CN107480338A - 基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法 - Google Patents

基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法 Download PDF

Info

Publication number
CN107480338A
CN107480338A CN201710586507.3A CN201710586507A CN107480338A CN 107480338 A CN107480338 A CN 107480338A CN 201710586507 A CN201710586507 A CN 201710586507A CN 107480338 A CN107480338 A CN 107480338A
Authority
CN
China
Prior art keywords
integral
domain
time
singular
singularity
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Pending
Application number
CN201710586507.3A
Other languages
English (en)
Inventor
雷卫东
刘志坚
李宏军
秦晓飞
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Shenzhen Graduate School Harbin Institute of Technology
Original Assignee
Shenzhen Graduate School Harbin Institute of Technology
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Shenzhen Graduate School Harbin Institute of Technology filed Critical Shenzhen Graduate School Harbin Institute of Technology
Priority to CN201710586507.3A priority Critical patent/CN107480338A/zh
Publication of CN107480338A publication Critical patent/CN107480338A/zh
Pending legal-status Critical Current

Links

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
    • G06F30/23—Design optimisation, verification or simulation using finite element methods [FEM] or finite difference methods [FDM]
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F2119/00—Details relating to the type or aim of the analysis or the optimisation
    • G06F2119/06—Power analysis or power optimisation

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Computer Hardware Design (AREA)
  • Evolutionary Computation (AREA)
  • Geometry (AREA)
  • General Engineering & Computer Science (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Other Investigation Or Analysis Of Materials By Electrical Means (AREA)

Abstract

本发明提供了一种基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法，包括以下步骤：首先，通过奇异分离法处理奇异子矩阵元素，采用线性单元进行离散时，将所有变量转变为对的函数，将形函数、，及线元用来表示。本发明的有益效果是：对于奇异积分的奇异部分积分的处理不再采用非奇异积分处理时采用的先积时间后空间的积分顺序，变换积分顺序后重新进行积分，计算量大大减少，积分结果也变得简便很多，可提高时域边界元处理弹性动力学问题的计算精度和效率。

Description

基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法
技术领域
本发明涉及弹性动力学的计算方法，尤其涉及一种基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法。
背景技术
在现有技术中，通常会采用时域边界元处理弹性动力学问题，从时域边界元法的研究历史中可知，奇异性的处理一直是阻碍时域边界元法发展的一个重要因素，从已有的处理手段来看，传在处理奇异性上，传统方法对积分域的积分顺序都是采用先时间后空间的积分顺序。由于采用先时间后空间的积分顺序，导致处理奇异积分时非常冗杂繁琐，影响弹性动力学的计算精度和效率。
发明内容
为了解决现有技术中的问题，本发明提供了一种基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法，可提高时域边界元处理弹性动力学问题的计算精度和效率。
本发明提供了一种基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法，包括以下步骤：
首先，通过奇异分离法处理奇异子矩阵元素，采用线性单元进行离散时，将所有变量转变为对r的函数，将形函数N1、N2，及线元dΓ用dr来表示，则对角线元素为：
——tm瞬时e单元第1点位移对p点位移的影响系数；
Le——单元的长度；
ρ——材料密度；
cs——剪切波波速，
cd——压力波波速；
μ——剪切模量；
λ——拉梅常数；
r——源点与场点之间的距离；
将式(1)分成奇异部分和非奇异部分，表达式如下：
在计算公式(2)时，建立关于r-τ的时空坐标系，
取r1＝cw(t-t1)，r2＝cw(t-t2)，rτw＝cw(t-τ)，tLw＝t-r/cw；
横轴τ表示脉冲作用于该单元结点的时间，纵轴r表示脉冲作用节点到计算点的距离，直线r＝L表示边界单元的长度，由于只在本单元计算，限定了积分上限，[t1，t2]表示一个时间单元；斜直线r＝cw(t-τ)表示τ时刻从场点Q发出的脉冲在t时刻将要到达源点P，在源点P存在波前奇异性；斜直线r＝cw(t-τ)上方表示脉冲未传播到的区域(r>cw(t-τ)且r<L)，对源点P的响应无任何影响，不予考虑；斜直线r＝cw(t-τ)下方表示脉冲已传过的区域(r<cw(t-τ)且r<L)；
根据r1、r2与L的相对位置关系，将积分域分成三种可能的积分域进行讨论；当r1≥L且r2≥L时，在r-τ的坐标系内是矩形域，为第一种积分域；当r1>L且r2<L时，在r-τ的坐标系内是混合域，为第二种积分域；当r1≤L且r2≤L时，在r-τ的坐标系内是梯形域，为第三种积分域；由于三种积分域适合先r的积分，后τ的积分，因此与前面非奇异元素求解有所不同；
(1)先对r积分对r积分的过程中可能会遇到空间奇异性和波前奇异性；
对于第一种积分域，即矩形域，即r2≥L，所有空间积分可以计算如下：
下标中“u”表示积分上限值，“l”表示积分下限，下同；
对于第二种积分域，即混合域，即r2≤L且r1≥L。τ∈[t1，tLw)，是矩形域，按矩形域的方法计算；τ∈[tLw，t2]，是梯形域，按梯形域的方法计算；
对于第三种积分域，即梯形域，即r1≤L，所有空间积分可以计算如下：
(2)再对τ积分积分过程可能会遇到波前奇异性，如果其中的波前奇异性在对r积分时出现了空间奇异性，那么这个奇异性就是双重奇异性；
Aw5＝cw(t-t1)
Aw6＝cw(t-t2)
(1)矩形域，即r1≥L时，所有时间积分可以计算如下：
(2)混合域积分，需要分两种情况分析；
①当τ∈[t1，tLw)时是矩形域，只需将(1)中积分上限t2全部由tLw替换即可；
②当τ∈[tLw，t2]时是梯形域，只需将(3)中积分下限值t1全部由tLw替换即可；
当t2＝t时，Ii，Ij和Ie产生了时间上的奇异性，计算原积分的Hadamad主值：
Iew1＝-γw(Aw5-L)
(3)梯形域，即r1≤L时，积分计算如下：
当t2＝t时，Ii，Ij和Ie产生了时间上的奇异性，计算原积分的Hadamad主值：
Iiw1＝Iew1＝-1
Iiw2＝Iew2＝-Aw5γwln(t-t1)+1
上述三种情况中，t2≠t时：
t2＝t时：
上式求取了Riemann积分，属弱奇异积分；
所有奇异单元的时-空间积分系数都已求出，将得到的结果直接代入和计算，以提高时域边界元处理弹性动力学问题的计算精度和效率。
作为本发明的进一步改进，在计算和时，需要在时间和空间单元上进行组装。
本发明的有益效果是：对于奇异积分的奇异部分积分的处理不再采用非奇异积分处理时采用的先积时间后空间的积分顺序，变换积分顺序后重新进行积分，计算量大大减少，积分结果也变得简便很多，可提高时域边界元处理弹性动力学问题的计算精度和效率。
附图说明
图1是本发明一种基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法的关于r-τ的时空坐标系。
具体实施方式
下面结合附图说明及具体实施方式对本发明作进一步说明。
一种基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法，包括以下步骤：
首先奇异分离法处理奇异子矩阵元素，采用线性单元进行离散时，将所有变量转变为对r的函数，将形函数N1、N2，及线元dΓ用dr来表示，则对角线元素为：
——tm瞬时e单元第1点位移对p点位移的影响系数；
Le——单元的长度；
ρ——材料密度；
cs——剪切波波速，
cd——压力波波速；
μ——剪切模量；
λ——拉梅常数；
r——源点与场点之间的距离；
将式(1)分成奇异部分和非奇异部分，表达式如下：
在计算公式(2)时，建立关于r-τ的时空坐标系，如图1所示。
取r1＝cw(t-t1)，r2＝cw(t-t2)，rτw＝cw(t-τ)，tLw＝t-r/cw。
图1中横轴τ表示脉冲作用于该单元结点的时间，纵轴r表示脉冲作用节点到计算点的距离。直线r＝L表示边界单元的长度，由于只在本单元计算，限定了积分上限，[t1，t2]表示一个时间单元。斜直线r＝cw(t-τ)表示τ时刻从场点Q发出的脉冲在t时刻将要到达源点P，在源点P存在波前奇异性。斜直线r＝cw(t-τ)上方表示脉冲未传播到的区域(r>cw(t-τ)且r<L)，对源点P的响应无任何影响，不予考虑。斜直线r＝cw(t-τ)下方表示脉冲已传过的区域(r<cw(t-τ)且r<L)。
根据r1、r2与L的相对位置关系，将积分域分成三种可能的积分域进行讨论。当r1≥L且r2≥L时，在r-τ的坐标系内是矩形域，如图中阴影区域1；当r1>L且r2<L时，在r-τ的坐标系内是混合域，如图中阴影区3；当r1≤L且r2≤L时，在r-τ的坐标系内是梯形域，如图中阴影区2。由于三种积分域适合先r的积分，后τ的积分，因此与前面非奇异元素求解有所不同。
(1)先对r积分对r积分的过程中可能会遇到空间奇异性和波前奇异性。
对于第一种积分域(矩形域)，即r2≥L，所有空间积分可以计算如下：
下标中“u”表示积分上限值，“l”表示积分下限，下同。
对于第二种积分域(混合域)，即r2≤L且r1≥L。τ∈[t1，tLw)，是矩形域，按矩形域的方法计算；τ∈[tLw，t2]，是梯形域，按梯形域的方法计算。
对于第三种积分域(梯形域)，即r1≤L，所有空间积分可以计算如下：
(2)再对τ积分积分过程可能会遇到波前奇异性，如果其中的波前奇异性在对r积分时出现了空间奇异性，那么这个奇异性就是双重奇异性。
Aw5＝cw(t-t1)
Aw6＝cw(t-t2)
(1)矩形域，即r1≥L时，所有时间积分可以计算如下：
(2)混合域积分，需要分两种情况分析。
①当τ∈[t1，tLw)时是矩形域，只需将(1)中积分上限t2全部由tLw替换即可。
②当τ∈[tLw，t2]时是梯形域，只需将(3)中积分下限值t1全部由tLw替换即可。
当t2＝t时，Ii，Ij和Ie产生了时间上的奇异性，计算原积分的Hadamad主值：
Iew1＝-γw(Aw5-L)
(3)梯形域，即r1≤L时，积分计算如下：
当t2＝t时，Ii，Ij和Ie产生了时间上的奇异性，计算原积分的Hadamad主值：
Iiw1＝Iew1＝-1
Iiw2＝Iew2＝-Aw5γwln(t-t1)+1
上述三种情况中，t2≠t时：
t2＝t时：
上式求取了Riemann积分，属弱奇异积分；
所有奇异单元的时-空间积分系数都已求出。这些积分公式在数学上都是严格成立的，因此不会引入任何误差，并且公式相对来说较简便，将得到的结果可以直接代入和计算。需要注意的是，时-空间积分系数的计算结果针对的是某一特定时-空间单元，因此在计算和时，需要在时间和空间单元上进行组装。
本发明提供的一种基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法，对于两种不同波速可以在时空坐标系单独进行考虑。采用奇异分离法处理影响影响系数奇异子矩阵元素。能够方便地将奇异积分分离为非奇异部分积分和奇异积分部分，方便奇异积分处理。处理奇异积分采用了有限积分法，如果对奇异积分直接求取结果是行不通的，对于时间和空间上出现的强奇异积分采用有限积分法计算，并且对于奇异积分的奇异部分积分的处理不再采用非奇异积分处理时采用的先积时间后空间的积分顺序，变换积分顺序后重新进行积分，计算量大大减少，积分结果也变得简便很多，可提高时域边界元处理弹性动力学问题的计算精度和效率。
以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演或替换，都应当视为属于本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法，其特征在于，包括以下步骤：
首先，通过奇异分离法处理奇异子矩阵元素，采用线性单元进行离散时，将所有变量转变为对r的函数，将形函数N1、N2，及线元dΓ用dr来表示，则对角线元素为：
<mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;pi;&amp;rho;c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>;</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <msup> <mi>L</mi> <mi>e</mi> </msup> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>s</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>d</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>r</mi> <msup> <mi>L</mi> <mi>e</mi> </msup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
——tm瞬时e单元第1点位移对p点位移的影响系数；
Le——单元的长度；
ρ——材料密度；
cs——剪切波波速，
cd——压力波波速；
μ——剪切模量；
λ——拉梅常数；
r——源点与场点之间的距离；
<mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;mu;</mi> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>3</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mo>,</mo> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>w</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mover> <mrow> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>m</mi> </msub> </msubsup> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msubsup> <mi>L</mi> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <msub> <mi>H</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>;</mo> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>w</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mi>m</mi> </msub> </msubsup> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>N</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>;</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>;</mo> </mrow>
将式(1)分成奇异部分和非奇异部分，表达式如下：
<mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;pi;&amp;rho;c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <msubsup> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>;</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <msup> <mi>L</mi> <mi>e</mi> </msup> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>s</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>d</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mn>2</mn> <msubsup> <mi>&amp;pi;&amp;rho;c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mover> <mi>h</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <msubsup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>;</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <msup> <mi>L</mi> <mi>e</mi> </msup> </msubsup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>s</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>s</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>d</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>d</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mfrac> <mi>r</mi> <msup> <mi>L</mi> <mi>e</mi> </msup> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在计算公式(2)时，建立关于r-τ的时空坐标系，
取r1＝cw(t-t1)，r2＝cw(t-t2)，rτw＝cw(t-τ)，tLw＝t-r/cw；
横轴τ表示脉冲作用于该单元结点的时间，纵轴r表示脉冲作用节点到计算点的距离，直线r＝L表示边界单元的长度，由于只在本单元计算，限定了积分上限，[t1，t2]表示一个时间单元；斜直线r＝cw(t-τ)表示τ时刻从场点Q发出的脉冲在t时刻将要到达源点P，在源点P存在波前奇异性；斜直线r＝cw(t-τ)上方表示脉冲未传播到的区域(r>cw(t-τ)且r<L)，对源点P的响应无任何影响，不予考虑；斜直线r＝cw(t-τ)下方表示脉冲已传过的区域(r<cw(t-τ)且r<L)；
根据r1、r2与L的相对位置关系，将积分域分成三种可能的积分域进行讨论；当r1≥L且r2≥L时，在r-τ的坐标系内是矩形域，为第一种积分域；当r1>L且r2<L时，在r-τ的坐标系内是混合域，为第二种积分域；当r1≤L且r2≤L时，在r-τ的坐标系内是梯形域，为第三种积分域；由于三种积分域适合先r的积分，后τ的积分，因此与前面非奇异元素求解有所不同；
(1)先对r积分对r积分的过程中可能会遇到空间奇异性和波前奇异性；
对于第一种积分域，即矩形域，即r2≥L，所有空间积分可以计算如下：
<mrow> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>L</mi> </msubsup> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>N</mi> <mi>w</mi> </msub> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>3</mn> </msup> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msubsup> <mi>L</mi> <mi>w</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msub> <mo>|</mo> <mi>L</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msubsup> <mi>L</mi> <mi>w</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msub> <mo>|</mo> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
下标中“u”表示积分上限值，“l”表示积分下限，下同；
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>L</mi> </msubsup> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msubsup> <mi>rL</mi> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </msub> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>0</mn> <mi>L</mi> </msubsup> </mrow>
对于第二种积分域，即混合域，即r2≤L且r1≥L。τ∈[t1，tLw)，是矩形域，按矩形域的方法计算；τ∈[tLw，t2]，是梯形域，按梯形域的方法计算；
对于第三种积分域，即梯形域，即r1≤L，所有空间积分可以计算如下：
<mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>w</mi> </mrow> </msub> </msubsup> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>N</mi> <mi>w</mi> </msub> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>3</mn> </msup> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msubsup> <mi>L</mi> <mi>w</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msub> <mo>|</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>w</mi> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>e</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>r</mi> </msubsup> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msubsup> <mi>rL</mi> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </msubsup> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mfrac> </mrow>
(2)再对τ积分积分过程可能会遇到波前奇异性，如果其中的波前奇异性在对r积分时出现了空间奇异性，那么这个奇异性就是双重奇异性；
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>L</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>L</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>L</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>L</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
(1)矩形域，即r1≥L时，所有时间积分可以计算如下：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Id</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Id</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Ie</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> 3
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Ie</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
(2)混合域积分，需要分两种情况分析；
①当τ∈[t1，tLw)时是矩形域，只需将(1)中积分上限t2全部由tLw替换即可；
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Id</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </mrow> </msub> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </mrow> </msub> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mfrac> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Id</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </mrow> </msub> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Ie</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </mrow> </msub> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>L</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Ie</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </mrow> </msub> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mi>L</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
②当τ∈[tLw，t2]时是梯形域，只需将(3)中积分下限值t1全部由tLw替换即可；
<mrow> <msub> <mi>Id</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>Id</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>Ie</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mi>w</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mi>L</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> 4
<mrow> <msub> <mi>Ie</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mi>L</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
当t2＝t时，Ii，Ij和Ie产生了时间上的奇异性，计算原积分的Hadamad主值：
Iew1＝-γw(Aw5-L)
<mrow> <msub> <mi>Ie</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>L</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
(3)梯形域，即r1≤L时，积分计算如下：
<mrow> <msub> <mi>Id</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>Id</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>Ie</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>Ie</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>e</mi> <mi>w</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>w</mi> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow>
当t2＝t时，Ii，Ij和Ie产生了时间上的奇异性，计算原积分的Hadamad主值：
Iiw1＝Iew1＝-1
Iiw2＝Iew2＝-Aw5γwln(t-t1)+1
上述三种情况中，t2≠t时：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Id</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>c</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mo>|</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Id</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>c</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>w</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
t2＝t时：
<mrow> <msub> <mi>Id</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>t</mi> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
上式求取了Riemann积分，属弱奇异积分；
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>Id</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mi>t</mi> </msubsup> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>d</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Psi;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>d</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>c</mi> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&amp;gamma;</mi> <mi>s</mi> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> 5
所有奇异单元的时-空间积分系数都已求出，将得到的结果直接代入和计算，以提高时域边界元处理弹性动力学问题的计算精度和效率。
2.根据权利要求1所述的基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法，其特征在于：在计算和时，需要在时间和空间单元上进行组装。
CN201710586507.3A 2017-07-18 2017-07-18 基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法 Pending CN107480338A (zh)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN201710586507.3A CN107480338A (zh) 2017-07-18 2017-07-18 基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN201710586507.3A CN107480338A (zh) 2017-07-18 2017-07-18 基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法

Publications (1)

Publication Number Publication Date
CN107480338A true CN107480338A (zh) 2017-12-15

Family

ID=60594945

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
CN201710586507.3A Pending CN107480338A (zh) 2017-07-18 2017-07-18 基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法

Country Status (1)

Country Link
CN (1) CN107480338A (zh)

Cited By (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN108376187A (zh) * 2018-01-19 2018-08-07 中国人民解放军92859部队 一种海域流动点外部扰动引力垂向分量的无奇异计算方法

Cited By (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN108376187A (zh) * 2018-01-19 2018-08-07 中国人民解放军92859部队 一种海域流动点外部扰动引力垂向分量的无奇异计算方法
CN108376187B (zh) * 2018-01-19 2021-09-10 中国人民解放军92859部队 一种海域流动点外部扰动引力垂向分量的无奇异计算方法

Similar Documents

Publication Publication Date Title
Casulli Semi-implicit finite difference methods for the two-dimensional shallow water equations
Luce et al. A local a posteriori error estimator based on equilibrated fluxes
Cristoforetti et al. An efficient method to compute the residual phase on a Lefschetz thimble
Urquiza et al. Weak imposition of the slip boundary condition on curved boundaries for Stokes flow
Dragomir Some inequalities for relative operator entropy
CN107480338A (zh) 基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法
Xiang On the Cauchy problem for the compressible Hall-magneto-hydrodynamics equations
Shen et al. A defect correction scheme for finite element eigenvalues with applications to quantum chemistry
Metsis et al. A new hierarchical partition of unity formulation of EFG meshless methods
El-Ashwah et al. Some properties of new integral operator.
Sonar Classical finite volume methods
Lin et al. A posteriori error estimates for finite volume method based on bilinear trial functions for the elliptic equation
US9600901B2 (en) Video tracker having digital signal processor
JP2021502575A5 (zh)
Mohanty et al. A new fourth-order compact off-step discretization for the system of 2D nonlinear elliptic partial differential equations
Mishra Darboux chart on projective limit of weak symplectic Banach manifold
Butcher The cohesiveness of G-symplectic methods
Schedlmeier Cartier crystals and perverse constructible\'etale $ p $-torsion sheaves
Zhang et al. The derivative patch interpolation recovery technique and superconvergence for the discontinuous Galerkin method
Horváth et al. Implicit a posteriori error estimation using patch recovery techniques
Levitin Vibrations of a viscous compressible fluid in bounded and unbounded domains
Schwartz et al. A second-order accurate method for solving the signed distance function equation
Raslan et al. A comparison between the variational iteration method and adomian decomposition method
Nieto et al. Green’s function for the periodic boundary value problem related to a first-order impulsive differential equation and applications to functional problems
Harig et al. Localized High-Latitude Inversion of GRACE Level-1 Data Using Slepian Functions

Legal Events

Date Code Title Description
PB01 Publication
PB01 Publication
SE01 Entry into force of request for substantive examination
SE01 Entry into force of request for substantive examination
RJ01 Rejection of invention patent application after publication

Application publication date: 20171215

RJ01 Rejection of invention patent application after publication