CN107341803A - 一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法 - Google Patents

一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法，包括以下步骤：S1、通过CCD相机采集被监测区域的图像；S2、对采集到的图像进行预处理；S3、采用背景差分法判断图像是否有位移，若有则执行步骤S4，否则返回步骤S1；S4、对图像进行角点检测；S5、计算相关系数进行角点匹配；S6、累计计算得到位移；S7、判断位移是否超过预设的警戒值，若是则产生预警并结束处理，否则返回步骤S1。本发明利用角点匹配技术在相邻帧图像中进行角点匹配，通过计算匹配角点像素的位移信息，该方法计算位移信息时只计算角点的位移而不对其他像素进行计算，因此计算结果仅受角点移动的影响，从而天然地避免了各种干扰物体移动的影响，使得检测稳定而可靠。

Description

一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法
技术领域
本发明属于图像处理技术领域，特别涉及一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法。
背景技术
我国自进入21世纪以来重点发展水利工程建设，兴建一批以小浪底、紫坪铺等水利枢纽为代表的水利重点工程项目。尽管工程建筑物在设计时采用了一定的安全系数，使其能安全承受所考虑的多种外荷载影响，但是由于设计中不可能对工程的工作条件及承载能力做出完全准确的估计，施工质量也不可能完美无缺，工程在运行过程中还可能发生某些不利的变化因素，工程建筑物变形如果超出了规定的限度，就会影响建筑物的施工和正常使用，严重时还会危及建筑物的安全，带来严重的后果。
1954年建成的坝高66.5m的法国马尔巴塞(MaIPasset)双曲拱坝，蓄水后在压力作用下，左坝肩部分岩体产生了不均匀变形和滑动。由于没有必要的安全监测设施，故在管理人员没有丝毫的觉察下，于1959年12月2日突然溃决。短短45分钟，使下游8km处的一兵营500名士兵几乎全部丧生，距坝10km的一城镇变成废墟，直接经济损失达6800多万美元。1978年夏季，香港半山区一座27层大楼，因边坡滑动，整座大楼塌滑到山脚下，沿途又切断一座大楼和一些房屋，造成人们生命财产的巨大损失。但是，如能在事前运用必要的观测手段对这些工程进行监测，及时发现问题，采取有效的措施，上述灾难是可以避免的。例如，1962年安徽梅山连拱坝右岸基岩发现大量漏水，右岸13号坝跺垂线坐标仪，观测三天内向左岸倾斜了57.2mm，向下游移动了9.4mm，且右岸各跺陆续出现大裂缝，其原因是右岸基岩发生错动。对此，及时在垂线仪监测下放空水库进行加固处理，从而避免了一场溃坝事故。1981年8月，黄河上游龙羊峡水电站遇到了150年一遇的特大洪水，根据埋设在围堰混凝土心墙中的48支观测仪器提供的测量数据可知围堰工作性态正常，于是做出加高围堰4m的抗洪决策，确保了工程安全施工和渡汛。1985年6月12日在长江三峡的新滩，发生大滑坡，2000万立方米堆积体连带新滩古镇一起滑入江中。可是险区的居民却全部提前安全撤出，无一伤亡，这全靠安全监测所做出的准确预报。
另外在消防火灾等抢险中，经常需要预测建筑物是否有垮塌危险。
上对建筑物进行安全监测和监控，是保证安全的重要措施之一。事实上，很多失事工程在事前的监测资料中都可以找到前兆反应。对建筑物进行监测，利用原型监测资料，科学分析建筑物各效应量及其影响量之间的关系，及时掌握其运行状态及演变趋势，及时发现危及安全的异常因素，在事故发生之前采取对策，从而保证建筑物运行安全，充分发挥其经济效益和社会效益。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种利用角点匹配技术在相邻帧图像中进行角点匹配，通过计算匹配角点像素的位移信息，避免了各种干扰物体移动的影响，使得检测稳定而可靠的基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法。
本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法，包括以下步骤：
S1、通过CCD相机采集被监测区域的图像；
S2、对采集到的图像进行预处理；
S3、采用背景差分法判断图像是否有位移，若有则执行步骤S4，否则返回步骤S1；
S4、对图像进行角点检测；
S5、计算相关系数进行角点匹配；
S6、累计计算得到位移；
S7、判断位移是否超过预设的警戒值，若是则产生预警并结束处理，否则返回步骤S1。
进一步地，所述步骤S2的图像预处理包括滤波和自适应二值化处理。滤波主要用于消除图像噪声，排除大雾天气的影响；自适应二值化是为了消除天气变化引起的光照变化所带来的影响。
进一步地，所述步骤S3具体实现方法为：取待监测区域无外界干扰时的理想情况的图像作为样本图像进行角点检测并保存；将之后采集到的每一帧图像与样本图像执行减操作，若减操作后有非零值区域出现，则说明待监测区域有运动或有干扰产生，执行步骤S4；若减操作后没有出现非零值区域，则说明待监测区域未发生位移，也没有干扰产生，返回步骤S1继续采集被监测区域的图像。
进一步地，所述步骤S4具体包括以下子步骤：
S41、记像素点(x,y)的灰度值为I(x,y)，计算每个像素的灰度值沿x，y方向的变化，分别记为X、Y：
S42、像素点(x,y)在单位时间内移动的距离表示为(u,v)，像素点(x,y)移动(u,v)距离后的灰度变化表示为：
其中，o(u2,v2)表示余项，式(1)中，第二步是第一步求偏分的结果，原函数等于它的偏分加上一个余项，余项是其包含的许多子项之和，这些子项比较多或无法尽数写出，于是数学上用o(u2,v2)的形式来表示，又由于这些余项之和远小于前面的项，所以可以忽略不计，上式中带上余项才能严格的和前面的形式相等，在第三步计算时忽略的余项，因此采用了近似相等的方式；称为(x,y)的局部相关矩阵：
其中w表示窗口函数，该窗口函数取为高斯函数δ表示标准差，是高斯函数的一个统计量；
分别求解矩阵M(x,y)的行列式值Det(M)和矩阵的迹Trace(M)：
S43、计算响应函数值R：
R＝Det(M)-k(Trace(M))2 (4)
其中k取0.04；
S44、判断R与预设的阈值T的大小，若R>T，认为该像素点是角点，并保存该点；否则认为该像素点不是角点，不予保存。
进一步地，所述步骤S5包括以下子步骤：
S51、对于第k帧和第k+1帧图像中检测出的角点，分别在两帧图像中取以ck和ck+1为中心的N×N邻域，ck和ck+1分别表示第k和第k+1帧图像中对应角点的位置，N为大于1且不大于9的奇数；计算每个角点在N×N邻域内的均值Ek，Ek+1和均方差σk，σk+1：
(xi,yj)表示角点(xi,yi)的邻域点；
S52、计算每个角点与其对应角点在N×N邻域内的相关系数：假设从第k帧到第k+1帧，角点(xi,yi)在x方向和y方向移动的距离分别为Δx和Δy，计算其相关系数：
其中R(Δx,Δy)为相关系数，cov(Δx,Δy)为协方差，其计算方法为：
Ik(xi,yj)、Ik+1(xi+Δx,yj+Δy)分别表示第k帧图像上的角点(xi,yj)的灰度值和第k+1帧图像上与(xi,yj)对应的角点的灰度值，由于位置上两个角点存在微小的偏移，故第k+1帧图像上与(xi,yj)对应的角点的灰度值表示成Ik+1(xi+Δx,yj+Δy)；
S53、在第k+1帧图像中以(xi,yi)为中心点，在M×M邻域内寻找相关系数最大的角点，将该角点作为第k+1帧图像中(xi,yi)的匹配点。
进一步地，所述步骤S6包括以下子步骤：记时刻t时，图像上(x,y)点处的灰度值为I(x,y,t)；在经过δt时间后，这一点在图像上的坐标变为(x+δx,y+δy)，灰度值记为I(x+δx,y+δy,t+δt)，假定它与I(x,y,t)相等，即：
I(x,y,t)＝I(x+δx,y+δy,t+δt) (11)
将式(11)右边用泰勒公式展开，经化简和略去两次以上的项，得到：
结合公式(11)、(12)得到：
两边同除以δt；并令为沿x方向的分量；为沿y方向的分量；则有：
式(14)即为相邻帧对应像素计算的基本公式，写成梯度形式为：
(▽I)TU+It＝0 (15)
其中U＝(u,v)T即为对应像素的位移，此处将u、v看做一个整体，U看做是u、v的函数；▽为梯度算子，▽I表示对灰度值I(x,y,t)分别求x、y、t的偏导，即计算多元函数I(x,y,t)的梯度；It表示灰度值I(x,y,t)在t方向上的梯度；
要求偏离平滑的误差最小，则有：
Es为偏离平滑性的误差；同时应该满足偏离相邻帧对应像素计算基本公式的差，即：
Ec 2＝∫∫(▽I)T·U+It)2dxdy (17)
于是位移(u,v)应满足：
其中，α为权值，表示图像数据和约束条件之间的权重；
对数字图像，只考虑离散的情况：在图像上的一点(i,j)及其4邻域上，偏离相邻帧对应像素计算基本公式的误差为：
Ec 2(i,j)＝(Ixu(i,j)+Iyv(i,j)+It)2 (19)
又有：
则：
偏离平滑的误差为：
u(i,j)表示单位时间内点(i,j)在x轴方向上的位移；v(i,j)表示单位时间内点(i,j)在y轴方向上的位移；u(i+1,j)表示单位时间内(i,j)的水平相邻点(i+1,j)在x轴方向上的位移，v(i+1,j)表示单位时间内点(i+1,j)在y轴方向上的位移；u(i-1,j)表示单位时间内(i,j)的水平相邻点(i-1,j)在x轴方向上的位移，v(i-1,j)表示单位时间内点(i-1,j)在y轴方向上的位移；u(i,j+1)表示单位时间内(i,j)的垂直相邻点(i,j+1)在x轴方向上的位移，v(i+1,j)表示单位时间内点(i,j+1)在y轴方向上的位移；u(i,j-1)表示单位时间内(i,j)的垂直相邻点(i,j-1)在x轴方向上的位移，v(i-1,j)表示单位时间内点(i,j-1)在y轴方向上的位移；
公式(22)实际上是计算点(i,j)与上下左右四个相邻点的均差方；
则总的误差为：
要取其极小值，则有：
利用克莱姆法则求解上面方程组的解，解得：
利用迭代法，设方程组Ax＝b有唯一解x*，将Ax＝b变形为等价的方程组：
x＝Bx+f (28)
对于第i个方程解出xi，得到与原方程组等价的方程组：
化为矩阵形式：
x(n+1)＝Bx(n)+f (30)
给定初值x(0)，按此公式计算得到近似解向量序列{x(k)}，当迭代次数无限增加时，序列{x(k)}都有相同的极限x*，即：
则由迭代法得到的解如下：
其中Ix、Iy、It分别为图像灰度对空间时间的积分：
n+1表示第n+1次迭代，是u,v在(x,y)点4邻域的平均值；u(0),v(0)为位移的初始值；
当迭代结果满足事先给定的估计容差ε1，ε2时，迭代结束，即：
|u(n)-u(n-1)|≤ε1 (39)
|v(n)-v(n-1)|≤ε2 (40)
满足公式(39)和(40)的条件时，停止迭代，得到图像中每个像素点的位移分量：
将式(39)、(40)求得的结果结合相机成像规律即可求得被监测物的实际位移。
本发明的有益效果是：
1、本发明方案采用了计算机视觉的方法来跟踪监测建筑物的变形和位移：利用角点匹配技术在相邻帧图像中进行角点匹配，通过计算匹配角点像素的位移信息，然后根据光路转换成被监测物实际的位移信息，从而实现对物体或区域的监测。该方法计算位移信息时只计算角点的位移而不对其他像素进行计算，因此计算结果仅受角点移动的影响，从而天然地避免了各种干扰物体移动的影响，使得检测稳定而可靠。
2、利用角点匹配的方法来进行建(构)筑物的监测，利用自适应二值化法排除外界光线变化的影响，利用角点匹配的方法排除其他物体移动以及相机自身晃动的干扰，计算结果受天气气候变化因素影响较小，且排除了外界移动物体的干扰，降低了监测成本，使得监测精确、可靠；且本发明装置系统结构简单，便于携带，使用方便。
附图说明
图1为本发明的基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法的流程图；
图2为本发明的通过CCD相机采集被监测区域的图像的采集系统结构示意图；
图3为本发明无干扰情况下监测建筑物得到的角点匹配示例图；
图4为本发明有不明物体(鸟)干扰情况下监测建筑物得到的角点匹配示例图。
具体实施方式
本发明利用角点匹配技术在相邻帧图像中进行角点匹配，通过计算匹配角点像素的位移信息，根据光路转换成被监测物实际的位移信息，从而实现对物体、区域的监测。由于该方法计算位移信息时只计算角点的位移而不对其他像素进行计算，因此计算结果仅受角点移动的影响，从而天然地避免了各种干扰物体移动的影响，使得检测稳定而可靠。解决了对危险建筑物(由于火灾，地震等因素造成的微小形变、位移)的可视化监测，尤其对于火灾救险。下面结合附图进一步说明本发明的技术方案。
如图1所示，一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法，包括以下步骤：
S1、通过CCD相机采集被监测区域的图像；具体采集系统如图2所示。该装置通过一半导体激光器发出的激光来确定相机监测的位置，即被检测区域。由于该装置用于监测远距离小范围的物体，因此此处在相机前方加一望远镜以使得相机获得被监测物较高分辨率的图像。为防止因相机自身晃动而干扰监测，而在相机下方安置了一个三脚架，用来固定相机。之后将相机采集的数据传输至计算单元处理进行角点检测及位移计算等处理，得出监测结果。
本发明方案的图像采集基于CCD相机和望远镜，因此监测精度与相机成像质量以及望远镜放大倍率的相关性很高，理想情况下监测的分辨率可达亚像素级，一般分辨距离可达1mm。
S2、对采集到的图像进行预处理图像预处理包括滤波和自适应二值化处理。滤波主要用于消除图像噪声，排除大雾天气的影响；自适应二值化是为了消除天气变化引起的光照变化所带来的影响，当外界光线发生一定范围内明暗变化时，自适应二值化可以使得相机采集到的二值化图像的对比处理不受光线变化的影响。
S3、采用背景差分法判断图像是否有位移，若有则执行步骤S4，否则返回步骤S1；具体实现方法为：取待监测区域无外界干扰时的理想情况(即无外界干扰时)的图像作为样本图像进行角点检测并保存；将之后采集到的每一帧图像与样本图像执行减操作，若减操作后有非零值区域出现，则说明待监测区域有运动或有干扰产生，执行步骤S4；若减操作后没有出现非零值区域，则说明待监测区域未发生位移，也没有干扰产生，返回步骤S1继续采集被监测区域的图像。
S4、对图像进行角点检测；角点即为极值点，是在某方面属性突出的点，本发明中采用Harris角点，它是指图像的像素在水平方向和垂直方向上都有突变的点，由于角点包含了图像的绝大部分信息，适当的提取一幅图像的角点可实现仅需对图像少数点进行处理便能对其整体进行监测的目的。Harris角点检测是在Moravec算子的基础上发展起来的。微分算子能够计算出任意方向的像素的灰度变化，能够有效的区分角点和边缘点。
取相机的每一帧图像，检测其角点并与样本图像进行对比和匹配。其对比结果可分为有干扰存在待监测物未发生位移、无干扰存在待监测物发生位移和有干扰存在待监测物发生位移的情况，对于无干扰的情况如图3所示；对于无干扰时待监测物发生位移的情况，将相机相邻两帧图像进行角点检测及匹配时，角点能很好的匹配上(为便于观察和说明问题此处仅匹配少数角点，实际情况会有很多角点以保证对整个待监测区域整体的监测)，此时只需要计算两个角点位置之差并根据相机成像规律便可以计算得到待监测物的位移大小。
对于有干扰因素存在的情况，如图4所示，对比图3和图4可知图中飞鸟遮挡了原图的一些角点，此时被遮挡部分的角点无法匹配上，而其他角点的匹配却不受影响，因此在计算角点的移动时会发现，角点的位移为0，只是部分角点无法匹配上，因此，我们将算法设定为当出现角点不能匹配时则认为是有干扰物体存在，此时仅计算能成功匹配上的角点的位移。由于该方法只计算角点的位移，因此图中飞鸟的出现丝毫不影响最终的计算，从而避免了干扰物的干扰。若此时同时存在待监测物的位移，由于干扰物一般为鸟类或人等的运动物体，在视场中停留时间较短，而该算法中对位移的计算为累计计算，所谓累计计算是指在每当图像中有角点发生位移即刷新每个角点的位移值，对每个角点的位移进行累加求和，被遮挡部分角点无位移，但是当干扰物移出视场时，被遮挡部分的角点即能够匹配上了，此时，被遮挡部分的位移值也就能够计算出来了，从而使得该监测方案排除了干扰物对其产生的影响。最后当计算得到的位移值超出或达到警戒值，则发出预警。
本发明采用的角点计算具体包括以下子步骤：
S41、记像素点(x,y)的灰度值为I(x,y)，灰度值I是x、y、t三个变量的函数，本步骤中考虑相邻两帧图像时，两帧图像的情况时相当于在单位时间内仅考虑空间因素，而不再考虑时间因素，因此此时灰度值仅仅是x、y的函数，故为I(x,y)；计算每个像素的灰度值沿x，y方向的变化，分别记为X、Y：
S42、像素点(x,y)在单位时间内移动的距离表示为(u,v)，像素点(x,y)移动(u,v)距离后的灰度变化表示为：
其中，o(u2,v2)表示余项，式(1)中，第二步是第一步求偏分的结果，原函数等于它的偏分加上一个余项，余项是其包含的许多子项之和，这些子项比较多或无法尽数写出，于是数学上用o(u2,v2)的形式来表示，又由于这些余项之和远小于前面的项，所以可以忽略不计，上式中带上余项才能严格的和前面的形式相等，在第三步计算时忽略的余项，因此采用了近似相等的方式；称为(x,y)的局部相关矩阵：
其中w表示窗口函数，该窗口函数取为高斯函数δ表示标准差，是高斯函数的一个统计量；
分别求解矩阵M(x,y)的行列式值Det(M)和矩阵的迹Trace(M)：
S43、计算响应函数值R：
R＝Det(M)-k(Trace(M))2 (4)
其中k取0.04；
S44、判断R与预设的阈值T的大小，若R>T，认为该像素点是角点，并保存该点；否则认为该像素点不是角点，不予保存。
S5、计算相关系数进行角点匹配；包括以下子步骤：
S51、对于第k帧和第k+1帧图像中检测出的角点，分别在两帧图像中取以ck和ck+1为中心的N×N邻域，ck和ck+1分别表示第k和第k+1帧图像中对应角点的位置；一般N取值越大则计算得来的相关系数越准确，然而程序执行时也越慢，因此N的取值范围一般为大于1且不大于9的奇数，经常取3、5、7，本发明优选地取值为7；计算每个角点在N×N邻域内的均值Ek，Ek+1和均方差σk，σk+1：
(xi,yj)表示角点(xi,yi)的邻域点；对于角点用(xi,yi)来表示(仅表示一个点)，对于角点的邻域的点用(xi,yj)表示(在求和时用于表示遍历一定范围内所有的点进行求和)；
S52、计算每个角点与其对应角点在N×N邻域内的相关系数：假设从第k帧到第k+1帧，角点(xi,yi)在x方向和y方向移动的距离分别为Δx和Δy，计算其相关系数：
其中R(Δx,Δy)为相关系数，cov(Δx,Δy)为协方差，其计算方法为：
Ik(xi,yj)、Ik+1(xi+Δx,yj+Δy)分别表示第k帧图像上的角点(xi,yj)的灰度值和第k+1帧图像上与(xi,yj)对应的角点的灰度值，由于位置上两个角点存在微小的偏移，故第k+1帧图像上与(xi,yj)对应的角点的灰度值表示成Ik+1(xi+Δx,yj+Δy)；
S53、在M×M邻域内有可能存在多个与角点(xi,yi)对应的点，在第k+1帧图像中以(xi,yi)为中心点，分别计算这些对应点与(xi,yi)的相关系数，寻找在M×M邻域内相关系数最大的角点，将该角点作为第k+1帧图像中(xi,yi)的匹配点；M的取值可自己根据实际情况来定，对于监测物体运动速度慢的时候，对应的角点应在较小的范围内，此时M取值较小，在2-10之间，若运动速度快则取值相应大一些。
S6、累计计算得到位移；包括以下子步骤：记时刻t时，图像上(x,y)点处的灰度值为I(x,y,t)；在经过δt时间后，这一点在图像上的坐标变为(x+δx,y+δy)，灰度值记为I(x+δx,y+δy,t+δt)，假定它与I(x,y,t)相等，即：
I(x,y,t)＝I(x+δx,y+δy,t+δt) (11)
将式(11)右边用泰勒公式展开，经化简和略去两次以上的项，得到：
结合公式(11)、(12)得到：
两边同除以δt；并令为沿x方向的分量；为沿y方向的分量；则有：
式(14)即为相邻帧对应像素计算的基本公式，写成梯度形式为：
(▽I)TU+It＝0 (15)
其中U＝(u,v)T即为对应像素的位移，此处将u、v看做一个整体，U看做是u、v的函数；▽为梯度算子，▽I表示对灰度值I(x,y,t)分别求x、y、t的偏导，即计算多元函数I(x,y,t)的梯度；It表示灰度值I(x,y,t)在t方向上的梯度；
要求偏离平滑的误差最小，则有：
Es为偏离平滑性的误差；同时应该满足偏离相邻帧对应像素计算基本公式的差，即：
Ec 2＝∫∫(▽I)T·U+It)2dxdy (17)
于是位移(u,v)应满足：
其中，α为权值，表示图像数据和约束条件之间的权重；
对数字图像，只考虑离散的情况：在图像上的一点(i,j)及其4邻域上，偏离相邻帧对应像素计算基本公式的误差为：
Ec 2(i,j)＝(Ixu(i,j)+Iyv(i,j)+It)2 (19)
又有：
则：
偏离平滑的误差为：
u(i,j)表示单位时间内点(i,j)在x轴方向上的位移；v(i,j)表示单位时间内点(i,j)在y轴方向上的位移；u(i+1,j)表示单位时间内(i,j)的水平相邻点(i+1,j)在x轴方向上的位移，v(i+1,j)表示单位时间内点(i+1,j)在y轴方向上的位移；u(i-1,j)表示单位时间内(i,j)的水平相邻点(i-1,j)在x轴方向上的位移，v(i-1,j)表示单位时间内点(i-1,j)在y轴方向上的位移；u(i,j+1)表示单位时间内(i,j)的垂直相邻点(i,j+1)在x轴方向上的位移，v(i+1,j)表示单位时间内点(i,j+1)在y轴方向上的位移；u(i,j-1)表示单位时间内(i,j)的垂直相邻点(i,j-1)在x轴方向上的位移，v(i-1,j)表示单位时间内点(i,j-1)在y轴方向上的位移；
公式(22)实际上是计算点(i,j)与上下左右四个相邻点的均差方；
则总的误差为：
要取其极小值，则有：
利用克莱姆法则求解上面方程组的解，解得：
利用迭代法，设方程组Ax＝b有唯一解x*，将Ax＝b变形为等价的方程组：
x＝Bx+f (28)
对于第i个方程解出xi，得到与原方程组等价的方程组：
化为矩阵形式：
x(n+1)＝Bx(n)+f (30)
给定初值x(0)，按此公式计算得到近似解向量序列{x(k)}，当迭代次数无限增加时，序列{x(k)}都有相同的极限x*，即：
则由迭代法得到的解如下：
其中Ix、Iy、It分别为图像灰度对空间时间的积分：
n+1表示第n+1次迭代，是u,v在(x,y)点4邻域的平均值；u(0),v(0)为位移的初始值；
当迭代结果满足事先给定的估计容差ε1，ε2时，迭代结束，即：
|u(n)-u(n-1)|≤ε1 (39)
|v(n)-v(n-1)|≤ε2 (40)
满足公式(39)和(40)的条件时，停止迭代，得到图像中每个像素点的位移分量：
将式(39)、(40)求得的结果结合相机成像规律即可求得被监测物的实际位移。
S7、判断位移是否超过预设的警戒值，若是则产生预警并结束处理，否则返回步骤S1。
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (6)

1.一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、通过CCD相机采集被监测区域的图像；
S2、对采集到的图像进行预处理；
S3、采用背景差分法判断图像是否有位移，若有则执行步骤S4，否则返回步骤S1；
S4、对图像进行角点检测；
S5、计算相关系数进行角点匹配；
S6、累计计算得到位移；
S7、判断位移是否超过预设的警戒值，若是则产生预警并结束处理，否则返回步骤S1。
2.根据权利要求1所述的一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法，其特征在于，所述步骤S2的图像预处理包括滤波和自适应二值化处理。
3.根据权利要求1所述的一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法，其特征在于，所述步骤S3具体实现方法为：取待监测区域无外界干扰时的理想情况的图像作为样本图像进行角点检测并保存；将之后采集到的每一帧图像与样本图像执行减操作，若减操作后有非零值区域出现，则说明待监测区域有运动或有干扰产生，执行步骤S4；若减操作后没有出现非零值区域，则说明待监测区域未发生位移，也没有干扰产生，返回步骤S1继续采集被监测区域的图像。
4.根据权利要求1所述的一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法，其特征在于，所述步骤S4具体包括以下子步骤：
S41、记像素点(x,y)的灰度值为I(x,y)，计算每个像素的灰度值沿x，y方向的变化，分别记为X、Y：
<mrow> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow>
S42、像素点(x,y)在单位时间内移动的距离表示为(u,v)，像素点(x,y)移动(u,v)距离后的灰度变化表示为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mo>.</mo> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> </mrow> </munder> <mi>w</mi> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>I</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>I</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> </mrow> </munder> <mi>w</mi> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>u</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>o</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>&amp;ap;</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> </mrow> </munder> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> </mrow> </munder> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mi>X</mi> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mtd> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>X</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>Y</mi> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>X</mi> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mi>Y</mi> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mi>Y</mi> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>M</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，o(u2,v2)表示余项；称为(x,y)的局部相关矩阵：
<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mi>w</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mi>w</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> <mo>&amp;CircleTimes;</mo> <mi>w</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
其中w表示窗口函数，该窗口函数取为高斯函数δ表示标准差，是高斯函数的一个统计量；
分别求解矩阵M(x,y)的行列式值Det(M)和矩阵的迹Trace(M)：
<mrow> <mi>D</mi> <mi>e</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mi>T</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
S43、计算响应函数值R：
R＝Det(M)-k(Trace(M))2 (4)
其中k取0.04；
S44、判断R与预设的阈值T的大小，若R>T，认为该像素点是角点，并保存该点；否则认为该像素点不是角点，不予保存。
5.根据权利要求1所述的一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法，其特征在于，所述步骤S5包括以下子步骤：
S51、对于第k帧和第k+1帧图像中检测出的角点，分别在两帧图像中取以ck和ck+1为中心的N×N邻域，ck和ck+1分别表示第k和第k+1帧图像中对应角点的位置，N为大于1且不大于9的奇数；计算每个角点在N×N邻域内的均值Ek，Ek+1和均方差σk，σk+1：
<mrow> <msub> <mi>E</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>I</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
(xi,yj)表示角点(xi,yi)的邻域点；
S52、计算每个角点与其对应角点在N×N邻域内的相关系数：假设从第k帧到第k+1帧，角点(xi,yi)在x方向和y方向移动的距离分别为Δx和Δy，计算其相关系数：
<mrow> <mi>R</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>cov</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mi>k</mi> </msub> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中R(Δx,Δy)为相关系数，cov(Δx,Δy)为协方差，其计算方法为：
<mrow> <mi>cov</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>N</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>N</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </munderover> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>&amp;times;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
Ik(xi,yj)、Ik+1(xi+Δx,yj+Δy)分别表示第k帧图像上的角点(xi,yj)的灰度值和第k+1帧图像上与(xi,yj)对应的角点的灰度值；
S53、在第k+1帧图像中以(xi,yi)为中心点，在M×M邻域内寻找相关系数最大的角点，将该角点作为第k+1帧图像中(xi,yi)的匹配点。
6.根据权利要求1所述的一种基于角点检测的数字图像物体微小移动监测算法，其特征在于，所述步骤S6包括以下子步骤：记时刻t时，图像上(x,y)点处的灰度值为I(x,y,t)；在经过δt时间后，这一点在图像上的坐标变为(x+δx,y+δy)，灰度值记为I(x+δx,y+δy,t+δt)，假定它与I(x,y,t)相等，即：
I(x,y,t)＝I(x+δx,y+δy,t+δt) (11)
将式(11)右边用泰勒公式展开，经化简和略去两次以上的项，得到：
<mrow> <mi>I</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>I</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
结合公式(11)、(12)得到：
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
两边同除以δt；并令为沿x方向的分量；为沿y方向的分量；则有：
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式(14)即为相邻帧对应像素计算的基本公式，写成梯度形式为：
<mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>I</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>U</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中U＝(u,v)T即为对应像素的位移，为梯度算子，表示对灰度值I(x,y,t)分别求x、y、t的偏导，即计算多元函数I(x,y,t)的梯度；It表示灰度值I(x,y,t)在t方向上的梯度；
要求偏离平滑的误差最小，则有：
<mrow> <msup> <msub> <mi>E</mi> <mi>s</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>min</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
Es为偏离平滑性的误差；同时应该满足偏离相邻帧对应像素计算基本公式的差，即：
<mrow> <msup> <msub> <mi>E</mi> <mi>c</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>I</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>U</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>t</mi> </msub> <msup> <mo>)</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
于是位移(u,v)应满足：
<mrow> <mo>&amp;Integral;</mo> <mo>&amp;Integral;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>&amp;dtri;</mo> <mi>I</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>U</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>min</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，α为权值，表示图像数据和约束条件之间的权重；
对数字图像，只考虑离散的情况：在图像上的一点(i,j)及其4邻域上，偏离相邻帧对应像素计算基本公式的误差为：
Ec 2(i,j)＝(Ixu(i,j)+Iyv(i,j)+It)2 (19)
又有：
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
则：
<mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
偏离平滑的误差为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <msub> <mi>E</mi> <mi>s</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
u(i,j)表示单位时间内点(i,j)在x轴方向上的位移；v(i,j)表示单位时间内点(i,j)在y轴方向上的位移；u(i+1,j)表示单位时间内(i,j)的水平相邻点(i+1,j)在x轴方向上的位移，v(i+1,j)表示单位时间内点(i+1,j)在y轴方向上的位移；u(i-1,j)表示单位时间内(i,j)的水平相邻点(i-1,j)在x轴方向上的位移，v(i-1,j)表示单位时间内点(i-1,j)在y轴方向上的位移；u(i,j+1)表示单位时间内(i,j)的垂直相邻点(i,j+1)在x轴方向上的位移，v(i+1,j)表示单位时间内点(i,j+1)在y轴方向上的位移；u(i,j-1)表示单位时间内(i,j)的垂直相邻点(i,j-1)在x轴方向上的位移，v(i-1,j)表示单位时间内点(i,j-1)在y轴方向上的位移；
则总的误差为：
<mrow> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> </munder> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>j</mi> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>E</mi> <mi>c</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>.</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msup> <msup> <msub> <mi>E</mi> <mi>S</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
要取其极小值，则有：
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>u</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>y</mi> </msub> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>v</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>y</mi> </msub> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>v</mi> <mo>-</mo> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
利用克莱姆法则求解上面方程组的解，解得：
<mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>y</mi> </msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>I</mi> <mi>y</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>y</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>y</mi> </msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>t</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>I</mi> <mi>y</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
利用迭代法，设方程组Ax＝b有唯一解x*，将Ax＝b变形为等价的方程组：
x＝Bx+f (28)
对于第i个方程解出xi，得到与原方程组等价的方程组：
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 4
化为矩阵形式：
x(n+1)＝Bx(n)+f (30)
给定初值x(0)，按此公式计算得到近似解向量序列{x(k)}，当迭代次数无限增加时，序列{x(k)}都有相同的极限x*，即：
<mrow> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mi>&amp;infin;</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>*</mo> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>31</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
则由迭代法得到的解如下：
<mrow> <msup> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <msup> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>y</mi> </msub> <msup> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>I</mi> <mi>x</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <msub> <mi>I</mi> <mi>y</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中Ix、Iy、It分别为图像灰度对空间时间的积分：
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n+1表示第n+1次迭代，是u,v在(x,y)点4邻域的平均值；u(0),v(0)为位移的初始值；
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当迭代结果满足事先给定的估计容差ε1，ε2时，迭代结束，即：
|u(n)-u(n-1)|≤ε1 (39)
|v(n)-v(n-1)|≤ε2 (40)
满足公式(39)和(40)的条件时，停止迭代，得到图像中每个像素点的位移分量：
将式(39)、(40)求得的结果结合相机成像规律即可求得被监测物的实际位移。
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