CN108460182B - 一种量化复杂介质中溶质运移多尺度特征的方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种量化复杂介质中溶质运移多尺度特征的方法，包括选定具体复杂介质中溶质运移过程作为研究对象，确定试验条件，观察溶质粒子的运动轨迹，获得溶质粒子均方位移的试验数据R，R是当运动时间为t时，所有粒子t时刻的位置x与各自初始点的距离的平均值的集合；根据分布阶分形导数模型或其等价形式，推导溶质运移的多尺度运移率；结合溶质粒子均方位移的试验数据R，计算多尺度运移率中参数的值c；根据参数c的值，得到复杂介质中溶质运移的多尺度特征，对溶质运移过程分类。本发明有广泛的工程应用前景，可用于污染物运移的预测、评估和治理等。与现有的模型或技术相比，更便于工程使用。

Description

一种量化复杂介质中溶质运移多尺度特征的方法
技术领域
本发明涉及环境流体中尺度特征计算方法，特别是涉及一种量化复杂介质中溶质运移多尺度特征的方法。
背景技术
污染物在土壤、裂隙岩体、混凝土等复杂介质中的运移过程是环境流体领域中重要的工程问题，例如核废料的深地质贮存、垃圾填埋场的污水下渗、输油管道老化引起的渗漏、海水入侵等导致地下水受到了严重污染。明确复杂介质中溶质运移的规律，可以为污染物运移过程的控制，污染水土的修复治理，自然资源的合理开发和可持续利用等方面提供有效的方法。
通常情况下，复杂介质为非均质、各向异性，其内部溶质的运动为非菲克运移，即不满足经典的菲克定律。反常运移是描述溶质非菲克运移的主要途径之一，反常运移中溶质粒子的均方位移为时间的幂律函数，而不是菲克运移对应时间的线性函数。溶质粒子均方位移对应的规律称为运移率。存在溶质运移过程的运移率并不总是时间的单尺度幂律函数，例如特慢溶质运移对应的运移率为时间的对数函数或逆Mittag-Leffler函数，结构导数运移模型已用于描述这类扩散过程。此外，大量实验表明非菲克溶质迁移往往也存在多尺度特征，不能通过单尺度迁移率描述非菲克溶质迁移多尺度特征。
在国内外，已有多项技术应用于复杂介质中溶质的非菲克运移，如发明专利CN201710140574.2“一种氯离子在混凝土中反常扩散动态数据重构的分形导数模拟方法”基于分形导数模型，模拟反常扩散单尺度特征；发明专利CN201410665783.5“一种基于离散分数阶差分的反常扩散模拟方法”通过离散的分数阶差分方法对反常扩散进行模拟；US14772912“Fractional order and entropy bio-markers for biological tissue indiffusion weighted magnetic resonance imaging”给出了一种确定生物组织中非正常扩散分数阶导数模型；发明专利CN201410648078.4“一种模拟地下水一维溶质运移过程的方法”根据马尔可夫链的性质，结合随机行走模型，模拟地下水溶质运移过程。
上述现有的专利技术方法，仅能描述复杂介质中非菲克运移的单尺度特征，不能刻画多尺度特征。目前已有一些方法能够描述复杂介质中溶质非菲克运移的多尺度特征，如变阶数分形导数模型，变阶数分数阶导数模型，随机阶分数阶导数模型，分布阶分数阶导数模型等，但这些方法比较复杂，计算量大，不便于工程应用。因此，需要一种新的量化复杂介质中溶质运移多尺度特征的方法，以解决上述问题。
发明内容
发明目的：针对现有技术的不足，提供一种可准确量化复杂介质中溶质运移多尺度特征的方法。
技术方案：本发明提供了一种量化复杂介质中溶质运移多尺度特征的方法，包括以下步骤：
(1)选定具体复杂介质中溶质运移过程作为研究对象，确定试验条件，观察溶质粒子的运动轨迹，获得溶质粒子均方位移的试验数据R，R是当运动时间为t时，所有粒子t时刻的位置x与各自初始点的距离的平均值的集合；
(2)根据分布阶分形导数模型或其等价形式，推导溶质运移的多尺度运移率；
(3)结合步骤(1)中溶质粒子均方位移的试验数据R，计算步骤(2)中多尺度运移率中参数的值c；
(4)根据步骤(3)中得到的多尺度运移率中参数的值c，得到复杂介质中溶质运移的多尺度特征，对溶质运移过程分类。
进一步的，所述步骤(2)中复杂介质中溶质运移多尺度的分布阶分形导数模型如下：
Figure BDA0001551501000000021
其中，α为时间分形导数的阶数，p(α)＝2cα为分布阶的权重函数，c>0为权重函数的系数，x为溶质在时刻t的位置，u(x,t)为溶质在位置x和时刻t时的浓度，D为扩散系数，由复杂介质本身的内部结构决定；
根据分布阶分形导数推导出溶质运移的多尺度运移率如下：
<x2(t)>＝-Ddilog(t)/c (2)；
其中dilog为二重对数函数。
进一步的，所述步骤(2)中分布阶分形导数模型的等价形式为：
Figure BDA0001551501000000031
其中c>0为权重函数的系数，x为溶质在时刻t的位置，u(x,t)为溶质在位置x和时刻t时的浓度，D为扩散系数。
进一步的，所述步骤(3)采用最小二乘法，通过Matlab软件，计算确定多尺度运移率中参数的值c。如果不能确定参数c的值，则表明步骤(2)中多尺度运移率不适用于描述步骤(1)中的试验数据R。
进一步的，所述步骤(4)中复杂介质中溶质运移的多尺度运移率与菲克运移的线性运移率，反常运移的幂率运移率，特慢运移的对数运移率或逆Mittag-Leffler运移率进行比较，分析多尺度运移率介于哪两类单尺度运移率之间，多尺度运移是这两类单尺度运移共同作用的结果，进一步确定该复杂介质中溶质运移过程的类型。
有益效果：与现有技术相比，本发明基于分布阶分形导数运移模型，给定分布阶的权重函数，推导复杂介质中溶质运移的运移率，量化溶质运移的多尺度特征，然后结合复杂介质中溶质运移的试验条件和试验数据，确定溶质运移率中多尺度参数的值，最终通过复杂介质中溶质运移的多尺度特征，对溶质运移过程分类。本发明量化溶质运移多尺度特征仅需要1个参数，分布阶权重函数的系数。该参数刻画了复杂介质中溶质运移偏离单尺度的程度。非菲克多尺度运移率是反常运移对应幂率单尺度运移率的推广。该发明有广泛的工程应用前景，可用于污染物运移的预测、评估和治理等。与现有的模型或技术相比，更便于工程使用。
附图说明
图1是本发明方法流程图；
图2是欧几里得多孔介质和分形多孔介质不均匀性与孔隙度关系的曲线图；
图3是不同模型对应运移率描述复杂介质中溶质运移均方位移的对比图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明技术方案进行详细说明，但是本发明的保护范围不局限于所述实施例。
发明原理：目前，从微观机理上讲，通常将复杂介质中溶质粒子的运移过程分为布朗运动，即正常运移、反常运移和特慢运移。正常运移中，溶质粒子的运移率为时间的线性函数，即<x2(t)>～t。反常运移中，溶质粒子的运移率为时间的幂律函数，即<x2(t)>～tα，当α>1时为快扩散，α<1时为慢扩散。在分数阶或分形导数模型中，α为时间分数阶或分形导数的阶数。慢运移中，溶质粒子的运移率为时间的对数函数或逆Mittag-Leffler函数，即<x2(t)>～(lnt)λ，λ>0，λ为速率指数，或<x2(t)>～
Figure BDA0001551501000000043
，
Figure BDA0001551501000000042
为逆Mittag-Leffler函数，0<β≤1，β决定逆Mittag-Leffler函数的增长速率，λ>0。需要指出的是，这三类运移过程均表现为单尺度特征。
大量试验表明，由于复杂介质的时空依赖性，溶质粒子对应均方位移中表现出多尺度特征，尺度参数可以通过一些物理量的函数描述，如位置、时间、温度、密度等。为克服现有方法的局限性，本发明提出了分布阶分形导数模型，推导复杂介质中溶质多尺度运移率，量化溶质运移的多尺度特征。本发明的多尺度运移率仅包含1个参数，该参数刻画了复杂介质中溶质运移偏离单尺度的程度。
如图1所示，一种量化复杂介质中溶质运移多尺度特征的方法，具体操作步骤如下：
(1)选定具体复杂介质中溶质运移过程作为研究对象，确定试验条件，观察溶质粒子的运动轨迹，获得溶质粒子均方位移的试验数据R，R是当运动时间为t时，所有粒子t时刻的位置x与各自初始点的距离的平均值的集合；
(2)根据分布阶分形导数模型或其等价形式，推导溶质运移的多尺度运移率
描述复杂介质中溶质运移多尺度的分布阶分形导数模型如下：
Figure BDA0001551501000000041
其中，α为时间分形导数的阶数，p(α)＝2cα为分布阶的权重函数，c>0为权重函数的系数，x为溶质在时刻t的位置，u(x,t)为溶质在位置x和时刻t时的浓度，D为扩散系数，由复杂介质本身的内部结构决定；
根据分布阶分形导数推导出溶质运移的多尺度运移率<x2(t)>如下：
<x2(t)>＝-Ddilog(t)/c (2)；
其中dilog为二重对数函数。
另外，也可采用分布阶分形导数模型的等价形式，即：
Figure BDA0001551501000000051
其中c>0为权重函数的系数，x为溶质在时刻t的位置，u(x,t)为溶质在位置x和时刻t时的浓度，D为扩散系数。
(3)结合步骤(1)中复杂介质溶质粒子均方位移的试验数据R，计算步骤(2)中多尺度运移率中参数c的值；
采用最小二乘法，通过Matlab软件，计算确定多尺度运移率中参数的值c。如果不能确定参数c的值，则表明步骤(2)中多尺度运移率不适用于描述步骤(1)中的试验数据R。
(4)根据步骤(3)中参数c的值，表明复杂介质中溶质运移满足步骤(2)中的多尺度运移率，进而得到复杂介质中溶质运移的多尺度特征，对溶质运移过程分类。
复杂介质中溶质运移的多尺度运移率通过与菲克运移的线性运移率，反常运移的幂率运移率，特慢运移的对数运移率或逆Mittag-Leffler运移率进行比较，分析多尺度运移率介于哪两类单尺度运移率之间，多尺度运移是这两类单尺度运移共同作用的结果，进一步确定该复杂介质中溶质运移过程的类型。
实施例：
1、本实施例选择饱和的欧几里得多孔介质和分形多孔介质作为研究对象，欧几里得多孔介质内部孔径为均匀分布，分形多孔介质对应的为非均匀分布。欧几里得多孔介质和分形多孔介质不均匀性与孔隙度关系见图2。通过考察100个溶质粒子在介质中的运移轨迹，运移时间为1000个增量步长，介质的大小为1000x1000单胞，最小的单胞为10-6，孔隙度为0.5，得到两种多孔介质中溶质粒子的均方位移R，分别见图3。
2、采用步骤(2)中的多尺度运移率<x2(t)>＝-Ddilog(t)/c描述欧几里得多孔介质中溶质运移的均方位移，并结合步骤(2)中计算得到的均方位移数据，考察欧几里得多孔介质溶质运移的多尺度运移率。
3、通过最小二乘法确定步骤2中多尺度运移率参数c的值，即分布阶权重函数的系数，c＝1.73。
为了验证基于分布阶分形导数模型的有效性，采用分形导数模型对应的单尺度幂率运移率描述欧几里得多孔介质中溶质运移的均方位移。同样通过最小二乘法确定幂率运移率中时间分形导数阶数α的值，α＝0.57。并绘制两种不同运移率描述欧几里得多孔介质中溶质运移均方位移的曲线，分别见图3。溶质粒子的运移率在不同时刻t对应的值为溶质粒子的均方位移。
由图3可知，多尺度运移率与试验的结果非常吻合，单尺度幂率运移率仅能描述运移时间较长时对应的试验结果。由此可知，基于分布阶分形导数运移模型的多尺度运移率可以有效量化欧几里得多孔介质中溶质运移多尺度特征。
以同样的方法描述分形多孔介质中溶质运移的规律，见图3。由图3可知，基于分形导数运移模型的单尺度幂率运移率可以准确地描述分形多孔介质中溶质运移的均方位移，对应时间分形导数阶数α的值为0.97。分形多孔介质中溶质运移表现为单尺度特征。
4、由步骤3中的结果可知，欧几里得多孔介质中溶质运移表现为多尺度特征。由图3可知，欧几里得多孔介质溶质运移的均方位移较分形多孔介质对应的慢。而分形多孔介质中溶质运移的均方位移，对应时间分形导数阶数α的值为0.97，表明其运移过程是一个慢运移过程。此外，由图3可知，单尺度幂率运移率描述欧几里得多孔介质中溶质运移的均方位移比分形多孔介质对应的慢，且对应时间分形导数阶数α的值为0.57，表明欧几里得多孔介质中的运移仍是一个慢运移过程。因此，与分形多孔介质中溶质运移的规律相比，欧几里得多孔介质中溶质运移是一个减速的慢迁移过程。
本发明采用分布阶分形导数运移模型，给定分布阶的权重函数，推导复杂介质中溶质运移的运移率，量化溶质运移的多尺度特征，然后结合复杂介质中溶质运移的试验条件和试验数据，确定溶质运移率中多尺度参数的值，最终通过复杂介质中溶质运移的多尺度特征，对溶质运移过程分类。本发明量化溶质运移多尺度特征仅需要1个参数，分布阶权重函数的系数。该参数刻画了复杂介质中溶质运移偏离单尺度的程度。非菲克多尺度运移率是反常运移对应幂率单尺度运移率的推广。该发明有广泛的工程应用前景，可用于污染物运移的预测、评估和治理等。与现有的模型或技术相比，更便于工程使用。

Claims (3)

1.一种量化复杂介质中溶质运移多尺度特征的方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)选定具体复杂介质中溶质运移过程作为研究对象，确定试验条件，观察溶质粒子的运动轨迹，获得溶质粒子均方位移的试验数据R，R是当运动时间为t时，所有粒子t时刻的位置x与各自初始点的距离的平均值的集合；
(2)根据分布阶分形导数模型或其等价形式，推导溶质运移的多尺度运移率；
其中，复杂介质中溶质运移多尺度的分布阶分形导数模型如下：
Figure FDA0002935743780000011
其中，α为时间分形导数的阶数，p(α)＝2cα为分布阶的权重函数，c＞0为权重函数的系数，x为溶质粒子在t时刻的位置，u(x,t)为溶质在位置x和时刻t时的浓度，D为扩散系数，由复杂介质本身的内部结构决定；
根据分布阶分形导数推导出溶质运移的多尺度运移率如下：
＜x2(t)＞＝-Ddilog(t)/c (2)；
其中dilog为二重对数函数；
分布阶分形导数模型的等价形式为：
Figure FDA0002935743780000012
其中c＞0为权重函数的系数，x为溶质粒子在t时刻的位置，u(x,t)为溶质在位置x和时刻t时的浓度，D为扩散系数；
(3)结合步骤(1)中溶质粒子均方位移的试验数据R，计算步骤(2)中多尺度运移率中参数的值c；
(4)根据步骤(3)中得到的多尺度运移率中参数的值c，得到复杂介质中溶质运移的多尺度特征，对溶质运移过程分类。
2.根据权利要求1所述的量化复杂介质中溶质运移多尺度特征的方法，其特征在于：所述步骤(3)采用最小二乘法，通过Matlab软件，计算确定多尺度运移率中参数的值c。
3.根据权利要求1所述的量化复杂介质中溶质运移多尺度特征的方法，其特征在于：所述步骤(4)中复杂介质中溶质运移的多尺度运移率与菲克运移的线性运移率，反常运移的幂率运移率，特慢运移的对数运移率或逆Mittag-Leffler运移率进行比较，分析多尺度运移率介于哪两类单尺度运移率之间，多尺度运移是这两类单尺度运移共同作用的结果，进一步确定该复杂介质中溶质运移过程的类型。
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