的一种基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，在传统四面体单元的基础之上，对结点应力进行光滑处理，不但能够对复杂模型进行良好的拟合，而且单元应力精度有着大大的提高，同时计算量小。
一种基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，包括以下步骤：
步骤1，对目标结构进行建模，采用四面体网格剖分求解域；
步骤2，根据动量方程，基于虚功原理推导其弱形式；
步骤3，根据有限元理论和连续介质力学理论，得到方程的矩阵形式，其中结点内外力均采用更新拉格朗日格式进行计算；
步骤4，采用时间格式为中心差分点的显式积分方法求解方程，引入初始条件确定初始时间步长；
步骤5，更新加速度矢量，并施加边界条件；
步骤6，根据所述加速度矢量，更新速度矢量和位移矢量；
步骤7，循环所有单元，更新单元结点力矢量和时间步长，并将所述单元结点力矢量组装到结点力矢量中；
步骤8，判断总时长是否达到预设仿真时长，若总时长大于预设仿真时长，结束计算。
进一步地，所述步骤2包括以下流程：
步骤21，得到动量方程；
根据动量定理，
其中，V表示整个计算域，A表示受力面，ρ表示密度，i表示方向，v为速度，b为体积力，p为面积力，t为时间，表示对时间求导，根据雷诺运输定理和连续性方程，可得
其中，f(x,t)为一个关于x,t的函数；
根据式(2)，将式(1)中左端转换为
利用高斯定理，将式(1)中右端转换为
其中，表示对面力函数求偏导，得到以现时构型为参考构型的拉格朗日描述动量方程，
其中，表示加速度，σ表示柯西应力张量；
步骤22，根据式(5)的动量方程，基于虚功原理推导所述动量方程的弱形式；
设定虚速度δv，为加速度，根据加权余量法得
根据分部积分和边界条件，得到所述动量方程的弱形式，即虚功率方程
其中，
式(8)中三项分别为内力虚功率、外力虚功率及惯性力虚功率。
进一步地，所述步骤3包括以下流程：
采用N个单元对计算域进行离散，设定xiI表示现时构型中结点I的坐标，其中i代表三个方向，NI(X)为结点I的基函数，质点X任一时刻的坐标表示为
xi(X,t)＝NI(X)xiI(t)， (9)
单元内任一质点X的位移表示为
ui(X,t)＝NI(X)uiI(t)， (10)
式(10)对时间求导，得到单元内任一质点X的速度和加速度分别为
单元内任一质点X的虚速度表示为
δvi(X)＝NI(X)δviI， (12)
其中，形函数为
将式(11)和式(12)代入式(7)的虚功率方程中，得
对于给定速度边界Av上虚速度δvi为0，其它所有结点的虚速度是任意值，得
其中，为内力项，∫VNIρbidV和为外力项，为结点惯性力，S为受力面，其矩阵形式为
质量矩阵为
MIJ＝∫VρNINJdV， (17)
外力项为
内力项为
fint＝∫VBTσdV， (19)
其中
B＝[B1 B2 … BN]。 (21)
进一步地，所述步骤4包括以下流程：
根据CFL稳定性条件，确定时间步长
Δt＝αΔtcr， (22)
其中，α为常数，Δtcr为单元临界时间步长，le为单元特征长度，4结点单元则为单元的最小高度，c为材料绝热声速，表示取所有单元中的最小值。
进一步地，所述步骤5包括以下流程：
质量矩阵采用集中质量矩阵，根据更新加速度矢量在加速度矢量上施加运动学边界条件。
进一步地，所述步骤6包括以下流程：
根据加速度矢量更新速度矢量和位移矢量a
其中，各上标表示时刻，表示时刻的速度，tn+1表示时刻n+1的时间，tn表示时刻n的时间，tn-1表示时刻n-1的时间。
进一步地，所述步骤7包括以下流程：
取一个四面体单元边、面、体的形心，将一个四面体单元划分为四个六面体区域，每个六面体区域包含一个结点，若一个结点被多个单元共用，则这个结点在每个单元均有一个区域，一个结点的若干区域构成该结点的光滑区域；
每个结点的应力在对应的光滑区域中为
其中，ΩI为结点I的光滑区域，VI为结点I的光滑区域的体积，为结点I光滑区域在单元i内的部分，εi为单元i的单元应变，光滑区域的体积为
其中，Vi为单元i的体积，将式(29)转换成以位移求解的形式，得
每个单元中，单元应力由四个结点应力可求得
σi＝σINI+σJNJ+σKNK+σLNL， (32)
4结点杂交应力四面体单元的单元应力在各个单元之间保证了连续，且在每个单元中单元应力函数也是一个线性函数，对所有单元依次循环，根据式(18)采用高斯积分计算外力项fext，根据式(19)计算内力项fint，根据计算出单元结点力矢量fe后，将单元结点力矢量fe组装到结点力矢量f中。
进一步地，所述步骤8包括以下流程：
步骤81，判断总时长是否大于预设仿真时长；
步骤82，若总时长不大于预设仿真时长，流程返回所述步骤5，继续进行循环计算；
步骤83，若总时长大于预设仿真时长，结束计算。
本发明的有益效果：本发明提供的一种基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，该方法求解冲击动力学问题时，保留了四面体网格对于复杂结构的良好拟合，同时提高了应力场的精度，是一种具有良好稳定性的显式动力学数值计算方法；同时，在传统四面体单元的基础之上，对结点应力进行光滑处理，不但能够对复杂模型进行良好的拟合，而且单元应力精度有着大大的提高，同时计算量小。
附图说明
图1为本发明的流程图。
图2为本发明的杂交应力单元的结构示意图。
图3为本发明的光滑区域的结构示意图。
图4为图1中步骤8的流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的实施例做进一步的说明。
请参阅图1，本发明提供的一种基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，通过以下步骤实现：
步骤1，对目标结构进行建模，采用四面体网格剖分求解域。
本实施例中，根据需要，对结构进行合理的建模，然后使用四面体网格剖分结构。
步骤2，根据动量方程，基于虚功原理推导其弱形式。
本实施例中，步骤2通过以下流程实现：
根据动量定理，作用于系统上的外力和等于动量的物质导数。
其中，V表示整个计算域，A表示受力面，ρ表示密度，i表示方向，v为速度，b为体积力，p为面积力，t为时间，表示对时间求导，根据雷诺运输定理和连续性方程，可得
其中，f(x,t)为一个关于x,t的函数。
根据式(2)，将式(1)中左端转换为
利用高斯定理，将式(1)中右端转换为
其中，表示对面力函数求偏导。综上，得到以现时构型为参考构型的拉格朗日描述动量方程
其中，表示加速度，σ表示柯西应力张量；
动量方程式(5)要求在求解区域处处满足，在数值方法中，则由其弱形式出发，它只需要在某种平均意义下满足即可。
设定虚速度δv，为加速度，根据加权余量法得
根据分部积分和边界条件，得到所述动量方程的弱形式，即虚功率方程
其中，
式(8)中三项分别为内力虚功率、外力虚功率及惯性力虚功率。
步骤3，根据有限元理论和连续介质力学理论，得到方程的矩阵形式，其中结点内外力均采用更新拉格朗日格式进行计算。
本实施例中，步骤3通过以下流程实现：
采用N个单元来离散计算域，设定xiI表示现时构型中结点I的坐标，其中i代表三个方向，NI(X)为结点I的基函数，质点X任一时刻的坐标表示为
xi(X,t)＝NI(X)xiI(t) (9)
单元内任一质点X的位移表示为
ui(X,t)＝NI(X)uiI(t) (10)
式(10)对时间求导，得到单元内任一质点X的速度和加速度分别为
单元内任一质点X的虚速度表示为
δvi(X)＝NI(X)δviI (12)
其中，形函数为
将式(11)和式(12)代入式(7)的虚功率方程中，得
对于给定速度边界Av上虚速度δvi为0，其它所有结点的虚速度是任意值，得
其中，为内力项，∫VNIρbidV和为外力项，为结点惯性力，S为受力面，其矩阵形式为
质量矩阵为
MIJ＝∫VρNINJdV (17)
外力项为
内力项为
fint＝∫VBTσdV (19)
其中
B＝[B1 B2 … BN] (21)
步骤4，采用时间格式为中心差分点的显式积分方法求解方程，引入初始条件确定初始时间步长。
本实施例中，步骤4通过以下流程实现：
对于冲击动力学问题，一般均采用显式方法求解。中心差分法是最常用的方法。首先计算初始结点力矢量，并确定初始时间步长。为了保证显式积分稳定，根据CFL稳定性条件，由下式确定时间步长
Δt＝αΔtcr (22)
其中，α为常数，一般取0.8≤α≤0.98，Δtcr为单元临界时间步长，le为单元特征长度，4结点单元则为单元的最小高度，c为材料绝热声速，表示取所有单元中的最小值。
步骤5，更新加速度矢量，并施加边界条件。
本实施例中，步骤5通过以下流程实现：
质量矩阵采用集中质量矩阵，这样就不需要使用求逆，可以方便的计算出加速度矢量根据更新加速度矢量然后，直接在加速度矢量上施加运动学边界条件。
步骤6，根据所述加速度矢量，更新速度矢量和位移矢量。
本实施例中，步骤6通过以下流程实现：
根据加速度矢量通过下式计算速度矢量和位移矢量a
其中，式(24)至式(28)中的各上标表示时刻，例如表示时刻的速度，tn+1表示时刻n+1的时间，tn表示时刻n的时间，tn-1表示时刻n-1的时间。
步骤7，循环所有单元，更新单元结点力矢量和时间步长，并将所述单元结点力矢量组装到结点力矢量中。
本实施例中，步骤7通过以下流程实现：
在冲击响应计算中，更新结点力是非常重要的一个步骤，而在这个步骤在中，应力更新又是最为关键的一步。在传统四面体单元中，单元应力σe通过σe＝CBeue求得，其中，C为材料本构关系，Be为单元应变矩阵，ue为单元位移矢量。由于传统的四面体单元，一阶基函数为线性结点基函数，所以应变矩阵Be为常数矩阵。这导致在每个单元中单元应力为常矢量，并且也不能保证单元之间具有连续性。于是，本发明提出了一种新型的杂交应力单元。如图2所示，取一个四面体单元边、面、体的形心，将一个四面体单元划分为四个六面体区域，每个六面体区域包含一个结点。如果一个结点被多个单元共用，那么这个结点在每个单元中均有一个这样的小区域。这些小区域组成的区域称为该结点的光滑区域，如图3所示。根据下式，每个结点的应力则在这个光滑区域中求得。
其中，ΩI为结点I的光滑区域，VI为结点I的光滑区域的体积，为结点I光滑区域在单元i内的部分，εi为单元i的单元应变，光滑区域的体积为
其中，Vi为单元i的体积，将式(29)转换成以位移求解的形式，得
每个单元中，单元应力由四个结点应力可求得
σi＝σINI+σJNJ+σKNK+σLNL (32)
4结点杂交应力四面体单元的单元应力在各个单元之间保证了连续，且在每个单元中单元应力函数也是一个线性函数，而非传统四面体单元中的常数。然后，对所有单元依次循环，根据式(18)采用高斯积分计算外力项fext，根据式(19)计算内力项fint，根据fe＝fe ext-fe int计算出单元结点力矢量fe后，将单元结点力矢量fe组装到结点力矢量f中。
步骤8，判断总时长是否达到预设仿真时长，若总时长大于预设仿真时长，结束计算。
请参阅图4，步骤8通过以下流程实现：
步骤81，判断总时长是否大于预设仿真时长；
步骤82，若总时长不大于预设仿真时长，流程返回所述步骤5，继续进行循环计算；
步骤83，若总时长大于预设仿真时长，结束计算。
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (8)

1.一种基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，对目标结构进行建模，采用四面体网格剖分求解域；
步骤2，根据动量方程，基于虚功原理推导其弱形式；
步骤3，根据有限元理论和连续介质力学理论，得到方程的矩阵形式，其中结点内外力均采用更新拉格朗日格式进行计算；
步骤4，采用时间格式为中心差分点的显式积分方法求解方程，引入初始条件确定初始时间步长；
步骤5，更新加速度矢量，并施加边界条件；
步骤6，根据所述加速度矢量，更新速度矢量和位移矢量；
步骤7，循环所有单元，更新单元结点力矢量和时间步长，并将所述单元结点力矢量组装到结点力矢量中；
步骤8，判断总时长是否达到预设仿真时长，若总时长大于预设仿真时长，结束计算。
2.如权利要求1所述的基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，其特征在于，所述步骤2包括以下流程：
步骤21，得到动量方程；
根据动量定理，
其中，V表示整个计算域，A表示受力面，ρ表示密度，i表示方向，v为速度，b为体积力，p为面积力，t为时间，表示对时间求导，根据雷诺运输定理和连续性方程，可得
其中，f(x,t)为一个关于x,t的函数；
根据式(2)，将式(1)中左端转换为
利用高斯定理，将式(1)中右端转换为
其中，表示对面力函数求偏导，得到以现时构型为参考构型的拉格朗日描述动量方程，
其中，表示加速度，σ表示柯西应力张量；
步骤22，根据式(5)的动量方程，基于虚功原理推导所述动量方程的弱形式；
设定虚速度δv，为加速度，根据加权余量法得
根据分部积分和边界条件，得到所述动量方程的弱形式，即虚功率方程
其中，
式(8)中三项分别为内力虚功率、外力虚功率及惯性力虚功率。
3.如权利要求2所述的基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，其特征在于，所述步骤3包括以下流程：
采用N个单元对计算域进行离散，设定xiI表示现时构型中结点I的坐标，其中i代表三个方向，NI(X)为结点I的基函数，质点X任一时刻的坐标表示为
xi(X,t)＝NI(X)xiI(t)， (9)
单元内任一质点X的位移表示为
ui(X,t)＝NI(X)uiI(t)， (10)
式(10)对时间求导，得到单元内任一质点X的速度和加速度分别为
单元内任一质点X的虚速度表示为
δvi(X)＝NI(X)δviI， (12)
其中，形函数为
将式(11)和式(12)代入式(7)的虚功率方程中，得
对于给定速度边界Av上虚速度δvi为0，其它所有结点的虚速度是任意值，得
其中，为内力项，∫VNIρbidV和为外力项，为结点惯性力，S为受力面，其矩阵形式为
质量矩阵为
MIJ＝∫VρNINJdV， (17)
外力项为
内力项为
fint＝∫VBTσdV， (19)
其中
B＝[B1 B2 … BN]。 (21)。
4.如权利要求3所述的基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，其特征在于，所述步骤4包括以下流程：
根据CFL稳定性条件，确定时间步长
Δt＝αΔtcr， (22)
其中，α为常数，Δtcr为单元临界时间步长，le为单元特征长度，4结点单元则为单元的最小高度，c为材料绝热声速，表示取所有单元中的最小值。
5.如权利要求4所述的基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，其特征在于，所述步骤5包括以下流程：
质量矩阵采用集中质量矩阵，根据更新加速度矢量在加速度矢量上施加运动学边界条件。
6.如权利要求5所述的基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，其特征在于，所述步骤6包括以下流程：
根据加速度矢量更新速度矢量和位移矢量a
其中，各上标表示时刻，表示时刻的速度，tn+1表示时刻n+1的时间，tn表示时刻n的时间，tn-1表示时刻n-1的时间。
7.如权利要求6所述的基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，其特征在于，所述步骤7包括以下流程：
取一个四面体单元边、面、体的形心，将一个四面体单元划分为四个六面体区域，每个六面体区域包含一个结点，若一个结点被多个单元共用，则这个结点在每个单元均有一个区域，一个结点的若干区域构成该结点的光滑区域；
每个结点的应力在对应的光滑区域中为
其中，ΩI为结点I的光滑区域，VI为结点I的光滑区域的体积，为结点I光滑区域在单元i内的部分，εi为单元i的单元应变，光滑区域的体积为
其中，Vi为单元i的体积，将式(29)转换成以位移求解的形式，得
每个单元中，单元应力由四个结点应力可求得
σi＝σINI+σJNJ+σKNK+σLNL， (32)
4结点杂交应力四面体单元的单元应力在各个单元之间保证了连续，且在每个单元中单元应力函数也是一个线性函数，对所有单元依次循环，根据式(18)采用高斯积分计算外力项fext，根据式(19)计算内力项fint，根据fe＝fe ext-fe int计算出单元结点力矢量fe后，将单元结点力矢量fe组装到结点力矢量f中。
8.如权利要求7所述的基于新型杂交应力四面体单元的冲击响应仿真模拟方法，其特征在于，所述步骤8包括以下流程：
步骤81，判断总时长是否大于预设仿真时长；
步骤82，若总时长不大于预设仿真时长，流程返回所述步骤5，继续进行循环计算；
步骤83，若总时长大于预设仿真时长，结束计算。
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