CN107748929A - 基于零膨胀负二项模型的电动自行车出行频次预测方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于零膨胀负二项模型的电动自行车出行频次预测方法。首先，获取电动自行车使用者的个人和家庭特征及全天出行信息；其次，提取出不同信息项下不同划分对应的信息参数；接着，将总样本根据性别分为男性和女性两部分；然后，针对电动自行车出行频次的两种状态，分别采用负二项模型和零膨胀负二项模型对一个工作日内男性和女性电动自行车出行频次建模；最后，通过两种模型预测出电动自行车的出行频次，同时根据模型结果分析各种因素对于电动自行车出行频次的影响。采用本发明有助于交通运输专业人士预测电动自行车的使用需求，还有助于政府部门制定有效交通管理政策和做好基础设施规划。

Description

基于零膨胀负二项模型的电动自行车出行频次预测方法
技术领域
本发明涉及一种电动自行车出行频次的预测方法，尤其涉及一种基于零膨胀负二项模型的电动自行车出行频次预测方法。
背景技术
近年来，电动自行车是交通市场增长最快的领域之一，而中国的电动自行车销量在世界排名处于领先地位；同时，推动电动自行车在城市的使用也有助于减轻交通拥堵问题，提高交通安全；因此，电动自行车在中国交通领域是一个必不可少的研究课题。
对以往的研究进行查阅时发现，研究大多都不区分男性和女性，然而实际上，性别是确定出行行为的重要因素，女性的身体和心理特征使她们的出行行为在某种程度上与男性有所不同；此外，大多数研究都集中在电动自行车模式的选择问题上，很少有研究考虑电动自行车出行的频次，而出行频次对于交通需求有着显著地影响，是确定交通需求的一个重要的因素；研究电动自行车的出行频次可以更好地了解各种因素对电动自行车使用的影响，并且将有助于交通运输专业人士预测电动自行车使用的需求，这是制定有效政策和良好基础设施规划的重要前提。
发明内容
技术问题：本发明提供一种基于零膨胀负二项模型的电动自行车出行频次预测方法，该方法可以用来分析电动自行车的出行频次，有助于制定促进城市电动自行车使用的策略。
技术方案：本发明所述的一种基于零膨胀负二项模型的电动自行车出行频次预测方法，包括以下步骤：
(1)获取电动自行车使用者的个人和家庭特征及他们的出行信息；
(2)提取出不同信息项下的不同划分所对应的参数；
(3)将总样本根据性别分为男性和女性两部分；
(4)对电动自行车出行频次遵循通常的负二项计数的状态，采用负二项模型对一个工作日内男性和女性电动自行车出行频次分别建模；
(5)对不使用电动自行车出行的状态，采用零膨胀负二项模型对一个工作日内男性和女性电动自行车出行频次分别建模；
(6)通过步骤(4)和步骤(5)中的模型预测出电动自行车的出行频次，同时根据模型结果分析各种因素对于电动自行车出行频次的影响。
所述步骤(1)中提及的个人和家庭特征及出行信息主要包括：出行者职业、出行者年龄、家庭年收入、汽车拥有情况、出行目的、出行距离、出行起点人口密度、出行时长、出行终点人口密度、出行时间是否是早高峰和起讫点的交通流量。
所述步骤(2)中的参数设置为：出行者职业是学生、工人、官员和其他，其对应参数为x1i、x2i、x3i、x4i；出行者年龄小于20岁、20到40岁之间、40到50岁之间和50岁以上的，对应参数为x5i，x6i，x7i，x8i；家庭年收入小于2000人民币和大于20000人民币的，对应参数为x9i、x10i；家里已有汽车、未来五年会买汽车、未来十年会买汽车和未来不会买汽车，对应参数为x11i、x12i、x13i、x14i；出行目的是工作、上学、购物、回家和其他，对应参数为x15i、x16i、x17i、x18i、x19i；出行目的分别为工作、上学、购物、回家、其他的出行距离，对应参数为x20i、x21i、x22i、x23i、x24i、x25i；出行起点人口密度大于0.023人/平方米和小于0.023人/平方米，对应参数为x26i、x27i；出行终点人口密度大于0.023人/平方米和小于0.023人/平方米，对应参数为x28i、x29i；出行时间是早高峰，对应参数为x30i；起讫点的交通流量，对应参数为x31i；其他信息，对应参数xki；i表示第i份问卷。
所述步骤(4)建模如下：
其中，Γ(.)是伽马函数，α是过度离散参数，λi表示ni的期望值，在负二项模型中，参数λi通过以下等式被指定为解释变量的函数：
ln(λi)＝β0+β1x1i+β2x2i+β3x3i+β4x4i+β5x5i+β6x6i+β7x7i+β8x8i+β9x9i+β10x10i+β11x11i+β12x12i+β13x13i+β14x14i+β15x15i+β16x16i+β17x17i+β18x18i+β19x19i+β20x20i+β21x21i+β22x22i+β23x23i+β24x24i+β25x25i+β26x26i+β27x27i+β28x28i+β29x29i+β30x30i+β31x31i+βkxki+θλ
其中θλ是随机效应，遵循正态分布，βk是相应的系数。
所述步骤(5)建模如下：
当ni＝0时，
当ni≠0时，
其中pi表示不使用电动自行车的概率，使用logit链接函数来对概率pi建模：
其中，θz是随机效应，服从正态分布，βk是相应的系数。
有益效果：与现有技术相比，本发明的有益效果：1、研究电动自行车的出行频次可以更好地了解各种因素对电动自行车使用的影响，并且有助于交通运输专业人士预测电动自行车使用的需求，也是制定有效政策和良好基础设施规划的重要前提；2、将总样本分为男性和女性两大类，分别建模，使分析更加准确；3、本方法加入了随机效应因子，随机效应可以解释由不可观察因素引起的电动自行车出行频率数据的异质性；4、、本方法在分析电动自行车出行频次时将其分为两个状态进行分析，包括一个零出行状态，确定出行者是否会通过电动自行车进行出行，以及电动自行车出行频次遵循通常的负二项计数过程的状态，提高分析的准确性。
附图说明
图1是是本发明的流程框图。
具体实施方式
下面结合说明书附图对本发明作进一步的说明。
获取电动自行车使用者的个人和家庭特征及出行信息，主要包括：出行者职业、出行者年龄、家庭年收入、汽车拥有情况、出行目的、出行距离、出行起点人口密度、出行时长、出行终点人口密度、出行时间是否是早高峰和起讫点的交通流量。
提取出不同信息项下的不同划分所对应的参数：出行者职业是学生、工人、官员和其他，其对应参数为x1i、x2i、x3i、x4i；出行者年龄小于20岁、20到40岁之间、40到50岁之间和50岁以上的，对应参数为x5i，x6i，x7i，x8i；家庭年收入小于2000人民币和大于20000人民币的，对应参数为x9i、x10i；家里已有汽车、未来五年会买汽车、未来十年会买汽车和未来不会买汽车，对应参数为x11i、x12i、x13i、x14i；出行目的是工作、上学、购物、回家和其他，对应参数为x15i、x16i、x17i、x18i、x19i；出行目的分别为工作、上学、购物、回家、其他的出行距离，对应参数为x20i、x21i、x22i、x23i、x24i、x25i；出行起点人口密度大于0.023人/平方米和小于0.023人/平方米，对应参数为x26i、x27i；出行终点人口密度大于0.023人/平方米和小于0.023人/平方米，对应参数为x28i、x29i；出行时间是早高峰，对应参数为x30i；起讫点的交通流量，对应参数为x31i；其他信息，对应参数xki；i表示第i份问卷。
将总样本根据性别分为男性和女性两部分。
对电动自行车出行频次遵循通常的负二项计数过程的状态采用负二项模型对一个工作日内男性和女性电动自行车出行的频次分别建模：
其中，Γ(.)是伽马函数，α是过度离散参数，λi表示ni的期望值，在负二项模型中，参数λi通过以下等式被指定为解释变量的函数：
ln(λi)＝β0+β1x1i+β2x2i+β3x3i+β4x4i+β5x5i+β6x6i+β7x7i+β8x8i+β9x9i+β10x10i+β11x11i+β12x12i+β13x13i+β14x14i+β15x15i+β16x16i+β17x17i+β18x18i+β19x19i+β20x20i+β21x21i+β22x22i+β23x23i+β24x24i+β25x25i+β26x26i+β27x27i+β28x28i+β29x29i+β30x30i+β31x31i+βkxki+θλ
其中θλ是随机效应，遵循正态分布，βk是相应的系数；
对不使用电动自行车出行的状态，采用零膨胀负二项模型对一个工作日内男性和女性电动自行车出行的频次分别建模：
当ni＝0时，
当ni≠0时，
其中pi表示不使用电动自行车的概率，使用logit链接函数来对概率pi建模：
其中，θz是随机效应，服从正态分布，βk是相应的系数。
使用2007年，中国绍兴市进行广泛调查的家庭出行数据，绍兴是位于中国东海岸的典型中等城市，人口为90.85万人，2007年总面积为59.96平方公里，一共使用了7320份问卷调查。
本实施例结果分两部分，一是不使用电动自行车出行的状态，采用零膨胀负二项模型对一个工作日内男性和女性电动自行车出行的频次建模，结果如表1所示：
表1具有随机效应的零膨胀负二项模型的结果
注意:a标准差；
b该变量在模型中并不重要；
c参考级别.
在零出行状态下，正参数表示该解释变量的增加与使用电动自行车出行的概率的增加相关。如表1所示，促使男女选择电动自行车出行的重要参数是非常相似的，一般来说，男女官员更有可能通过电动自行车出行，20至50岁的出行者比50岁以上的出行者更有可能使用电动自行出行，年度家庭收入与实用电动自行车出行的可能性正相关，此外，拥有汽车和居民人口密度与男女电动自行车出行概率负相关。
第二部分是电动自行车出行频次遵循通常的负二项计数过程的状态，采用负二项模型对一个工作日内男性和女性电动自行车出行的频次建模，结果如表2所示。
表2具有随机效应的零膨胀负二项模型的结果
注意:a标准差；
b该变量在模型中并不重要；
c参考级别.
在负二项式出行状态中，正参数表示该解释变量的增加与电动自行车出行频次的增加相关，如表2所示，影响男女电动自行车出行次数的重要参数是不同的。关于职业变量，职业与男性电动自行车出行次数无显著相关，说明不同职业的男性的电动自行车出行频次没有显着差异；相反，职业显著影响到女性的电动自行车出行频次，对于女性来说，学生和工人的电动自行车频次比其他职业人士少，因为高收入女性通常有更多频次的出行。关于出行者的年龄变量，年龄低于20岁的男性电动自行车出行较少，而40至50岁的女性可能会进行更多的电动自行车出行，这显示了男女之间的不同出行模式，40至50岁的女性肩负起家庭责任，会导致更多的出行。年度家庭收入的增加会导致男性和女性的电动自行车出行频次的增加，男性模型年度家庭收入的参数小于女性模型中的年度家庭收入参数，表明高收入女性电动自行车出行频次更多。对于男性和女性出行者来说，近期购买汽车的意图很可能与电动自行车出行频次的增加有关，可能的解释是，这些出行者可能会有更长距离的出行，从而增加了电动自行车出行。出行者居住的人口密度以及家庭所在的交通分析区(TAZ)的出行生产和吸引力也会影响到男性和女性的电动自行车出行频次，当居民人口密度较高时，男性和女性的电动自行车出行频次都有可能增加，说明居住在这些地区的人会有更多的电动自行车出行，另外，如果男女出行者所居住的交通分析区(TAZ)出行生产和吸引力大，他们将会有更多的电动自行车出行。

Claims (5)

1.一种基于零膨胀负二项模型的电动自行车出行频次预测方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)获取电动自行车使用者的个人和家庭特征及他们的出行信息；
(2)提取出不同信息项下的不同划分所对应的参数；
(3)将总样本根据性别分为男性和女性两部分；
(4)对电动自行车出行频次遵循通常的负二项计数的状态，采用负二项模型对一个工作日内男性和女性电动自行车出行频次分别建模；
(5)对不使用电动自行车出行的状态，采用零膨胀负二项模型对一个工作日内男性和女性电动自行车出行频次分别建模；
(6)通过步骤(4)和步骤(5)中的模型预测出电动自行车的出行频次，同时根据模型结果分析各种因素对于电动自行车出行频次的影响。
2.根据权利要求1所述的基于零膨胀负二项模型的电动自行车出行频次预测方法，其特征在于，所述步骤(1)中提及的个人和家庭特征及出行信息主要包括：出行者职业、出行者年龄、家庭年收入、汽车拥有情况、出行目的、出行距离、出行起点人口密度、出行时长、出行终点人口密度、出行时间是否是早高峰和起讫点的交通流量。
3.根据权利要求1所述的基于零膨胀负二项模型的电动自行车出行频次预测方法，其特征在于，所述步骤(2)中的参数设置为：职业是学生、工人、官员和其他，其对应参数为x1i、x2i、x3i、x4i；出行者年龄小于20岁、20到40岁之间、40到50岁之间和50岁以上的，对应参数为x5i，x6i，x7i，x8i；家庭年收入小于2000人民币和大于20000人民币的，对应参数为x9i、x10i；家里已有汽车、未来五年会买汽车、未来十年会买汽车和未来不会买汽车，对应参数为x11i、x12i、x13i、x14i；出行目的是工作、上学、购物、回家和其他，对应参数为x15i、x16i、x17i、x18i、x19i；出行目的分别为工作、上学、购物、回家、其他的出行距离，对应参数为x20i、x21i、x22i、x23i、x24i、x25i；出行起点人口密度大于0.023人/平方米和小于0.023人/平方米，对应参数为x26i、x27i；出行终点人口密度大于0.023人/平方米和小于0.023人/平方米，对应参数为x28i、x29i；出行时间是早高峰，对应参数为x30i；起讫点的交通流量，对应参数为x31i；其他信息，对应参数xki；i表示第i份问卷。
4.根据权利要求1所述的基于零膨胀负二项模型的电动自行车出行频次预测方法，其特征在于，所述步骤(4)建模如下：
<mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;alpha;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>&amp;Gamma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;alpha;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;alpha;</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;alpha;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;alpha;</mi> </mfrac> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;alpha;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> </msup> </mrow>
其中，Γ(.)是伽马函数，α是过度离散参数，λi表示ni的期望值，在负二项模型中，参数λi通过以下等式被指定为解释变量的函数：
ln(λi)＝β0+β1x1i+β2x2i+β3x3i+β4x4i+β5x5i+β6x6i+β7x7i+β8x8i+β9x9i+β10x10i+β11x11i+β12x12i+β13x13i+β14x14i+β15x15i+β16x16i+β17x17i+β18x18i+β19x19i+β20x20i+β21x21i+β22x22i+β23x23i+β24x24i+β25x25i+β26x26i+β27x27i+β28x28i+β29x29i+β30x30i+β31x31i+βkxki+θλ
其中θλ是随机效应，遵循正态分布，βk是相应的系数。
5.根据权利要求1所述的基于零膨胀负二项模型的电动自行车出行频次预测方法，其特征在于，所述步骤(5)建模如下：
当ni＝0时，
当ni≠0时，
其中pi表示不使用电动自行车的概率，使用logit链接函数来对概率pi建模：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>p</mi> <mi>i</mi> </msub> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>p</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>4</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>5</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>5</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>6</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>6</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>7</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>7</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>8</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>8</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>9</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>9</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>10</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>10</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>11</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>11</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>12</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>12</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>13</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>13</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>14</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>14</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>15</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>15</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>16</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>16</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>17</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>17</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>18</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>18</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>19</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>19</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>20</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>20</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>21</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>21</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>22</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>22</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>23</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>23</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>24</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>24</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>25</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>25</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>26</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>26</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>27</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>27</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>28</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>28</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>29</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>29</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>30</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>30</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>31</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>31</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;beta;</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>z</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中，θz是随机效应，服从正态分布，βk是相应的系数。
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