CN107612559A - 基于乘性重复的多元极化码的生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于乘性重复的多元极化码生成矩阵的构造方法，主要解决现有多元极化码译码复杂度过高问题，其方案是：根据多元极化码的调制阶数m确定多元域大小q；根据多元域大小q构造有限域GF(q)，确定多元域本原元α；根据信息长度K以及码率R确定所需要的多元码长n；随机产生r个GF(q)上的非零域元素；利用非零域元素和多元极化码核矩阵对多元极化码的结构进行嵌套产生码长为n的生成矩阵，并进行比特翻转列置换，构造最终的生成矩阵。该生成矩阵产生的多元极化码的递归译码结构与二元极化码一致，具有低译码复杂度，能减少译码树的层数，增强并行化，并能以较少的列表大小达到良好的性能，可用于卫星通信系统和蜂窝通信系统。

Description

基于乘性重复的多元极化码的生成方法

技术领域

本发明属于无线通信技术领域，特别是涉及一种多元极化码的构造方法，可用于卫星通信系统和蜂窝通信系统。

背景技术

为实现低时延和高可靠传输，需要并行度较高的极化码，以较少的译码列表大小进行高质量通信。错误指数反映了极化码在该生成矩阵及连续抵消(SC)译码算法下译码错误概率的下降趋势，指数越大，译码错误概率下降越快。因此，采用较大极化指数的核矩阵构造极化码，如q元极化码，成为提升极化码有限长性能的一个有效方法。

2010年，Mori和Tanaka在“Non-Binary Polar Codes using Reed-Solomon Codesand Algebraic Geometry Codes”中，提出q元极化码可以采用RS码或Hermitian码的生成矩阵作为核矩阵构造，但由于RS码和Hermitian码的生成矩阵较复杂，导致多元极化码的译码复杂度也急剧增加。2016年，Cheng等人在“Encoder and List Decoder of Reed-Solomon Kernel Based Polar Codes”中，采用GF(4)上的4维RS码作为4元极化码极化核矩阵，但该结构并不适用于任意q元极化码，并且其仍是基于RS码生成矩阵进行构造的，依然存在译码复杂度高的缺点。

发明内容

本发明的目的在于针对上述现有技术的不足，提出一种基于乘性重复的多元极化码生成方法，以降低多元极化码的译码复杂度。

本发明的技术思路是：根据多元极化码的调制阶数m确定多元域大小q；根据多元域大小q构造有限域GF(q)，确定有限域上的本原元α；根据每次传输所需的二元信息长度K以及码率R确定所要构造的多元极化码码长n；随机产生r＝log₂n个有限域GF(q)上的非零域元素；利用多元极化码的核矩阵和非零域元素与多元极化码的结构进行嵌套，并根据比特翻转交织器进行矩阵列置换，最终构造出多元极化码的生成矩阵。其实现步骤包括如下：

(1)根据多元极化码的调制阶数m,确定多元域的大小为q＝2^m；

(2)根据多元域的大小q构造有限域GF(q)，并确定有限域上的本原元α；

(3)根据每次传输所需的二元信息长度K以及码率R，确定多元极化码的码长n和等效码长N：N＝K/R，n＝N/log₂q；

(4)随机产生r＝log₂n个有限域GF(q)上的非零域元素，记为其中表示随机产生的第i个非零域元素，i的取值从1到r；

(5)构造多元极化码生成矩阵：

(5a)令码长为2的多元极化码的生成矩阵为：其中F_q表示多元极化码的核矩阵，是随机产生的第1个非零域元素；

(5b)将码长为2的多元极化码的生成矩阵G₂与多元极化码的结构进行嵌套，构造码长为4的多元极化码生成矩阵为G₄为：

其中表示Kronecker积，是随机产生的第2个非零域元素；

(5c)以此类推，按照这种乘性重复的规律，从码长为4的多元极化码的生成矩阵中迭代构造出码长为n/2的多元极化码的生成矩阵G_n/2；

(5d)利用码长为n/2的多元极化码的生成矩阵G_n/2与多元极化码的结构进行嵌套，构造码长为n的多元极化码生成矩阵G_n：

其中，是随机产生的第r个非零域元素；

(5e)将一组依次递增的自然数序列a＝{0,1,...,n}中的每个元素a_k∈a用t＝log₂n个比特进行二进制表示，记为a_k＝<a_k1,a_k2,...a_kj...a_kt>，其中，a_kj表示第k个元素的二进制表示中第j位的值，a_kj∈{0,1}，k的取值从1到n，j的取值从1到t；

(5f)将a_k∈a的二进制形式倒序排列，并转为十进制数b_k＝<a_kt,a_kt-1,...a_kj...a_k1>，b_k∈b，b是自然数序列a中的所有元素进行二进制形式倒序排列并转为十进制数后的序列；

(5g)将序列b作为比特翻转交织器的图样，根据此图样对多元极化码生成矩阵G_n进行列置换，得到最终的多元极化码生成矩阵G。

本发明与现有技术相比具有如下优点：

本发明利用乘性重复技术，通过简单的递归结构构造出多元极化码的生成矩阵，利用该生成矩阵产生的多元极化码，其递归译码结构与基于Arikan核矩阵构造的二元极化码一致，不仅降低了译码复杂度，而且在同样码长下能够减少译码树的层数，增强并行化，易于硬件实现；

仿真结果表明：利用本发明的生成矩阵产生的多元极化码与多元极化码的高阶调制相结合，能够以较少的列表大小达到良好的纠错性能。

附图说明

图1是本发明的实现流程图；

图2是本发明实施例1的Forney因子图；

图3是本发明实施例1的误码率性能仿真图；

图4是是本发明实施例2的64元极化图；

图5是本发明实施例2的误码率性能仿真图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的基于乘性重复的多元极化码生成矩阵的构造方法做详细描述。

本发明是一种基于乘性重复的多元极化码生成矩阵的构造方法，通过将多元极化码矩阵看作是一种重复传输过程，给多元极化码的核矩阵乘上一个随机的非零域元素，与多元极化码的结构进行嵌套，进行乘性重复，实现任意多元极化码生成矩阵的构造。基于这种方法生成的多元极化码，具有简单递归结构，更利于硬件实现。

参照图1，本发明给出如下两个实施例。

实施例1，给定调制方式为16维正交振幅16-QAM调制，假设传输所需的二元信息长度K为8比特，码率R为0.25，构造多元极化码的生成矩阵。

步骤一，由给定调制方式为16-QAM，可得调制阶数m＝log₂16＝4，并确定多元域的大小为q＝2⁴＝16。

步骤二，假设生成多项式为p(x)＝1+x+x⁴，根据多元域大小q，构造有限域GF(16)＝{0,1,2,...15}，由公式α^q-1＝1求得该多元域本原元为α＝2。

步骤三，根据二元信息长度K和码率R，得到等效码长N＝8/0.25＝32，以及多元码长n＝32/4＝8。

步骤四，构造多元极化码生成矩阵：

(4a)随机产生r＝log₂n＝log₂8＝3个有限域GF(q)上的非零域元素：假设它们的取值分别为

(4b)由多元极化码核矩阵以及第一个非零域元素的值得到码长为2的多元极化码生成矩阵

(4c)由G₂和第二个非零域元素的值进行结构嵌套，即用G₂对F_q做1次Kronecker积的操作，用符号表示该操作，得到码长为4的多元极化码生成矩阵G₄：

(4d)由G₄和第二个非零域元素的值进行结构嵌套，即用G₃对F_q做1次Kronecker积，得码长为8的多元极化码生成矩阵G₈：

(4e)计算二进制位数t＝log₂n＝log₂8＝3，产生一组个数为n＝8的从0开始递增自然数序列a，并将该序列中的每个元素用t个比特进行二进制表示为：

a＝{0,1,2,3,4,5,6,7}

＝{<000>,<001>,<010>,<011>,<100>,<101>,<110>,<111>}；

(4f)将a中每个元素的二进制形式进行倒序排列，并转为十进制，记为倒序序列b，即：b＝{<000>,<100>,<010>,<110>,<001>,<101>,<011>,<111>}＝{0,4,2,6,1,5,3,7}；

(4g)根据倒序序列b，利用比特翻转交织器置换G₈矩阵的列：即原G₈矩阵的第0列仍为G₈矩阵的第0列，原G₈矩阵的第4列现放置G₈矩阵的第1列，原G₈矩阵的第2列仍为G₈矩阵的第2列，原G₈矩阵的第6列现放置现G₈矩阵的第3列，原G₈矩阵的第1列现放置G₈矩阵的第4列，原G₈矩阵的第5列仍为G₈矩阵的第5列，原G₈矩阵的第3列现放置G₈矩阵的第6列，原G₈矩阵的第7列仍为G₈矩阵的第7列，由此得到最终生成矩阵G：

信息比特通过组成1×N维向量，与生成矩阵G做矩阵乘法进行极化码编码，如图2所示。

图2给出了1×N维向量与生成矩阵G做矩阵乘法时，向量中每一个信息比特C_i所进行的乘法和加法运算操作，其中i是信息比特的下标，取值从1到8。设编码后的信息比特为u_i。图2中u₈是C₈不经过乘法和加法运算直接得到的，u₄是C₇加上7×C₈得到的，u₆是C₆加上15×C₈得到的，u₂是C₅加上15×C₇加上7×C₆加上11×C₈得到的，u₇是C₄加上11×C₈得到的，u₃是C₃加上11×C₇加上7×C₄加上4×C₈得到的，

u₅是C₂加上11×C₆加上15×C₄加上3×C₈得到的，u₁是C₁加上11×C₅加上15×C₃加上3×C₇加上7×C₂加上4×C₆加上11×C₅加上9×C₈得到的。

实施例2，给定调制方式为64维正交振幅64-QAM调制，假设传输所需的二元信息长度K为768比特，码率R为0.5，构造多元极化码的生成矩阵。

步骤一，由给定调制方式为64-QAM，可得调制阶数m＝log₂64＝6，并确定多元域的大小为q＝2⁶＝64。

步骤二，假设生成多项式为p(x)＝1+x+x⁶，根据多元域大小q，构造有限域GF(64)＝{0,1,2,...63}，由公式α^q-1＝1求得该多元域本原元为α＝2。

步骤三，根据二元信息长度K和码率R可得等效码长N＝768/0.5＝1536，以及多元码长n＝1536/6＝256。

步骤四，随机产生r＝log₂256＝log₂n＝8个有限域GF(64)上的非零域元素：

假设他们的取值为：

步骤五，构造多元极化码生成矩阵。

(5a)由多元极化码的核矩阵与多元极化码的结构进行嵌套，构造列置换前的生成矩阵G₆₄，由于G₆₄矩阵中共有64×64＝4096个元素，此处为节约篇幅，省略其具体表达式；

(5b)计算二进制位数t＝log₂256＝8,产生一组个数为256的从0开始递增的自然数序列a，并将该序列中的每个元素用t个比特进行二进制表示,然后将a中每个元素的二进制形式进行倒序排列，并转为十进制，记为倒序序列b，即

b＝{0,128,64,192,32,160,96,224,16,144,80,208,48,176,112,240,8,136,72,200,40,168,104,232,24,152,88,216,56,184,120,248,4,132,68,196,36,164,100,228,20,148,84,212,52,180,116,244,12,140,76,204,44,172,108,236,28,156,92,220,60,188,124,252,2,130,66,194,34,162,98,226,18,146,82,210,50,178,114,242,10,138,74,202,42,170,106,234,26,154,90,218,58,186,122,250,6,134,70,198,38,166,102,230,22,150,86,214,54,182,118,246,14,142,78,206,46,174,110,238,30,158,94,222,62,190,126,254,1,129,65,193,33,161,97,225,17,145,81,209,49,177,113,241,9,137,73,201,41,169,105,233,25,153,89,217,57,185,121,249,5,133,69,197,37,165,101,229,21,149,85,213,53,181,117,245,13,141,77,205,45,173,109,237,29,157,93,221,61,189,125,253,3,131,67,195,35,163,99,227,19,147,83,211,51,179,115,243,11,139,75,203,43,171,107,235,27,155,91,219,59,187,123,251,7,135,71,199,39,167,103,231,23,151,87,215,55,183,119,247,15,143,79,207,47,175,111,239,31,159,95,223,63,191,127,255}

(5c)将倒序序列b作为比特翻转交织器的图样，根据此图样对多元极化码生成矩阵G₆₄进行列置换，得到最终的多元极化码生成矩阵G，由于G矩阵包含64×64＝4096个元素，为节约篇幅，省略其具体表达式。

图4给出了实施例2中，通过极化码生成矩阵G构造的符号子信道的极化情况。可以看到，即使在较短的码长n＝256情况下，由本发明构造的生成矩阵所产生的符号子信道极化现象已经非常明显。

本发明的效果可通过以下仿真进一步说明：

仿真1.仿真本发明构造的生成矩阵产生的多元极化码在CRC辅助的连续抵消列表译码下的性能。

针对实施例1中生成矩阵的构造条件，即二元信息比特K＝8，码率R＝1/4,调制方式为16-QAM，设置仿真环境为：循环冗余校验CRC位数为8，通过蒙特卡洛方法在信噪比E_b/N₀＝9.0dB时确定多元极化码的信息位的位置分布。

整个仿真过程为：按照实施例1中所，述的方法产生生成矩阵，并利用该生成矩阵对信息比特进行编码，编码后的信息比特经过信号调制器映射后，发送至加性高斯白噪声AWGN信道，经接收端解调器解调后，采用CRC辅助的连续抵消列表方法进行译码，恢复出信息比特，通过统计恢复出的信息比特和发送前的信息比特的差别得到误码率曲线。依次改变CRC辅助的连续抵消列表方法中的列表大小，使其分别为1,2,4，统计出不同译码列表下的误码率性能，结果如图3所示。

由图3可见，通过本发明构造的生成矩阵产生的多元极化码可采用CRC辅助的连续抵消列表方法译码，其纠错性能在多种译码列表大小下表现正常。

仿真2将本发明构造的生成矩阵产生的多元极化码，在CRC辅助的连续抵消列表译码方法下，与二元极化码和基于修正RS码的多元极化码的纠错性能对比。

针对实施例2中的生成矩阵构造条件，即二元信息比特K＝768，码率R＝1/2,调制

方式为64-QAM，设置仿真环境为：循环冗余校验CRC位数为8，通过蒙特卡洛方法在信噪比E_b/N₀＝7.0dB时确定多元极化码的信息位的位置分布。

整个仿真过程为：按照实施例2中所述的方法产生生成矩阵，并利用该生成矩阵对信息比特进行编码，编码后的信息比特经过信号调制器映射后发送至AWGN信道，经接收端解调器解调后，采用CRC辅助的连续抵消列表方法进行译码，恢复出信息比特，通过统计恢复出的信息比特和发送前的信息比特的差别得到误码率曲线。依次改变CRC辅助的连续抵消列表方法中的列表大小，使其分别为4和8，统计出不同译码列表下的误码率性能，结果如图5的曲线①和曲线②所示。

为了对比纠错性能，还对二元极化码以及基于修正RS码的多元极化码进行了仿真，设置仿真环境为：二元极化码的码长为n＝1536，码率R＝1/2，循环冗余校验CRC位数为12，译码列表大小为32，其中速率匹配方式采用伪随机均匀删余QUP方法，通过蒙特卡洛方法在信噪比E_b/N₀＝7.5dB时确定二元极化码的信息位的位置分布；基于修正RS码的多元极化码在GF(64)上的等效码长为N＝256，码率R＝1/2，循环冗余校验CRC位数为16，译码列表大小为32，通过蒙特卡洛方法在信噪比E_b/N₀＝7.0dB确定多元极化码的信息位的位置分布。16位CRC辅助的二元极化码的性能，如曲线③所示；12位CRC辅助的基于修正RS码构造的多元极化码性能，如曲线④所示。

通过对比曲线①，②与④，可以看出由本发明构造的生成矩阵产生的多元极化码，在较少的译码列表大小下，其纠错性能与在较多译码列表条件下的基于修正RS码构造的多元极化码的纠错性能相当；通过对比曲线①，②与③，可以看出由本发明构造的生成矩阵产生的多元极化码，在较少的译码列表大小下，其纠错性能比在较多译码列表条件下的二元极化码纠错性能好。

Claims (2)

1.一种基于乘性重复的多元极化码的生成方法，包括：

(1)根据多元极化码的调制阶数m,确定多元域的大小为q＝2^m；

(2)根据多元域的大小q构造有限域GF(q)，并确定有限域上的本原元α；

(3)根据每次传输所需的二元信息长度K以及码率R，确定多元极化码的码长n和等效码长N：N＝K/R，n＝N/log₂q；

(4)随机产生r＝log₂n个有限域GF(q)上的非零域元素，记为其中表示随机产生的第i个非零域元素，i的取值从1到r；

(5)构造多元极化码生成矩阵：

(5a)令码长为2的多元极化码的生成矩阵为：其中F_q表示多元极化码的核矩阵，是随机产生的第1个非零域元素；

(5b)将码长为2的多元极化码的生成矩阵G₂与多元极化码的结构进行嵌套，

构造码长为4的多元极化码生成矩阵为G₄为：

<mrow> <msub> <mi>G</mi> <mn>4</mn> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>q</mi> <mrow> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <msub> <mi>I</mi> <mn>2</mn> </msub> </msup> <msub> <mi>G</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <msub> <mi>I</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <msub> <mi>I</mi> <mn>2</mn> </msub> </msup> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <msub> <mi>I</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <msub> <mi>I</mi> <mn>2</mn> </msub> </msup> </mrow> </mtd> <mtd> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <msub> <mi>I</mi> <mn>2</mn> </msub> </msup> </mtd> <mtd> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <msub> <mi>I</mi> <mn>1</mn> </msub> </msup> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow>

其中表示Kronecker积，是随机产生的第2个非零域元素；

(5c)以此类推，按照这种乘性重复的规律，从码长为4的多元极化码的生成矩阵中迭代构造出码长为n/2的多元极化码的生成矩阵G_n/2；

(5d)利用码长为n/2的多元极化码的生成矩阵G_n/2与多元极化码的结构进行嵌套，构造码长为n的多元极化码生成矩阵G_n：

<mrow> <msub> <mi>G</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>q</mi> <mrow> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <msub> <mi>I</mi> <mi>r</mi> </msub> </msup> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mn>2</mn> </mrow>

其中，是随机产生的第r个非零域元素；

(5e)将一组依次递增的自然数序列a＝{0,1,...,n}中的每个元素a_k∈a用t＝log₂n个比特进行二进制表示，记为a_k＝<a_k1,a_k2,...a_kj...a_kt＞，其中，a_kj表示第k个元素的二进制表示中第j位的值，a_kj∈{0,1}，k的取值从1到n，j的取值从1到t；

(5f)将a_k∈a的二进制形式倒序排列，并转为十进制数b_k＝<a_kt,a_kt-1,...a_kj...a_k1>，b_k∈b，b是自然数序列a中的所有元素进行二进制形式倒序排列并转为十进制数后的序列；

(5g)将序列b作为比特翻转交织器的图样，根据此图样对多元极化码生成矩阵G_n进行列置换，得到最终的多元极化码生成矩阵G。

2.根据权利要求1所述的方法，其中步骤(2)中根据多元域的大小q构造有限域GF(q)，并确定有限域上的本原元α，按如下步骤进行：

令p(x)为有限域GF(2)上的一个m次本原多项式，称其为生成多项式；

令β是p(x)的一个根，且p(β)＝0，构造有限域为：

<mrow> <mi>G</mi> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </msup> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>}</mo> <mo>;</mo> </mrow>

在此有限域GF(q)中，通过公式α^q-1＝1确定本原元α，其中q-1是使得该等式成立的最小正整数。