CN107346985A - 一种结合发射天线选择技术的干扰对齐方法 - Google Patents

一种结合发射天线选择技术的干扰对齐方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种结合发射天线选择技术的干扰对齐方法，旨在解决现有基站和用户两侧的天线数量出现了严重不均衡的技术问题。本发明的天线选择方法是基于发射天线选择，充分地利用了基站的天线数量，且无需增加用户侧的天线数量，从而对天线数量进行了良好的调度，进而解决了现有方法基站和用户两侧的天线数量出现了严重不均衡的技术问题；此外，本发明的干扰对齐方法能够有效地消除无线通信网络中的干扰，无需在用户侧和基站配置多余的天线，从而降低了设备成本。

Description

一种结合发射天线选择技术的干扰对齐方法
技术领域
本发明属于无线通信技术领域，更具体地，涉及一种结合发射天线选择技术的干扰对齐方法。
背景技术
目前，在无线通信技术领域中，干扰对齐技术已经被广泛采用，用于消除无线通信网络中的干扰。
目前大多数干扰对齐方法主要是针对信道状态信息反馈、干扰对齐的复杂度计算、容量分析、算法设计，但是鲜有考虑基站和用户两侧实际天线数目对干扰对齐性能的影响。
然后，现有干扰对齐方法存在一些不可忽略的技术问题：由于用户侧设备体积、功耗等诸多因素的限制，只能配置少量的天线，而基站却伴随着大规模天线阵列的发展部署有大量的天线，这样基站和用户两侧的天线数量出现了严重不均衡的现象；此外，需要用户和基站都配置更多的天线以消除无线通信网络中的干扰，这会增加设备成本。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种发射天线选择技术的干扰对齐方法，其目的在于，解决现有基站和用户两侧的天线数量出现了严重不均衡的技术问题。
为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种结合发射天线选择技术的干扰对齐方法，包括以下步骤：
(1)计算每个小区基站z∈Z＝[1,2,...Z]配置的发射天线数量与小区目标用户k配置的接收天线之间形成的信道状态信息矩阵中每一列的F范数：其中Z表示小区基站的数量，hij表示矩阵中的列向量，矩阵是Nr行、Mt列，其中i的取值是1到Nr之间的自然数，j的取值是1到Mt之间的自然数，Nr表示每个基站配置的发射天线数量，Mt表示目标用户k配置的接收天线数量，k∈K＝[1,2,...,K]，K表示小区内的总用户数；
(2)针对小区基站z的Mt根天线而言，以遍历的方式寻找其中符合以下条件的天线s：
将寻找到的天线s从该小区基站的天线集合T[z,k]＝{1,2,...,Mt}中删除，并将该天线s加入到选择天线集合S[z,k]中，重复上述寻找过程Lt次，最终得到天线集合S[z,k]＝{1,2,...,Lt}，针对所有Z个基站重复上述过程，从而得到总天线集合Ω＝{S[1,k],S[2,k],...,S[Z,k]}，其中Lt是1到Mt之间的自然数；
(3)根据每个小区基站的天线集合确定在总天线集合Ω下各基站到小区目标用户的信道矩阵
(4)根据步骤(3)确定的信道矩阵对小区基站z中的用户k接收到的信号进行重新建模，以得到目标用户k从小区基站z接收到的有用信号、小区内不同用户之间的干扰、以及不同小区之间的干扰；
(5)根据步骤(4)所得到的目标用户k从小区基站z接收到的有用信号、小区内不同用户之间的干扰、以及不同小区之间的干扰分别获取期望信号矩阵S[z,k]、小区内用户间干扰矩阵C[j,k]和小区间干扰矩阵U[z,k]；
(6)根据步骤(5)得到的期望信号矩阵S[z,k]、小区内用户间干扰矩阵C[j,k]和小区间干扰矩阵U[z,k]获取初始目标优化函数：
其中V1,V2...,VZ表示U[z,k]中的列向量，s.t.表示约束条件。
(7)对步骤(6)得到的初始目标优化函数进行核范数和秩约束满秩约束估计处理，以得到最终目标优化函数。
优选地，步骤(4)具体是采用以下公式：
其中u[z,k]表示目标用户k所使用的干扰抑制矩阵，y[z,k]表示目标用户k接收到的由小区基站z发送的信号，v[z,k]表示基站z所用的预编码矩阵，x[z,k]表示小区基站z发送的原始信号，表示目标用户k受到的噪声干扰。
优选地，步骤(5)具体是采用以下公式：
其中表示对括号内的向量进行级联操作，S[z,k]为d×d的矩阵，C[j,k]为d×(Z-1)Kd的矩阵，U[z,k]为d×(K-1)d的矩阵。
优选地，步骤(7)具体为：
首先，引入干扰矩阵秩的凸包络函数：
表示函数f的凸包络；||A||*是矩阵A的核范数，矩阵A的最大奇异值满足max(σ(A))≤λ，σ(A)表示求矩阵A的奇异值，λ和μ为任意正数，blkdiag()表示以括号内的元素为对角所形成的对角矩阵；
然后，对初始目标优化函数中的约束条件进行凸优化：
λmin(S[z,k])≥ε
其中ε＞0为无穷小的正数，表示矩阵S[z,k]为埃尔米特半正定矩阵，λmin()表示求取括号内的最小特征值；
最后，根据凸包络函数和凸优化的结果得到最终目标优化函数：
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：
1、本发明的天线选择方法是基于发射天线选择，充分地利用了基站的天线数量，且无需增加用户侧的天线数量，从而对天线数量进行了良好的调度，进而解决了现有方法基站和用户两侧的天线数量出现了严重不均衡的技术问题；
2、本发明的干扰对齐方法能够有效地消除无线通信网络中的干扰，无需在用户侧和基站配置多余的天线，从而降低了设备成本。
附图说明
图1示出本发明发射天线选择技术的干扰对齐方法的系统模型；
图2是收发天线、选择的天线数分别为(Nr,Mt,Lt)＝(3,5,3)时，本发明方法与现有的最优天线选择算法、以及随机天线选择算法的比较；
图3是收发天线、选择的天线数分别为(Nr,Mt,Lt)＝(3,8,3)时，本发明方法与现有的最优天线选择算法、以及随机天线选择算法的比较；
图4是在一种天线配置的条件下，本发明方法与传统的OPS-RCRM-UC算法、RAS-RCRM-UC算法、以及RCRM-UC算法四者之间的性能比较；
图5是在另一种天线配置的条件下，本发明方法与传统的OPS-RCRM-UC算法、RAS-RCRM-UC算法、以及RCRM-UC算法四者之间的性能比较；
图6示出上述四种算法所获得的系统速率随信噪比大小的变化情况；
图7是本发明结合发射天线选择技术的干扰对齐方法的流程图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
本发明旨在研究下行蜂窝MIMO通信系统中的干扰对齐技术，系统模型图如图1所示，
常用的天线选择算法有穷举搜索算法、递减递增算法、以及基于信道矩阵最大Frobenius范数(Norm based antenna selection，简称NBS)算法。NBS天线选择算法的复杂度最低，性能接近最优算法。在大规模MIMO系统中，基站配置的天线数目通常几十、几百甚至几千根，此时若使用最优算法，会因为对每一种天线组合求解带来极大的计算量。本发明使用天线选择技术的初衷是为了更加充分地利用基站一侧的天线以联合增强干扰对齐的效果但又不明显增加系统实施复杂度，而基于F范数的天线选择算法复杂度低的优点正好满足人们的需求。
如图7所示，本发明结合发射天线选择技术的干扰对齐方法包括以下步骤：
(1)计算每个小区基站z∈Z＝[1,2,...Z]配置的发射天线数量与小区目标用户k配置的接收天线之间形成的信道状态信息矩阵中每一列的Frobenius范数(简称F范数)：
其中Z表示小区基站的数量，hij表示矩阵中的列向量，矩阵是Nr行、Mt列，其中i的取值是1到Nr之间的自然数，j的取值是1到Mt之间的自然数，Nr表示每个基站配置的发射天线数量，Mt表示目标用户k配置的接收天线数量，k∈K＝[1,2,...,K]，K表示小区内的总用户数；
如图2和图3所示为在不同天线数量的情况下，本发明选择的天线选择算法(即Frobenius范数方法)与现有的最优天线选择算法、以及随机天线选择算法的比较，在Matlab环境下搭建MIMO高斯衰落信道，选取2000个测试点在信噪比为[0-20]dB范围内进行测试，可以看出本发明的天线选择算法在计算复杂度较低的情况下，性能接近最优天线选择算法。
(2)针对小区基站z的Mt根天线而言，以遍历的方式寻找其中符合以下条件的天线s：
将寻找到的天线s从该小区基站的天线集合T[z,k]＝{1,2,...,Mt}中删除，并将该天线s加入到选择天线集合S[z,k]中，重复上述寻找过程Lt次(其中Lt是1到Mt之间的自然数)，最终得到天线集合S[z,k]＝{1,2,...,Lt}，针对所有Z个基站重复上述过程，从而得到总天线集合Ω＝{S[1,k],S[2,k],...,S[Z,k]}；
(3)根据每个小区基站的天线集合确定在总天线集合Ω下各基站到小区目标用户的信道矩阵(该矩阵是Nr行、Lt列)；
(4)根据步骤(3)确定的信道矩阵对小区基站z中的用户k接收到的信号进行重新建模，以得到目标用户k从小区基站z接收到的有用信号、小区内不同用户之间的干扰、以及不同小区之间的干扰；
本步骤具体是采用以下公式：
其中u[z,k]表示目标用户k所使用的干扰抑制矩阵，y[z,k]表示目标用户k接收到的由小区基站z发送的信号，v[z,k]表示基站z所用的预编码矩阵(其为Lt行、d列的矩阵，d为任意自然数)，x[z,k]表示小区基站z发送的原始信号(其为d行的列向量)，表示目标用户k受到的噪声干扰。
(5)根据步骤(4)所得到的目标用户k从小区基站z接收到的有用信号、小区内不同用户之间的干扰、以及不同小区之间的干扰分别获取期望信号矩阵S[z,k]、小区内用户间干扰矩阵C[j,k]和小区间干扰矩阵U[z,k]，具体如下公式：
其中表示对括号内的向量进行级联操作，S[z,k]为d×d的矩阵，C[j,k]为d×(Z-1)Kd的矩阵，U[z,k]为d×(K-1)d的矩阵。
(6)根据步骤(5)得到的期望信号矩阵S[z,k]、小区内用户间干扰矩阵C[j,k]和小区间干扰矩阵U[z,k]获取初始目标优化函数：
其中V1,V2...,VZ表示U[z,k]中的列向量，s.t.表示约束条件。
(7)对步骤(6)得到的初始目标优化函数进行核范数和秩约束满秩约束估计处理，以得到最终目标优化函数；
本步骤具体为，首先，引入干扰矩阵秩的凸包络函数：
表示函数f的凸包络；||A||*是矩阵A的核范数，矩阵A的最大奇异值满足max(σ(A))≤λ，σ(A)表示求矩阵A的奇异值，λ和μ为任意正数，blkdiag()表示以括号内的元素为对角所形成的对角矩阵；
然后，对初始目标优化函数中的约束条件进行凸优化：
λmin(S[z,k])≥ε
其中ε＞0为无穷小的正数，表示矩阵S[z,k]为埃尔米特半正定矩阵，λmin()表示求取括号内的最小特征值；
最后，根据凸包络函数和凸优化的结果得到最终目标优化函数：
上式属于约束条件下凸函数优化问题，可以通过matlab软件cvx工具进行约束条件下的凸优化求解仿真。
图4和图5是在不同天线配置的条件下，本发明基于最大F范数天线选择的用户间小区间干扰矩阵秩最小化(norm based antenna selection rank constrained inter-user and inter-cell interference matrix rank minimization，简称NBS-RCRM-UC)干扰对齐算法与传统的OPS-RCRM-UC算法、RAS-RCRM-UC算法、以及RCRM-UC算法四者之间的性能比较，可以看出本发明的算法与RAS-RCRM-UC算法、以及RCRM-UC算法相比，较大地提高了系统速率；与OPS-RCRM-UC算法相比又极大地减弱了计算复杂度，是一种复杂度与速率性能折衷的较理想算法。
图6进一步给出了以上四种算法所获得的系统速率随信噪比大小的变化情况。
从图6可以看出，OPS-RCRM-UC算法性能仍然是最好的；NBS-RCRM-UC算法次之，同等条件下，发射天线数越多，NBS-RCRM-UC算法获得的系统可见，随着基站和天线选择数目的增加，NBS-RCRM-UC算法相比RAS-RCRM-UC算法的优势更加明显。
对比以上所有仿真结果可知，本发明通过结合天线选择技术可以进一步提高干扰对齐的效果，NBS-RCRM-UC算法能在达到最优速率的同时较大地降低算法实现的复杂度；且随着基站和天线选择数目的增多，NBS-RCRM-UC算法效果更加突出。综上所述，NBS-RCRM-UC算法整体性能最优，具有较好的工程适用性。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种结合发射天线选择技术的干扰对齐方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)计算每个小区基站z∈Z＝[1,2,...Z]配置的发射天线数量与小区目标用户k配置的接收天线之间形成的信道状态信息矩阵中每一列的F范数：其中Z表示小区基站的数量，hij表示矩阵中的列向量，矩阵是Nr行、Mt列，其中i的取值是1到Nr之间的自然数，j的取值是1到Mt之间的自然数，Nr表示每个基站配置的发射天线数量，Mt表示目标用户k配置的接收天线数量，k∈K＝[1,2,...,K]，K表示小区内的总用户数；
(2)针对小区基站z的Mt根天线而言，以遍历的方式寻找其中符合以下条件的天线s：
<mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <msup> <msub> <mi>F</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>s</mi> </msup> </mrow>
将寻找到的天线s从该小区基站的天线集合T[z,k]＝{1,2,...,Mt}中删除，并将该天线s加入到选择天线集合S[z,k]中，重复上述寻找过程Lt次，最终得到天线集合S[z,k]＝{1,2,...,Lt}，针对所有Z个基站重复上述过程，从而得到总天线集合Ω＝{S[1,k],S[2,k],...,S[Z,k]}，其中Lt是1到Mt之间的自然数；
(3)根据每个小区基站的天线集合确定在总天线集合Ω下各基站到小区目标用户的信道矩阵
(4)根据步骤(3)确定的信道矩阵对小区基站z中的用户k接收到的信号进行重新建模，以得到目标用户k从小区基站z接收到的有用信号、小区内不同用户之间的干扰、以及不同小区之间的干扰；
(5)根据步骤(4)所得到的目标用户k从小区基站z接收到的有用信号、小区内不同用户之间的干扰、以及不同小区之间的干扰分别获取期望信号矩阵S[z,k]、小区内用户间干扰矩阵C[j,k]和小区间干扰矩阵U[z,k]；
(6)根据步骤(5)得到的期望信号矩阵S[z,k]、小区内用户间干扰矩阵C[j,k]和小区间干扰矩阵U[z,k]获取初始目标优化函数：
<mrow> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </munder> <mo>&amp;lsqb;</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow>
其中V1,V2...,VZ表示U[z,k]中的列向量，s.t.表示约束条件。
(7)对步骤(6)得到的初始目标优化函数进行核范数和秩约束满秩约束估计处理，以得到最终目标优化函数。
2.根据权利要求1所述的干扰对齐方法，其特征在于，步骤(4)具体是采用以下公式：
其中u[z,k]表示目标用户k所使用的干扰抑制矩阵，y[z,k]表示目标用户k接收到的由小区基站z发送的信号，v[z,k]表示基站z所用的预编码矩阵，x[z,k]表示小区基站z发送的原始信号，表示目标用户k受到的噪声干扰。
3.根据权利要求1所述的干扰对齐方法，其特征在于，步骤(5)具体是采用以下公式：
<mrow> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>G</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>z</mi> </msubsup> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> </mrow>
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其中表示对括号内的向量进行级联操作，S[z,k]为d×d的矩阵，C[j,k]为d×(Z-1)Kd的矩阵，U[z,k]为d×(K-1)d的矩阵。
4.根据权利要求1所述的干扰对齐方法，其特征在于，步骤(7)具体为：
首先，引入干扰矩阵秩的凸包络函数：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mover> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>+</mo> <mover> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>k</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;mu;</mi> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>k</mi> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>K</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mo>*</mo> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;lambda;</mi> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mi>k</mi> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>K</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mo>*</mo> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;mu;</mi> </mfrac> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mo>*</mo> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;lambda;</mi> </mfrac> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mo>*</mo> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;mu;</mi> </mfrac> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>d</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;lambda;</mi> </mfrac> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>d</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
表示函数f的凸包络；||A||*是矩阵A的核范数，矩阵A的最大奇异值满足max(σ(A))≤λ，σ(A)表示求矩阵A的奇异值，λ和μ为任意正数，blkdiag()表示以括号内的元素为对角所形成的对角矩阵；
然后，对初始目标优化函数中的约束条件进行凸优化：
λmin(S[z,k])≥ε
其中ε＞0为无穷小的正数，表示矩阵S[z,k]为埃尔米特半正定矩阵，λmin()表示求取括号内的最小特征值；
最后，根据凸包络函数和凸优化的结果得到最终目标优化函数：
<mrow> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>V</mi> <mi>Z</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>U</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </munder> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;mu;</mi> </mfrac> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>d</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>U</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;lambda;</mi> </mfrac> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>d</mi> </munderover> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow>
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