CN107947892B - 一种基于semi-bent函数的正交序列集构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于semi‑bent函数的正交序列集构造方法，包括：S1、选取m输入、k输出的向量semi‑bent函数，其中，m、k均为正整数，且m＝2k+2；S2、利用所述向量semi‑bent函数构造3×2^k个正交序列集，其中，所述正交序列集中，有2^k个正交序列集的序列数目是2^m‑1个，有2^k+1个正交序列集的序列数目是2^m‑2个；S3、将所述正交序列集按照预定规则排列蜂窝，以使所述蜂窝内的序列相互正交，且相邻蜂窝的序列集相互正交。本发明的基于semi‑bent函数的正交序列集构造方法，通过选取特定的输入和输出，并利用semi‑bent函数构造得到对应个正交序列集，以提高小区分配的序列的数目，解决用户过多无法正常通信的问题。

Description

一种基于semi-bent函数的正交序列集构造方法

技术领域

本发明属于无线通信技术领域，具体涉及一种基于semi-bent函数的正交序列集构造方法。

背景技术

CDMA(Code Division Multiple Access，码分多址)系统的设计一般都是基于长为2^m的(二进制)正交序列(码字)的使用。即使整个空间有2^2m个码字，但是找到一类里面的序列是相互正交的大基数序列子集是有难度的。这些序列子集随机分配给小区的用户，其中每个用户从这个子集中分配一个唯一的序列。作为一个正规的正六边形蜂窝网格，为了防止相邻小区的干扰，一个标准的要求是任何小区里的序列必须和相邻小区里的序列正交。另外，任何一个给定小区与不相邻小区内序列的相关值应该足够小，并且在区间[2^m/2,2^(m+2)/2]内。这些系统中构造扩频码序列的一个最常用的方法是利用相关值受限的哈达玛矩阵(Hadamard matrix)集。

在现有技术中的一种构造方式中，参看《W.-G.Zhang,C.-L.Xie,and E.Pasalic,“Large Sets of Orthogonal Sequences Suitable for Applications in CDMASystems,”IEEE Transactions on Information Theory,vol.62,no.6,pp.3757-3767,June 2016.》，该方法生成一大类由一系列相互正交的序列(在每个集合内)组成的序列集，其中绝大多数序列集也是相互正交的，该方法首先是覆盖了m的奇偶性，其次是避免了把正交序列集分配到同一小区并且保证相邻小区正交性的这样一个困难的组合问题出现，其所实现的每个小区的用户数量是2^m-2个，然而，现有技术的构造方法得到的小区分配的序列的数目较少，且蜂窝之间的干扰较强烈，无法满足更多的数量的用户进行正常通信。

发明内容

为了解决现有技术中存在的上述问题，本发明提供了一种能够提高用户容量、抗干扰能力强的基于semi-bent函数的正交序列集构造方法。

为了实现上述发明目的，本发明采用的技术方案是：

一种基于semi-bent函数的正交序列集构造方法，包括：

S1、选取m输入、k输出的向量semi-bent函数，其中，m、k均为正整数，且m＝2k+2；

S2、利用所述向量semi-bent函数构造3×2^k个正交序列集，其中，所述正交序列集中，有2^k个正交序列集的序列数目是2^m-1个，有2^k+1个正交序列集的序列数目是2^m-2个；

S3、将所述正交序列集按照预定规则排列蜂窝，以使所述蜂窝内的序列相互正交，且相邻蜂窝的序列集相互正交。

在一个具体实施例中，所述S2包括，

S201、根据所述向量semi-bent函数得到2^k个semi-bent函数；

S202、选择2^m×2^m维哈达玛矩阵，并将哈达玛矩阵分成第一子序列集、第二子序列集、第三子序列集，其中，第一子序列集的序列个数为2^m-1个，第二子序列集与第三子序列集的序列个数均为2^m-2个；

S203、将所述2^k个semi-bent函数的对应位分别于所述第一子序列集、第二子序列集、第三子序列集的对应位相乘得到2^k个第一正交序列集、2^k个第二正交序列集、2^k个第三正交序列集，其中，第一正交序列集的序列数目是2^m-1个，第二正交序列集、第三正交序列集均为2^m-2个。

在一个具体实施例中，所述相邻蜂窝的正交复用距离为

本发明的基于semi-bent函数的正交序列集构造方法，通过选取特定的输入和输出，并利用semi-bent函数构造得到对应个正交序列集，以提高小区分配的序列的数目，解决用户过多无法正常通信的问题。

附图说明

图1为本发明实施例提供的一种基于semi-bent函数的正交序列集构造方法流程图；

图2为本发明一个具体实施例中的正六边形网络分配示意图。

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明作进一步的详细描述。但不应将此理解为本发明上述主题的范围仅限于以下的实施例，凡基于本发明内容所实现的技术均属于本发明的范围。

实施例一

为了更好地说明本发明提供的方法，首先对本发明的技术背景做如下介绍。首先我们介绍一些与布尔函数和序列相关的概念和工具。

设是m维向量空间，是在GF(2)上的一个有限域，那么m元布尔函数f(x)则表示为某个到上的映射，这里令B_m表示所有m元布尔函数的集合。本发明用“+”以及Σ_i来代替和中的加法运算。任何布尔函数f∈B_m可以由其代数正规型表示：

其中f(x)的代数次数是使得λ_b≠0的wt(b)的最小值，记为deg(f)，其中wt(b)为b的汉明重量。当deg(f)＝1时，f叫做仿射函数。

对于则a和b的内积定义为：

其中加法为模2运算。

任意上的线性函数可以用内积ω·x来定义。其中并且每个ω区分不同的线性函数。包含所有的m元线性函数的集合定义为因此

令B_m表示所有m元布尔函数的集合,对于任意的f∈B_m,其Walsh谱定义如下：

定义为函数f的支撑集。如果一个m元函数f∈B_m的真值表中的0和1的个数相等则称为平衡函数，即#supp(f)＝2^m-1,或者是：

W_f(0_m)＝0 (4)

其中0_m表示的是m长的0向量。

函数f∈B_m的序列是一个长度N＝2^m的(1,-1)序列，定义为：

向量与的内积表示为定义为：

这样可以得出其中l＝ω·x。

一个2^m×2^m的哈达玛矩阵定义为：

令r_j,0≤j≤2^m-1是的第j列，则r_j是一个线性序列，即集合

H＝{r_j|0≤j≤2^m-1} (8)

是一个Hadamard序列集，

依照上述方案，本发明给出如下定义：

定义1：令f₁,f₂∈B_m。如果满足：

即与正交,用表示。令

若集合S的是两两正交的,则称S是基为κ的正交序列集。令S₁，S₂是正交序列集，对于任意的总有则称S₁,S₂是正交的,用S₁⊥S₂表示。

本发明推导了正交序列以下性质：

引理1：令f₁,f₂∈B_m。那么当且仅当

对任意两个不同的线性函数W_l+l′(0_m)＝0，那么总成立，即H是一个正交序列集。

定义2：如果对于任意W_f(α)∈{0,±2^λ}，其中λ≥m/2是一个正整数，那么这个函数f称为Plateaued函数。当这个函数称为semi-bent函数。若f是Plateaued函数(semi-bent函数)，那么f称为Plateaued序列(semi-bent序列)。

Maiorana-McFarland类函数的定义如下。

定义3：对于任意正整数，m＝s+t,一个Maiorana-McFarland函数定义为：

其中φ是到的一个任意映射并且g∈B_s。

当s≤t并且φ是单设，那么Maiorana-McFarland类函数是Plateaued函数。特别的，当s＝t且φ是双射，那么我们就得到了bent函数的Maiorana-McFarland类。

定义4：一个m变元t维的向量函数是一个映射函数F:也可以视t元布尔函数集F(x)＝(f₁,...,f_t)。如果分量函数f₁,...,f_t的任意非零线性组合是一个谱值取自于{0,±2^λ}的三值Plateaued布尔函数，那么称F为一个向量Plateaued函数。当F称为向量semi-bent函数。如果分量函数f₁,...,f_t的任意非零线性组合是一个谱值取自{±2^m/2}二值bent函数，那么称F为一个向量semi-bent函数,其中m为偶数且t≤m/2。

基于本发明的上述定义，请参见图1，图1为本发明实施例提供的一种基于semi-bent函数的正交序列集构造方法流程图，包括：

S1、选取m输入、k输出的向量semi-bent函数，其中，m、k均为正整数，且m＝2k+2；

S2、利用所述向量semi-bent函数构造3×2^k个正交序列集，其中，所述正交序列集中，有2^k个正交序列集的序列数目是2^m-1个，有2^k+1个正交序列集的序列数目是2^m-2个；

S3、将所述正交序列集按照预定规则排列蜂窝，以使所述蜂窝内的序列相互正交，且相邻蜂窝的序列集相互正交。

在一个具体实施方式中，所述S2包括，

S201、根据所述向量semi-bent函数得到2^k个semi-bent函数；

具体的，为了提高小区用户数量，令m,k为两个正整数，且m＝2k+2，k≥2。令γ为的本原元，且{1,γ,...,γ^k-1}为上一组多项式基。定义同构映射

π(b₁+b₂γ+…+b_kγ^k-1)＝(b₁,b₂,...,b_k) (13)

对于i＝1,...,k，令双射定义为：

其中[y]定义为y的整数表示。

令对于i＝1,...,k，定义一系列布尔函数

f_i(y,x,z)＝φ_i(y)·x (15)

把向量布尔函数定义为：

F(x)＝(f₁,...,f_k) (16)

即得到2^k个semi-bent函数。

S202、选择2^m×2^m维哈达玛矩阵，并将哈达玛矩阵分成第一子序列集、第二子序列集、第三子序列集，其中，第一子序列集的序列个数为2^m-1个，第二子序列集与第三子序列集的序列个数均为2^m-2个；

具体的，对于任意的令

f_c(y,x,z)＝c·F(y,x,z)＝c₁f₁+…+c_kf_k (17)

对于任意固定的定义：

令T₀＝L₀₀∪L₁₁，T₁＝L₀₁以及T₂＝L₁₀。

S203、将所述2^k个semi-bent函数的对应位分别于所述第一子序列集、第二子序列集、第三子序列集的对应位相乘得到2^k个第一正交序列集、2^k个第二正交序列集、2^k个第三正交序列集，其中，第一正交序列集的序列数目是2^m-1个，第二正交序列集、第三正交序列集均为2^m-2个。

具体的，构造3·2^k个不相交的序列集如下：

其中，S_c,0序列有2^m-1个用户，其余序列有2^m-2个用户。

为了更清楚的说明本发明的构造过程，本发明给出如下证明过程。

令m＝2k+2,对于任意的

令序列集S_c,i为公式(19)中所定义，那么，就有：

i)对任意的有|S_c,0|＝2^m-1，|S_c,1|＝|S_c,2|＝2^m-2。

ii)对于任意的i∈{0,1,2}，S_c,i是一个正交的semi-bent序列集。

iii)对于任意的i,i′∈{0,1,2}，S_c,i⊥S_c′,i′当且仅当i≠i′。

首先，注意到|L_δ|＝2^2k＝2^m-2，这表明i)成立。

其次，对于ii)，对任意并且有

其中

由于

以及

其中对于成立时，当γ为的本原元时，存在唯一一个0≤i_c≤2^k-2，使得可知φ_c(y)是的一个置换。因此存在一个唯一的使得φ_c(y)＝α，这表明对于任意的有

对于任意的有

此外，

对于任意的有

当k＝(m-2)/2，F是一个向量semi-bent函数。

再次，对于iii)，令其中l∈T_i，l′∈T_i′。

为了分析和之间的正交性考虑到

h＝(f_c+l)+(f_c′+l′)＝f_c+c′+(l+l′) (27)

其中

因为所以等式f_c+f_c′＝f_c+c′可以很容易的从(20)式得到。

通过等式(25)，W_h(0_m)＝0当且仅当从表1可知，当且仅当i≠i′。这就意味着S_c,i⊥S_c′,i′当且仅当i≠i′。

表1：T_i的运算i＝0,1,2

实施例二

下面的例子给出当m＝8时正交序列S_c,i的分布,S_c,0相当于蜂窝有更多的用户数目2^m-1。

令m＝8，则k＝3，根据实施例一可知，可以产生3×2³＝24个不相交的正交semi-bent序列，

S_c,0序列有2^m-1＝128个用户，其余序列有64个用户，并对上述序列在蜂窝中进行序列排序，请参见图2，图2为本发明一个具体实施例中的正六边形网络分配示意图，根据图2中给出的分布，可重复利用的距离为其中，用较大字体标出的是有2^m-1个用户的蜂窝。注意到每个蜂窝是被6个小的蜂窝包围，而每个小的蜂窝由3个大的蜂窝和3个小的蜂窝包围。此外，从某一列看来，相邻的两个2^m-1个用户的蜂窝之间间隔了两个2^m-2个用户的蜂窝，这表明在这个网络中三分之一的蜂窝是有2^m-1个用户的大的蜂窝。参看图2，例如，S_000,0与同一列的S_001,0之间间隔了s_000,1与s_000,2两个蜂窝。

本发明的基于semi-bent函数的正交序列集构造方法，通过选取特定的输入和输出，并利用semi-bent函数构造得到对应个正交序列集，以提高小区分配的序列的数目，解决用户过多无法正常通信的问题。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

Claims (2)

1.一种基于semi-bent函数的正交序列集构造方法，其特征在于，包括：

S1、选取m输入、k输出的向量semi-bent函数，其中，m、k均为正整数，且m＝2k+2；

S2、根据所述向量semi-bent函数得到2^k个semi-bent函数；选择2^m×2^m维哈达玛矩阵，并将哈达玛矩阵分成第一子序列集、第二子序列集、第三子序列集，其中，第一子序列集的序列个数为2^m-1个，第二子序列集与第三子序列集的序列个数均为2^m-2个；将所述2^k个semi-bent函数的对应位分别于所述第一子序列集、第二子序列集、第三子序列集的对应位相乘得到2^k个第一正交序列集、2^k个第二正交序列集、2^k个第三正交序列集，其中，第一正交序列集的序列数目是2^m-1个，第二正交序列集、第三正交序列集均为2^m-2个；

S3、将所述正交序列集按照预定规则排列蜂窝，以使所述蜂窝内的序列相互正交，且相邻蜂窝的序列集相互正交。

2.根据权利要求1所述的基于semi-bent函数的正交序列集构造方法，其特征在于，所述相邻蜂窝的正交复用距离为