CN108446474B - 一种不确定信息条件下的结构系统稳定性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种在不确定信息条件下的结构系统稳定性分析方法，包括如下步骤：(A)建立结构系统的稳定性方程D＝Func(x₁,x₂,…,x_i,…,x_n)；(B)对结构系统中各个不确定信息参数进行概率盒建模；(C)等信度离散化各不确定信息参数概率盒；(D)代入结构系统稳定性方程并计算笛卡尔积；(E)得到完整系统的概率盒模型；(F)划分出系统稳定区域和风险区域；(G)计算相应区域面积定量分析该结构系统的稳定性。本发明的有益效果是：采用概率盒来表达不确定性，既可表达系统中参数的随机不确定性又可表达认知不确定性，较好的包容了系统模型中的参数不确定的问题，再结合本发明方法来分析结构系统的稳定性，提高了对结构系统的稳定性分析的准确性。

Description

一种不确定信息条件下的结构系统稳定性分析方法

技术领域

本发明涉及一种不确定信息条件下的结构系统稳定性分析方法，主要用于分析工程结构的稳定性，适用于建筑结构领域，比如房屋、桥梁、大坝等。

背景技术

在实际工程结构系统稳定性分析中，不可避免地存在与材料特性、边界条件和载荷等各种不确定性，分析了解和控制不确定信息对于该结构系统的稳定性设计和分析有重要的作用，各种不确定信息都会对结构系统稳定性分析和决策评估产生影响。实际上，结构系统稳定性分析中的不确定性包括随机不确定性和认知不确定性。随机不确定性是指事物的固有属性，可以通过统计历史资料的数据来描述，研究随机不确定性的理论通常基于概率模型。而认知不确定性是由于缺乏数据、信息不完备等因素所引起的。一些基于非概率描述的理论被用来解决认知不确定性，其中有区间分析、信息间隙模型、证据理论、模糊集理论、不精确概率、贝叶斯方法等。为了掌握两种不确定性对结构系统稳定性的影响，研究系统稳定性理论与方法是作为保障系统可靠稳定运行的强力工具，而在研究结构系统的稳定性中，如何正确获取结构系统中的不确定性信息，是揭示不确定性对该结构系统稳定性的影响的关键。

通过对现有相关专利技术以及论文的检索发现，现有的针对结构系统中不确定信息下的稳定性分析方法有：

(1)针对结构系统中的随机不确定性，利用概率理论描述，其基础就是概率统计数学。Monte Carlo模拟法就是基于此的最基本的数字模拟方法，Monte Carlo方法不受输入变量及响应模型形式的限制，适用于高度非线性的稳定性问题。但是对于工程实际中经常出现的小失效概率问题，该方法需要大量的样本数量，导致了Monte Carlo数字模拟法的效率很低。

(2)然而，结构系统稳定性分析中的不确定性除了随机不确定性尚有认知不确定，为此，研究人员在结构系统稳定性分析中针对认知不确定性问题做了大量工作研究。Zadeh于1965年提出的模糊集合论和1978年提出了可能性理论。Cai等人介绍了传统可靠性的两个假设：概率假设和双状态假设。Cremona等基于可能性理论提出一种类似于传统概率可靠性模型的模糊能度稳定性度量方法。

(3)但是，在实际的系统稳定性分析中，随机不确定性和认知不确定性往往同时存在。为此，文献《用非概率理论分析混合不确定性结构的可靠性》提出使用非概率理论分析混合不确定性系统的稳定性方法。文献《一种基于证据理论的结构可靠性分析方法》提出使用证据理论来进行系统稳定性分析，并且优化了计算性能。不过，上述方法只能适用于特定的分析对象且要求具备严苛的前提条件，存在较大的局限性。

发明内容

针对上述问题，本发明提供了一种不确定信息条件下的结构系统稳定性分析新方法，包括如下步骤：

(A)建立结构系统的稳定性方程D＝Func(x₁,x₂,…,x_i,…,x_n)：根据模型要求，从力学或结构等方面可以获得系统稳定性方程，即该模型结构系统极限方程，其中x₁,x₂,…,x_i,…,x_n表示结构系统中的不确定信息参数，它可以是一个点，一个区间或一个分布等各种类型，n表示该结构系统中的不确定信息参数数量。

(B)对结构系统中的各个不确定信息参数进行概率盒建模：根据该结构系统模型的稳定性方程可以获得其不确定信息参数，查询并搜集该参数历史数据，使用Matlab进行归纳分析，得到不确定信息的历史数据的分布特性。针对不同的参数特性选取相应的概率盒建模方法。

(C)等信度离散化各不确定信息参数概率盒：利用概率盒与D-S结构体的转换关系对不确定信息参数的概率盒模型进行等信度离散，得到每个参数概率盒相对应离散份数的D-S结构体dscdf(x_i),x_i表示系统中对应的不确定信息参数。

(D)代入结构系统稳定性方程并计算笛卡尔积：将步骤(C)中的dscdf(x_i)带入步骤(A)稳定方程：D_j＝Func(dscdf(x₁),dscdf(x₂),…,dscdf(x_i),…,dscdf(x_n))，j从1开始，代表步骤(C)中的参数概率盒的离散的份数。

(E)得到完整系统的概率盒模型：利用

求取概率盒的上边界，

求概率盒的下边界，将笛卡尔积矩阵中的元素重组成为新的概率盒pbox(D)，最终得到该结构系统稳定性概率盒模型。此处的p_t和q_t分别是计算得到的笛卡尔积矩阵中元素区间的左边界值和区间右边界值，t表示笛卡尔积矩阵中元素的个数。

(F)划分出系统稳定区域和风险区域：根据步骤(E)中获得的该结构系统概率盒模型pbox(D)，以该模型横坐标为零处作为分界线，小于零的区域是风险区，大于零的区域是稳定区。

(G)定量分析该结构的系统稳定性：步骤(F)获得相应的稳定区域和风险区域，求取相应区域面积可定量分析该系统稳定性。由

得到风险区概率，

得到稳定区域概率，此处的x表示一个未知数。

步骤(B)中，概率盒源自美国桑迪亚国家实验室(Sandia National Laboratory)，在累积概率分布函数(Cumulative Probability Distribution Function，简称CDF)中引入了区间类型界限，这种界限称之为“概率盒”，它即可表达随机不确定性和也可表达认知不确定性。

概率盒的定义为：对于一个随机变量X，当其估计值

不是一个精确的点估计时，其累积概率分布函数无法用单一曲线表达。假设

在

范围内波动，CDF的上边界定义为

下边界定义为F(x)＝P(X≤x)。定义CDF函数F(x)与

包含的范围(面积)为概率盒，表达为

步骤(B)中，如图1所示，使用Matlab软件分析不确定信息参数的历史数据，在Matlab中提供了相应的函数来测试分析，使用Matlab进行不确定信息参数的数据样本测试的流程图。在该模拟中测试使用的是KS检验，H＝0表示假设成立，H≠0表示拒绝该假设，再次进行该参数的下一个分布的测试，直到得到其分布情况。其中，“#”代表分布类型名字。

步骤(B)中，如果不确定信息的历史数据严格服从某种分布，则用其分布函数或者密度函数直接建模；如果数据服从某种分布规律，但是其参数在一个区间里漂移，采用专家估计的建模方法；如果数据不符合以上条件，则根据概率盒定义进行包络建模；

步骤(B)中，明确将不确定信息分类，按照不同类型选取对应概率盒建模方法：

专家估计法：例如，对于一个不确定变量A假设它服从正太分布，其均值μ∈[0,1]，方差σ∈[2,3]，可以知道概率盒的左上边界就是以0为均值，2为方差的累积概率分布函数，同理，概率盒的左下边界是均值为0方差为3的累积概率分布函数，右下边界是均值为1方差为2的累积概率分布函数，右上边界是均值1方差3的累积概率分布函数，可以得到的如图2所示的该变量A的概率盒图像。

包络建模法：例如对于一个不确定变量B服从三角分布，min＝1，max＝3，mod＝2。变量B的概率盒建模步骤如下：

(i)B符合三角分布，将区间[min,mod]与[mod,max]离散化成10个子区间B_i＝[a_i,b_i]并将其视为一个焦元区间，i表示离散的份数。

(ii)设F(m)为B的累积概率分布函数，通过

式计算各个焦元区间对应的基本概率分布。最后得到如表1所示：

表1各焦元区间对应的基本概率分布

(iii)根据公式F_upp(B)＝∑_r≤Bm(B_i)得到累积概率分布的上边界，F_low(B)＝∑_s≤Bm(B_i)得到累积概率分布的下边界值，此处的r和s分别表示上表中的焦元区间左边界值和右边界值。将这些边界值连线，最终根据外包络建模法得到如图3所示的概率盒。

步骤(C)中，概率盒与D-S结构体的转换关系：概率盒和D-S结构体的关系可以理解为整体和局部的关系，可能是几个D-S结构体组成一个概率盒。把D-S结构体的每个区间的左边界累积在一起可得到概率盒的左边界，右界累积就是概率盒的右边界。诸如{([x₁,y₁],m₁),([x₂,y₂],m₂),...,([x_n,y_n],m_n)}，对于这种结构体可以合成概率盒。其中，左边界为

右边界为

同理，如图4所示将概率盒转化为多个DS结构体的过程，这个过程称之为概率盒的离散化。

本发明的有益效果：

1)本发明引入概率盒概念，概率盒可以全面描述参数的特性，提高了对系统中不确定信息参数的描述准确度；

2)本发明方法获取的不确定信息更加可靠，进一步提高了本发明方法对系统稳定性描述的准确性；

3)本发明方法简单有效，相比传统Monte-Carlo仿真模拟所需的大量样本数据来说更加实际。

附图说明

图1是利用Matlab进行不确定信息数据样本测试分布的算法流程图；

图2是变量A的概率盒图像；

图3是变量B概率盒图像；

图4是概率盒的离散化过程；

图5是本发明的实施例悬臂梁示意图；

图6是本发明的实施例悬臂梁中不确定信息S的概率盒图像；

图7是本发明的实施例悬臂梁中不确定信息P的概率盒图像；

图8是本发明的实施例悬臂梁中不确定信息F₁和F₂的概率盒图像；

图9是本发明的实施例悬臂梁中不确定信息d的概率盒图像；

图10是本发明的实施例悬臂梁中不确定信息t的概率盒图像；

图11是本发明的实施例悬臂梁系统的概率盒图像。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明。

实施例1：本实施例为在建筑工程结构中经常出现的悬臂梁模型。

步骤1：建立稳定性方程，如图5所示为一个管状悬臂梁受外力F₁，F₂，P和扭矩T的作用，其极限稳定强度可视为材料受力S与其圆周下表面出最大应力σ之差，得到稳定方程为D＝S-σ。

σ的表达式：

其中

σ_x，A，M，I，τ_x分别表示正应力，面积，弯矩，转动惯量和剪切应力。其中

M＝F₁L₁cosθ₁+F₂L₂cosθ₂，

d代表该管道外侧半径，t代表该管道外侧半径和内侧半径的差值。

模型中包含5个固定参数取值为：管状悬臂梁的长度L₁＝200mm，从支撑点到悬臂梁中心的距离L₂＝100mm，外力与管状悬臂梁竖直方向的夹角θ₁＝θ₂＝30°，扭矩T＝90N·m。综合得到

步骤2：对各个不确定信息参数进行概率盒建模，搜集整理这些不确定信息参数的历史数据并对其进行分析，将其各参数历史数据整理归纳如表2所示(此处以16个区间为例，包含对应区间的基本概率分布(Basic Probability Attribute，简称BPA))。

表2各参数历史数据

最终发现，对于变量S，P，F₁，F₂，t，d，S∈[0.52KN,0.68KN]，P∈[10KN,12KN]，F₁,F₂∈[2.85KN,3.15KN]，t服从正太分布～N(5mm,0.5mm)，d服从正太分布～N(42mm,4.2mm)。根据参数性质选取相应建模方法，得到如图6到10所示的该悬臂梁结构系统中各个不确定信息参数概率盒。

步骤3：等信度离散化参数概率盒。变量S、P和变量F₁、F₂的概率盒都是一个简单区间组成的，可直接将其等信度离散化，比如，将F₁、F₂的概率盒等信度离散成100份D-S结构体([2.85KN，3.15KN]，0.01)，S、P同理。将另外两个参数t和d的概率盒等信度离散化为D-S结构体，在此也将其分别离散成100份。其中，t的概率盒的离散后形成的D-S结构体分别是{([3.317,4.228]，0.01)，([3.52,4.271],0.01)，([3.667，4.353]，0.01)，……，([5.723，7.052]，0.01)}。d的概率盒离散形成的D-S结构体是{([27.13，34.97]，0.01)，([29.53，35.76]，0.01)，([30.95，36.24]，0.01)，……，([49.50，59.64]，0.01)}。

步骤4：将上述结构体中的焦元区间代入系统稳定性方程并计算笛卡尔积。一般来说，不管参数类型是概率盒或D-S结构体，涉及的不确定信息参数的笛卡尔积的计算方法是一致的，会产生一个笛卡尔积矩阵。本例中，由于离散后的不确定输入参数S、P，F₁、F₂是一个单独的焦元，简单起见，笛卡尔积的产生被简单描述成一个仅仅关于t和d且大小为100×100的二维矩阵。矩阵内每一个元素的基本概率分布为0.0001。假设t_i和d_j分别是由t和d各自的概率盒离散后得到的焦元，分别将t、d、S、P、F₁、F₂的概率盒等信度离散后得到的t₁＝[3.317,4.228]，d₁＝[27.13，34.97],S＝[10000,12000]，P＝[10000,12000]，F₁＝F₂＝[2850,3150]代入式系统稳定方程D＝S-σ，计算笛卡尔积，得矩阵第一部分元素

由于将d和t分别等信度离散成100份，因此相应D₁₁的基本概率分布为0.01×0.01＝0.0001，对应的D₁₁的D-S结构体为([-278.6826,254.7141]，0.0001)。最终得到表3：

表3笛卡尔积表

步骤5：得到完整系统的概率盒模型，并进行系统稳定性分析。将上表计算得到的笛卡尔积中的D-S结构体的焦元区间按照包络建模法重组形成新的稳定性方程D的概率盒模型，该模型表示悬臂梁结构的稳定性，如图11所示。其中，横坐标为零处的黑线作为分界线，黑线左侧即小于零部分区域表示结构系统处于不稳定状态，称之为风险区，大于零的部分表明结构系统处于稳定状态，称之为稳定区。可以得到D的风险区间为[0,0.24]，即该结构系统处于不稳定状态的概率为0.24。

Claims (3)

1.一种不确定信息条件下的结构系统稳定性分析方法，其特征在于，包括如下步骤：

(A)建立结构系统稳定方程D＝Func(x₁,x₂,…,x_i,…,x_n)，x₁,x₂,…,x_i,…,x_n表示结构系统中的不确定信息参数，n表示该结构系统中的不确定信息参数数量；

(B)对各个不确定信息参数进行概率盒建模：查询并搜集结构系统中不确定信息参数的历史数据，进行归纳分析，得到不确定信息参数的历史数据的分布特性，针对不同的分布特性选取相应的概率盒建模方法；

(C)等信度离散化各参数概率盒：利用概率盒与D-S结构体的转换关系对不确定参数的概率盒模型进行等信度离散，得到每个参数概率盒相对应离散份数的D-S结构体dscdf(x_i),x_i表示系统中对应的不确定信息参数；

(D)代入结构系统稳定性方程并计算笛卡尔积：代入步骤(A)的稳定性方程得到：D_j＝Func(dscdf(x₁),dscdf(x₂),…,dscdf(x_i),…,dscdf(x_n))，j为步骤(C)中的参数概率盒的离散份数；

(E)得到完整结构系统的概率盒模型：利用

求取概率盒的上边界，

求概率盒的下边界，将得到的笛卡尔积表中的元素重组成为新的概率盒pbox(D)，具体为将计算得到的笛卡尔积中的D-S结构体的焦元区间按照包络建模法重组形成新的概率盒pbox(D)，即得到系统稳定性概率盒模型，其中p_t和q_t分别是计算得到的笛卡尔积矩阵中元素区间的左边界值和区间右边界值，t表示笛卡尔积矩阵中元素的个数；

(F)划分出系统的稳定区域和风险区域：从步骤(E)中获得该结构系统稳定性概率盒模型pbox(D)，以该模型横坐标为零处作为分界线，小于零的区域是风险区，大于零的区域是稳定区；

(G)定量分析系统稳定性：步骤(F)获得相应的稳定区域和风险区域，求取相应区域面积定量分析该结构稳定性，由

得到风险区概率，

得到稳定区域概率。

2.根据权利要求1所述的不确定信息条件下的结构系统稳定性分析方法，其特征在于：所述步骤(B)中选取相应的概率盒建模方法具体如下：(1)历史数据严格服从某种分布，则用其分布函数或者密度函数直接建模；(2)历史数据服从某种分布规律，但是其参数在一个区间里漂移，采用专家估计的建模方法；(3)历史数据不符合以上条件，则根据概率盒定义进行包络建模。

3.根据权利要求1所述的不确定信息条件下的结构系统稳定性分析方法，其特征在于：所述步骤(C)中概率盒与D-S结构体的转换关系为：D-S结构体的每个区间的左边界累积在一起得到概率盒的左边界，右边界累积在一起得到概率盒的右边界。

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