CN108052115A - 一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法 - Google Patents

一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法 Download PDF

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CN108052115A CN201711274043.9A CN201711274043A CN108052115A CN 108052115 A CN108052115 A CN 108052115A CN 201711274043 A CN201711274043 A CN 201711274043A CN 108052115 A CN108052115 A CN 108052115A
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Abstract

一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法，针对四旋翼飞行器的动力学系统，选择一种非对称时不变障碍李雅普诺夫函数，设计一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法。非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的设计是为了保证系统的状态和输出能够限制在一定的范围内，避免过大的超调，同时还能减少到达时间。从而改善四旋翼飞行器系统的动态响应性能。本发明提供一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法，使系统具有较好的动态响应过程。

Description

一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器 全状态受限反步控制方法
技术领域
本发明涉及一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法，使四旋翼飞行器系统有较好的动态响应过程。
背景技术
四旋翼飞行器作为旋翼式飞行器的一种,以其体积小、机动性能好、设计简单、制造成本低廉等优点,吸引了国内外大学、研究机构、公司的广泛关注。然而，由于四旋翼飞行器体积小且重量轻，飞行中易受到外部干扰，如何实现对四旋翼飞行器的高性能运动控制已经成为一个热点问题。针对四旋翼飞行器的控制问题，存在很多控制方法，例如PID控制、自抗扰控制、滑模控制、反步控制等。
其中反步控制已经广泛应用于非线性系统，其优点包括响应速度快、实施方便、对系统不确定和外部干扰的鲁棒性等。传统的反步控制，只是考虑了四旋翼飞行器的稳态性能，并没有过多地关注其瞬态响应性能。因此，传统的反步控制方法使得四旋翼飞行器系统在实际情况中的应用有很大阻碍。为解决这一问题，基于障碍李雅普诺夫函数的反步控制方法被提出，这种方法在实际情况中能够有效地改善四旋翼飞行器系统的瞬态性能。
发明内容
为了改善四旋翼飞行器系统瞬态性能，本发明提供了一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限步控制方法，减少了超调量和超调时间，使四旋翼飞行器系统具有一个良好的动态响应性能。
为了解决上述技术问题提出的技术方案如下：
一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法，包括以下步骤：
1.1确定从基于四旋翼飞行器系统的机体坐标系到基于地球的惯性坐标的转移矩阵T：
其中φ,θ,ψ分别是四旋翼飞行器的翻滚角、俯仰角、偏航角，表示无人机依次绕惯性坐标系的各坐标轴旋转的角度；
1.2四旋翼飞行器平动过程中的动态模型如下：
其中x,y,z分别表示四旋翼飞行器在惯性坐标系下的三个位置，Uf表示四旋翼飞行器的输入力矩，m为四旋翼飞行器的质量，g表示重力加速度，
将式(1)代入式(2)得：
1.3四旋翼飞行器转动过程中的动态模型为：
其中τx,τy,τz分别代表机体坐标系上各个轴的力矩分量，Ixx,Iyy,Izz分别表示机体坐标系下的各个轴的转动惯量的分量，×表示叉乘，ωp表示翻滚角速度，ωq表示俯仰角速度，ωr表示偏航角速度，表示翻滚角加速度，表示俯仰角加速度，表示偏航角加速度；
考虑到无人机处于低速飞行或者悬停状态，姿态角变化较小，认为因此式(4)改写为：
联立式(3)和式(5)，得到四旋翼飞行器的动力学模型为：
其中ux＝cosφsinθcosψ+sinφsinψ,uy＝cosφsinθsinψ-sinφcosψ；
1.4根据式(6)，定义φ,θ的期望值分别为：
其中φd为φ的期望信号值，θd为θ期望信号值，arcsin为反正弦函数；
步骤2，在每一个采样时刻，计算位置跟踪误差及其一阶导数；计算姿态角跟踪误差及其一阶导数；设计位置和姿态角控制器，过程如下：
2.1定义z跟踪误差及其一阶导数：
其中zd表示z的期望信号；
2.2定义q11：
2.3设计障碍李雅普诺夫函数V11：
其中Ka1,Kb1为正常数：
其中|e1|max为|e1|的最大值；
2.4求解式(10)一阶导数，得：
其中α1为虚拟控制量，其表达式为:
其中k11为正常数；
将式(13)代入式(12)，得：
2.5定义q12：
2.6设计障碍李雅普诺夫函数V12：
其中Kd1,Kc1为正常数：
其中|e1|max为|e1|的最大值；
求解式(16)一阶导数，得：
其中
将式(19)和式(6)代入式(18)，得：
2.7设计Uf：
其中k12为正常数；
2.8定义x,y跟踪误差分别为e2,e3,则有：
其中xd,yd分别表示x,y的期望信号；
2.9定义q21,q31：
2.10设计障碍李雅普诺夫函数V21,V31：
其中Ka2,Kb2,Ka3,Kb3为正常数：
其中|e2|max为|e2|的最大值，|e3|max为|e3|的最大值；
2.11求解式(25)一阶导数，得：
其中α2,α3为虚拟控制量，其表达式为:
其中k21,k31为正常数；
将式(28)代入式(27)，得：
2.12定义q22,q32：
2.13设计李雅普诺夫函数V22,V32：
其中Kc2,Kd2,Kc3,Kd3为正常数：
其中|s2|max为|s2|的最大值，|s3|max为|s3|的最大值；
求解式(32)一阶导数，得：
其中
将式(35)和式(6)代入式(34)，得：
2.14设计ux,uy：
其中k22,k32为正常数；
2.15定义姿态角跟踪误差及其一阶导数：
其中j＝4,5,6，x4＝φ,x5＝θ,x6＝ψ，x4d表示φ的期望值，x5d表示θ的期望值，x6d表示ψ的期望值，e4表示φ的跟踪误差，e5表示θ的跟踪误差，e6表示ψ的跟踪误差；
2.16定义qj1：
2.17设计障碍李雅普诺夫函数Vj1：
其中Kaj,Kbj为正常数：
其中|ej|max为|ej|的最大值；
2.18求解式(40)一阶导数，得：
其中αj为虚拟控制量，其表达式为:
其中kj1为正常数；
将式(43)代入式(42)，得：
2.19定义qj2：
2.20设计李雅普诺夫函数Vj2：
求解式(46)一阶导数，得：
其中
将式(48)和式(6)代入式(47)，得：
2.21通过式(49)设计τx,τy,τz：
其中k42,k52,k62为正常数。
进一步，所述方法还包括以下步骤
步骤3，验证四旋翼飞行器系统的稳定性；
3.1将式(21)代入式(20)，得：
3.2将式(37)代入式(36)，得：
3.3将式(50)代入式(49)，得
3.4通过(51)，(52)，(53)可知四旋翼飞行器系统是稳定的。
本发明基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法，改善了系统的瞬态性能，减少了超调量和到达时间。
本发明的技术构思为：针对四旋翼飞行器的动力学系统，设计一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法。非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的设计是为了保证系统的状态和输出能够限制在一定的范围内，避免过大的超调，同时还能减少到达时间。从而改善四旋翼飞行器系统的动态响应性能。
本发明优点为：全状态受限，降低超调量，减少到达时间，改善瞬态性能。
附图说明
图1为本发明的位置跟踪效果示意图。
图2为本发明的姿态角跟踪效果示意图。
图3为本发明的位置速度跟踪效果示意图。
图4为本发明的姿态角速度跟踪效果示意图。
图5为本发明的位置控制器输入示意图。
图6为本发明的姿态角控制器输入示意图。
图7为本发明的控制流程示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步说明。
参照图1-图7，一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法，包括以下步骤：
1.1确定从基于四旋翼飞行器系统的机体坐标系到基于地球的惯性坐标的转移矩阵T：
其中φ,θ,ψ分别是四旋翼飞行器的翻滚角、俯仰角、偏航角，表示无人机依次绕惯性坐标系的各坐标轴旋转的角度；
1.2四旋翼飞行器平动过程中的动态模型如下：
其中x,y,z分别表示四旋翼飞行器在惯性坐标系下的三个位置，Uf表示四旋翼飞行器的输入力矩，m为四旋翼飞行器的质量，g表示重力加速度，
将式(1)代入式(2)得：
1.3四旋翼飞行器转动过程中的动态模型为：
其中τx,τy,τz分别代表机体坐标系上各个轴的力矩分量，Ixx,Iyy,Izz分别表示机体坐标系下的各个轴的转动惯量的分量，×表示叉乘，ωp表示翻滚角速度，ωq表示俯仰角速度，ωr表示偏航角速度，表示翻滚角加速度，表示俯仰角加速度，表示偏航角加速度；
考虑到无人机一般处于低速飞行或者悬停状态，姿态角变化较小，认为因此式(4)改写为：
联立式(3)和式(5)，得到四旋翼飞行器的动力学模型为：
其中ux＝cosφsinθcosψ+sinφsinψ,uy＝cosφsinθsinψ-sinφcosψ；
1.4根据式(6)，定义φ,θ的期望值分别为：
其中φd为φ的期望信号值，θd为θ期望信号值，arcsin为反正弦函数；
步骤2，在每一个采样时刻，计算位置跟踪误差及其一阶导数；计算姿态角跟踪误差及其一阶导数；设计位置和姿态角控制器，过程如下：
2.1定义z跟踪误差及其一阶导数：
其中zd表示z的期望信号；
2.2定义q11：
2.3设计障碍李雅普诺夫函数V11：
其中Ka1,Kb1为正常数：
其中|e1|max为|e1|的最大值；
2.4求解式(10)一阶导数，得：
其中α1为虚拟控制量，其表达式为:
其中k11为正常数；
将式(13)代入式(12)，得：
2.5定义q12：
2.6设计障碍李雅普诺夫函数V12：
其中Kd1,Kc1为正常数：
其中|e1|max为|e1|的最大值；
求解式(16)一阶导数，得：
其中
将式(19)和式(6)代入式(18)，得：
2.7设计Uf：
其中k12为正常数；
2.8定义x,y跟踪误差分别为e2,e3,则有：
其中xd,yd分别表示x,y的期望信号；
2.9定义q21,q31：
2.10设计障碍李雅普诺夫函数V21,V31：
其中Ka2,Kb2,Ka3,Kb3为正常数：
其中|e2|max为|e2|的最大值，|e3|max为|e3|的最大值；
2.11求解式(25)一阶导数，得：
其中α2,α3为虚拟控制量，其表达式为:
其中k22,k31为正常数；
将式(28)代入式(27)，得：
2.12定义q22,q32：
2.13设计李雅普诺夫函数V22,V32：
其中Kc2,Kd2,Kc3,Kd3为正常数：
其中|s2|max为|s2|的最大值，|s3|max为|s3|的最大值；
求解式(32)一阶导数，得：
其中
将式(35)和式(6)代入式(34)，得：
2.14设计ux,uy：
其中k22,k32为正常数；
2.15定义姿态角跟踪误差及其一阶导数：
其中j＝4,5,6，x4＝φ,x5＝θ,x6＝ψ，x4d表示φ的期望值，x5d表示θ的期望值，x6d表示ψ的期望值，e4表示φ的跟踪误差，e5表示θ的跟踪误差，e6表示ψ的跟踪误差；
2.16定义qj1：
2.17设计障碍李雅普诺夫函数Vj1：
其中Kaj,Kbj为正常数：
其中|ej|max为|ej|的最大值；
2.18求解式(40)一阶导数，得：
其中αj为虚拟控制量，其表达式为:
其中kj1为正常数；
将式(43)代入式(42)，得：
2.19定义qj2：
2.20设计李雅普诺夫函数Vj2：
求解式(46)一阶导数，得：
其中
将式(48)和式(6)代入式(47)，得：
2.21通过式(49)设计τx,τy,τz：
其中k42,k52,k62为正常数；
步骤3，验证四旋翼飞行器系统的稳定性；
3.1将式(21)代入式(20)，得：
3.2将式(37)代入式(36)，得：
3.3将式(50)代入式(49)，得
3.4通过(51)，(52)，(53)可知四旋翼飞行器系统是稳定的。
为了验证所提方法的可行性，本发明给出了该控制方法在MATLAB平台上的仿真结果：
参数给定如下：式(2)中m＝1.1kg，g＝9.81N/kg；式(4)中，Ixx＝1.22kg·m2，Iyy＝1.22kg·m2，Izz＝2.2kg·m2；式(8),式(22)和式(38)中zd＝1，xd＝1，yd＝1，ψd＝0.5；式(13),式(29)和式(43)中k11＝0.083,k21＝0.083,k31＝0.083,k41＝1,k51＝1,k61＝1；式(21),式(37)和式(50)中k12＝1,k22＝1,k32＝1,k42＝1,k52＝1,k62＝1；式(10),式(26)和式(41)kb1＝kb2＝kb3＝kb4＝kb5＝kb6＝2.8,ka1＝ka2＝ka3＝ka4＝ka5＝ka6＝3；式(17),式(33)和式(45)kd1＝kd2＝kd3＝kd4＝kd5＝kd6＝2.8,kc1＝kc2＝kc3＝kc4＝kc5＝kc6＝3；
从图1和2可知，系统输出具有良好的瞬态特性，到达时间为6.543秒，超调量为0。
从图3和4可知，系统状态具有良好的瞬态特性，到达时间为5.544秒，超调量为0。
综上所述，基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法能有效地改善四旋翼飞行器系统全状态的瞬态性能。
以上阐述的是本发明给出的一个实施例表现出的优良优化效果，显然本发明不只是限于上述实施例，在不偏离本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。

Claims (2)

1.一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，建立四旋翼飞行器系统的动态模型，设定系统的初始值、采样时间以及相关控制参数，过程如下：
1.1确定从基于四旋翼飞行器系统的机体坐标系到基于地球的惯性坐标的转移矩阵T：
<mrow> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中φ，θ，ψ分别是四旋翼飞行器的翻滚角、俯仰角、偏航角，表示无人机依次绕惯性坐标系的各坐标轴旋转的角度；
1.2四旋翼飞行器平动过程中的动态模型如下：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>-</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mi>T</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中x，y，z分别表示四旋翼飞行器在惯性坐标系下的三个位置，Uf表示四旋翼飞行器的输入力矩，m为四旋翼飞行器的质量，g表示重力加速度，
将式(1)代入式(2)得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mi>g</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
1.3四旋翼飞行器转动过程中的动态模型为：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>p</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>q</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>p</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>q</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;times;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>p</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>q</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中τx，τy，τz分别代表机体坐标系上各个轴的力矩分量，Ixx，Iyy，Izz分别表示机体坐标系下的各个轴的转动惯量的分量，×表示叉乘，ωp表示翻滚角速度，ωq表示俯仰角速度，ωr表示偏航角速度，表示翻滚角加速度，表示俯仰角加速度，表示偏航角加速度；
考虑到无人机处于低速飞行或者悬停状态，姿态角变化较小，认为因此式(4)改写为：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;times;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
联立式(3)和式(5)，得到四旋翼飞行器的动力学模型为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mi>g</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中ux＝cosφsinθcosψ+sinφsinψ，uy＝cosφsinθsinψ-sinφcosψ；
1.4根据式(6)，定义φ，θ的期望值分别为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>arcsin</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>sin</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>cos</mi> <mi>&amp;psi;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中φd为φ的期望信号值，θd为θ期望信号值，arcsin为反正弦函数；
步骤2，在每一个采样时刻，计算位置跟踪误差及其一阶导数；计算姿态角跟踪误差及其一阶导数；设计位置和姿态角控制器，过程如下：
2.1定义z跟踪误差及其一阶导数：
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中zd表示z的期望信号；
2.2定义q11：
<mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.3设计障碍李雅普诺夫函数V11：
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Ka1，Kb1为正常数：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中|e1|max为|e1|的最大值；
2.4求解式(10)一阶导数，得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>11</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中α1为虚拟控制量，其表达式为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mn>11</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>3</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>11</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>3</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中k11为正常数；
将式(13)代入式(12)，得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>11</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>11</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.5定义q12：
<mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.6设计障碍李雅普诺夫函数V12：
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mn>12</mn> </msub> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Kd1，Kc1为正常数：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中|e1|max为|e1|的最大值；
求解式(16)一阶导数，得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>12</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>11</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>12</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
<mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>z</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(19)和式(6)代入式(18)，得：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>12</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>11</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mn>12</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>12</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <mi>cos</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mi>g</mi> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.7设计Uf：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>m</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <mi>g</mi> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>12</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>12</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;times;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>12</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>11</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中k12为正常数；
2.8定义x，y跟踪误差分别为e2，e3，则有：
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>;</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中xd，yd分别表示x，y的期望信号；
2.9定义q21，q31：
<mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.10设计障碍李雅普诺夫函数V21，V31：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>31</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Ka2，Kb2，Ka3，Kb3为正常数：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mi>max</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mi>max</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mi>max</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mi>max</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中|e2|max为|e2|的最大值，|e3|max为|e3|的最大值；
2.11求解式(25)一阶导数，得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>31</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中α2，α3为虚拟控制量，其表达式为：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mn>21</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>3</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>21</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>3</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>d</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mn>31</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>3</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mn>31</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>3</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中k21，k31为正常数；
将式(28)代入式(27)，得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>21</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>21</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>31</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>31</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.12定义q22，q32：
<mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>32</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.13设计李雅普诺夫函数V22，V32：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mn>22</mn> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>32</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>31</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mn>32</mn> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>32</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Kc2，Kd2，Kc3，Kd3为正常数：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mi>max</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mi>max</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mi>max</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mi>max</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中|s2|max为|s2|的最大值，|s3|max为|s3|的最大值；
求解式(32)一阶导数，得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>21</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>22</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>22</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>32</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>31</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>32</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>32</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>32</mn> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>32</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>35</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(35)和式(6)代入式(34)，得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>21</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mn>22</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>22</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>32</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>31</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mn>32</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>32</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>36</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.14设计ux，uy：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>m</mi> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>22</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>)</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>22</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>21</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>m</mi> <msub> <mi>U</mi> <mi>f</mi> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>3</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>32</mn> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>32</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>)</mo> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>32</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>31</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>37</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中k22，k32为正常数；
2.15定义姿态角跟踪误差及其一阶导数：
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>e</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>38</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中j＝4，5，6，x4＝φ，x5＝θ，x6＝ψ，x4d表示φ的期望值，x5d表示θ的期望值，x6d表示ψ的期望值，e4表示φ的跟踪误差，e5表示θ的跟踪误差，e6表示ψ的跟踪误差；
2.16定义qj1：
<mrow> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>39</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.17设计障碍李雅普诺夫函数Vj1：
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>40</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Kaj，Kbj为正常数：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mi>max</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>&gt;</mo> <msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mi>max</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>41</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中|ej|max为|ej|的最大值；
2.18求解式(40)一阶导数，得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>42</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中αj为虚拟控制量，其表达式为：
<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>3</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>3</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>43</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中kj1为正常数；
将式(43)代入式(42)，得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>44</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.19定义qj2：
<mrow> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&gt;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>45</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.20设计李雅普诺夫函数Vj2：
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>46</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
求解式(46)一阶导数，得：
<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mi>j</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>47</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中
<mrow> <msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>48</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(48)和式(6)代入式(47)，得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>42</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>41</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>41</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>41</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> 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<mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>52</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>51</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>51</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>51</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>5</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>q</mi> <mn>52</mn> </msub> <mrow> <msup> <msub> 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</msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>6</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>62</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>6</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>6</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>49</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
2.21通过式(49)设计τx，τy，τz：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mfrac> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mover> <mi>&amp;psi;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>42</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>42</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>c</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>42</mn> </msub> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mn>41</mn> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>41</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>K</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>b</mi> 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其中k42，k52，k62为正常数。
2.如权利要求1所述的一种基于非对称时不变障碍李雅普诺夫函数的四旋翼飞行器全状态受限反步控制方法，其特征在于：所述方法还包括以下步骤：
步骤3，验证四旋翼飞行器系统的稳定性；
3.1将式(21)代入式(20)，得：
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3.2将式(37)代入式(36)，得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>22</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>21</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>22</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>32</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>31</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>32</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>52</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
3.3将式(50)代入式(49)，得
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>42</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>41</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>42</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>4</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>52</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>51</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>52</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>V</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>62</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>61</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>e</mi> <mn>6</mn> </msub> <mn>4</mn> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>k</mi> <mn>62</mn> </msub> <msup> <msub> <mi>s</mi> <mn>6</mn> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>53</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
3.4通过(51)，(52)，(53)可知四旋翼飞行器系统是稳定的。
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Assignee: Tongxiang Tujian Intelligent Technology Co.,Ltd.

Assignor: JIANG University OF TECHNOLOGY

Contract record no.: X2023980037545

Denomination of invention: A full state constrained backstepping control method for a four rotor aircraft based on asymmetric time invariant obstacle Lyapunov function

Granted publication date: 20191108

License type: Common License

Record date: 20230705