CN107423671A - 一种基于成分向量的经验模态分解高频数据的降噪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种估计数据噪声水平的方法，所述方法包括步骤：(1)使用经验模态分解将含噪声的原始高频数据分解成有限个本征模态函数和残余项；(2)对所述本征模态函数进行Hilbert变换，得到它们的瞬时振幅和瞬时能量，将本征模态函数的瞬时能量看作为给定时间的基向量；(3)根据成分向量的定义从所述基向量得到成分向量；(4)利用成分数据的统计特性的优势来分析每个本征模态函数的瞬时能量占比；(5)置信区间表示相应的本征模态函数所具有的能量占总能量百分比的置信区间，由此通过判断置信区间的上限和下限来判断该本征模态函数的能量占比比重，然后通过设定阈值来将噪声分量分离出来。

Description

一种基于成分向量的经验模态分解高频数据的降噪方法

技术领域

本发明属于高频数据处理领域，更具体而言，本发明涉及数据降噪的方法。

背景技术

在实际数据分析中，噪声不可避免。同时，噪声成为干扰数据分析精度的明显瓶颈。经验模态分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)方法(Huang et al.1998)有良好的降噪性能。经验模态分解可以自适应地将复杂时间序列数据分解成不同频率的有限个本征模态函数(Instrinsic Mode Function，IMF)和残余项。因此，它是分析非线性、非平稳信号序列有效工具，它被证明可有效使用本征模态函数的特性进行信号降噪。然而，EMD无法准确地区分含有信号与噪声的本征模态函数，使用这些模态可能导致噪声水平估计的不准确(Boudraa et al.2004)。因此，本领域中需要准确鉴定噪声组分并将其有效去除以实现降噪的方法。

已有大量前人研究来基于本征模态函数的特征解决降噪问题，形成了许多有效的方法。Huang et al.(2004)构建了白噪声的能量密度分布区间，以确定哪些本征模态函数是噪声组分。此外，Wu et al.(2009)提出了集合经验模态分解(Ensemble Empirical ModeDecomposition,EEMD)，以改进原始经验模态分解的模态混淆问题。Chen et al.(2012)将EEMD和小波阈值降噪方法组合来去除噪声。另外，Yeh et al.(2010)提出了互补集合经验模态分解(Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition,CEEMD)，将本征模态函数中残余噪声去除。

然而，其他本征模态函数仍然包含噪声组分。使用这些模态可能导致噪声水平估计的不准确。Sun et al.(2010)利用相关系数来选择噪声组分。目前，已有一些研究结合经验模态分解方法用于从信号组分中辨别噪声，例如奇异值分解(Jiang et al.2015)、去趋势波动分析(Ghanati et al.2015)和Savitzky-Golay过滤(Zhang et al.2011)。然而，这些方法仍具有短板，一些有用的信号也被去除了。

因此，本领域需要一种准确估计噪声水平的方法。

发明内容

本发明提出一种准确估计噪声水平的新方法，使用成分数据的统计特性和经验模态分解分析。本发明结合成分数据的统计特性和希尔伯特-黄变换(Hilbert-HuangTransform,HHT)进行经验模态分解噪声组分的鉴定。

因此，本发明提供了一种估计数据噪声水平的方法，所述方法包括步骤：

(1)使用经验模态分解将含噪声的原始高频数据分解成有限个本征模态函数和残余项；

(2)对所述本征模态函数进行Hilbert变换，得到它们的瞬时振幅和瞬时能量，将本征模态函数的瞬时能量看作为给定时间的基向量；

(3)根据成分向量的定义从所述基向量得到成分向量；在成分向量中，每个元素代表在该给定时间每个本征模态函数的能量占总能量的百分比，以此方式得到成分向量的集合；

(4)利用成分数据的统计特性的优势来分析每个本征模态函数的瞬时能量占比，得到成分向量的置信区间；比较每个成分向量的能量部分，获得每个本征模态函数对总能量的贡献；

(5)置信区间表示相应的本征模态函数所具有的能量占总能量百分比的置信区间，由此通过判断置信区间的上限和下限来判断该本征模态函数的能量占比比重，然后通过设定阈值来将噪声分量分离出来。

在一个实施方案中，将阈值设置为先判定能量占比最大的本征模态函数，得到最大的置信区间，然后置信区间的阈值为：置信上限为该最大置信上限的十分之一，置信下限为该下限的十分之一，由此得到置信区间的阈值，如果其余的本征模态函数的置信区间为该置信区间阈值的子集，则可判别该本征模态函数为噪声分量，否则为信号分量，由此可以从信号中有效除去噪声组分。

在一个实施方案中，步骤(1)中，信号s(t)被分解成多个本征模态函数和残余项

在一个实施方案中，步骤(2)中，在对每个本征模态函数组分进行Hilbert变换，获得数据的能量-频率-时间分布。

在一个实施方案中，步骤(1)中，所述数据是经济学中高频数据，例如股市数据、黄金数据、外汇数据等。

本发明建立了一个模型来模拟真实经济现象，证明了本发明的方法的有效性。另外，本发明人将该新方法应用于分析国际现货黄金价格。结果显示，当除去噪声干扰时，金价的趋势曲线更加平滑。更准确地，有效且专业的方法，鉴定噪声组分，提供了更好的发展数据分析的方法，突破了传统方法的限制。

附图说明

通过以下附图对本发明进行说明

图1示出了模拟的信号随时间的波动：(a)原始数据的时序图，(b)通过经验模态分解将原始数据分解成3个本征模态函数和残余项。

图2加入高斯白噪声的模拟数据的波动图。

图3通过经验模态分解将加入干扰的信号分解成10个本征模态函数和残余项。

图4除去噪声组分干扰的信号的波动图。

图5国际现货黄金价格的周收盘价随时间作图。

图6国际现货黄金价格的经验模态分解组分。

图7除去噪声组分的国际现货黄金价格的波动。

具体实施方式

在一个实施方案中，按照如下实施本发明。

1.Hilbert-Huang变换

对信号进行Hilbert-Huang变换(Hilbert-Huang Transform,HHT)。HHT分为两步：经验模态分解和Hilbert谱分析(Hilbert Spectrum Analysis,HSA)。经验模态分解可以将含噪声的信号分解成多个本征模态函数和残余项。

对于信号s(t)，筛分过程如下：找到s(t)的局部极大点和局部极小点，将所有局部极大点和局部极小点连接起来得到上包络线和下包络线，平均值如下：

式中e₊是上包络线；e_-是下包络线；

计算原始信号与平均值的差，为第一组分：

h₁＝s(t)-m₁ (2)

式中t是时间维度；s(t)是t时刻的信号值；

本征模态函数须满足如下两个条件：1)在整个数据集中，该函数的局部极值点与过零点的数目相等或相差1个；2)由局部极大值定义的上包络线与由局部极小值定义的下包络线的平均值为0。

如果h₁符合本征模态函数的定义，则h₁为第一个本征模态函数，否则重复上述步骤，h₁视为信号：

h_1,1＝h₁-m_1,1 (3)

重复筛分过程k次：

h_1,k＝h_1,k-1-m_1,k (4)

确定停止筛分过程的标准，保证本征模态函数组分保持频率有物理意义：

式中t是时间维度，SD通常设置在0.2-0.3；

h_1,k表示为

c₁＝h_1,k (6)

因此，从原始数据分离出了第一个本征模态函数组分c₁，c₁包含信号中最大频率组分或最短周期组分。

然后，通过减去c₁获得残余组分：

r₁＝s(t)-c₁ (7)

因为残余组分r₁包含更长周期组分，将其作为新的信号，进行相同的筛分过程，筛分过程停止条件：残余组分r_n变成单调函数或者变成常数。

最后，获得从高到低的多个频率范围的多个本征模态函数和残余项，上述过程可以获得

这里将信号分解成n个本征模态函数和残余项r_n，残余项r_n是单调函数或常数。

如上所述，经验模态分解是自适应的、基于经验的数据分析方法。这些本征模态函数来自原始数据，可以反映根据时间尺度的应用数据特征，它们是完全或几乎完全正交的，这些本征模态函数符合Hilbert变换所需要满足的条件，然后进行Hilbert变换，获得本征模态函数的瞬时能量，其中经验模态分解的组分通常有物理意义。

通过如上文所述的经验模态分解方法将信号分解成多个本征模态函数。在对每个本征模态函数组分进行Hilbert变换，获得本征模态函数的能量-频率-时间分布，提供了合理的瞬时振幅和瞬时频率。

从上文可知，信号被分解成多个本征模态函数和残余项

在对本征模态函数进行Hilbert变换后，得到：

式中，a_i(t)表示的是瞬时幅值，ω_i(t)表示的是瞬时频率，这里省掉了残余r_n，它是单调函数或常数，j是虚数单位，且j²＝-1；上式称为X(t)的Hilbert谱，记为H(ω,t)，表示的是本征模态函数的幅值的频率-时间分布，瞬时能量密度水平IE可以定义为

IE＝∫_ωH²(ω,t)dω (10)

H(ω,t)是Hilbert谱；IE表示本征模态函数在给定时间的具体瞬时能量，它可以用于检查能量波动，本征模态函数的瞬时能量被看作为给定时间的基向量。

2成分数据分析

在经验模态分解分解后，噪声和有用信号具有不同的谱特征，设e_i(t)为每个本征模态函数的能量密度：

e_i(t)＝IE_i(t) (24)

式中IE_i(t)是第i个本征模态函数在t时刻的瞬时能量；

这里可以将所述n-1个本征模态函数和残余项的瞬时能量看作在给定时间的基向量：e＝(e₁,e₂,……e_n)，每个元素是非负数。

设e为每个元素之和

e＝e₁+e₂+……+e_n (25)

那么

因此，对于每个本征模态函数，x_i(t)可以表述为时间域(Time Domain)中能量分布的比，表示每个本征模态函数在给定的时间点有具体的能量百分比；然后得到能量百分比随时间的变化，x(t)＝(x₁(t),x₂(t),……,x_n(t),)，其中x_i(t)可以看作为成分向量，也就是说x_i(t)具有成分向量的统计特性。

确定e＝(e₁,e₂,……,e_n)的期望值和方差如下：

Var(e)＝(Cov(e_i,e_j))＝Ω_(n×n),i,j＝1,2,……,n (28)

因为对于本征模态函数，其能量的变化直接影响总能量的值，所以成分向量x与总量t之间具有非独立性，这里，t＝e₁₊e₂+…+e_n表示的是基向量的每个元素的总和，称为总量。基于大样本性质，可以得到成分向量的期望值和方差e＝(e₁,e₂,……,e_n)如下：

这里的表示的是当n→∞时的渐近公式。

通过上式(29)可以导出成分向量的期望值和方差，标准差是方差的平方根，然后得到成分向量的置信区间Chen et al.(2010)的研究。

进一步地，可以得到成分向量的95％置信区间，置信区间表示能量部分的期望值落入该区间的可能性。与之前本征模态函数的能量算法(Boudraa et al.2007)不同，本发明的算法显示了全局能量分布。Boudraa et al.(2007)提出了不需要x(t)的任何知识的连续均方根差(Consecutive Mean Square Error，CMSE)。CMSE被简化成第k个本征模态函数的能量。这里，本征模态函数的能量依赖于样本。本发明通过对每个本征模态函数进行Hilbert变换，提供了能量分布的置信区间。通过分析样本的能量分布，可以得到全局置信区间。可以准确地描述总能量部分。因此，本征模态函数的能量部分依赖于期望值和相应置信区间的大小。噪声组分主要分布在高频区间中，并且与信号组分无能量关系。因此，与不同本征模态函数和设定合理的阈值之间的期望值的大小相比，可以准确地从信号中鉴定噪声组分，实现降噪。最后，通过对本征模态函数降噪重新构建信号x(t)。

在本发明中，成分数据分析原理解释如下：

成分数据研究的是整体中各部分所占比重的问题。在数学表示中，p-part成分数据表示为x＝[x1,x2,...,x_p]，所谓的单位-总数限制(Unit-Sum Constraint)，即

x_j>0,(j＝1,2,…,p)和

进行成分数据分析中成分向量的期望值和方差的估计，设w＝(w₁,……,w_p)′是一组基向量，每个w_i被定义为正：

Var(w)＝(Cov(w_i,w_j))＝Ω_(p×p) (13)

式中Ew是基向量的期望值；Var是基向量的方差；μ和Ω_(p×p)分别是期望值和方差的简写。

成分向量为x＝(x₁,x₂,...,x_p)′，

x_i＝w_i/(w₁+...+w_p)＝w_i(1′w)-¹,i＝1,2,……,p (14)

t为基向量中每个元素之和为，表示为：t＝w₁+...+w_p，称为总量。

成分向量x与总量t存在两种情况：独立和非独立。

首先，讨论独立的情况。

定义

Ew＝E(tx)＝EtEx (15)

其中t是基向量中每个元素的总和，称为总量；x是成分向量；E(tx)是基向量的期望值；Et是总量的期望值；Ex是成分向量的期望值。

根据上述等式，得到

Ex＝Ew/Et＝μ_i/(μ₁+...+μ_p)＝μ_i/1′μ,i＝1,2,……,p (16)

同时还得到方差

Ω＝Et²xx′-(Et)²ExEx′ (17)

因为

Var(t)＝Cov(1^/w,1^/w)＝1^/Var(w)1＝1^/Ω1 (18)

Et²＝E(1^/W)²＝Var(t)+(Et)²＝1^/Ω1+(1^/μ)² (19)

因此

以此方式得到成分向量的期望值和方差：

接下来，讨论非独立的情形。

这里是基于大样本性质。设w＝(w₁,……,w_p)′是一组基向量，Ew＝μ，Var(w)＝Ω，x_i＝w_i/(w₁+...+w_p),i＝1,2,……,p。

f对于大样本，令

f_i(w₁,w₂,....,w_p)＝w_i/(w₁+…+w_p),i＝1,2,...,p (22)

计算f_i对w_i的一阶偏导数，可以获得成分向量x_i的期望值和方差：

这里的表示的是当n→∞时的渐近公式。

3实施例1——数值实验

我们可以将时间序列分解成加性模型中的长期趋势、周期性变化(季节性变化和周期性变化)和无规律波动。在本发明中，发明人进行了如下的数值模拟：

x＝0.5t+sin(πt)+sin(2πt)+sin(6πt) (30)

式(30)中，模拟的信号不包含噪声。长期趋势表示为x₁＝0.5t，周期性变化为x₂＝sin(πt)，x₃＝sin(2πt)，x₄＝sin(6πt)，分别以2、1、1/3个周期进行循环。样本数量为10000。图1示出了模拟的信号随时间的波动。原始数据x(t)包含在不同频率下运行的多组(图1(a))将x(t)分解成3个本征模态函数组分和残余组分(图1(b))。

接下来，发明人模拟了加入干扰的数据。将高斯白噪声以1dB SNR加入原始数据，N_T将设定为9001。(图2)。然后，将加入干扰的信号分解成如下图3的多个本征模态函数。

如图3所示，通过经验模态分解将加入干扰的数据分解成10个本征模态函数和残余项。根据式(30)对每个本征模态函数计算瞬时能量部分占比的期望值和方差。因此，得到加入干扰的数据中的成分向量的统计特性(表1)。

表1加入干扰的数据中成分向量的统计特性

每一行表示本征模态函数。第二列是成分向量的期望值，它表示每个本征模态函数占总能量的平均百分数；第三列是成分向量的标准差，它表示每个本征模态函数的能量占比的离散程度；第四列是成分向量的置信区间，它表示的是期望值的置信区间。结果表明不同本征模态函数有不同的值。因为每个本征模态函数具有其物理平均值，它的瞬时能量随时间也有不同变化。残余项具有最大期望值，这意味着它的瞬时能量具有最大值，置信区间为0.5145-0.5233。这表明，残余项的能量占比的均值对于总体以95％的可能性落入该区间。如果仅仅通过它们的频率确定哪些本征模态函数主要包含噪声组分，它可能会出现错误的判断。本发明中，发明人观察到哪个组分具有较低的瞬时能量，这意味着它主要包含噪声组分。首先，发明人关注本征模态函数6，它的期望值和标准差是0.0053和0.0071，它的95％置信区间范围是0.0051-0.0054。因为每个期望值代表每个本征模态函数的能量占比，可以确定每个本征模态函数的能量大小。与其他本征模态函数相比，本征模态函数6的期望值最小。这表明，本征模态函数6所具有的能量最小。因此，本征模态函数6主要包含噪声组分。对于这一点，Boudraa et al.(2007)定义它为来自扩展的数值实验的能量中的第一个突变点。他将它看作为分界点。将该突变点之前的本征模态函数看作为噪声分量，不被用在信号重建中。但该方法的表现不稳定(Wang 2010)。在本发明中，发明人设定可以确定哪些本征模态函数主要包含噪声组分的阈值。根据Lin et al.(2008)，发明人设定置信区间的阈值为最大百分数的十分之一。置信上限可以设定为本征模态函数具有最大期望值的置信上限的十分之一。以相似的方式，置信下限可以设定为置信下限的十分之一。对于这些数值实验，残余项的能量占比具有最大值。因此，置信区间的阈值可以设定为[0.0515,0.0523]。在本发明中，当每个本征模态函数的置信区间是[0.0515,0.0523]的子集的时候，可以设定它为0，不用于信号重构。发明人发现，包括2、3、4、5、6和10在内的本征模态函数组分具有较低的百分数，由此可以判断这些本征模态函数主要含有噪声成分，其余的本征模态函数主要含有信号成分。因此，发明人将含有信号成分的本征模态函数进行重构。最后，发明人使用此方式除去噪声组分来提高信号纯度。

在本发明中，从加入干扰的信号除去的本征模态函数组分主要包含噪声组分。最后，可以对除去噪声组分干扰的信号波动进行作图。见下图，其中噪声的影响显著降低。

最后，发明人将本发明的方法的降噪效果与文献(Li 2012)中使用的传统方法进行了对比：小波阈值降噪方法包括二阶、四阶和八阶软阈值，并设定属于Daubechies的db5为小波基函数。Li(2012)认为，小波阈值降噪具有比其他降噪方法更好的降噪性能，例如Fourier变换和Kalman过滤。另外，可以比较另一降噪方法：中值滤波(Huang et al.2006)，该方法中移动窗口长度设定为5时对1-D具有优秀的降噪性能。使用均方根差(Root MeanSquare Error,RMSE)和降噪的信噪比(Denoised Signal to Noise Ratio,DSNR)的结果显示于表2中。SNR越大，降噪效果越好，数据中的噪声越少。RMSE较小时，降噪效果更好。因此，本发明的方法比其他传统方法更有效。

表2不同降噪方法的效果

4实施例2——国际现货黄金价格的收盘价分析

接下来使用本发明的方法分析国际现货黄金价格的收盘价。数据包含1992年5月22日至2013年9月6日的国际现货黄金价格的周收盘价(Chen 2015)。所有数据获自WindInfo数据库。数据集中总共有1112个数据点。

图5显示，随时间的财务数据显示出长期趋势和短期波动。通过使用经验模态分解将数据分解成7个本征模态函数和残余项(图6)。然后，通过使用成分数据的统计特性计算瞬时能量的百分数，以得到成分向量。最后，发明人得到95％置信区间。观察这些结果，发明人可以确定哪个本征模态函数的能量占比更大。结果在下表中列出。

表3成分向量的统计特性

根据DSNR方法，噪声组分具有更低能量。通过观察上表，属于高频组分的那些本征模态函数属于较低能量，而包括本征模态函数7和残余的低频组分具有更高的能量。残余项具有最高能量部分，置信区间为0.7236至0.7321。这意味着，残余项是金价波动的主要因素。使用数值实验的降噪方法，可以设定置信区间的阈值是从0.0724至0.0732。除去包括1、2、3、4、5和6在内的本征模态函数。除去噪声组分，得到图7。

很明显，本发明的方法可以消除噪声干扰。接下来，发明人构建了传统经济模型自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,ARIMA)，以预测国际现货黄金价格。将本发明的方法与中值滤波、小波降噪方法的预测准确性进行比较。结果使用预测价格和真实价格之间的相对误差，显示于表4中。如表4中所示的，本发明的方法优于其他方法。

表4国际现货黄金价格的预测价格及相对误差

Claims (10)

1.一种估计数据噪声水平的方法，所述方法包括步骤：

(1)使用经验模态分解将含噪声的原始高频数据分解成有限个本征模态函数和残余项；

(2)对所述本征模态函数进行Hilbert变换，得到它们的瞬时振幅和瞬时能量，将本征模态函数的瞬时能量看作为给定时间的基向量；

(3)根据成分向量的定义从所述基向量得到成分向量；在成分向量中，每个元素代表在该给定时间每个本征模态函数的能量占总能量的百分比，以此方式得到成分向量的集合；

(4)利用成分数据的统计特性的优势来分析每个本征模态函数的瞬时能量占比，得到成分向量的置信区间；比较每个成分向量的能量部分，获得每个本征模态函数对总能量的贡献；

(5)置信区间表示相应的本征模态函数所具有的能量占总能量百分比的置信区间，由此通过判断置信区间的上限和下限来判断该本征模态函数的能量占比比重，然后通过设定阈值来将噪声分量分离出来。

2.根据权利要求1的方法，在所述步骤(5)中，将阈值设置为先判定能量占比最大的本征模态函数，得到最大的置信区间，然后置信区间的阈值为：置信上限为该最大置信上限的十分之一，置信下限为该下限的十分之一，由此得到置信区间的阈值，如果其余的本征模态函数的置信区间为该置信区间阈值的子集，则可判别该本征模态函数为噪声分量，否则为信号分量，由此可以从信号中有效除去噪声组分。

3.根据权利要求1的方法，在所述步骤(1)中，信号s(t)被分解成多个本征模态函数和残余项

。

4.根据权利要求1的方法，在所述步骤(2)中，在对每个本征模态函数组分进行Hilbert变换，获得数据的能量-频率-时间分布。

5.根据权利要求3的方法，对于信号s(t)，筛分过程如下：找到s(t)的局部极大点和局部极小点，将所有局部极大点和局部极小点连接起来得到上包络线和下包络线，平均值如下：

式中e₊是上包络线；e_-是下包络线；

计算原始信号和平均值的差，为第一组分：

h₁＝s(t)-m₁ (2)

式中t是时间维度；s(t)是t时刻的信号值；

本征模态函数须满足如下两个条件：1)在整个时间范围内，该函数的局部极值点与过零点的数目相等或相差1个；2)由局部极大值定义的上包络线与由局部极小值定义的下包络线的平均值为0，

如果h₁符合本征模态函数的定义，则h₁为第一个本征模态函数，否则重复上述步骤，h₁视为信号：

h_1,1＝h₁-m_1,1 (3)

重复筛分过程k次：

h_1,k＝h_1,k-1-m_1,k (4)

确定停止筛分过程的标准，保证本征模态函数组分保持频率有物理意义：

式中t是时间维度，SD的区间为0.2-0.3；

h_1,k表示为

c₁＝h_1,k (6)

因此，从原始数据分离出了第一个本征模态函数组分c₁。c₁包含信号中最大频率组分或最短周期组分；

然后，通过减去c₁获得残余组分：

r₁＝s(t)-c₁ (7)

因为残余组分r₁包含更长周期组分，将其作为新的信号，进行相同的筛分过程，筛分过程停止条件：残余组分r_n变成单调函数或者变成常数；

最后，获得从高到低的多个频率范围的多个本征模态函数和残余项，上述过程可以获得

这里实现将信号分解成n个本征模态函数和残余项r_n，残余项r_n是单调函数或常数。

6.根据权利要求4的方法，在对本征模态函数进行Hilbert变换后，得到：

式中，a_i(t)表示的是瞬时幅值，ω_i(t)表示的是瞬时频率，这里省掉了残余r_n，它是单调函数或常数，j是虚数单位，且j²＝-1；

上式称为X(t)的Hilbert谱，记为H(ω,t)，表示的是本征模态函数幅值的频率—时间分布函数。瞬时能量密度水平IE可以定义为

IE＝∫_ωH²(ω,t)dω (10)

H(ω,t)是Hilbert谱；IE表示本征模态函数在给定时间的具体瞬时能量。

7.根据权利要求1的方法，在所述步骤(4)中，在经验模态分解分解后，噪声和有用信号具有不同的能量特征，设e_i(t)为每个本征模态函数的能量密度：

e_i(t)＝IE_i(t) (24)

式中IE_i(t)是第i个本征模态函数在t时刻的瞬时能量；

将所述n-1个本征模态函数和残余项的瞬时能量看作在给定时间的基向量：e＝(e₁,e₂,……e_n)，每个元素是非负数，

设e为每个元素之和

e＝e₁+e₂+……+e_n (25)

那么

因此，对于每个本征模态函数，x_i(t)可以表述为时间域(Time Domain)中能量分布的比，表示每个本征模态函数在给定的时间点有具体的能量百分比；然后得到能量百分比随时间的变化，x(t)＝(x₁(t),x₂(t),……,x_n(t),)，其中x_i(t)可以看作为成分向量，也就是说x_i(t)具有成分向量的统计特性。

8.根据权利要求7的方法，确定e＝(e₁,e₂,……,e_n)的期望值值和方差如下：

Var(e)＝(Cov(e_i,e_j))＝Ω_(n×n),i,j＝1,2,……,n (28)

因为对于本征模态函数，其能量的变化直接影响总能量的值，所以成分向量x与总量t之间具有非独立性，这里，t＝e₁₊e₂+…+e_n表示的是基向量的每个元素的总和，即总量，基于大样本性质，可以得到成分向量的期望值和方差如下：

这里的表示的是当n→∞时的渐近公式，

通过上式(29)可以导出成分向量的期望值和方差。

9.根据权利要求1的方法，在所述步骤(1)中，所述数据是经济学中高频数据。

10.根据权利要求1的方法，经济学中高频数据是股市数据、黄金数据、外汇数据。