CN107918713A

CN107918713A - 基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法

Info

Publication number: CN107918713A
Application number: CN201711269404.0A
Authority: CN
Inventors: 方国华; 晋恬; 闻昕; 吕琳莉; 颜敏; 张宇虹
Original assignee: Hohai University HHU
Current assignee: Hohai University HHU
Priority date: 2017-12-05
Filing date: 2017-12-05
Publication date: 2018-04-17

Abstract

本发明公开一种基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法，具体步骤为：1.确定表述某地域洪水的两个特征变量；2.确定某地域洪水特征变量的概率统计模型；3.确定某地域选定两特征变量的Copula模型；4.计算洪水双变量联合重现期；5.推导基于洪水双变量联合重现期的改进重现期推求方法；6.验证新方法的有效性。本发明考虑了双变量洪水频率计算过程中双变量积分方式的影响，避免了传统的双变量积分方式对确定合理危险区域的影响，改进双变量联合重现期推求方法是在联合重现期上进行的改进，重新定义了危险区域与积分方式，并且针对任意Copula函数均有效，新方法能够更准确的描述洪水危险区域，具有更广的适用性。

Description

基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法

技术领域

本发明涉及一种基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法，具体地说是通过建立洪水特征双变量之间的Copula模型，以所求的联合重现期等值曲线为基准，定义合理的危险区域，从而推求改进联合重现期的方法。

背景技术

水文频率分析是水利工程设计规划的依据。目前水文频率分析多为单变量频率分析，但是由于水文事件具有多特征变量的属性，仅从单角度进行分析有失偏颇。传统的多变量频率分析由于要求变量边际分布为同一类、且联合分布求解较为复杂的特点使得其在水文方面的应用发展受到了限制。Sklar于1959年提出 Copula理论，Copula函数是研究变量相关性测度的工具，可以刻画变量之间的非线性关系，具有边缘分布灵活以及其形式不受边缘分布限制的特点，经许多专家学者的研究表明，其可用于洪水、暴雨、干旱等多变量水文事件的联合概率分布分析。

重现期是用来表征洪水发生频率的特征量，其与洪水频率呈倒数关系。目前常用的描述双变量洪水频率的重现期有联合重现期和同现重现期两种。从数学角度分析，对于传统双变量洪水频率的计算，其积分区域为多边形，从洪水事件发生概率的角度分析，其仅将多边形的积分区域作为危险区域，未考虑积分区域的形状对双变量洪水频率计算的影响。由于积分区域的影响，使得所定义的联合重现期考虑的危险区域偏大，其计算结果过于保守；使得所定义的同现重现期考虑的危险区域偏小，其计算结果过于冒险。

发明内容

发明目的：针对现有技术中存在的问题与不足，本发明提出基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法，解决双变量重现期危险区域划分不合理的问题。选择合理的双变量重现期定义标准，从防洪方面考虑，其考虑了洪水为多变量水文事件的属性，并且考虑了洪水特征量之间的相关性，选用双变量重现期可以更好的表征洪水特征；从水利工程设计规划方面，既可以保证水利工程设计规划的安全性，又可以节约经济成本。

技术方案：一种基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法，按以下步骤进行：

步骤1：确定表述某地域洪水的两个特征变量；

表征洪水特征的变量有洪峰、洪量、水位等特征变量，根据地域特点，选择最能反映洪水特征的两个变量；

步骤2：确定某地域洪水特征变量的概率统计模型；

由步骤1确定的两个洪水特征变量，分别用在水文事件中常用的概率统计模型为P-III模型、GEV模型、GPD模型等对洪水特征变量进行模拟，选择出拟合结果最好的概率统计模型；

步骤3：确定某地域选定两特征变量的Copula模型；

根据由步骤2确定的两洪水变量的统计模型，选择不同的Copula函数对其进行模拟，选择拟合结果最好的Copula模型；

步骤4：计算洪水双变量联合重现期；

根据步骤3确定的洪水双变量Copula模型，依据双变量联合重现期计算公式计算。

事件表示u或v中至少有一个被超越，其表达式为

事件发生的概率记为该事件发生所对应的重现期称为联合重现期其可用Copula函数表示，表达式为：

步骤5：推导基于洪水双变量联合重现期的改进重现期推求方法；

依照步骤4确定的洪水双变量重现期计算公式，推导在特定重现期t下联合重现期曲线表达式：

令洪水危险区域定义为联合重现期等值曲线以上的区域，即为联合重现期等值曲线与u＝1及v＝1所围成的区域，安全区域即为总区域减去危险区域的部分，对该安全区域的积分记为概率p'，根据式(8)可以计算联合重现期为t情况下的改进联合重现期t'：

与现有技术相比，本发明具有以下优点和有益效果：

1、本发明建立基于Copula函数的双变量洪水模型，Copula函数对变量的边缘分布不做要求，因此可选择最适宜的边缘分布模型，提高了拟合精度；

2、本发明建立基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法，以联合重现期等值线以上的区域为危险区域，改进了联合重现期定义危险区域过大的缺点，使得危险区域的选择更为合理；

3、本发明建立基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法，洪水安全区域边界曲线为两段不同表达式的曲线组成，即采用分段积分的方式，计算改进安全区域的概率进而推求改进联合重现期，其适用于任意的Copula函数。

附图说明

图1为本发明实施的流程图；

图2为本发明导出的GEV分布估计与经验分布函数拟合结果，其中，(a) 为年最大洪峰流量的GEV分布估计与经验分布函数拟合结果，(b)为年最大10 日洪量的GEV分布估计与经验分布函数拟合结果；

图3为本发明导出的经验联合分布频率与理论联合分布频率拟合结果；

图4为本发明导出的Q-W₁₀二维G-H Copula函数分布函数图；

图5为本发明导出的推算联合重现期等值线图；

图6为联合重现期与改进联合重现期的对比图。

具体实施方式

下面结合具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

如图1所示，下面结合附图和实施例对本发明具体实施方式做进一步详细描述：

步骤1：确定表述某地域洪水的两个特征变量；

步骤2：确定某地域洪水特征变量的概率统计模型；

步骤3：确定某地域选定两特征变量的Copula模型；

根据由步骤2确定的两洪水变量的统计模型，选择不同的Copula函数对其进行模拟，选择拟合结果最好的Copula模型；建立基于Copula函数的双变量洪水模型，Copula函数对变量的边缘分布不做要求；

步骤4：计算洪水双变量联合重现期；考虑洪水特征变量之间的关系，采用双变量重现期作为洪水重现期类型；

事件表示u或v中至少有一个被超越，其表达式为

依照步骤4确定的洪水双变量重现期计算公式，推导在给定重现期水平t下联合重现期曲线表达式：

令洪水危险区域定义为联合重现期曲线与u＝1、v＝1所围成的区域(见图5)，安全区域即为总区域减去危险区域的部分，对该安全区域的积分记为概率p'，洪水安全区域边界曲线为两段不同表达式的曲线组成，即采用分段积分的方式，计算改进安全区域的概率。区域I为矩形区域，可采取直接积分的方式计算概率，区域II为曲线型区域，将其划分为n个矩形区域进行积分。区域I和区域II的概率总和即为安全区域概率p'。

根据式(12)可以计算联合重现期为t情况下的改进联合重现期t'：

步骤6：以新安江流域罗桐埠水文站1961-2008年的实测径流资料，给出本发明的具体实施过程，并将计算结果与联合重现期做比较，通过对比判断改进联合重现期的有效性，另外结合新安江流域罗桐埠水文站的区域特性，确定推求的改进联合重现期的合理性。

根据该流域的洪水特征以及现有资料，提取1961-2008年的年最大洪峰流量、 10日洪量作为研究的洪水双特征变量，分别选取GEV分布、GPD分布以及P-III 分布对年最大洪峰流量、年最大10日洪量的边缘分布进行拟合，得出GEV分布的拟合效果最佳。

表1最大洪峰流量Q和年最大10日洪量W10分布统计参数

选择Archimedean Copula函数中的G-H Copula函数、Frank Copula函数、Clayton Copula函数对Q-W₁₀联合分布进行模拟，采用极大似然估计法计算相关参数θ，并采用AIC、BIC、RMSE三种拟合优度检验方法对三种Copula函数进行检验选择最优Copula函数，RMSE，AIC、BIC值越小代表拟合度越好。计算结果见表2。其中G-H Copula的AIC、BIC值均最小，RMSE值略大于Frank函数，基于拟合结果选择G-H Copula构建Q-W₁₀二维联合分布。图3为经验联合分布频率与理论联合分布(G-H Copula函数)频率拟合结果图，由图3可得到，样本数据(Q,W₁₀)均在45°斜线附近，即说明G-H Copula函数拟合度比较好。图4 为以G-H Copula函数构建的Q-W₁₀组合的分布函数图。

G-H Copula函数表达式为：

C_θ(u,v)＝uvexp(-θlnulnv) (12)

对于任意一组峰量组合，均可求得对应的联合重现期，

令联合重现期T＝t，即可求出在联合重现期T＝t时的联合重现期等值曲线，如图5所示，其曲线表达式为：

基于G-H Copula建立的模型，推求联合重现期等值曲线表达式为：

其联合重现期等值曲线走势图如图5所示。根据Copula函数的性质以及联合重现期的定义，推求的联合重现期等值曲线具有以下性质：

1.联合重现期等值曲线有两条渐近线，其渐近线分别平行于x轴和y轴；

2.联合重现期等值曲线渐近线的取值为单变量重现期的概率值。

根据联合重现期等值曲线的特性，采取分段积分的形式求改进联合重现期的积分区域，将积分区域划分为两个区域：

由于联合重现期等值曲线表达式较为复杂，一般情况下无不定积分表达式，因此区域II采取划分成n个矩形区域的方式计算，选取联合重现期T＝10年为例，得出对应的改进联合重现期T’＝16.73年。

选取T＝10、20、50、100、200年，画出联合重现期与改进联合重现期的对比图，见图6。由图可见，图(a)为对应重现期水平下联合重现期等值曲线，图(b)为对应重现期水平下改进联合联合重现期等值曲线，改进联合重现期等值曲线走势相同，且在相同重现期水平下，改进联合重现期的峰量组合均小于联合重现期定义下的峰量组合，选用改进联合重现期定义标准，有效提高了工程的经济性。

Claims

1.一种基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法，其特征在于它包括步骤：

步骤1：确定表述某地域洪水的两个特征变量；

步骤2：确定某地域洪水特征变量的概率统计模型；

由步骤1确定的两个洪水特征变量，分别用在水文事件中的概率统计模型对洪水特征变量进行模拟，选择出拟合结果最好的概率统计模型；

步骤3：确定某地域选定两特征变量的Copula模型；

步骤4：计算洪水双变量联合重现期；

步骤5：推导基于洪水双变量联合重现期的改进重现期推求方法。

2.如权利要求1所述的基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法，其特征在于，步骤4中，令事件表示u或v中至少有一个被超越，其表达式为：

3.如权利要求1所述的基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法，其特征在于，步骤5：推导基于洪水双变量联合重现期的改进重现期推求方法；

令洪水危险区域定义为联合重现期等值曲线以上的区域，即为联合重现期等值曲线与u＝1及v＝1所围成的区域，安全区域即为总区域减去危险区域的部分，对该安全区域的积分记为概率p'，根据式(4)可以计算联合重现期为t情况下的改进联合重现期t'：

<mrow> <msup> <mi>t</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msup> <mi>p</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

4.如权利要求1所述的基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法，其特征在于，所述步骤3中，建立基于Copula函数的双变量洪水模型，Copula函数对变量的边缘分布不做要求。

5.如权利要求1所述的基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法，其特征在于，所述步骤4中，考虑洪水特征变量之间的关系，采用双变量重现期作为洪水重现期类型。

6.如权利要求1所述的基于Copula函数的洪水双变量改进联合重现期推求方法，其特征在于，洪水安全区域边界曲线为两段不同表达式的曲线组成，即采用分段积分的方式，计算改进安全区域的概率。