CN108665103B - 基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法。适用于灾难发生时对恐慌人群的引导疏散，主要用于解决心理恐慌对人群疏散的影响。本发明从宏观角度建立了以LWR和Underwood模型为基础的偏微分方程，模拟了人群在恐慌状态下以一种流体的方式进行逃离。本发明运用最优控制下结合LWR模型和Underwood模型，能更好地控制人群疏散过程中的速度，验证了所提出的控制具有较好的实际可行性。

Description

基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法

技术领域

本发明属于密集人群疏散的宏观领域，涉及到一种基于离散最优控制的疏散方法，具体的说是当灾难发生时，结合人群运动的行为特点以及恐慌心理对疏散产生的影响提出的一种疏散方法，可用于对大规模人群进行快速疏散。

背景技术

随着城市的迅速发展，公共安全事故频繁发生，人类的生命财产安全受到重大威胁。当突发事件发生时，人们很容易受到心理恐慌、盲目从众以及迫切逃脱等因素的影响，导致其行为错乱，发生踩踏事件，进而影响人群的疏散。目前，许多研究者致力于对单一建筑的应急疏散行为进行建模研究，而在恐慌心理等方面导致对人群疏散的影响方面研究甚少。

恐慌心理往往表现在逃生者的行为上，常见的有：比正常状况下步行速度更快，更容易发生拥挤现象以及盲目从众等。这些行为表现只有通过建立特殊的模型才能体现出来。近年来，研究者们对于人群疏散建模的研究可以大致划分成两种：微观建模和宏观建模。微观建模的研究对象是单个个体，结合个体自身的特性、考虑个体与个体之间的相互作用以及外部环境对个体产生的干扰。宏观建模则是将疏散的人群视为一个整体，通过流体动力学、气体动力学以及对应的数学模型来对疏散人员的特性进行一个宏观统计，涉及疏散人群的密度、速度以及流量等等。

发明内容

本发明的目的是为了研充恐慌心理方面对人群疏散的影响而提供了一种基于离散最优控制的人群疏散方法，本发明运用最优控制下结合LWR模型和Underwood模型，能更好地控制人群疏散过程中的速度，验证了所提出的控制具有较好的实际可行性。

本发明的目的可以通过以下技术方案实现：

一种基于离散最优的人群疏散方法，该方法包括以下步骤：

1)结合LWR模型和Underwood模型，将走廊划分成长度相等的有限段，并将连续偏微分方程离散成有限个常微分方程；

2)对常微分方程进行归一化和标准化得到人群在恐慌状态下的宏观数学模型；

3)运用最优控制，通过定义控制率μ来引入状态方程α和成本函数J，使用变分法得到满足的欧拉-拉格朗日方程，并说明其最优控制的必要条件；

4)使用最速下降法以分段恒定方式来计算最优控制；

5)判断成本函数J是否在减小，减小的话跳到步骤6)，否则跳到步骤3)；

6)进一步判断

或者|(J⁽ⁱ⁺¹⁾-Jⁱ)|≤tol₂，若满足条件则输出结果，否则跳到步骤4)继续进行迭代。

进一步地，前述的一种基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法，其中：步骤1)中所述的进一步的所述的结合LWR模型和Underwood模型，将走廊划分成长度相等的有限段，并将连续偏微分方程离散成有限个常微分方程的具体方法是：

LWR模型其公式为：

其中，ρ是人群密度，q是行人流量，t是时间，x是从固定端沿走廊长度方向的行走距离，υ是行人平均速度。

Underwood模型其公式为：

首先，假设有一条长度为L的走廊，行人均沿着走廊长度的方向运动。将走廊分成有限的n份，假设被划分的走廊每段中的初始人群密度一致，则偏微分方程被离散成如下常微分方程：

进一步地，前述的一种基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法，其中：步骤2)中所提出的归一化和标准化的计算步骤如下：

将上述方程式两边同时除以ρ_m，进行归一化处理，得到

其中，

通过删除“^”进行标准化，得到描述行人流量运动过程的宏观数学模型

进一步地，前述的一种基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法，其中：步骤3)中所提出的运用最优控制，通过定义控制率μ来引入状态方程α和成本函数J，使用变分法得到满足的欧拉-拉格朗日方程，并说明其最优控制的必要条件。其具体步骤如下：

引入控制变量μ，控制输入表示各部分中自由速度的变化时间速率，其状态向量是

取上述式子的右半边作为α(x(t)，μ(t)，t)：

其状态方程为：

为了达到最优控制，我们使用以下作为成本函数

其中

这里，h(x(t_f)，t_f)表示终端费用，通过定义成本函数J，确保其每个时刻的步行密度和自由速度的低变化率以达到最小化。由于这两个属性从撤离的角度来看是非常可取的，所以给出的成本函数J的具体选择是合理的。

通过使用变分法来研充最优控制和相应状态满足的欧拉拉格朗日方程。方程的哈密尔顿算子如下

H(x(t)，μ(t)，p(t)，t)＝g(x(t)，μ(t)，t)+p^Tα(x(t)，μ(t)，t)

结合前面建立的宏观数学模型可以得到：

用欧拉拉格朗日方程来表示其最优控制的必要条件

哈密尔顿算子的另一个必要条件是在t₀到t_f时刻，其状态控制的偏导数一直为0即

进一步地，前述的一种基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法，其中：步骤4)中所提出的使用最速下降法以分段恒定方式来计算最优控制具体操作如下：

假设初始分段以常数控制曲线，并通过前向积分来计算状态。在每个离散时刻，通过控制值μ来计算协同状态值

由于控制是任意选择的，一般不会为零。由于必要条件要求其值为零，因此必须在每个离散时刻计算哈密尔顿算子H的最速下降方向上更新控制。这对应于相对于μ的H的负梯度

因此，在每次迭代后都有以下控制更新规则：

进一步地，前述的一种基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法，其中：步骤5)中判断成本函数J是否在减小，步骤4)中τ的取值必须是使得成本函数在每次迭代中不断减少，减小的话跳到步骤6)，否则跳到步骤3)。

进一步地，前述的一种基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法，其中：步骤6)中，t₀l₁和t₀l₂是预定义的公差。

本发明的有益效果是：从宏观角度建立了以LWR和Underwood模型为基础的偏微分方程，模拟了人群在恐慌状态下以一种流体的方式进行逃离。对比了两种不同的模型，运用最优控制进行仿真，进而验证了Underwood模型相比Greenshields模型更贴近恐慌状态下的人群疏散。运用最优控制下结合LWR模型和Underwood模型，能更好地控制人群疏散过程中的速度，验证了所提出的控制具有较好的实际可行性。

附图说明

图1是本发明算法的流程图。

图2是本发明中建立的走廊离散化模型示例图。

图3是本发明中恐慌人群密度ρ随时间t的Greenshields模型函数示例图。

图4是本发明中恐慌人群自由速度v_f随时间t的Greenshields模型函数示例图。

图5是本发明中

随时间t的Greenshields模型函数示例图。

图6是本发明中恐慌人群密度ρ随时间t的Underwood模型函数示例图。

图7是本发明中恐慌人群自由速度v_f随时间t的Underwood模型函数示例图。

图8是本发明中

随时间t的Underwood模型函数示例图。

具体实施方式

下面结合说明书附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明。

参照图1，本发明的具体实现步骤如下：

步骤1，结合LWR模型和Underwood模型，将走廊划分成长度相等的有限段，并将连续偏微分方程离散成有限个常微分方程。

LWR模型是第一个用于描述交通流问题的模型，并且得到了人们的广泛关注。在模型中，交通密度是守恒的，它描述的是一个时变、标量、非线性的双曲线偏微分方程。其公式为

其中，ρ是人群密度，q是行人流量，t是时间，x是从固定端沿走廊长度方向的行走距离。

q＝ρυ，υ是行人平均速度。

Greenshields模型是第一个实际通过测试交通车的数据，分析并提出的速度-密度模型。其表达式为

其中，υ_f是自由运动速度，即ρ＝0时的速度。ρ_m是阻塞密度，即υ＝0时的密度。

自Greenshields线性模型之后，又有研究者们提出了非线性模型、S型曲线模型等。Underwood模型就是这其中一种，其公式为

该模型与Greenshields模型相比，其等效通行能力比较可靠，更贴近恐慌状态下人群的疏散，该模型表示的人群运动速度更大，符合人群在恐慌状况下运动速度更快的特点，对实际情况的研究有重要的参考价值。

步骤2，对常微分方程进行归一化和标准化得到人群在恐慌状态下的宏观数学模型。

首先，假设有一条长度为L的走廊，行人均沿着走廊长度的方向运动。将走廊分成有限的n份，假设被划分的走廊每段中的初始人群密度一致，则偏微分方程被离散成如下常微分方程

其中，ρ_i表示第i段的人群密度，q_i表示第i段的输出人流量，L_i表示每段的长度。

由于LWR模型无法对现实生活中复杂情况的人群疏散动力学模型进行概述，因此需要对其进行修改。结合Underwood模型，得到常微分方程

将该方程式两边同时除以ρ_m，进行归一化处理，得到：

其中，

为了给系统制定最佳控制目标，通过删除“^”进行标准化，得到描述行人流量运动过程的数学模型：

步骤3，运用最优控制，通过定义控制率μ来引入状态方程α和成本函数J，使用变分法得到满足的欧拉-拉格朗日方程，并说明其最优控制的必要条件。

这里引入控制变量μ，控制输入表示各部分中自由速度的变化时间速率，其状态向量是

这里取右半边作为α(x(t)，μ(t)，t)

其状态方程为

为了达到最优控制，使用以下作为成本函数

其中

这里，h(x(t_f)，t_f)表示终端费用，通过定义成本函数J，确保其每个时刻的步行密度和自由速度的低变化率以达到最小化。由于这两个属性从撤离的角度来看是非常可取的，所以给出的成本函数J的具体选择是合理的。

通过使用变分法来研究最优控制和相应状态满足的欧拉拉格朗日方程。方程的哈密尔顿算子如下：

H(x(t)，μ(t)，p(t)，t)＝g(x(t)，μ(t)，t)+p^Tα(x(t)，μ(t)，t)

这里p是共态向量，结合上述公式，可得哈密尔顿算子：

现在用欧拉拉格朗日方程来表示其最优控制的必要条件

哈密尔顿算子的另一个必要条件是在t₀到t_f时刻，其状态控制的偏导数一直为0即

步骤4，使用最速下降法以分段恒定方式来计算最优控制。

假设初始分段以常数控制曲线，并通过前向积分来计算状态。在每个离散时刻，通过控制值μ来计算协同状态值

由于控制是任意选择的，一般不会为零。由于必要条件要求其值为零，因此必须在每个离散时刻计算哈密尔顿算子H的最速下降方向上更新控制。这对应于相对于μ的H的负梯度

因此，在每次迭代后都有以下控制更新规则：

步骤5，判断成本函数J是否在减小，减小的话跳到步骤6)，否则跳到步骤3)

步骤6，进一步判断

或者|(J⁽ⁱ⁺¹⁾Jⁱ)|≤tol₂，若满足条件则输出结果，否则跳到步骤4)继续进行迭代。其中，t₀l₁和t₀l₂是预定义的公差。

本发明的效果可以通过以下仿真实验说明：

实际生活中，当突发事件发生时，人员的恐慌会促使他们以一个较大的速度逃离，符合上述Underwood模型，假设仿真的走廊分为两个部分，每个分配了初始归一化的行人密度ρ_i0＝0.6。初始自由速度设定为υ_fi0＝0，因为人群最初是静止的。假设两个部分具有相等的长度，因此b_i＝2。初始时间和最终时间分别为t₀＝0和t_f＝10s。间隔[t₀，t_f]为0.1s的间隔。使用上述最速下降法获得最优控制，在低容忍度tol1下，最优的要求是非常满足的。

以上所述仅为本发明的较佳实施方式，本发明的保护范围并不以上述实施方式为限，但凡本领域普通技术人员根据本发明所揭示内容所作的等效修饰或变化，皆应纳入权利要求书中记载的保护范围内。

Claims (4)

1.基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)结合LWR模型和Underwood模型，将走廊划分成长度相等的有限段，并将连续偏微分方程离散成有限个常微分方程；

2)对常微分方程进行归一化和标准化得到人群在恐慌状态下的宏观数学模型；

3)运用最优控制，通过定义控制率μ来引入状态方程α和成本函数J，使用变分法得到满足的欧拉-拉格朗日方程，并说明其最优控制的必要条件；其具体步骤如下：

引入控制变量μ_i，控制输入表示各部分中自由速度的变化时间速率，其状态向量是

取上述式子的右半边作为α(x(t),μ(t),t)：

2≤i≤n；

其状态方程为：

为了达到最优控制，使用以下作为成本函数

其中

这里，h(x(t_f),t_f)表示终端费用，通过定义成本函数J，确保其每个时刻的步行密度和自由速度的低变化率以达到最小化；

通过使用变分法来研究最优控制和相应状态满足的欧拉拉格朗日方程；方程的哈密尔顿算子如下

H(x(t),μ(t),p(t),t)＝g(x(t),μ(t),t)+p^Tα(x(t),μ(t),t)

结合前面建立的宏观数学模型得到：

用欧拉拉格朗日方程来表示其最优控制的必要条件：

哈密尔顿算子的另一个必要条件是在t₀到t_f时刻，其状态控制的偏导数一直为0即

4)使用最速下降法以分段恒定方式来计算最优控制；具体操作如下：

假设初始分段以常数控制曲线，并通过前向积分来计算状态；在每个离散时刻，通过控制率μ来计算协同状态值

由于必要条件要求其值为零，因此必须在每个离散时刻计算哈密尔顿算子H的最速下降方向上更新控制；这对应于相对于μ的H的负梯度

因此，在每次迭代后都有以下控制更新规则

5)判断成本函数J是否在减小，减小的话跳到步骤6)，否则跳到步骤3)；

6)进一步判断

或者|(J⁽ⁱ⁺¹⁾-Jⁱ)|≤t₀l₂，t₀l₁和t₀l₂是预定义的公差，若满足条件则输出结果，否则跳到步骤4)继续进行迭代。

2.根据权利要求1所述的基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法，其特征在于，步骤1)所述的结合LWR模型和Underwood模型，将走廊划分成长度相等的有限段，并将连续偏微分方程离散成有限个常微分方程的具体方法是：

LWR模型其公式为：

其中，ρ是人群密度，q是行人流量，t是时间，x是从固定端沿走廊长度方向的行走距离，υ是行人平均速度；

Underwood模型其公式为：

首先，假设有一条长度为L的走廊，行人均沿着走廊长度的方向运动；将走廊分成有限的n份，假设被划分的走廊每段中的初始人群密度一致，则偏微分方程被离散成如下常微分方程：

。

3.根据权利要求1所述的基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法，其特征在于，步骤2)中提出的归一化和标准化的计算步骤如下：

将步骤2)中的得到的常微分方程式两边同时除以ρ_m，进行归一化处理，得到

其中，

通过删除“^”进行标准化，得到描述行人流量运动过程的宏观数学模型

4.根据权利要求1所述的基于离散最优控制的恐慌人群疏散方法，其特征在于，其中步骤5)中判断成本函数J是否在减小，步骤4)中t的取值必须是使得成本函数在每次迭代中不断减少，减小的话跳到步骤6)，否则跳到步骤3)。

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